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高数积分总结

一、不定积分

1、不定积分的概念也性质

定义1：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f(x)，即对任一I x ∈,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上的原函数。定义2：在区间I 上，函数f （x ）的带有任意常数项的原函数称为f （x ）（或者f(x)dx ）在区间I 上的不定积分，记作

?dx x f )(。

性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则

???+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。

性质2：设函数f(x)的原函数存在，k 为非零常数，则

??=dx x f k dx x kf )()(。

2、换元积分法 (1)第一类换元法：

定理1：设f(u)具有原函数，)(x ?μ=可导，则有换元公式

)

(])([)(')]([x d f dx x x f ?

μμμ??=??=。

例：求?xdx 2cos 2

解 ????=?=?=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2 将x 2=μ代入，既得

?+=C x xdx 2sin 2cos 2

(2)第二类换元法：

定理2：设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，并且.0)('≠t ψ又设

)(')]([t t f ψψ具有原函数，则有换元公式

)(')]([[)()

x t dt t t f dx x f -=??=ψ

ψψ

其中)(1

x -ψ是)(t x ψ=的反函数。

例：求?

>+)0(2

a a

x dx

解 ∵t t 2

2sec tan 1=+，

设

??? ??<<-=22

tan ππ

αt t x ，那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+，

于是

??==+tdt dt t a t

a a x dx sec sec sec 222 ∴C t t a

x dx ++=+?tan sec ln 2

∵a

a x t 2

2sec +=

，且0tan sec >+t t ∴1222222)ln(ln C a x x C a a

x a x a x dx

+++=+???

?++

=+?

，a C C ln 1-=

3、分部积分法

定义：设函数)(x μμ=及)(x υυ=具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为

()'''μυυμμυ+=

移项得 υμμυμυ')'('-= 对这个等式两边求不定积分，得

??-=dx dx υμμυμυ''

此公式为分部积分公式。例：求?xdx x cos

解 ??-=xdx x x xdx x sin sin cos

∴?

++=C x x x xdx x cos sin cos 分部积分的顺序：反对幂三指。 4、有理函数的积分例：求?

+-+dx x x x 6

解 ∵)2)(3(652--=+-x x x x ，故设

36512

-+-=+-+x B

x A x x x 其中A,B 为待定系数。上式两端去分母后，得

)3()2(1-+-=+x B x A x

即 B A x B A x 32)(1--+=+ 比较上式两端同次幂的系数，既有

?-=+=+1321

B A B A 从而解得 3,4-==B A 于是

C x x dx x x dx x x x +---=??

??---=+-+??2ln 33ln 423346512 其他有些函数可以化做有理函数。 5、积分表的查询二、定积分

1、定积分的定义和性质

（1）定义：设函数)(x f 在[]b a ,上有界，在[]b a ,中任意插入若干个分点

b x x x x x a n n =<<<<<=-1210

把区间[]b a ,分成n 个小区间

[][][]n n x x x x x x ,,,,,,12110-

各个小区间的长度依次为

1122011,,,--=?-=?-=?n n n x x x x x x x x x

在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点()i i i i x x ≤≤-ξξ1，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()n i x f i i ,,2,1)( =?ξ，并作出和

∑=?=n

i i i x f S 1

)(ξ

记{}n x x x ???=,,,m ax 21 λ，如果不论对[]b a ,怎么划分，也不论在小区间[]i i x x ,1-上点i ξ怎么选取，只要当0→λ时，和S 总趋于确定

的极限I ，那么称这个极限I 为函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分

(简称积分)，记作

dx x f )(，即

∑?

=→?==n

i i i b

x f I dx x f 1

)(lim )(ξλ

其中)(x f 叫做被积函数，dx x f )(叫做被积表达式，x 叫做积分

变量，

a 叫做积分下限，

b 叫做积分上限，[]b a ,叫做积分区间。

定理1：设)(x f 在区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上可积。定理2：设

)(x f 在区间[]b a ,上有界，且只有有限个间断点，则)

(x f 在[]b a ,上可积。（2）性质1：[]??

?±=±b

b a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()(

性质2：

dx x f k dx x kf )()( (k 是常数)

性质3：设b c a <<，则

???

+=b

c a

dx x f dx x f dx x f )()()(

性质4：如果在区间[]b a ,上1)(≡x f ，则

a b dx dx b

b a

-==?

性质5：如果在区间[]b a ,上，0)(≥x f ，则

()b a dx x f b

<≥?

0)(

推论1：如果在区间[]b a ,上，)()(x g x f ≤，则

()b a dx x g dx x f b

b a

<≤??

)()(

推论2：

)()()(b a dx x f dx x f b

<≤??

性质6：设M 及m 分别是函数)(x f 在区间[]b a ,上的最大值和

最小值，则

))(()()(b a a b M dx x f a b m b

<-≤≤-?

性质7(定积分中值定理)：如果函数)(x f 在积分区间[]b a ,上连续，则在[]b a ,上至少存在一个点ξ，使下式成立

))()(()(b a a b f dx x f b

≤≤-=?

ξξ

2、微积分基本公式 (1)积分上限函数及其导数

定理1：如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，则积分上限的函数

()?=Φx

dt t f x )(

在[]b a ,上可导，并且它的导数

))(()()('b x a x f dt t f dx d x x

≤≤==Φ?

定理2：如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，则函数

?=Φx

dt t f x )()(

就是

)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函数。

(2)牛顿-莱布尼茨公式

定理3：如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函

数，则

)()()(a F b F dx x f b

-=?

3、定积分的换元法和分部积分法

(1)定积分的换元法定理：假设函数

)(x f 在区间[a,b]上连续，函数x=?(t)满足条件:

?(α)=a,?(β)=b;

?(t)在[α,β]上具有连续导数，且其值域R ?=[a,b],则有

?=b

t t f dx x f βα

??)()]([)('

(1)

公式(1)叫做定积分的换元公式 (2)定积分的分部积分法

依据不定积分的分部积分法，可得

?-=b

a b

b a

vdu

dx u uv v ]['

三、反常积分

（一）无穷限的反常积分

定义1 设函数法f(x)在区间[a,∞+)上连续，取t>a,如果极限

+∞

→t

t dx

x f )(lim

存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,∞+)上的反常积分，即

?+∞

+∞

→=a

t dx

x f dx x f )()(lim

（二）无界函数的反常积分

定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续，点a 为f(x)的丅点。取t>a,如果极限

→

t dx

x f a

)(lim

存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反常积分，仍然记作

x f )(，即

x f )(=

→

t dx

x f a

)(lim

例题讨论反常积分

-1

x dx

的收敛性。

解：被积函数f （x ）=x 2

在积分区间[-1,1]上除x=0外连续，且

∞

=→x

x 2

lim

由于

+∞

=--=→-?

1)1

(lim 0

x dx

x x

即反常积分

-0

发散，所以反常积分

-1

发散

定积分()b

f x dx

?的积分区间[]a b ，是有限区间，又()f x 在[]a b ，上

是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或()f x 推广到无界函数，就是两种不同类型的反常积分：

1.无穷区间上的反常积分（1）概念定义：()()lim

b f x dx f x dx +∞

→+∞=??

若极限存在，则称反常积分()a

f x dx

+∞

?是收敛的，它的值就是极

限值；若极限不存在，则称反常积分()a

f x dx

+∞?是发散的，而发散的

反常积分没有值的概念.

()()lim

a f x dx f x dx -∞

→-∞=?

同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念.

()()()c

f x dx f x dx f x dx

+∞

-∞

=+?

()()lim

lim

a b f x dx f x dx →-∞→+∞=+?

同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念，值得注意：判断()f x dx

+∞-∞

?的收敛性不能用

()lim

R f x dx

-→+∞?

的极限存在性.必须

要求()c

f x dx

-∞

?和()c

f x dx

+∞

?两个反常积分都收敛，才能知道()f x dx

+∞

-∞

?是收敛的，但是如果已经知道()f x dx

+∞

-∞?是收敛的，而求它的值，那

么计算

()lim

R f x dx

-→+∞?

是可以的.

（2）常用公式

11, 11

1p p dx p x p +∞?

=>?

-??≤??收敛，发散，

11, 11(ln )

1p p e

p dx

du p x x u p +∞

+∞

=>?-=??

≤??

?收敛，发散，

k x

x e

dx λλλ+∞

-??

≤??

收敛(＞0）发散(0），k ≥(0）

2.无界函数的反常积分（瑕积分）（1）概念： ①设()

f x 在[)a b ，内连续，且()lim x b f x -→=∞，则称b 为()f x 的瑕点，

定义()()lim b b a

f x dx f x dx

ε+-→=?

若极限存在，则称反常积分()b a

f x dx ?收敛，且它的值就是极限值.若极限不存在，则称反常积分()b

a f x dx ?发散，发散的反常积分没有值

的概念.

②设()f x 在(]a b ，内连续，且()lim x a f x +

→=∞，则称a 为()f x 的瑕点，

定义()()0

lim b b

a f x dx f x dx

ε++→=?

若极限存在，则称反常积分()b

f x dx

?收敛，且它的值就是极限值，

若极限不存在，则称反常积分()b

f x dx

?发散，它没有值.

③设

()

f x 在[)a c ，和(]c b ，皆连续，且()lim x C f x →=∞，则称c 为()

f x 的瑕点，

定

义

()()()()()1

120

lim lim b

C b

C f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

εεεε+

+-+→→=+=+????

(值得注意：这里判别收敛性时，1ε和2ε要独立地取极限，不能都用0ε+

→来代替)

若上面两个极限都存在时才称反常积分()b

a f x dx ?是收敛的，否则

反常积分()b

f x dx ?发散.

（2）常用公式：

0 q q dx x q ??

≥??收敛(＜1时）

发散(1时）

类似地考虑1

01q dx x -?（）

和11q dx x -?

最后指出：由于反常积分是变限积分的极限，因此原则上由定积分的运算法则和极限的运算法则就可以得到反常积分的运算法则.

(乙)典型例题

一、用常规方法计算定积分【例1】求下列定积分（1）220cos x xdx

? （2

）0arctan x xdx

（3

）ln 0

解（1）2222222000

cos sin sin 2sin x xdx x d x x x x xdx

ππ

=-??

＝22200

2cos 2cos 2cos xd x x x xdx

πππ

=-?

＝

2042sin 4x π

ππ

（2

）

222

0011arctan arctan 2221x x xdx xdx dx x ==-+

＝2031112

21dx x ?-?+??

＝

112arctan 2

332π

ππ-

+=-

（3()

2,ln 1t x t ==+

2,01t

dx dt x t =

=+时0t =；ln 2x =时，1t =

于是

2ln 1

1220

00212111t dt dt t t ??

==-??++???

＝

102[arctan ]214t t π??

-=- ?

?? 【例2】计算下列定积分（分段函数）（1）1

13x x dx

--? （2）1

ln e

x dx

（3）{}322min 1,x dx

解

（1）()()1

3333

x x dx x

x dx x x dx ---=---=?

（2）

()1

111

ln ln ln e

x dx x dx xdx

=-+?

＝

()()1111ln ln 21e e x x x x x x e ??

-++-=- ?

?? （3）

{}3

113

222

min 1,3x dx dx x dx dx ----=++=

???

二、用特殊方法计算定积分【例1】计算下列定积分

（1）

(sin )

(sin )(cos )f x I dx

f x f x π

=+?

（f 为连续函数，(sin )(cos )0f x f x +≠）

（2）

ln(1tan )I x dx

=+?

解（1）令

，则

0(cos ),2,(cos )(sin )24f t I dt I dt I f t f t π

ππ

====

+??

（2）令

，则

1tan 2ln 1()ln 1tan 1tan t I d t dt t t π

π-??=+-=??++????

＝ln 2,2ln 2,ln 2

I I I π

【例2】设连续函数()f x 满足

()()1ln e

f x x f x dx

=-?，求()1

f x dx

解

令()1

f x dx A =?，则()ln f x x A =-，

两边从1到e 进行积分，得

()11

ln (ln )(1)

e e

f x dx xdx Adx x x x A e =-=---?

于是

(1)(1),1,A e e A e eA A e =----==

则

()1

f x dx e =

三、递推公式形式的定积分【例1】设

()

sin 012n n I xdx n π

==?，，，

求证当2n ≥时，21

n n n I I n --=

求n I 解（1）

()()

sin

cos sin

cos cos sin n n n n I xd x x x xd x π

π---=-=-+??

()()()2

220

1cos sin

11sin sin n n n x xdx n x xdx

ππ

--=-=--??

()()211n n n I n I -=---

()2

1n n nI n I -=-，则

()21

2n n n I I n n --=

≥

（2）

0100

sin 1

I dx I xdx πππ

==??，　

当2n k =，正偶数时，

2220212123

2222

2n k k k k k I I I I k k k ----==

()()()()22

22!2!22

2!2!k k k k k k ππ

当21n k =+，正奇数时，

212112222

2212121

3n k k k k k I I I I k k k +--==

=++-

()()()()2

22!2!21!21!

k k k k k =

=++

【例2】设

()

cos 012n n J xdx n π

==?，，，

，求证：()012n n J I n ==，，，

证令()2

0cos sin 22n

n n x t J t d t tdt

ππ

π??=-=--= ?????，

则 ()012n n J I n == ，　，　，

【例3】设()

tan 1n n K xdx n π

==? ，2，3，

求证：

21n n K K n -=

求()123n K n = ，　，　，

解（1）

()

()4

2120

tan

sec 1n n K x x dx π

-=-? ()

211

tan

tan n n xd x K π

--=-?

21n K n -=

（2）

()4

tan sec 1K xdx x dx

ππ==-??　

[]4

tan 140

x x π

=-=-

，

231111134534K K ππ??

????=--=--- ? ???

??????，当3n >，正整数时

()()()11

21111421k n n n n k K k π--=??-=-+-+??

-????∑

四、重积分

（一）二重积分的性质与概念

定义：设D是错误!未找到引用源。面上的有界闭区域，错误!未找到引用源。在D上有界，将区域D任意分成n个小闭区域错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。既表示第i个小闭区域又表示它的面积，在每个小区域错误!未找到引用源。上任意取一点错误!未找到引用源。，作n个乘积错误!未找到引用源。，然后作和式

记错误!未找到引用源。，如当错误!未找到引用源。时，以上和式有确定的极限，则称该极限为错误!未找到引用源。在区域D上的二重积分，记作错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。，即

其中错误!未找到引用源。称为被积函数，错误!未找到引用源。称为被积表达式，错误!未找到引用源。称为面积元素，错误!未找到引用源。称为积分变量，D称为积分区域，错误!未找到引用源。称为积分和式

几何意义

当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。等于以区域D为底，曲面错误!未找到引用源。为顶的曲顶柱体体积；

当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。等于以上所说的曲顶柱体体积的相反数；

当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。等于区域D的面积。

1.二重积分的性质

存在性：若错误!未找到引用源。在有界闭区域D上连续，则错误!未找到引用源。存在

线性性质：

区域可加性

设错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。只在它们的边界上相交，则：

有序性

若在区域D上错误!未找到引用源。，则有：

特殊地，有

估值不等式

设错误!未找到引用源。在区域D上有最大值M，最小值m，错误!未找到引用源。是D的面积，则有：

积分中值定理

设函数错误!未找到引用源。在有界闭区域D上连续，错误!未找到引用源。是D的面积，则至少存在一点错误!未找到引用源。，使错误!

未找到引用源。

例1 试用二重积分表示极限错误!未找到引用源。.

解：错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。.

例2 估计错误!未找到引用源。的值，其中错误!未找到引用源。解：因为错误!未找到引用源。，积分区域错误!未找到引用源。，在D 上错误!未找到引用源。的最大值错误!未找到引用源。，最小值错误!未找到引用源。，故:

（二）二重积分的计算（一）

直角坐标系

X型区域

将区域D投影到x轴上，投影区间为错误!未找到引用源。，D的边界上下两条曲线错误!未找到引用源。，则D表示为：

y型区域

将区域D投影到y轴上，投影区间为错误!未找到引用源。，D的边界上下两条曲线错误!未找到引用源。，则D表示为：

例1 计算，其中D是由直线错误!未找到引用源。所围成的闭区域。

解：

（三）二重积分的计算（二）

极坐标系

极点在D外，则D:

极点在D的边界上，则D:

极点在D内：

例1 计算错误!未找到引用源。，其中D 为由圆错误!未找到引用源。及直线错误!未找到引用源。所围成的平面闭区域解：因为

所以

五、曲面和曲线积分

（一）对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）

1、定义 i n

i i i L s f ds y x f ?ηξλ

∑?=→=1

0 ),(lim ),(， i n

i i i i s f ds z y x f ?=∑?=→Γ1

),,(lim ),,(ζηξλ 2、物理意义线密度为),(y x ρ的曲线L 质量为ds y x M L ?= ),(ρ 线密度为),,(z y x f 的曲线Γ质量为ds z y x f M ?Γ= ),,( 3、几何意义曲线L 的弧长=

s ds L

，曲线Γ的弧长ds s ?Γ

4、若L ：k y x f =),(（常数），则ks ds k ds k ds y x f L L L ===??? ),(

5、计算（上限大于下限）

（1）,

(t) ,(t) :ψ?==y x L

()βα≤≤t ，则

[][][]dt t t t t f ds y x f L

)()()( ),( ),(ψ?ψ?β

'+'=??

（2）L ：0()()y x x x X ψ=≤≤，则0(,)[,(X

x f x y ds f x x ψ=??

（3）L ：0()

()x y y y Y ?=≤≤，则0

(,)[(),.Y

y f x y ds f y y ?=??

（4）)().(),(),(:βαωψ?≤≤===Γt t z t y t x ，则

(,,)[(),(),(()f x y z ds f t t t β

?ψωαβΓ

(二)、对坐标的曲线积分 1、定义 dy y x Q dx y x P L

),(),( +?

[]∑=→+=n

i i i i i

y Q x

P 1

),(),(lim

?ηξ?ηξλ

z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(

++?Γ[]∑=→++=n

i i i i i i i i i i

i i

z R y Q x P 1

),,(),,(),,(lim

?ζηξ?ζηξ?ζ

ηξλ

2、计算（下限对应起点，上限对应终点）（1）,(t) ,(t) :ψ?==y x L ()βα→:t ，则

(,)(,){[(),()]()[(),()]()}L

P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt β

?ψ??ψψ''+=+?

（

2）

：()

y x ψ=()X x t →0:，则{[,()][,()]()}b L

Pdx Qdy P x x Q x x x dx ψψψ'+=+?

（3

）

L ：

()

x y ?=()

Y y t →0:，

则

{[(),]()[(),]}d L

Pdx Qdy P y y y Q y y dy ???'+=+?

（4）):().(),(),(:βαωψ?→===Γt t z t y t x ，则

(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++?

{[(),(),()]()[(),(),()]()[(),(),()]()}P t t t t Q t t t t R t t t t dt β

α?ψω??ψωψ?ψωω'''=++?

3、两类曲线积分之间的联系

(cos cos )L

Pdx Qdy P Q ds αβ+=+?

其中，(,),(,)x y x y αβ为有向曲线弧L 上点(,)x y 处的切线向量的方向角。 (cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R ds αβγΓΓ++=++??，

其中(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z αβγ为有向曲线弧Γ上点(,,)x y z 处切向量的方向角。

(三)、格林公式及其应用 1、格林公式 ???+=??-??L D

Qdy Pdx dxdy y

x Q )(

其中L 是D 的取正向的整个边界曲线

2、平面上曲线积分与路径无关的条件（D 为单连通区域）