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1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式(2)

1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式(2)
1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式(2)

必修四第一章编写蒋兴安班级姓名

课题:§1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式(2)

学习目标:

会初步运用诱导公式求三角函数的值,并进行简单三角函数式的化简.

学习重点:利用正弦函数、余弦函数诱导公式,进行化简与求值.

学习难点:正、余弦函数诱导公式的推导过程及诱导公式符号的判断.

【自主学习】预习教材第21~23页,完成下列问题.

1、诱导公式:

(1)sin(2kπ+α)= ;cos(2kπ+α)= 。

(2)sin(-α)= ; cos(-α)= 。

(3)sin(α±π)= ; cos(α±π)= 。

(4)sin(π-α)= ; cos(π-α)= 。

(5)sin(π

2+α)= ; cos(π

2

+α)= 。

sin(π

2?α)= ; cos(π

2

?α)= 。

2、诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。

“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·(π/2)±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。

符号判断口诀:“一全正;二正弦;三正切;四余弦”。

意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”。

【预习自测】完成课本第23页的练习1、2、3、4题.

【合作探究】

探究1求下列三角函数值:

(1)cos?(5π

2+π

3

) (2)sin?(?15π

2

)

探究2 已知A 、B 、C 为?ABC 的三个内角,求证:sin B +C 2=cos A 2 .

探究3 化简:

【基础检测】

1.求下列各三角函数的值:

(1) sin 13 π2 ; (2) cos 19 π3

2.化简:

3.在单位圆中,已知角的终边与单位圆的交点是P ?35,?45 ,分别求角α,π2+α,π2?α的正弦函数值,余弦函数值。

11sin(2)cos()cos()cos()229sin()sin(3)sin()sin()2

πππαπαααππαπαπαα-++-----+()()()()()3sin 2cos 3cos 2sin sin 3cos ππαπααπαπααπ??-++ ???-+---

二次函数增减性与对称性(可编辑修改word版)

1 建桥初四 9 月 11 日数学《二次函数对称性增减性练习》课堂学案 【典例】抛物线 y = ax 2 + bx + c 上部分点的横坐标 x ,纵坐标 y 的对应如下,从表可知: x … -2 -1 0 1 2 … y … 4 6 6 4 … 下列说法: ①抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0), ②函数的最大值为 6 ③抛物线 1 的对称轴是直线 x= ,④在对称轴的左侧,y 随 x 的增大而增大,正确的有 2 【跟踪训练】、1、已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 y 与 x 的部分对应值如下表: x … - 1 0 1 3 … y … -3 1 3 1 … 则下列判断:①抛物线开口向上, ②抛物线与 y 轴交于负半轴, ③当 x =4 时, y > 0 , ④方程 ax 2 + bx + c = 0 的正根在 3 与 4 之间. 其中正确的是 (只填写序号) 2、二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )中,自变量 x 与函数 y 的对应值如下表: 请你观察表中数据,并从不同角度描述该函数图象的特征是: 、 、 【巩固练习】 1、已知抛物线 y = a (x -1)2 + h (a ≠ 0) 与 x 轴交于 A (x ,0),B (3,0) 两点,则线段 AB 的长 度为( ) 2、抛物线 y = a (x + 1) 2 + 2 的一部分如图所示,该抛物线在 y 轴右侧部分与 x 轴交点的坐标 是( ) 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 3、抛物线 y = -x 2 + bx + c 的部分图象如图所示,若 y > 0 ,则的取值范围是( ) A . - 4 < x < 1 B . - 3 < x < 1 C . x < -4 或 x > 1 D . x < -3 或 x > 1 4、抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示,那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 x … 0 1 2 3 2 5 2 … y … 1 7 4 7 4 - 1 4 …

《圆的对称性》教学设计

3.2圆的对称性学案 学习目标: 1.理解圆的轴对称性; 2.理解垂径定理及逆定理的的推导过程,并能初步应用。 一、课前预习 自学课本P96,回答下列问题: 1.平面上,到的距离等于的所有点组成的图形叫做。 2.点与圆的位置关系有三种:点在、点在、点在。 3.连接圆上任意两点间的线段叫做__________,经过圆心的弦叫做_________。 4.圆上任意两点间的部分叫做 ,简称 .如图,以A、B为端点的弧记作,读作“”或“”。 5.弧包括和,大于半圆的弧称为,小于半圆的弧称为。半圆既不是,也不是。优弧一般用个大写字母来表示,劣弧一般用个大写字母来表示,如图,以A、D为端点的弧有两条,优弧ACD(记作 )劣弧ABD(记作 )。 二、合作探究 【自主学习】 1.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 2.你是用什么方法解决上述问题的? 3.右图还是轴对称图形吗?如果是你能找出它的对称轴吗? 【小组讨论】 4.如图,AB是⊙O的一条弦.作直径CD, CD⊥AB,垂足为M. (1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些等量关系吗?说一说你的理由。 垂径定理:。 用几何语言表达:∵∴ 在下列图形中,哪些符合垂径定理的条件? 三、典型例题

E O B A E O B A E O B A E O B A D O B A 例1 如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径。 例2:如图,一条公路的转弯处是一段圆弧,(即图中 CD,点O是CD的圆心),其中CD =600m,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m。求这段弯路的半径。 四.练习: 1.半径为4cm的⊙O中,弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是。 2.⊙O的直径为10cm,圆心O到弦AB的距离为3cm,则弦AB的长是。 3.半径为2cm的圆中,过半径中点且垂直于这条半径的弦长是。 (1)题(2)题(3)题(4)题(5)题 4.如图,在⊙O中,AB、AC是互相垂直的两条弦,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E, 且AB=8cm,AC=6cm,那么的⊙O的半径OA长为。 5.弓形的弦长AB为24cm,弓形的高CD为8cm,则这弓形所在圆的半径为 _____ 6.已知如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证:AC=BD 五.小结感悟 学了本节课你有哪些收获? 六.作业《分层作业B本》第21-22面,17题选做

27.1 圆的认识 第二课时 圆的对称性(一)

课题:27.1圆的认识 第二课时圆的对称性(一) &.教学目标: 1、理解并掌握圆的对称性,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦心距之间的关系。 2、能运用这些关系解决问题,培养学生善于从实验中获取知识的科学方法。 &.教学重点、难点: 重点:由实验得到在同一个圆中,圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系。 难点:运用同一个圆中,圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系解决问题。 &.教学过程: 一、情景导入 1、我们中国的建筑最讲究的是对称美,能举出我们所学过的轴对称、中心对称和旋转对称的例子吗? 2、轴对称图形、中心对称图形、旋转对称图形是怎样定义的? 3、圆是否为对称图形?是哪种对称图形,又有哪些性质呢? 二、探究新知 §.探究圆的对称性 问题1:请同学们思考并解答下列各题: (1)圆是对称图形吗?它有哪些对称性?

图 1 ′ 图 2 图 3 (2)能否用手中的圆演示出它的各种对称性呢? (3)圆的对称轴在哪里?对称中心和旋转中心在哪里? 活动1:让学生画两个等圆,并把其中一个圆剪下,让两个圆的圆心重合,使得其中一个圆绕着圆心旋转,可以发现,两个圆是互相重合的.如果沿着任意一条直径所在的直线折叠,圆在这条直线两旁的部分会完全重合。 &.圆的对称性: 圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,也是旋转对称图形。对称轴是过圆心的任意一条直线,对称中心和旋转中心都是圆心,旋转角度可以是任意角度。 思考:如何将圆两等分?四等分?八等分?还可以将圆多少等分? §.探究:同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系(圆心角定理). 问题2:将图1中的扇形AOB (阴影部分)绕点O 逆时针旋转某个角度,画出旋转之后的图形,比较前后两个图形,你能发现什么? 活动2:将图1中的扇形AOB (阴影部分)绕点O 逆时针旋转某个角度,得到图2中的图形,同学们可以通过比较前后两个图形,发现 B O A AOB ''∠=∠,⌒ ⌒B A AB ''=,B A AB ''=.实质上,AOB ∠确定了扇形AOB 的大小,所以,在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,

二次函数的对称轴(学练结合)

二次函数的对称轴 二次函数的图像是关于某条直线对称的抛物线,这条直线就叫做对称轴。我们用公式这样表示对称轴,直线x=-b/2a,有图像可知,当二次函数图像上两点的纵坐标相等时,那么这两点必然关于对称轴对称,且对称轴为这两点横坐标之和的一半。形如:点 A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数的图像上,若y1=y2,那么图像的对称轴为 (x1+x2)/2。抛物线的顶点必然通过对称轴。所以可以根据顶点坐标直接求出对称轴。例如已知二次函数的顶点坐标为(x1,y1),那么二次函数的对称轴为直线x=x1。 在平面直角坐标坐标系中,已知两点坐标便可求其连线的中点坐标,例如:已知点 A(x1,y1)、B(x2,y2),则两点连线的中点为 C((x1+x2)/2,(Y1+Y2)/2),一般情况,出题者会结合一次函数,中垂线,三角形,二次函数进行综合考查。

例题演练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过(﹣2,0),(2,3)两点,那么抛物线的对称轴() A.只能是x=﹣1 B.可能是y轴 C.在y轴右侧且在直线x=2的左侧D.在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧 2、已知二次函数y=a(x﹣h)2+k(a>0)的图象过点A(0,1)、B(8,2),则h的值可以是() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3、如图,已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴的交点为B,过A、B的直线为y2=kx+b. (1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标; (2)由图象写出满足y1<y2的自变量x的取值范围; (3)在两坐标轴上是否存在点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出P的坐标;若不存在,说明理由.

[高一数学]单位圆与诱导公式一

编制:李彩英审核:包科领导:年级主任:使用时间: 单位圆与诱导公式(一) 【学习目标】 1、理解和掌握公式的内涵及结构特征,会初步运用诱导公式求三角函数的值,并进行简单三 角函数式的化简; 2、通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征,体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思 维方式; 3、感受学习、探索发现的乐趣与成功快乐。 【重点.难点】 重点:诱导公式的推导及应用。 难点:相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。 【使用说明与学法指导】 1.结合问题导学,用红色笔勾勒出疑惑点,独立完成探究题,并归纳总结; 2.限时30分钟完成导学案; 3.带※的重点班的C层可以不做。 一、问题导学 1、由三角函数定义可以知道:终边相同的角的同名三角函数值相等. 即公式一:。 思考:除此之外还有一些角,它们的终边具有某种特殊关系,如关于坐标轴对称、关于原点对称等,那么它们的三角函数有何关系呢? 2、角α的终边与角ˉα的终边关于x轴对称,α与ˉα的三角函数值之间的关系为: 公式二:。 思考:角2π-α与角α的三角函数值之间关系如何? 3、角α的终边与角α±π的终边关于原点对称,α与α±π的三角函数值之间的关系为: 公式三:。 4、角α的终边与角π-α的终边关于y称,α与π-α的三角函数值之间的关系为: 公式四:。 二、合作.探究.展示 1、求下列三角函数值: (1)sin960;(2)) 6 43 cos( π;(3)) 4 19 cos( π - 2、利用单位圆,求适合cos 2 2 - = α ※3、化简) 2 cos( ) 2 sin( ) 5 sin( ) 3 cos( α π π α π α π α - ? - ? + -

超经典二次函数图象的平移和对称变换总结

二次函数图象的几何变换 内容基本要求略高要求较高要求 二次函数 1.能根据实际情境了解 二次函数的意义; 2.会利用描点法画出二 次函数的图像; 1.能通过对实际问题中 的情境分析确定二次函 数的表达式; 2.能从函数图像上认识 函数的性质; 3.会确定图像的顶点、 对称轴和开口方向; 4.会利用二次函数的图 像求出二次方程的近似 解; 1.能用二次 函数解决简 单的实际问 题; 2.能解决二 次函数与其 他知识结合 的有关问 题; 一、二次函数图象的平移变换 (1)具体步骤: 先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式,确定其顶点(,) h k,然后做出二次函数2 y ax =的图像,将抛物线2 y ax =平移,使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示: (2)平移规律:在原有函数的基础上“左加右减”.

二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---; ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---; 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++; 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-; ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+. 5. 关于点()m n ,对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变

1.4.3单位圆与诱导公式

1.4.3单位圆与诱导公式 一.教学目标: (一)知识与技能:通过学生的探究,明确三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想。 (二)过程与方法:通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征,使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式,并通过基础训练题组和能力训练题组的练习,提高学生分析问题和解决问题的实践能力。 (三)情感态度与价值观:通过诱导公式的推导,培养学生主动探索、勇于发现的科学精神,培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯,渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想,提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力。 二.教学难点:相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。 三.教学重点:诱导公式的推导及灵活运用,如三角函数式的求值、化简和证明等。 四.学情分析: 五. 教学方法:讲授法与探究法。 六. 教学过程 第1课时 (一)、导入新课 思路1.(复习引入)我们前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数,周期函数,最小正周期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢?从周期函数的概念中我们知道正弦、,余弦函数值每隔2π就会重复出现,那么在单位圆中是怎样体现的呢?有什么内在的联系呢?由此引入新课. 思路2.在单位圆中,216°角的终边OP 在第三象限内,将OP 反向延长,与单位圆交于P′点,则在0°—90°之间找到一个角α=216°-180°=36°.由于△OPM ≌△OP′M′,所以有MP=M′P′.又因为sin216°=MP ,sin36°=M′P′,而MP 与M′P′的长度相同、方向相反,所以有sin216°=-sin36°.这样便把求sin216°的值的问题,转化为可查表的36°角的三角函数求值问题.你能把以上几何变换的过程,用三角关系式表示出来吗?由此引入新课. 或者从猜想中引入:比如学生根据上节所求,会得到以下结果: sin 65π=sin 6π=21,cos 65π=-cos 6 π=-21; sin 32π=sin 3π=23,cos 32π=-cos 3 π =-23,等等. 教师由此发问:观察角65π与6π角的关系会得到什么结论?把角6π、6 5π 放到单位圆中又 有什么发现呢?让学生在强烈的探求欲望中展开新课,这也是一种很不错的选择. (二)、推进新课 新知探究

北师大版小学数学三年级下册教学设计 第二单元 图形的运动第2课时 轴对称(二)教案

北师大版小学数学三年级下册教学设计 第2课时 教学内容:轴对称(二)(教材第25、26页内容) 学习目标 1.结合操作活动,经历得到轴对称图形的过程,加深对轴对称图形特点的体会。 2.给出简单轴对称图形的一半和对称轴,能够直观地描述(或剪出)它的另一半,进一步体会轴对称图形的特点并发展空间想象能力。 教学重点:给出简单轴对称图形的一半和对称轴,能够直观地描述(或剪出)它的另一半。 教学难点:给出简单轴对称图形的一半和对称轴,能够直观地描述(或剪出)它的另一半。 教具准备:课件 教学过程 一、复习导学 轴对称图形的特征是什么? 沿对称轴对折,左右或上下两边是一样的。 二、展示新知 1.拿出课前准备的一张正方形或长方形,按照下面的做法,做一做,你有什么发现。 思考:得到对称图案的关键是什么? (1):先把纸对折。 (2):对折后只做出图形的一半就可以了。 2.下面是轴对称图形的一半,想一想,整个图形是什么?

明确:轴对称图形对折后,对称轴的左右两边应该完全重合,所以右边的半个图形应该和左边相同。 实际操作: 沿对称轴对折后,再沿给定图形的边线剪下、打开,验证。 3.将一张纸对折后剪去两个圆,展开后是哪一个? 学生独立思考,然后和同伴交流自己的想法,充分地说一说自己是如何进行判断和选择的。 生:观察洞和对称轴间的距离。 三、精讲点拨: 下面的圆距离对称轴近,那么和它对称的那个圆也应该是靠近对称轴的一边的。反之则远。 四、巩固练习 1、完成课本练一练第1题。 2.完成课本练一练第3题。

五、课堂小结 这节课你学到了什么? 六、布置作业 1.课堂作业:教材“练一练”的5题。 2.课后作业:练习册 七、板书设计 对称轴(二) 对称点到对称轴的距离是相等的。 教学反思:学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现的,因为这种发现理解最深,也是最容易掌握其中的规律、性质、和联系。

二次函数的对称变换

二次函数的对称变换 学习目标:1.掌握二次函数关于x轴、y轴、原点对称的解析式的确定。 2.会研究二次函数关于某条直线,某个点的对称变换。 一、课前练习 1.点(1,-4)关于x轴对称点坐标,关于y轴对称点,关于原点对称。 2.点(x,y)关于x轴对称点坐标,关于y轴对称点,关于原点对称。 二、新课探究 类型一:二次函数关于x轴、y轴、原点的对称变换 问题一:画出y=x2-2x-3的草图方法: 问题二:画出y=x2-2x-3关于x轴对称的图像 方法: 问题三:请确定新抛物线的解析式 方法一:一般式 方法二:顶点式 问题四:观察两个解析式的区别与联系 角度一:一般式 角度二:顶点式

问题五:请用同样的方法研究二次函数y=x2-2x-3关于y轴和原点的对称变换 总结:一般式y=ax2+bx+c (a≠0)关于x轴对称的解析式为: 关于y轴对称的解析式为: 关于原点对称的解析式为: 顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0) 关于x轴对称的解析式为: 关于y轴对称的解析式为: 关于原点对称的解析式为: 练习:1.y=2x2-3x关于y轴对称的解析式为, 2.y=-(x-3)2+3关于原点对称的解析式为, 3已知y=-2x2+x+1与y=ax2+bx+c关于x轴对称,则a= b= c= 类型二:二次函数关于某条直线或某个点的对称变换(给个开口向上的图像) 问题一:选取关于某条直线对称 问题二:选取关于某一点对称

总结:研究对称变换的方法 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---; ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =---; 2. 关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =++; 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°) 2y a x b x c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-; ()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+. 5. 关于点()m n , 对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.

二次函数对称性的专题复习

二次函数图象对称性的应用 一、几个重要结论: 1、抛物线的对称轴是直线__________。 2、对于抛物线上两个不同点P1(),P2(),若有,则P1,P2两点是关于_________对称的点,且这时抛物线的对称轴是直线_____________;反之亦然。 3、若抛物线与轴的两个交点是A(,0),B(,0),则抛物线的对称轴是__________(此结论是第2条性质的特例,但在实际解题中经常用到)。 4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A(,0),且其对称轴是,则另一个交点B 的坐标可以用____表示出来(注:应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定,在应用时要把图画出)。 5、若抛物线与轴的两个交点是B(,0),C(,0),其顶点是点A,则?ABC是____三角形,且?ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的_______上。 二、在解题中的应用: 例1已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),且函数有最小值-8,试求二次函数的解析式。 例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标,且满足 . (1)求抛物线的解析式; (2)设点P(,),Q(,)是抛物线上两个不同的点,且关于此抛物线的对称轴对称,求的值。 例3已知抛物线经过点A(-2,7)、B(6,7)、C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。 例4已知抛物线的顶点A在直线上。 (1)求抛物线顶点的坐标; (2)抛物线与轴交于B、C两点,求B、C两点的坐标; (3)求?ABC的外接圆的面积。

y O x -1 -2 1 2 - 3 3 -1 1 2 -2 二次函数专题训练——对称性与增减性 一、选择 1、若二次函数 ,当x 取 , ( ≠ )时,函数值相等,则 当x 取+时,函数值为( ) (A )a+c (B )a-c (C )-c (D )c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示,该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 (A )( 2 1 ,0) (B )(1,0) (C )(2,0) (D )(3,0) 3、已知抛物线2 (1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ,,,两点,则线段AB 的长度为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4、抛物线c bx x y ++-=2 的部分图象如图所示,若0>y ,则的取值范围是( ) A.14<<-x B. 13<<-x C. 4-x D.3-x 5、函数y =x 2-x +m (m 为常数)的图象如图,如果x =a 时,y <0; 那么x =a -1时,函数值( ) A .y <0 B .0<y <m C .y >m D .y =m 6、抛物线y=ax 2 +2ax+a 2 +2的一部分如图所示,那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是( ) A .(0.5,0) B .(1,0) C .(2,0) D .(3,0) 7、老师出示了小黑板上的题后(如图),小华说:过点(3,0); 小彬 说:过点(4,3);小明说:a=1;小颖说:抛物线被x 轴截 得的线段长为2.你认为四人的说法中,正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 8、若二次函数2 y ax c =+,当x 取1x 、2x (12x x ≠)时,函数值相等,则当x 取12x x + 时,函数值为( ) A.a c + B.a c - C.c - D.c 9、二次函数 c bx x y ++=2的图象上有两点(3,-8)和(-5,-8),则此拋物线的对称轴是( ) A .x =4 B. x =3 C. x =-5 D. x =-1。 10、已知关于x 的方程32 =++c bx ax 的一个根为1x =2,且二次函数c bx ax y ++=2 的对称轴直线是x =2,则抛物线的顶点坐标是( ) A .(2,-3 ) B .(2,1) C .(2,3) D .(3,2) 11、已知函数215 322 y x x =- --,设自变量的值分别为x 1,x 2,x 3,且-3< x 1< x 2

二次函数的对称性

(一)、教学内容 1.二次函数得解析式六种形式 ①一般式y=ax2 +bx+c(a≠0) ②顶点式(a≠0已知顶点) ③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点) ④y=ax2(a≠0)(顶点在原点) ⑤y=ax2+c(a≠0) (顶点在y轴上) ⑥y=ax2 +bx (a≠0) (图象过原点) 2.二次函数图像与性质 对称轴: 顶点坐标: 与y轴交点坐标(0,c) 增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大 ?当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小 ☆二次函数得对称性 二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴: 与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于y轴对称得函数解析式:y=ax2-bx+c(a≠0) 与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0) 当a>0时,离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大; 当a<0时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大; 【典型例题】 题型 1 求二次函数得对称轴 1、二次函数y=-mx+3得对称轴为直线x=3,则m=________。 2、二次函数得图像上有两点(3,-8)与(-5,-8),则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (B) (C) (D) 3、y=2x-4得顶点坐标为___ _____,对称轴为__________。 4、如图就是二次函数y=ax2+bx+c图象得一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.求 它与x轴得另一个交点得坐标( , ) 5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( ) A、 B、 C、或 D、或 6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ) A、0 B、-1 C、 1 D、2 题型2 比较二次函数得函数值大小 1、、若二次函数,当x取,(≠)时,函数值相等,则当x取+时,函数值为 ( ) (A)a+c (B)a-c (C)-c (D)c 2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0)知,此抛物 线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y 1 与y 2 得大小关系就是( ) A.y 1 <y 2 B、 y 1 =y 2 C、 y 1 >y 2 D、不确定 点拨:本题可用两种解法y x O –1 1 3 O –1 3 3 1

【北师大版教材适用】九年级数学下册《圆的对称性》教案

北师大版九年级数学下册精编教学设计系列

圆的对称性 一、学生起点分析 学生的知识技能基础:本节课是在学生了解了圆的定义与弦、弧的定义以及旋转的有关知识的基础上进行的,它是前面所学知识的应用,也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据,也是下一节课的理论基础,因此,本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用. 二、教学任务分析 知识与技能 通过探索理解并掌握:(1)圆的旋转不变性;(2)圆心角、弧、弦之间相等关系定理. 过程与方法 通过动手操作、观察、归纳,经历探索新知的过程,培养学生实验、观察、发现新问题,探究和解决问题的能力. 情感态度与价值观 (1)通过引导学生动手操作,对图形的观察发现,激发学生的学习兴趣. (2)在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识,培养合作能力,体验学习的快乐. (3)在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验,建立学习的自信心.

教学重点:探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题. 教学难点:圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明. 三、教学设计分析 本节课设计了七个教学环节:认识圆的对称性(轴对称图形,中心对称图形)、认识圆心角的概念、探索圆心角,弦,弧的关系、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业. 数学活动一:认识圆的对称性 提问一:我们已经学习过圆,你能说出圆的那些特征? 提问二:圆是对称图形吗? (1)圆是轴对称图形吗?你怎么验证 圆是轴对称图形,对称轴有无数条(所有经过圆心的直线都是对称轴) 验证方法:折叠 (2)圆是中心对称图形吗?你怎么验证? 同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点? 现在老师把这两个圆叠在一起,使它俩重合,将圆心固定. 将

求二次函数解析式之对称式

求二次函数解析式之对称式 用“对称式”求抛物线解析式分为下面几种情况: 1.抛物线关于x 轴对称.抓住关于抛物线关于x 轴对称其对应点横坐标相同,而纵坐标互为 相反数.也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于x 轴对称的图象为 ()'2y y ax bx c a 0=-=++≠ 整理为()'2y ax bx c a 0=---≠. 结论:抛物线关于x 轴对称各项系数及常数项均互为相反数. 2.抛物线关于y 轴对称.抓住关于抛物线关于y 轴对称其对应点横坐标互为相反数,而纵坐 标相同.也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于y 轴对称的图象为 ()()()'2 y a x b x c a 0=-+-+≠ 整理为()'2y ax bx c a 0=-+≠. 结论:抛物线关于y 轴对称二次项系数及常数项相同,而一次项系数互为相反数. 3.抛物线关于原点对称.抓住关于抛物线关于原点对称其对应点横纵坐标均互为相反数,. 也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于y 轴对称的图象为()()()'2 y y a x b x c a 0=-=-+-+≠ 整理为()'2y ax bx c a 0=-+-≠. 结论:抛物线关于原点对称二次项系数及常数项互为相反数,而一次项系数相同. 例.下面的图是在《几何画板》中制作的抛物线2y x 2x 3=--自动生成的对称抛物线(红 色): 4.关于直线x k =(k 是常数)和关于直线y h =(h 是常数)对称. ①.关于直线x k =(k 是常数)对称.根据轴对称的性质,对称点的横坐标和的一半等于k ,即,对称点的横坐标之和 =2k .若原抛物线配方成()()2 y a x m n a 0=++≠,则其关于直线x k =(k 是常数)对称的抛物线应表示为()()'2 y a 2k x m n a 0=-++≠,即()()'2 y a x 2k m n a 0=--+≠ (注意k 和m 都要变号,n 不变号) ②. 关于直线y h =(h 是常数)对称.根据轴对称的性质,对称点的纵坐标和的一半等于h ,

九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性(附答案解析)

九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性 阅读与思考 圆是一个对称图形. 首先,圆是一个轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴,圆的对称轴有无数条;同时,圆又是一个中心对称图形,圆心就是对称中心,圆绕其圆心旋转任意角度,都能够与本身重合,这是圆特有的旋转不变性. 由圆的对称性引出了许多重要的定理:垂径定理及推论;在同圆或等圆中,圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论.这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有.一般方法是通过作辅助线构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形相结合使用. 熟悉以下基本图形和以上基本结论. 我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道:“圆,一中间长也.”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮.日、月、果实、圆木、车轮,人类认识圆、利用圆,圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印. 例题与求解 【例1】在半径为1的⊙O 中,弦AB ,AC BAC 度数为_______. (黑龙江省中考试题) 解题思路:作出辅助线,解直角三角形,注AB 与AC 有不同位置关系. 由于对称性是圆的基本特性,因此,在解决圆的问题时,若把对称性充分体现出来,有利于圆的问题的解决. 【例2】如图,在三个等圆上各自有一条劣弧AB ,D C ,EF .如果AB +D C =EF ,那么AB +CD 与EF 的大小关系是( ) A .A B +CD =EF B .AB +CD >EF C .AB +C D

《圆的对称》教学设计

2.2圆的对称性(1) 一.教学内容分析: 《2.2圆的对称性(1)》是“苏科版九年级数学(上)第2章第二节”的内容。本课时内容是在小学学过的一些圆的知识以及本册第2章第一节圆的有关概念的基础上,进一步探索和研究圆有关的性质(圆心角、弧、弦之间的关系定理)。圆心角、弧、弦之间的关系定理是同圆中证明弧相等、角相等、线段相等的主要依据,同时也为进行圆的计算和应用提供了方法和依据。因此,本课时内容是本章的重点也是全章的基础,更是学好本章的关键。 二.学情分析: 学生在初二已经学习过中心对称与中心对称图形,对于直线型的图形如平行四边形、矩形、菱形等中心对称图形有一定的了解,了解中心对称的概念以及相关的性质。所以对于圆是中心对称图形和圆具有旋转不变性很容易理解。但对弦、弧以及圆心角之间的关系,并且怎样利用这些关系解决一些有关的证明和计算等方面,学生缺乏亲身体验和总结。 三.教学目标: 1.知识与能力: (1)知道圆是中心对称图形,理解圆的旋转不变性。 (2)知道弧的度数概念。 (2)知道圆心角、弧、弦之间的关系和圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,并能应用它们解决一些问题。 2.过程与方法: (1)通过探究圆心角、弧、弦之间的关系,培养学生的推理总结能力,发展学生逻辑思维能力。 (2)通过相关的证明或计算题目的训练,提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。 3.情感态度与价值观: 通过圆的旋转变换的实验、操作、观察、归纳、逻辑思维推理等过程,激发学生的学习兴趣,培养学生的思维能力。 四.教学重点、难点 教学重点:圆心角、弧、弦之间的关系定理。 教学难点:“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解以及定理的应用。 五.设计思路 本节课通过“复习中心对称的概念创设情境,并指出旋转变换是研究中心对称图形的常用方法”引出圆是中心对称图形,同时具有旋转不变性,即圆绕圆心旋转任意角度后都能与原来的图形重合。圆的这个特征是研究圆心角、弧、弦之间的相等关系的基础。本节课通过操作、观察、思考、交流、探索得出圆心角、

27.1.2圆的对称性(教学设计)

第27章圆 27.1.2.圆的对称性 一、学情分析 学生的知识技能基础:学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质,以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。在上节课中,学生学习了圆的轴对称性,并利用轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。学生具备一定的研究图形的方法,基本掌握探究问题的途径,具备合情推理的能力,并逐步发展了逻辑推理能力。 学生的活动经验基础:在平时的学习中,学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时,在平时的教学中,比较注重学生独立探索和四人小组互相合作交流,使学生形成一些数学活动的经验基础,具备一定探求新知的能力。 二、教学任务分析 知识与技能: 1.理解圆的旋转不变性; 2.利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理. 过程与方法: 1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 2.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动,发展学生推理观念,推理能力以及概括问题的能力。 情感态度与价值观: 培养学生积极探索数学问题的态度与方法。 教学重点:利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理. 教学难点:理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件. 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节:课前准备,创设问题情境引入新课,讲授新课,课堂小结,创新探究,课后作业。

第一环节 课前准备 活动内容:(提前一天布置) 1、每人用透明的胶片制作两个等圆。 2、预习课本P37--39内容。 第二环节 创设情境,引入新课 活动内容: 问题提出:我们研究过轴对称图形和中心对称图形,我们是用什么方法来研究它的,它们的定义是什么? 活动目的:为了引出圆的轴对称和旋转不变性。 第三环节 合作探究 感受新知 活动内容: (一)通过教师演示实验,探究圆的旋转不变性; 请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答: 它们重合吗?如果重合,将它们的圆心固定。将上面的圆旋转任意一个角度,两个圆还重合吗 ? 归纳:圆具有旋转不变性。即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的圆形重合。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。即圆是中心对称圆形,对称中心为圆心。 (二)通过师生共同实验,探究圆心角、弧、弦之间相等关系定理; 做一做 按下面的步骤做一做 1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片,在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角 ∠A O B 和∠A ′O ′B ′ 圆心固定。

圆的对称性教学设计

课时教学设计首页 课题圆的对称性课型新授第几 课时 2课时 知识与技能(1)理解圆的轴对称性和中心对称性,会画出圆的对称轴,会找圆的对称中心; (2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系,并会用它们之间的关系解题。 过程与方法(1)通过对圆的对称性的理解,培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力,促进学生创造性思维水平的发展和提高; (2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究,掌握解题的方法和技巧. 情感态度价值观 经过观察、总结和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性与创造性,体验发现的乐趣. 教学重点与难点 重点:对圆心角、弧和弦之间的关系的理解. 难点:能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题,会用圆心角、弧和弦之间的关系解题. 教学 方法 与 手段 自主探究和合作探究相结合. 使 用 教 材 的 构 想 圆有许多重要性质,其中最主要的是圆的对称性,在探索、发现和证明圆的许多重要性质时,都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用,因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据,同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习.

育才中学课时教学流程 教师行为学生行为课堂变化及处理 主要环节的效果 一、创设情境,导入新课 问:前面我们已探讨过轴对称图形,哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义? 问:我们是用什么方法来研究轴对称图形? 今天我们继续来探究圆的对称性. 二、探究交流,获取新知 知识点一:圆的对称性 1.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 2.大家交流一下:你是用什么方法来解决这个问题的呢? 生:如果一个图形沿着 某一条直线折叠后,直线两 旁的部分能够互相重合,那 么这个图形叫做轴对称图 形,这条直线叫做对称轴 生:折叠. . 动手操作:同学们通过 折叠自己准备好的圆形纸 片的方法可以得到以下结 论: 1、圆是轴对称图形 2、它的对称轴是经过圆心 的一条折痕,这样的折痕有 无数条,所以圆的对称轴也 有无数条. 学生可能只会找 到1条、2条、3 条……让学生自 己得出结论:无 数条,对称轴是 任意一条过圆心 的直线.师出示 课题.

二次函数的图象和性质对称性

1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性 教学目标: 1.能从数和形两个角度认识函数的奇偶性,掌握判断函数是奇函数还是偶函数的方法; 2.理解函数的奇偶性将有助于函数图象的绘制简化函数性质研究的工作量; 3.通过代数推理手段理解二次函数图象的对称性,提高抽象、概括、推理能力; 4.进一步领悟数形结合的思想方法。 教学重点: 1.函数的奇偶性定义的形成与应用; 2.认识二次函数图象的对称轴,以及二次函数的对称性的应用。 教学难点: 1. 用数量关系刻画函数奇偶性与二次函数的对称性; 2. 综合利用函数的奇偶性与单调性研究函数。 教学过程: 一. 复习提问 1. 叙述函数单调性的定义,以及描述二次函数单调性与最值的定理。(口头提问) 2. 课本53页练习(三位同学上黑板练习) (1)写出函数232-=x y 的图象的开口方向,顶点坐标,并作出草图; (2)写出函数2)3(--=x y 的图象的开口方向,顶点坐标,并作出草图; (3)已知函数m x x x f +-= 42)(2,当m 在什么范围内变化时,函数的定义域为全 体实数? 二.二次函数的图象和性质——对称性。(板书) 我们接着上次研究二次函数的图象和性质。两个内容:从解析式看函数的奇偶性;二次函数图象的对称性。 1. 从解析式看函数的奇偶性。 从练习(1),我们看到函数232-=x y 的图象关于y 轴对称。想想看,可以把图象具有这种性质的函数叫什么函数?(偶函数) 让我们看看二次函数n m x a x f +-=2)()(),0(R x a ∈≠在什么情况下是偶函数?二 次函数c bx ax x f ++=2)(),0(R x a ∈≠。通过计算机演示,把m 调到0,得到n ax x f +=2)(的图象。把b 调到0,得到c ax x f +=2)(的图象。 由图象看,它关于y 轴对称,此函数为偶函数。现在问,不画图能不能从函数的解析式看出一个函数是偶函数?类似地,我们知道,如果一个函数的图象关于原点对称,这个函数叫奇函数。能不能从函数的解析式看出一个函数是奇函数?如果能,函数图象画出

(完整版)二次函数对称性

(一)、教学内容 1. 二次函数的解析式六种形式 ① 一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠0) ② 顶点式 2 ()y a x h k =-+(a ≠0已知顶点) ③ 交点式 12()()y a x x x x =--(a ≠0已知二次函数与X 轴的交点) ④ y=ax 2 (a ≠0) (顶点在原点) ⑤ y=ax 2+c (a ≠0) (顶点在y 轴上) ⑥ y= ax 2 +bx (a ≠0) (图象过原点) 2. 二次函数图像与性质 对称轴:2b x a =- 顶点坐标:2 4(,)24b ac b a a -- 与y 轴交点坐标(0,c ) 增减性:当a>0时,对称轴左边,y 随x 增大而减小;对称轴右边,y 随x 增大而增大 当a<0时,对称轴左边,y 随x 增大而增大;对称轴右边,y 随x 增大而减小 ☆ 二次函数的对称性 二次函数是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:12 2 x x x += 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式:y=ax 2 -bx+c(a ≠0) 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式:y=-ax 2 –bx-c(a ≠0) 当a>0时,离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大; 当a<0时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大; 【典型例题】 题型 1 求二次函数的对称轴 1、 二次函数y=2x -mx+3的对称轴为直线x=3,则m=________。 2、 二次函数c bx x y ++=2的图像上有两点(3,-8)和(-5,-8),则此拋物线的对称轴是( ) (A )1x =- (B )1x = (C )2x = (D )3x = 3、 y=2x 2-4的顶点坐标为___ _____,对称轴为__________。 4、 如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分,图象过点A (-3,0), 对称轴为x =-1.求它与x 轴的另一个交点的坐标( , ) y x O

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