线性代数试卷及答案 卷A
河南工业大学成教学院课程 线性代数 试卷
专业班级： 卷A
姓 名： 学 号：
注：（1）不得在密封线以下书写班级、姓名。（2）必须在密封线以下答题，不得另外加纸。 ………………………………………密 封 线 ………………………………………………………
一 .单项选择题（每题3分）
1.若 111221226a a a a =，则 1211222120
20021
a a a a -- 的值为（ A ）
（A ）12 (B) –12 (C) 18 (D) 0
2.设A 、B 都是n 阶矩阵，且AB=0,则下列一定成立的是（ C ）
（A ）A=0或B=0 (B) A 、B 都不可逆
（C ）A 、B 中至少有一个不可逆 （D ）A+B=0
3. 若齐次线性方程组123123123
0020kx x x x kx x x x x ++=??+-=??-+=?仅有零解，则（ B ）
(A) 4k =或1K =- (B) K= 4－或K=1
(C) 4K ≠且1K ≠- (D) 4K ≠-且1k ≠
4. A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则AB 的伴随矩阵()*AB =( D )
(A) A B ** (B) 11||AB A B -- (C) 11B A -- (D) B A **
5.设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要条件是（D ）
（A ）r n = （B ） r n ≥ （C ） r n > （D ）r n <
二 .填空题（每题3分）
1．行列式 1
2342
345_______3
2005000= 160
2．若n n ?阶矩阵A 的行列式|A|＝3，A *是A 的伴随矩阵，则A *__3^n-1____
3. A 为n n ?阶矩阵，且2320A A E -+=,则1A -=______
4. n
1100??
=????___1__(n 为正整数)
5. 设1101A -??=????, 则1(2A)________=－
三．计算题（共63分）
1. 计算行列式12n
12n 12n
b a a a a b a a a a b a ＋＋＋(12分)
解：r2-r1、r3=r1、...ri-r1、...rn-r1
D=|b+a1 a2 a3 ....................... an|
-b b 0 0
-b 0 b 0
.............................
-b 0 0 .......................... b
c1+c2+c3+...+cj+...+cn
=|b+a1+a2+...+an a2 ............... an|
0 b ................. 0 ......................................
0 0 .................... b
=(b+Σai)*[b^(n-1)]
=b^n+[b^(n-1)]*(a1+a2+...+an)
2．
3411
2311
0025
0013
A
??
??
-
??
=
??
??
??
, 求1A-（12分）
3 4
1 1
2 5
解：令B= ，C= ，D= ，则原矩阵可以写为分块
2 3 -1 1 1 3
B C B ^-1 -B ^-1CD^-1 矩阵的形式A= ，它的逆矩阵易得为A^-1=
0 D 0 D ^-1
而利用伴随矩阵与逆矩阵的关系可以直接得到
3 -
4 3 -4
B^-1=1/ B B *=1×=
-2 3 -2 3
2 -5
3 -5
D^-1=1/ D D *=1×=
-1 3 -1 2
-15 38
计算可得-B^-1CD^-1=
11 -28
3 -
4 -22 37
-2 3 16 -27
所以A^-1= 0 0 3 -5
0 0 -1 2
3.求解齐次线性方程组
1234
1234
1234
220
2220
430
x x x x
x x x x
x x x x
+++=
?
?
+--=
?
?---=
?
.（15分）
解：基础解系为：
1 2 2 1 2 2 1 0 -2 -5/3
2 1 -2 -2 -
3 -6 -
4 1 2 4/3 1 -1 -4 -3 0 0 0 0 0 0
通解为：
X1
2k1+5/3k2 2 5/3
X=k1ξ1+ k2ξ2= X2 = -2k1-4/3k2 =k1 -2 +k2 -4/3
X3 k1 1 0
X4 k2 0 1
4.设
211
210
111
A
-
??
??
=??
??
-
??
,3
11
3
42
B
??
-
=??
??
求解矩阵方程XA B
=（12分）
解:
5. 计算矩阵
3
112
3
2214
05
111
355
24
a
A
??
??
??
=
??
??
??
的秩为3，求a (12分)
解：r4-r2,r1-r3,r2-2r3
0 1 1 a-1 -2
0 2 1 -1 -6
1 0 1 1 5
0 1 2 4 0
r1-r4,r2-2r4
0 0 -1 a-5 -2
0 0 -3 -9 -6
1 0 1 1 5
0 1 2 4 0
r3*(-1/3), r1+r2
0 0 0 a-2 0
0 0 1 3 2
1 0 1 1 5
0 1 2 4 0
交换行
1 0 1 1 5
0 1 2 4 0
0 0 1 3 2
0 0 0 a-2 0
因为 r(A)=3, 所以 a = 2.
四.证明题（7分）
设32
=,证明5
A E
+可逆，并求1
A E
+（7分）
A E-
(5)
解：（A+5E）【1/127（A^2-5A+25E）】=1/127（A+5E）（A^2-5A+25E）
=1/127（A^3+5A^2-5A^2-25A+25A+125E）
=1/127（A^3+125E）
由于A^3=2E，所以1/127（A^3+125E）=1/127（127E）=E，
所以（A+5E）可逆，且（A+5E）^-1=1/127（A^2-5A+25E）