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唐山市2012—2013学年度高三年级期末考试数学文

唐山市2012—2013学年度高三年级期末考试

数学(文)试题

说明:

一、本试卷分为第I 卷和第II 卷,第I 卷为选择题;第II 卷为非选择题,分为必考和选考两部分, 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题.

三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动,用橡

皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案, 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回. 参考公式:

样本数据n x x x ,,,21 的标准差;

x x x x x x x n

s n 其中],)()()[(1

22221-+-+-=

为样本平均数; 柱体体积公式:为底面面积其中S Sh V ,=、h 为高;

锥体体积公式:h S Sh V ,,3

1

为底面面积其中=

为高; 球的表面积、体积公式:,3

4,432

R V R S ππ==其中R 为球的半径。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项

符合题目要求.

1

=

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A

B i

C D

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2.函数13

1()()3

x

f x x =-的零点个数是

A .0

B .1

C .2

D .3

3.下列函数中,满足2

2

()[()]f x f x =的是 A .()ln f x x =

B .

()|1|f x x =+

C .3

()f x x = D .()x

f x e =

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4.执行右边的程序框图,输出的结果为 A . 15 B . 16 C . 64 D . 65

5.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,以FA 为

直径的圆经过椭圆的上顶点,则椭圆的离心率为

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A B C D 6.一个三棱锥的三视图如图,则该三棱锥的体积为

A .1

3 B .

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12

C .23

D .16

7.等比数列132423{},17,68,n a a a a a a a +=+=中则= A . 32

B . 256

C . 128

D . 64

8.已知函数2

()1,f x x mx =++若命题“000,()0x f x ?><”为真,则m 的取值范围是 A .(—∞,-2]

B .[2,+∞)

C .(—∞,-2)

D .(2,+∞)

9.△ABC 中,点P 满足(),AP t AB AC BP AP CP AP =+?=?,则△ABC 一定是 A .等腰三角形

B .直三角形

C .等边三角形

D .钝角三角形

10.函数x x e x y e x

+=-)的一段图象是

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11.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上,AB=BC=CD=DA=3,AC=

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A .14π

B .15π

C .16π

D .18π

12.已如点M (1,0)及双曲线2

213

x y -=的右支上两动点A ,B ,当∠AMB 最大时,它的余弦值为 A .—

12

B .

12

C .—

13

D .

13

第II 卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在题中横线上. 13.一组样本数据的茎叶图如下:

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则这组数据的平均数等于 。 14.已知tan()2,cos 24

π

αα+

=则= 。

15.设x ,y 满足421,21x y x y z x y x +≤??

-≤-=+??≥?

则的最大值为 。

16

.数列111{},{}1n

n n n n

a a a a a a ++=

=

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-满足则的前80项的和等于 。 三、解答题:本大题共70分,其中(17)—(21)题为必考题,(22),(23),(24)题为选考题,解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)

在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c

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,且,sin 2sin .a b A A B ≥+= (I )求角C 的大小; (II )求

a b

c

+的最大值. 18.(本小题满分12分)

从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验,按连续使用时间(单位:天)共分5组,

得到频率分布直方图如图. (I )以分组的中点数据作为平均数据,用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命; (II )为了分析使用寿命差异较大的产品,从使用寿命低于200

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天和高于350天的产品中用分层抽样的方法共抽取6件,求样品A 被抽到的概率。

19.(本小题满分12分)

如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面AA 1B 1B 为正方形,侧面BB 1C 1C 为菱形,∠CBB 1=60°,AB

⊥B 1C 。

(I )求证:平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ;

(II )若AB=2,求三棱柱ABC —A 1B 1C 1体积。

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20.(本小题满分12分)

设圆F 以抛物线P :2

4y x =的焦点F 为圆心,且与抛物线P 有且只有一个公共点.

(I )求圆F 的方程;

(Ⅱ)过点M (-1,0)作圆F 的两条切线与抛物线P 分别交于点A ,B 和C ,D ,求经过A ,B ,

C ,

D 四点的圆

E 的方程. 21.(本小题满分12分)

已知函数2()(1)ln .f x a x x x =-- (I )当1

,()2

a f x =

时求函数单调区间; (Ⅱ)当1,()0,x f x a ≥≥时求的取值范围。

请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,D 是AC 的中点,BD 交AC 于点E .

(I )求证:CD 2=DE 2=AE ×EC ;

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(II )若CD 的长等于⊙O 的半径,求∠ACD 的大小. 23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,以原点D 为极点,以x 轴正半轴为极轴,曲线

C l 的极坐标方程为2cos ρθ=,曲线C 2的参数方程为cos ,

(sin x t t y t αα=??=?

为参数)

。 (I )当4

π

α=

时,求曲线C l 与C 2公共点的直角坐标;

(II )若2

π

α≠

,当α变化时,设曲线C 1与C 2的公共点为A ,B ,试求AB 中点M 轨迹的极坐

标方程,并指出它表示什么曲线.

24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

设()||,.f x x a a =-∈R

(I )当13,()3x f x -≤≤≤时,求a 的取值范围;

(II )若对任意x ∈R ,()()12f x a f x a a -++≥-恒成立,求实数a 的最小值.

参考答案

一、选择题:

A 卷:CBCDA

ADCBB BC B 卷:ABCDB

ADCAB

BD 二、填空题: (13)25

(14) 4

5

(15)193

(16)-702

三、解答题: (17)解:

(Ⅰ)sin A +3cos A =2sin B 即2sin (

A +

π 3)=2sin B ,则sin (A + π

3

)

=sin B .…3分 因为0<A ,B <π,又a ≥b 进而A ≥B ,

所以A + π 3=π-B ,故A +B =2π3,C = π

3

. …6分

(Ⅱ)由正弦定理及(Ⅰ)得 a +b c =sin A +sin B sin C =23

[sin A +sin (A + π 3)]=3sin A +cos A =2sin (A + π

6)

.…10分 当A = π

3时,a +b c

取最大值2. …12分

(18)解:

(Ⅰ)样本数据的平均数为:

175×0.05+225×0.15+275×0.55+325×0.15+375×0.1=280. 因此,该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为280天. …5分

(Ⅱ)使用寿命低于200天的一组中应抽取6×5

5+15

=2. …7分

记使用寿命低于200天的5件产品A ,B ,C ,D ,E . 从中选出2件的不同情形为: AB ,AC ,AD ,AE , BC ,BD ,BE , CD ,CE , DE ,

共10种可能.

其中某产品A 被抽到的概率为P =410= 2

5

. …12分

(19)解:

(Ⅰ)由侧面AA 1B 1B 为正方形,知AB ⊥BB 1.

又AB ⊥B 1C ,BB 1∩B 1C =B 1,所以AB ⊥平面BB 1C 1C , 又AB ?平面AA 1B 1B ,所以平面AA 1B 1B ⊥BB 1C 1C . …4分

(Ⅱ)由题意,CB =CB 1,设O 是BB 1的中点,连结CO ,则CO ⊥BB 1.

B

C

B 1

O C 1

A 1

A

由(Ⅰ)知,CO ⊥平面AB 1B 1A ,且CO =

32BC =3

2

AB =3. 连结AB 1,则V C -ABB 1= 1 3S △ABB 1·CO = 1 6AB 2·CO =23

3. …8分

因V B 1-ABC =V C -ABB 1= 1 3V ABC -A 1B 1C 1=23

3

故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V ABC -A 1B 1C 1=23. …12分 (20)解:

(Ⅰ)设圆F 的方程为(x -1)2+y 2=r 2(r >0).

将y 2=4x 代入圆方程,得(x +1)2=r 2

,所以x =-1-r (舍去),或x =-1+r . 圆与抛物线有且只有一个公共点,当且仅当-1+r =0,即r =1. 故所求圆F 的方程为(x -1)2+y 2=1. …4分

(Ⅱ)设过点M (-1,0)与圆F 相切的斜率为正的一条切线的切点为T . 连结TF ,则TF ⊥MF ,且TF =1,MF =2,所以∠TMF =30°. …6分

直线MT 的方程为x =3y -1,与y 2=4x 联立,得y 2

-43y +4=0. 记直线与抛物线的两个交点为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则 y 1+y 2=43,y 1y 2=4,x 1+x 2=3(y 1+y 2)-2=10. …8分 从而AB 的垂直平分线的方程为y -23=-3(x -5).

令y =0得,x =7.由圆与抛物线的对称性可知圆E 的圆心为E (7,0).…10分 |AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2]=(1+3)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]=82.

又点E 到直线AB 的距离d =7-0+1

2

=4,所以圆E 的半径R =(42)2+42=43.

因此圆E 的方程为(x -7)2+y 2

=48. …12分 (21)解:

(Ⅰ)f '(x )=x -ln x -1.

设g (x )=x -ln x -1,则g '(x )=1- 1

x

.

令g '(x )=0,得x =1.

当x ∈(0,1)时,g '(x )<0,函数g (x )是减函数; 当x ∈(1,+∞)时,g '(x )>0,函数g (x )是增函数. 函数g (x )的最小值为g (1)=0.

所以g (x )=f '(x )≥0(仅当x =1时取等号),f (x )在(0,+∞)是增函数. …6分 (Ⅱ)f '(x )=2ax -ln x -1.

(1)若a ≥ 1

2

,则由(Ⅰ)知,f '(x )=(2a -1)x +(x -ln x -1)>0,f (x )是增函数,

B

C

F

A D

M

x

y

O T

此时f (x )≥f (1)=0,不等式恒成立. …8分

(2)若0<a < 1 2,设h (x )=2ax -ln x -1,h '(x )=2a - 1

x .

当x ∈(

1,1

2a

)

时,h '(x )<0,函数h (x )是减函数.

则f '(x )=h (x )<h (1)=2a -1<0,f (x )在(

1,1

2a

)

是减函数.

这时f (x )<f (1)=0,不等式不成立. …10分 (3)若a ≤0时,则当x ∈(1,+∞)时,f '(x )<0,f (x )在(1,+∞)是减函数, 此时f (x )<f (1)=0,不等式不成立.

综上所述,a 的取值范围是[ 1

2

,+∞)

. …12分

(22)解:

(Ⅰ)∵∠ABD =∠CBD ,∠ABD =∠ECD ,∴∠CBD =∠ECD ,

又∠CDB =∠EDC ,∴△BCD ∽△CED ,∴DE DC =DC

DB

,∴CD 2=DE ×DB ,

∵DE ×DB =DE ×(DE +BE )=DE 2+DE ×BE ,DE ×BE =AE ×EC , ∴CD 2-DE 2=AE ×EC . …6分 (Ⅱ)连结OC ,OD ,由已知可知△ODC 为等边三角形,

∴∠COD =60?.∴∠CBD =1

2∠COD =30?,

∴∠ACD =∠CBD =30?.

…10分

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(23)解:

(Ⅰ)曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0. ①

当α= π

4

时,曲线C 2的普通方程为y =x . ②

由①,②得曲线C 1与C 2公共点的直角坐标方程为(0,0),(1,1). …4分 (Ⅱ)C 1是过极点的圆,C 2是过极点的直线.

设M (ρ,θ),不妨取A (0,θ),B (2ρ,θ),则2ρ=2cos θ. …7分

故点M 轨迹的极坐标方程为ρ=cos θ(θ≠ π

2

).

它表示以( 1 2,0)

为圆心,以 1

2

为半径的圆,去掉点(0,0). …10分

(24)解:

(Ⅰ)f (x )=|x -a |≤3,即a -3≤x ≤a +3.

依题意,???a -3≤-1,

a +3≥3.

由此得a 的取值范围是[0,2]. …4分 (Ⅱ)f (x -a )+f (x +a )=|x -2a |+|x |≥|(x -2a )-x |=2|a |. …6分 当且仅当(x -2a )x ≤0时取等号.

C

解不等式2|a|≥1-2a,得a≥1 4.

故a的最小值为1

4.…10分