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爱尔朗(Erlang)分布

爱尔朗分布(Erlang Distribution )

在概率与统计相关学科中,爱尔朗分布(Erlang Distribution )是一种连续型概率分布。Erlang 分布的译名较多,如爱尔兰分布,埃朗分布,埃尔朗分布,爱尔朗分布,厄朗分布等等;此外在不同学科间,Erlang 分布的习惯译法也可能不同。

该分布与指数分布一样多用来表示独立随机事件发生的时间间隔。相比于指数分布,爱尔朗分布能更好地对现实数据进行拟合(更适用于多个串行过程,或无记忆性假设不显著的情况下)。除非退化为指数分布,爱尔朗分布不具有无记忆性(或马尔可夫性质),因此对其进行分析相对困难一些。一般通过将爱尔朗过程分解为多个指数过程的技巧来对爱尔朗分布进行分析。

遵循爱尔朗分布的随机变量可以被分解多个同参数指数分布随机变量之和,该性质使得爱尔朗分布被广泛用于排队论中。

参数与公式爱尔朗分布有两个参数,阶数(stage )k 和均值μ(也有用来代替的)。具有阶数k 的爱尔朗过程被称为k 阶爱尔朗(k-stage Erlang ),对应的随机变量可被视为k 个同参数指数分布随机变量之和。依据上下文环境不同,均值参数μ可以指整个爱尔朗分布的均值μ0也可以指每个指数分布的均值μi 。两者的关系

爱尔朗(Erlang)分布

是:[编辑]与其他概率分布的关系爱尔朗分布是一种Phase-Type 分布。它是亚指数分布的一个特例(各阶指数过程均值都相等的k 阶亚指数分布即为k 阶爱尔朗分布);而指数分布则是爱尔朗分布的一个特例(阶数k= 1的爱尔朗分布即为指数分布)。[编辑]Speical Erlang“Speical Erlang”分布 是亚指数分布的一个别名。需要注意的是,Special Erlang 并非爱尔朗分布(Erlang )的特例。正好相反,爱尔朗(Erlang )分布是Special Erlang 的一个特例。

爱尔朗分布模型:

设V 1,V 2,…,V k 相互独立,V i ~E(0 ,k μ),则,T=V 1+V 2+…+V k 的概率密度为

?????<>-=-.0,0,0,)!1()()(1

t t k kt k t f k k μμ

称T 服从k 阶爱尔朗分布。

例:串列的k 个服务台,每个服务台的服务时间相互独立,服从相同的指数分布,则k 个服务台的总服务时间服从k 阶爱尔朗分

布。

有:1)E (T )=μμ11)(1=?=∑=k k V E k

i i ; 2)k=1时,T ~E (0,μ);

3)k ≥30时,T 近似服从正态分布;

4)

.01)(2lim lim ==∞→∞→μk T Var t k (化为确定型分布)。