平均变化率

选修2－2 导数及其应用

1.1.1 平 均 变 化 率 （总第47导学案）

一、【教学目标】

1．感受平均变化率广泛存在于日常生活中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。

2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。

二、【教学重点、难点】

重点：平均变化率的数学意义 难点：平均变化率的实际意义和数学意义

三、【教学过程】

（一）生活实例：

现有启东市某年3月和4月某天日最高气温记载.

观察：“3月18日到4月18日”与“4月18日到4月20日”的温度变化发现：后者短短两

天时间温度相差C 0

8.14，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了﹗”，前者温差C 01.15，甚至超过了C 08.14，而人们却不会发出上述感叹。这是为什么呢？

因为前者变化缓慢，后者变化太快。那么用怎样的数学模型来刻画变量变化的快、慢？ 这就是本课学习的“平均变化率”。

（二）数学模型：以3月18日作为第一天，用曲线图表示为：

1、曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度？。

2、由点B 上升到C 点，考察y C —y B 的大小为 ；同时考察x C —x B 的大小

为 。平均变化率为 。

3、气温在区间[1，32]上的平均变化率 ，

与气温[32,34]上的平均变化率比较，A 、B 之间的温差与B 、C 之间的温差几乎相同，但平均变化率相差很大，即平均变化率越大，曲线越陡峭。

4、一般地，函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为 。 (d)

20

（三）典题探讨：

例1、甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时

间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器

甲中水的体积0.1()52t V t -=?（单位：3

cm ）， 计算第一个10s 内V 的平均变化率。

乙 注意：负号表示容器甲中的水在减少。

例3、已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。 作出图形，借助图像感知割线斜率k 的变化，发现割线→切线，斜率k →切线的斜率。

例4、如图，路灯高地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度离开路灯。

（1）求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系；

（2）求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率。

（四）课堂小结：

1、一般地，求函数()f x 在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤：

① 求自变量的增量12x x x -=?；② 求函数的增量)()(12x f x f y -=?； ③ 求平均变化率=??x y 2121()()f x f x x x --。 ２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”。

3、对于函数)(x f y =，当自变量x 在0x 处有改变量x ?时，函数值y 相应地有改变量y ?， 则)(x f 从0x 到x x ?+0的平均变化率有更一般的形式x

x f x x f x y ?-?+=??)()(00

课 外 作 业

1、已知函数等于时，函数值的增量变为由，当y x x

y ?-=211

。 2、函数1)(2

-=x x f 在区间[]m ，1上的平均变化率为3，则m 的值为 。 3、在函数12)(2-=x x f 的图像上取一点（1，1）及邻近一点)1,1(y x ?+?+，则

=??x

y 。 4、设函数)(x f y =，当自变量由0x 变到x x ?+0时，函数的改变量=?y 。

5、物体作直线运动的方程为t t S 532-=（位移单位是m ，时间单位是s ），则物体在2s 到4s 时的平均速度是 ，2s 到3s 的平均速度是 。

6、已知函数[]x x x x x f y ?+∈=00,),(，下列说法不正确的是 。 ① )()(00x f x x f y -?+=?叫函数值的增量； ②

x y ??一定是个变量； ③ x

x f x x f x y ?-?+=??)()(00叫做函数在[]x x x ?+00,是的平均变化率； ④ x

y ??可以是一个常数。 7、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，

试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12

个月该婴儿体重的平均变化率。

8、已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）=—2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f （x ）及g （x ）

的平均变化率。并指出y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？

9、甲、乙、丙三人炒股，甲一年前入市，赔了10800元，乙半年前入市，赔了6000元，丙

一个月前入市，赚了800元，试比较这三人的月收益率。

10、某人在推动一物体前进时所做的功（单位：J ）关于时间（单位：S ）的函数为

W=t t t 1662

3+-求此人从1S 末到3S 末所做功的平均变化率。

11、证明函数12)(+=x x f 的图像上任意两点之间的平均变化率为一个常数，并求出这

个常数。

12、求下列函数在给定区间上的平均变化率：

（1）[]422)(，，∈=x x f x ； （2）；，，??

?

???∈=40sin πx x y

（3）[]t t t t t t ?+∈=0025)(S ，，； （4）[]31

22)(2，，∈+-=x x x x f .

13、已知曲线2)(x x f =，试计算：

（1）)(x f 在1到2，1到

23，1到45的平均变化率； （2）)(x f 在1到

n n 1+的平均变化率。

14、已知质点M 按规律322+=t S 做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ），

（1）设从ts 时刻起经过ts ?时，位移的增量记为s ?，求t

s ??； （2）当t=2，01.0=?t 时，求

t

s ??； （3）当t=2，01.0-=?t 时，求t s ??；

15、一边长为10cm 的正方形薄铁片，加热后膨胀，当温度为C t 0时，边长变为

10（1+at ）cm ，a 为常数，试求在时间[]t t t ?+,内铁片面积的平均膨胀率。

营销问题及平均变化率问题与一元二次方程【公开课教案】

第2课时营销问题及平均变化率问题与一元二次方程 1.会用列一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率问题；（重点、难点） 2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识. 一、情景导入 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？ 二、合作探究 探究点一：利用一元二次方程解决营销问题 某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件.已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？ 解析：销售利润＝（每件售价－每件进价）×销售件数，若设每件涨价x元，则售价为（50＋x）元，销售量为（500－10x）件，根据等量关系列方程即可. 解：设每件商品涨价x元，根据题意，得 （50＋x－40）（500－10x）＝8000，即x2－40x＋300＝0.解得x1＝10，x2＝30. 经检验，x1＝10，x2＝30都是原方程的解. 当x＝10时，售价为10＋50＝60（元），销售量为500－10×10＝400（件）. 当x＝30时，售价为30＋50＝80（元），销售量为500－10×30＝200（件）. ∵要尽量减少库存，∴售价应为60元. 方法总结：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，“尽量减少库存”不能忽视，它是取舍答案的一个重要依据. 探究点二：利用一元二次方程解决平均变化率问题 某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率. 解析：设3，4月份销售额的月平均增长率为x，那么2月份的销售额为60（1－10%）万元，3月份的销售额为60（1－10%）（1＋x）万元，4月份的销售额为60（1－10%）（1＋x）2万元. 解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x. 根据题意，得60（1－10%）（1＋x）2＝121.5，则（1＋x）2＝2.25， 解得x1＝0.5，x2＝－2.5（不合题意，舍去）. 所以，3，4月份销售额的月平均增长率为50%.方法总结：解决平均增长率（或降低率）问题的关键是明确基础量和变化后的量.如果设基础量为a，变化后的量为b，平均每年的增长率（或降低率）为x，则两年后的值为a（1±x）2.由此列出方程a（1±x）2＝b，求出所需要的量. 三、板书设计 营销问题及平均变化率

《函数的变化率》教案(新人教A版1)

课题：3.1 函数的变化率 教学目标： 1、知识目标：通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念； 掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率； 理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用 为下一节导数概念的学习打好基础。 2、能力目标：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景——数学表示——应用， 培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理 论解释生活问题、应用数学的能力。 3、情感目标：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法， 鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。并养成学生探究 ——总结型的学习习惯。 教学重点：函数自变量的增量、函数值的增量的理解 函数平均变化率和瞬时变化率的理解和简单应用。 教学难点：函数平均变化率转化为瞬时变化率的理解。 教学方法：例举分析——归纳总结——实际应用 教学过程： 一、引入： 1、情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片 2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的 陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？ 3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。 二、例举分析： （一）登山问题 例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示 才

问题：当自变量x 表示登山者的水平位置，函数值y 表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎 样表示？ 分析：1、选取平直山路AB 放大研究 若),(),,(1100y x B y x A 自变量x 的改变量： 1x x =? 函数值y 的改变量：1y y =? 直线AB 的斜率： x y x x y y k ??=--=0101 说明：当登山者移动的水平距离变化量一定（x ?为定值）时， 垂直距离变化量（y ?）越大，则这段山路越陡峭； 2、选取弯曲山路CD 放大研究 方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD 1的陡峭程度可用直线CD 1的斜率表示。（图略） 结论：函数值变化量（y ?）与自变量变化量)(x ?的比值 x y ??反映了山坡的陡峭程度。 各段的 x y ??不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在这段山路上的平均变化量不同。当x y ??越大，说明山坡高度的平均变化量越大，所以山坡就越陡；当 x y ??越小，说明山坡高度的平均变化量小，所以山坡就越缓。 所以， k k k k x x x f x f x y --=??++11)()(——高度的平均变化成为度量山的陡峭程度的量，叫做函数f(x)的平均变化率。 三、 函数的平均变化率与应用。 （一） 定义：已知函数)(x f y =在点0x x =及其附近有定义， 令0x x x -=?； )()()()(0000x f x x f x f x f y y y -?+=-=-=?。 则当0≠?x 时，比值 x y x x f x x f ??=?-?+)()(00 叫做函数)(x f y =在0x 到x x ?+0之间的平均变化率。

苏教版高中数学高二选修1-1练习平均变化率

§3.1 导数的概念 3．1.1 平均变化率 一、基础过关 1．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率为________． 2．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________． 3．函数y ＝1在[2,5]上的平均变化率是________． 4．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为________． 5．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为________． 6．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时， 割线的斜率k ＝________. 二、能力提升 7．甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，________跑得快． 8．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀 率为28π3 ，则m 的值为________． 9．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1x 中，平均变化率最大的是________． 10．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2 之间的平均变化率，并比较它们的大小． 11．一正方形铁板在0℃时，边长为10 cm ，加热后膨胀．当温度为t ℃时，边长变为 10(1＋at ) cm ，a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率． 12．已知气球的体积为V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43 πr 3. (1)求半径r 关于体积V 的函数r (V )； (2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？ 三、探究与拓展 13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八， 慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线

平均变化率教案

高中数学选修2—2 平均变化率（教案）

高中数学选修2—2 1.1.1 平均变化率（教学设计） 一、教学目标 知识与技能： 1、理解平均变化率的概念； 2、通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学 描述刻画现实世界的过程。 过程与方法： 1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； 2、通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。 情感、态度与价值观： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 二、教学重点、难点 重点：平均变化率的概念的归纳得出；求函数在某个区间的平均变化率。 难点：从实际例子归纳出函数的平均变化率的过程。 三、教学方法 引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解如何求函数的平均变化率。 四、教学基本流程 创设情境，引导探索分析归纳，建立概念 例题讲解，尝试应用回顾反思，感悟升华

五、教学过程（具体如下表） 教 学 环 节 教学内容师生互动设计意图备注 创设情景、 引入新课问题一：速率问题 汽车在启动后的0--10秒内，行驶了 200米，那么它行驶的平均速率是多少 问题二：高台跳水 播放郭晶晶跳水视频,让学生看高台 跳水情形，然后提出问题： 在高台跳水运动中,给出运动员相对于水 面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单 位：s）存在函数关系h(t)= ++10.思考， 我们可以用什么物理量来描述运动员在某 段时间内的运动快慢情况（平均速度），然 后给出平均速度的实质： 平均速度实质就是 运动员在某段时间内的 位移对于时间的平均变 化率，在物理上叫平均 速度，又把这个问题引 导平均变化率上。使平 均变化率再次体现变化 的快慢. 让学生操作验证： 计算：5.0 0≤ ≤t和2 1≤ ≤t的平均速度v 在5.0 0≤ ≤t这段时间里， ) / ( 05 .4 5.0 )0( )5.0( s m h h v= - - =； 在2 1≤ ≤t这段时间里， ) / (2.8 1 2 )1( )2( s m h h v- = - - = 然后比较快慢，体现可以用平均速度描述 运动的快慢。 给出问题激发学生的求知 欲，组织学生讨论、交流， 引导学生得到结果。 给学生提出问题，引导学 生通过所学的物理知识回 答问题，最终引导学生意 识到平均速度就是平均变 化率，所描述的运动的快 慢就是变化的快慢。 利用学生很熟悉 的物理问题并从 简单的背景出发， 有利于学生利用 原有的知识解决 我们所设置的问 题，符合学生的认 知规律。，让学生 意识到可以用变 化率体现事物变 化的快慢情况。 平均速度的 变化学生们 能感同身 受，对这个 问题的研究 能使他们有 很好的接受 感，从而进 一步激发他 们强烈的求 知欲。 h t o

高中数学变化率问题教案

§1.1.1变化率问题 教学目标 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少 ?

高中数学第一章导数及其应用1.1.1平均变化率教案

§1.1.1平均变化率 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． (一)、探究新知，揭示概念 教学过程设计 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． (二)、探究新知，揭示概念 实例一：气温的变化问题 现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图： （注：3月18日 为第一天） 1、你从图中获得了哪些信息？ 2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这

样的感觉，这是什么原因呢? 3、 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？ 师生讨论，教师板书总结： 分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”， 当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化 当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化 因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。 【教师过渡】:“ 18.6 3.5 0.5321 -≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。 提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。 实例二：气球的平均膨胀率问题。 【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。 假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？ 思考： 1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？ 2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。 学生讨论，小组交流，教师巡视。 学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。 【教师过渡】:“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel 的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。” （1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示） 18.6 3.50.5 321 -≈-33.418.6 7.4 3432-≈-

函数的平均变化率教案

§1.1 导 数 1.1.1 函数的平均变化率 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 填一填：知识要点、记下疑难点 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ x 1－x 0 ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ，则当Δx ≠0时，商 f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝_Δy Δx ___叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 平均变化率 ． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝_____f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1_____ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 斜率 . 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直 线的斜率来量化． 如用比值y C －y B x C －x B 近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率． 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢． 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为 6.5－3.53－0 ＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为 11－8.612－6 ＝2.46＝0.4(千克/月)． 问题3 平均变化率有什么几何意义？ 答 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线 y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x ) 的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率． x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零． 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．

变化率问题

1．1第一课时 变化率问题 一、课前准备 1．课时目标 (1) 认识平均变化率，掌握平均变化率的基本概念和基本公式； （2）掌握求函数平均变化率的步骤； （3）理解函数平均变化率的几何意义． 2．基础预探 (1)对于函数()x f y =，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1x f 变为()2x f ，则它的平均变化率为 ． (2) 习惯上常常把自变量的变化12x x -称作自变量的增量，记作x ?，函数值的变化()2x f ()1x f -称做函数值的增量，记为y ?，所以当x ?0≠时，函数的平均变化率表示为 ． (3) 函数2x y =在0x x =附近的平均变化率为 ． 二、学习引领 1． 平均变化率的含义 一般地，对于函数在区间[]21,x x 上的变化率()()1 212x x x f x f --称为平均变化率，注意到平均变化率是反映曲线陡峭程度的“数量化”． 2．函数平均变化率的理解 ①在式子 =??x y ()()1 212x x x f x f --=()()x x f x x f ?-?+11，x ?、y ?的值可正、可负，但x ?的值不能为0， y ?的值可为0．若函数()x f 为常数函数时，y ?0=．当1x 取定值，x ?取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当x ?取定值，1x 取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样． ②x ?趋于0，是指自变量的改变量越来越小，但始终不能为0，x ?、y ?在变化中都趋于0，但它们的比 值却趋于一个确定的常数． 3． 求函数平均变化率的步骤 ①求自变量的增量：12x x x -=?； ②求函数值的增量：()()12x f x f y -=?； ③求函数的平均变化率： =??x y ()()1 212x x x f x f --． 三、典例导析 题型一：函数平均变化率 例1：已知函数()13+=x x f ，计算它在区间[]9.0,1--上的平均变化率． 思路导析：应用()x f 在区间[]21,x x 上的平均变化率公式． 解：函数()13+=x x f 在区间[]9.0,1--上的平均变化率为 ()()3) 1(9.019.0=------f f ． 规律总结：本题是用斜率来量化直线的倾斜程度，所以已知函数()x f y =，若0x 、1x 是定义域内不同的

函数的平均变化率与导数

导数的概念及运算 知识梳理 1. 平均变化率与瞬时变化率 （1）函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率x y ??＝ ． （2）函数()f x 在处0x x =的瞬时变化率为 2. 导数的概念 （1）函数()f x 在x x =o 处的导数：()f x 在点0x 处的导数就是函数()f x 在x x =o 处的瞬时变化率即()0'x f = （2）函数()f x 的导函数:当x 变化时()x f '是x 的一个函数，称()x f '为()f x 的导函数（简称导数）即()x f '= 3. 导数的几何意义与物理意义 （1）几何意义 切线方程为： （2）物理意义 4．基本初等函数的导数 ①;C '= ②();n x '= ③(sin )x '=; ④(cos )x '=; ⑤()x a '=;⑥();x e '= ⑦()l g a o x '= ; ⑧()ln x '=. 5．导数的运算法则 _______ ______ ______ [](4)()'C f x ?=_______ ___________ 6．复合函数的导数 【题型分析】 一．导数的概念及其几何意义 例1：（1）若0'()2f x =，则当k 无限趋近于0时 00()()2f x k f x k --=________ （2）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，， 的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ； 0(1)(1)lim x f x f x ?→+?-=? ．（用数字作答） 二．导数的计算 例2：求下列函数的导数 （1）2()(2)()f x x a x a =+- （2）22()cos sin cos f x x x x =?+ ()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t S S S ===t t t t ()()()'3f x g x ??=????

高中数学-函数的平均变化率测试题

高中数学-函数的平均变化率测试题 自我小测 1．已知函数y ＝f (x )＝2x ，那么当自变量x 由2变到3 2时，函数值的增量Δy 为( ) A.1 2 B ．－12 C.1 3 D ．－13 2．在曲线y ＝x 2 ＋x 上取点P (2,6)及邻近点Q (2＋Δx,6＋Δy )，那么Δy Δx 为( ) A ．2＋Δx B ．2Δx ＋(Δx )2 C ．Δx ＋5 D ．5Δx ＋(Δx )2 3．某地某天上午9：20的气温为23.40 ℃，下午1：30的气温为15.90 ℃，则在这段时间内的气温变化率为( ) A ．0.03 ℃/min B．－0.03 ℃/min C ．0.003 ℃/min D．－0.003 ℃/min 4．一物体的运动方程(位移与时间的函数关系)为s ＝3＋t 2 ，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A ．3 B ．4 C ．4.1 D ．0.41 5．函数f (x )＝x 2 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A ．k 1＜k 2 B ．k 1＞k 2 C ．k 1＝k 2 D ．无法确定 6．已知函数f (x )＝ax ＋b 在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a ＝__________. 7．已知函数y ＝x 3 ，当x ＝1时，Δy Δx ＝__________. 8．设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 2 1 200，其中x 为产量数，生产900个单位 到1 000个单位时总成本的平均变化率为__________． 9．求函数y ＝f (x )＝3x 2 ＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值． 10．已知气球的体积为V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3 . (1)求半径r 关于体积V 的函数r (V )． (2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？

2019-2020年高中数学 第三章 第1课 平均变化率教学案 苏教版选修1-1

2019-2020年高中数学 第三章 第1课 平均变化率教学案 苏教版选修 1-1 班级：高二（ ）班 姓名：____________ 教学目标： 1.通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深 理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理； 2.通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲 和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思维与数学素养； 3.培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题， 体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想． 教学重点：会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢． 教学难点：对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． 法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场．这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了8.52m/s ． 某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示： 观察图象，回答问题： 问题1 从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？ 问题2 从A 到B 这一段与从B 到C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？ 2．学生活动． 案例中，从B 到C 位移“陡增”，这是我们从图象中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？ （1）由点B 上升到C 点必须考察的大小，但仅注意到的大小能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？ （2）还必须考察什么量？在考察的同时必须考察． （3）曲线上BC 之间的一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线倾斜程度？ 二、建构数学 1．一般地，函数在区间上的平均变化率为． 注意：平均变化率不能脱离区间而言． s

(完整版)高中数学变化率问题导数的概念(老师版)

1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念 [学习目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数. 知识点一 函数的平均变化率 1.平均变化率的概念 设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子 f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 表示，我们把这个式子称 为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为Δy Δx . 2.求平均变化率 求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1) Δx . 思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么？ 答案 (1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零. (2)如图所示： y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，???? Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则 f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 ＝k AB . 知识点二 瞬时速度与瞬时变化率 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝ Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .

最新人教A版选修2-2高中数学《1.1.1 平均变化率》公开课教学设计

教学目标： 1．通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理； 2．通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思维与数学素养； 3．培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题，体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想． 教学重点： 会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢． 教学难点： 对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． 法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场．这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快．赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了8.52m/s． 某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：

观察图象，回答问题： 问题1 从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？ 问题2 从A 到B 这一段与从B 到C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？ 2．学生活动． 案例中，从B 到C 位移“陡增”，这是我们从图像中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？ （1）由点B 上升到C 点必须考察C B y y －的大小，但仅注意到C B y y －的大小 能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？ （2）还必须考察什么量？在考察C B y y －的同时必须考察C B x x －． （3）曲线上BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程 度？ 二、建构数学 （1）一般地，函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为 ()()2121 f x f x x x －－ 注意：平均变化率不能脱离区间而言 （2）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化 率的“视觉化”． 思考： （1） 若设21?x x x ＝－，即将x ?看作是对于1x 的一个增量21()()?y f x f x ＝－， 则)(x f 在[]12x x ，平均变化率为211121()()()()????f x f x f x x f x y x x x x －＋－＝＝－

函数的平均变化率及瞬时变化率和导数

精心整理 同步分层能力测试题（一） （函数的平均变化率及瞬时变化率和导数） A 组（时间：60分钟满分：86分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1.1+ Δ2.，则（） 0)不存在3.t →?lim A C 4.(4,f (4))处的切线的倾斜角为 A.2π B.0 C.锐角 D.钝角 5.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+--的值 为（）

A ．' ()f x B ．' 02()f x C ．'02()f x -D ．0 6.曲线2 21y x =+在点()1,3P -处切线方程为（） A.41y x =-- B.47y x =-- C.41y x =- D.47y x =- 二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分） 7.已知()2 1f x x x =++,则(1)(1) lim f x f +?-=. 1+垂直,9.y =f （（时， t →?lim （却和加热,如果第xh 时,原油的温度为()()2 71508f x x x x =-+≤≤,试分别计算 第2h 和6h 时,原油温度的瞬时变化率. 12.在受到制动后的七秒种内飞轮转过的角度（弧度）由函数 =)(t ?4t －0.3t 2 给出，求： （1）t=2(秒)时，飞轮转过的角度；

（2）飞轮停止旋转的时刻. B 组（时间：60分钟满分：64分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1.物体在地球上作自由落体运动时，下落距离2 12 S gt =其中t 为经历 的时间，2 9.8/g m s =，若(1)(1)lim S t S V +?-=9.8/m s =，则下列说法正确的是 A.0 C.时段 2.A. 3.A ． 4.)(x 上点1(,1(f 5.若曲线()y f x =在点()(),P a f a 处切线的方程为210x y ++=,则（） A ．()0f a '= B.()0f a '> C.()0f a '< D.不确定. 6.已知曲线()2 2f x ax =-在横坐标为 1的点P 处切线的倾斜角为4 π,则a= （）

函数的平均变化率教案

§ 导 数 函数的平均变化率 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 填一填：知识要点、记下疑难点 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ x 1－x 0 ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ，则当Δx ≠0时，商 f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝_Δy Δx ___叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 平均变化率 ． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝_____f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1_____ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 斜率 . 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直 线的斜率来量化． 如用比值y C －y B x C －x B 近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率． 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢． 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为 错误!＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为 11－12－6 ＝错误!＝(千克/月)． 问题3 平均变化率有什么几何意义？ 答 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线 y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x ) 的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率． x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零． 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．

高二数学《平均变化率》学案

高二数学《平均变化率》学案 1、通过对实例分析,理解平均变化率的实际意义与数学意 义； 2、掌握平均变化率在实际生活中的运用以及在函数中的运用; 3、理解平均变化率的意义,初步了解“以直代曲”的数学思想,为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景、教 学重点平均变化率的实际意义与数学意义教学难点 1、平均变化率的实际意义与数学意义; 2、了解“以直代曲”的数学思想, 为后续学习打好基础、教 学过程 一、创设情境[情境一] 根据条件,观看乐园过山车的视频录像,让学生谈谈乘过山车的亲身体会师生互动: ① 乘过山车时,什 么情形下会感到刺激、惊险？② 乘坐时,又在什么情形下不会感 到害怕？分析：在陡峭的轨道上过山车运动的速度变化快,在平缓 的轨道上过山车运动的速度变化慢、[情境二] 某市2004年4月 20日最高气温为,而此前的两天,4月19日和4月18日最高气温 分别为和,短短两天时间,气温“陡增”,闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是,如果我们将该市2004年3月18日最 高气温与4月18日最高气温进行比较,我们发现两者温差为,甚 至超过了、而人们却不会发出上述感叹、分析:如何量化陡峭的程度?

二、新课讲授平均变化率的概念及几何意义 1、平均变化率一般地,函数f(x)在区间上的平均变化率为、 2、学生活动(1)连结AB,计算气温在区间[1,32]上的平均变化率为(2)结合对气温曲线图的数与形分析,比较区间[1,32]上的平均变化率0、5和[32,34]上的平均变化率 7、4,感知平均变化率量化曲线的陡峭程度、3、平均变化率几何意义77 三、例题讲解例 1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图(见课本图3-1- 2)所示,试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率、例 2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙(如图见课本图3-1-3所示),后容器甲中水的体积(单位),计算第一个内的平均变化率、例 3、已知函数,分别计算在下列区间上的平均变化率: (1) [1,3]; (2) [1,2]; (3) [1, 1、1]; (4) [1, 1、001]、例 4、已知函数分别计算在区间上及的平均变化率、

1.1.1变化率问题 学案

1. 1.1变化率问题 课前预习学案 预习目标：“变化率问题”，课本中的问题1,2。知道平均变化率的定义。 预习内容： 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是3 3 4)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_____________ 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________ 问题3 平均变化率 已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x ___________.习惯上用x ?表示12x x -，即x ?=___________,可把x ?看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ?代替2x ，类似有=?)(x f __________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________ 提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 学习目标 1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率. h t o

2019-2020学年高中数学新教材必修一第3章：函数的平均变化率

课时分层作业(二十一)函数的平均变 化率 (建议用时：60分钟) [合格基础练] 一、选择题 1．已知函数f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为() A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44 B[∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41，故选B.] 2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是() A．0 B．1 C．3 D．Δx A[Δy Δx ＝ 1－1 Δx ＝0.] 3．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于() A．6＋Δt B．12＋Δt＋9Δt C．12＋2Δt D．12 C[Δs Δt ＝ [2(3＋Δt)2＋5]－(2×32＋5) Δt ＝12＋2Δt.] 4．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝() A．－3 B．2 C．3 D．－2 C[根据平均变化率的定义，可知 Δy Δx ＝ (2a＋b)－(a＋b) 2－1 ＝a＝3，故选C.] 5．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域内某个区间I上的任意两个

不同的自变量x1，x2，都有f(x1)－f(x2) x1－x2 ＞0，则() A．f(x)在这个区间上为增函数 B．f(x)在这个区间上为减函数 C．f(x)在这个区间上的增减性不确定 D．f(x)在这个区间上为常数函数 A[①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．综上可知f(x)在区间I上是增函数，故选A.] 二、填空题 6．函数y＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率为________． 3－Δx[Δy Δx ＝ －(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋(－1)2－(－1) Δx ＝3－Δx.] 7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________． v1＜v2＜v3[v1＝s(t1)－s(t0) t1－t0 ＝k OA，v2＝ s(t2)－s(t1) t2－t1 ＝k AB，v3＝ s(t3)－s(t2) t3－t2 ＝k BC，而由图像知k OA＜k AB＜k BC， ∴v1＜v2＜v3.] 8．函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0