立体几何平行,垂直及角

第2讲 直线、平面的平行与垂直

一、 平行 1.线面平行

判定定理：（线线平行，则线面平行）

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 符号语言表示为： ,m ,////m l l l ααα???

?????

. 性质定理：（线面平行，则线线平行）

2.面面平行

判定定理：（线面平行，则面面平行）

一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号语言表示为：

,,,

////,//a b a b P a b βββααβ????

=????

性质定理：（面面平行，则线线平行）

二、 垂直 1. 线面垂直

判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号语言表示为：

,,,m n l a m n O

l m l n αα????

?⊥?=??⊥⊥?

性质定理：

2. 面面垂直:

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

符号语言表示为

l l α

αββ

⊥??⊥?

??

性质定理：

三、 线面角与二面角 1.射影

如图，过平面外一点P 向平面α引斜线和垂线，则过斜足A 和垂足C 的直线就是斜线在平面α内的正投影(简称射影)，线段AC 就是斜线段AP 在平面α内的射影．

(1)点射影:C 称为P 在面α上的点射影；

(2)线射影:直线AC 称为直线AP 在面α上的线射影； (3)面射影:当PC α⊥时，面PAB 在α上的射影为面CAB 。

2.线面角

直线l 与其在平面α上的射影所成的锐角称为直线与平面所 成的角；或斜线与斜线在平面内射影所成的角其范围为0,

2π??

????

。 3.二面角

在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作

垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角，二面角取值范围为[0,]π。

【考点分析】 1.线面平行的证明 方法一：三角形中位线法

例1.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，

点E 是PD 的中点. 求证：PB ∥平面AEC ；

Q

P 1

P

α

α

C

B

A P

P

A

B

E

方法二：构造平行四边形法

例2.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，

E 、

F 分别为AB SC ,的中点．证明：

○1EF ∥平面SAD ○2BF ∥平面SDE

2.面面平行的证明

方法一：利用性质和定理

例3. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，

求证：平面1A BD //平面11CD B

3.线面垂直的证明 方法一：利用性质定理

例4. （07福建）如图，正三棱柱111ABC A B C -

的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．

()1求证：1AB ⊥平面1A BD ；

F

E

S

A

B

C

D 1

D 1A

1C 1B

A

B

D

C

A

B

C

D

1

A

1C 1B

A 1

C 1

D 1

H

4

C

B 1

2

3

B

A

D

4. 面面垂直的证明 方法一：利用性质定理

例5.（07湖北）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，

AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，

VDC θ∠=π02θ?

?<< ??

?．()1求证：平面VAB ⊥VCD ；

5.求线面角

方法一：射影方法作出线面角

例6.长方体1111ABCD A BC D -,

AB =3 ,BC =2, 1A A = 4 ，求AB 与面 11AB C D 所成的角。

方法二：通过二面角求线面角 6.求二面角 三垂线定理：

方法一：用三垂线定理法作出二面角的平面角

例7.(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1

是长方体,侧棱AA 1

长为1,底面为正方形且边长

为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.

V

C

B

D

A

C

D

1A

1B

1C

1D

E

O

方法二：射影面积法侧面三角形

射影三角形S S =

θcos

例8.如图，设M 为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1

的棱CC 1

的中点，求平

面BMD 1与底面ABCD 所成的二面角的大小。

【基础过关】

1．以下说法（其中a ，b 表示直线，α表示平面）其中正确说法的个数是 （ ）

①若a ∥b ，b ?α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ?α，则a ∥b

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

2．对于直线m 、n 和平面α、β，αβ⊥的一个条件是 （ ）.

A ．m n ⊥，//m α，//n β B. ,,m n m n αβα⊥=⊥

C ．//,,//m n n m αβ

⊥ D. //m n ， m α⊥， n β⊥

3．（04年福建卷.理5）已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列说法： ①若m ?α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β.

其中正确说法的个数是 （ ）.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

4．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP =AB ，则平面ABP 与平面CDP 所

成的二面角的度数是 （ ）. A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

5．下列说法正确的是 （ ）.

A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行

B. 平行于同一平面的两条直线平行

C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行

D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行

6．下列说法正确的是 （ ）.

A. 垂直于同一条直线的两条直线平行

B. 平行于同一个平面的两条直线平行

C. 平行于同一条直线的两个平面平行

D. 平行于同一个平面的两个平面平行

A

H

M D 1

C 1

B 1 A 1

B

C

D

7．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ）. A. α、β都平行于直线l

B. α内存在不共线的三点到β的距离相等

C. l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β

D. l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β

8．已知直线l //平面α，m 为平面α内任一直线，则直线l 与直线m 的位置关系是（ ）.

A. 平行

B. 异面

C. 相交

D. 平行或异面

9．下列说法正确的是 （ ）. A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合

B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行

C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行

D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行

10．已知α∥β，,,a B αβ?∈ 则在β内过点B 的所有直线中 （ ）.

A ．不一定存在与a 平行的直线

B ．只有两条与a 平行的直线

C ．存在无数条与a 平行的直线

D ．存在唯一一条与a 平行的直线

11．直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是

（ ）.

A ．a ⊥β

B. a ∥β． C ．a β?

D ．a β?或a ∥β

12．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直

线BD 和平面ABC 所成的角的大小为 （ ）.

A. 90°

B. 60°

C. 45°

D. 30°

13．在下列说法中，错误的是 （ ）.

A. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β

B. 若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β

C. 若平面α⊥平面β，任取直线l ?α，则必有l ⊥β

D. 若平面α∥平面β，任取直线l ?α，则必有l ∥β

14.（2012，四川）下列命题正确的是（ ）

A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 15.（2014，四川）正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。设点P 在线段1CC

上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是 ( )

3662222

α

?

A

B

?16.（2011，四川）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）

A ．1

2l l ⊥，23l l ⊥13//l l ? B ．12l l ⊥，23//l l ?13l l ⊥

C ．123////l l l ? 1l ，2l ，3l 共面

D ．1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面

17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为

2的正三角形侧棱长为3，则1BB 与平面11AB C 所成的角为（ ）

A. 6π

B. 4π

C. 3π

D. 2

π

18.（2010，四川）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α?.B l ∈，

AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .

19.E 是正方形ABCD 的AB 边中点，将△ADE 与△BCE 沿DE 、CE 向上折起，使得A 、B 重合为

点P ，那么二面角D —PE —C 的大小为 .

20．已知a 、b 、c 是三条不重合直线，α、β、γ是三个不重合的平面，下列说法中：

⑴ a ∥c ，b ∥c ?a ∥b ； ⑵ a ∥γ，b ∥γ?a ∥b ； ⑶ c ∥α，c ∥β?α∥β； ⑷ γ∥α，β∥α?α∥β； ⑸ a ∥c ，α∥c ?a ∥α； ⑹ a ∥γ，α∥γ?a ∥α. 其中正确的说法依次是 .

21．设不同的直线a ,b 和不同的平面α，β，γ，给出下列四个说法：

① a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ② a ∥α, a ∥β, 则α∥β； ③α∥γ，β∥γ，则α∥β；④ a ∥b ,b ?α,则a ∥α. 其中说法正确的序号依次是 . 22．如右图，平行四边形EFGH 的分别在空间四边形

ABCD 各边上，求证：BD //平面EFGH .

23．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 、G 是侧面对角线上的点， 且BE CF AG ==，求证：平面EFG ∥平面ABC .

A 1

A

24．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是

AC ,BD 的交点求证：（1）1A F BED ⊥平面．（2）1A BD BED ⊥平面平面.

25.（七中）平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，

60,90,A C ∠=?∠=?2CD =．把ABD ?沿BD

折起，使二面角C BD A --的余弦值等于

3

3

． （1）求AC ；（2）证明：⊥AC 平面BCD ； （3）求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值．

26．(2013四川，理19)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1，

∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 的中点． (1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，

并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；

(2)设(1)中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角A －A 1M －N 的余弦值．

G

F

E

D

C

B A

D 1

C 1

B 1

A 1

26题