第二章 数列极限
习题
2.按N -ε定义证明:
(1)1
1lim
=+∞→n n
n
证明 因为 n n n n 11111
<+=-+,所以0>?ε,取ε1=
N ,N n >?,必有ε<<-+n n n 111. 故1
1lim =+∞→n n n
(2)
23
123lim 22=-+∞→n n n n 证明 因为 n n n n n n n n n n n n n 3
2525)1(232)12(232231232
22222<=<-++<-+=--+
)1(>n ,于是0>?ε,取}3,1max{ε=N ,N n >?,有 ε<<--+n n n n 3231232
2. 所以
23123lim 22=-+∞→n n n n
(3)0!lim =∞→n n n n
证明 因为
n n n n n n n n n n n n n n n
n 11211)1(!0!≤???-=???-==-ΛΛΛ,于是0>?ε,取ε1
=
N ,N n >?,必有ε<≤-n n n n
10!. 所以0!lim =∞→n n n n
(4)
sin
lim =∞
→n
n π
证明 因为
n n
n
π
π
π
≤
=-sin
0sin
,于是0>?ε,取
επ
=
N ,N n >?,必有
ε
π
π
<≤
-n
n
0sin
. 所以
sin
lim =∞
→n
n π
(5))1(0lim
>=∞→a a n
n
n
证明 因为1>a ,设)0(1>+=h h a ,于是
2
22)1(2)1(1)1(h n n h h n n nh h a n n n -≥++-+
+=+=Λ,从而
2
2)1(2
2)1(0h n h
n n n a n a n n n -=
-≤=-,所以0>?ε,取122+=h N ε,N n >?,
有ε<-≤-2)1(20h n a n n . 故0lim =∞→n n a n
3.根据例2,例4和例5的结果求出下列极限,并指出哪些是无穷小数列:
(1)
n n 1
lim
∞
→;(2)n n 3
lim ∞
→;(3)3
1
lim
n n ∞→
(4)n n 31lim ∞→;(5)n n 21lim ∞→;(6)n n 10lim ∞→;(7)
n n 21lim ∞→ 解 (1)01lim 1lim 21==∞→∞→n n
n n (用例2的结果,21=a ),无穷小数列.
(2)13lim =∞
→n n ,(用例5的结果,3=a )
(3)01
lim
3
=∞→n n ,(用例2的结果,3=a ),无穷小数列.
(4)031lim 31lim =??? ??=∞→∞→n
n n n ,(用例4的结果,31=q ),无穷小数列.
(5)021lim 21
lim =??? ??=∞→∞
→n
n n n ,(用例4的结果,21=q ),无穷小数列. (6)110lim =∞→n n ,(用例5的结果,10=a ).
(7)
121lim 21
lim
==∞→∞→n
n n
n ,(用例5的结果,21=
a ). 4.证明:若a a n n =∞→lim ,则对任一正整数 k ,有a a k n k =+∞→lim
证明 因为a
a n n =∞
→lim ,所以
εε<->?>?>?||,,0,0a a N n N n ,
于是,当N
k >时,必有N k n >+,从而有ε<-+||a a k n ,因此a a k n k =+∞→lim .
5.试用定义1证明:
(1)数列??
?
???n 1不以1为极限;(2)数列
}{)1(n n -发散.
证明(用定义1证明) 数列}{n a 不以 a 为极限(即a a n n ≠∞→lim )的定义是:00>?ε,0>?N ,N n >?0,0||0ε≥-a a n
(1)取
21
0=
ε,0>?N ,取N N n >+=20,有
002
1)1(212112111ε==++≥++=-+=-N N N N N n ,故数列??
????n 1不以1为极限.
另证(用定义1’证明) 取21
0=
ε,则数列??????n 1中满足2>n 的项(有无穷多个)
显然都落在1的邻域)23,21();1(0=εU 之外,故数列??????n 1不以1为极限.
(2)数列
}{)1(n
n
-=},6,51
,4,31,2,1{Λ,对任何R a ∈,取10=ε,则数列
}{)1(n n -
中所有满足“n 为偶数,且1+>a n ”的项(有无穷多个),都落在 a 的邻域
)1,1();(0+-=a a a U ε之外,故数列
}{)1(n
n -不以任何数 a 为极限,即数列
}{)1(n
n -发
散.
6.证明定理,并应用它证明数列??
?
?
??-+n n )1(1的极限是1. 定理 数列}{n a 收敛于 a 充要条件是:}{a a n -为无穷小数列. (即a a n n =∞→lim 的充
要条件是0
)(lim =-∞
→a a n n )
证明 (必要性)设a
a n n =∞
→lim ,由数列极限的定义,,0,0>?>?N εN n >?,有
ε<--=-|0)(|||a a a a n n ,所以 0)(lim =-∞→a a n n .
(充分性)设0
)(lim =-∞
→a a n n ,由数列极限的定义,,0,0>?>?N εN n >?,有
ε<-=--|||0)(|a a a a n n ,所以a a n n =∞→lim .
下面证明:数列????
??-+n n )1(1的极限是1. 因为??
?
???-=??????--+n n n n )1(1)1(1是无穷小数列,所以数列
??
?
???-+n n )1(1的极限是1. 7.证明:若a a n n =∞→lim ,则|
|||lim a a n n =∞
→. 当且仅当 a 为何值时反之也成立?
证明 设
a
a n n =∞
→lim ,由数列极限的定义,,0,0>?>?N εN n >?,
ε
<-≤-||||||a a a a n n ,所以也有|
|||lim a a n n =∞
→. 但此结论反之不一定成立,例如数列
})1{(n -.
当且仅当 a = 0 时反之也成立. 设0
||lim =∞
→n n a ,于是,0,0>?>?N εN n >?,
ε
<=||||n n a a ,所以a
a n n =∞
→lim .
8.按N -ε定义证明:
(1)0)1(lim =-+∞→n n n ; (2)0321lim
3=++++∞→n n
n Λ
(3)1lim =∞→n n a ,其中???????+-=为奇数
为偶数n n n n n n
n a n 2
,1
证明 (1)因为
n n
n n n 1
11|1|<
++=
-+. 于是0>?ε,取
21
ε=
N ,
N n >?,必有
ε
<<
-+n
n n 1|1|,从而0
)1(lim =-+∞
→n n n .
(2)因为
n n n n n n n n n n n 1
2212)1(3212
233=+<+=+=++++Λ,于是0>?ε,取ε1=N ,N n >?,必有ε<<-++++n n n 103213Λ,所以0321lim 3=++++∞→n n n Λ
(3)因为当 n 为偶数时,
n n n a n 1
11|1|=--=
-
当 n 为奇数时,n
n
n n n
n
n n n n
n a n 111|1|222<
++=
-+=-+=
-,故不
管n 为偶数还是奇数,都有
n a n 1|1|<
-. 于是0>?ε,取ε1
=
N ,N n >?,必有
ε<<
-n a n 1
|1|,所以 1lim =∞→n n a .
习题
1.求下列极限:
⑴ 根据例2 01lim
=∞→a
n n ,0>a ,可得
4
131241131lim 32413lim 3
2332
3=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n
⑵ 0)21(lim 21lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n
⑶根据例4 0
lim =∞
→n n q ,1|| 3 13 )32(31 )32( lim 3)2(3)2(lim 111=+-?+-=+-+-+∞→++∞→n n n n n n n n ⑷ 21 1111lim lim )(lim 22=++=++=-+∞ →∞→∞→n n n n n n n n n n n 这是因为由例1若 a a n n =∞ →lim ,则 a a n n =∞ →lim . 于是由1 )1 1(lim =+∞→n n ,得 111 1lim ==+ ∞ →n n . ⑸ 10)1021(lim =+++∞ →n n n n Λ,因为1 lim =∞ →n n a (0>a ) ⑹ 231131 13 121121121lim 313131212 121lim 22=--? - - ? =++++++∞→∞→n n n n n n ΛΛ 2.设a a n n =∞→lim ,b b n n =∞→lim ,且b a <. 证明:存在正数N ,使得当N n >时,有n n b a <. 证明 由b a <,有b b a a <+< 2. 因为2lim b a a a n n +<=∞ →,由保号性定理,存在01>N ,使得当1N n >时有2b a a n +<. 又因为2lim b a b b n n +> =∞→,所以,又存在 02>N ,使得当2N n >时有2b a b n +> . 于是取},m ax {21N N N =,当N n >时,有 n n b b a a <+<2. 3.设}{n a 为无穷小数列,}{n b 为有界数列,证明:}{n n b a 为无穷小数列. 证明 因为 }{n b 为有界数列, 所以存在0>M ,使得Λ,2,1,||=≤n M b n . 由}{n a 为无穷小数列,知,0,0>?>?N εN n >?, M a n ε < ||. 从而当N n >时,有ε ε =?< ?=M M b a b a n n n n ||||||,所以0 lim =∞ →n n n b a ,即 }{n n b a 为无穷小数列. 4.求下列极限 (1)1111lim 11131 212111lim )1(1321211lim =??? ?? +-=??? ??+-++-+-=???? ? ?+++?+?∞→∞→∞→n n n n n n n n ΛΛ (2)因为 n n n n 21 2112 18141212 8422 2 2 2222= ==- +++ΛΛ ,而 )(1222 11 21 ∞→→=< n n ,于是1 2lim 21 =∞ →n n ,从而 2 22 lim 222 2 lim 2 1 28 4 ==∞ →∞ →n n n n Λ (3) 32323lim 23221229272725253lim 21223 21lim 13222=??? ?? +-=??? ??+-+++-+-+-=??? ? ?-+++∞→-∞→∞→n n n n n n n n n n n ΛΛ (4)当2>n 时,11121<- 1 1lim =- ∞→n n n . (5)因为)(,0111)2(1)1(11022 222∞→→+=+≤++++ ??++++∞→n n n n Λ (6)因为1 1 1 21112 2 2 222=≤ +≤++++++≤+n n n n n n n n n n n Λ, 且 1 111lim lim 2 =+=+∞ →∞ →n n n n n n ,所以 11211 1lim 222=???? ??++++++∞ →n n n n n Λ 5.设}{n a 与}{n b 中一个是收敛数列,另一个是发散数列,证明}{n n b a ±是发散数列. 又问}{n n b a 和)0(≠??? ???n n n b b a 是否必为发散数列. 证明 (用反证法证明)不妨设}{n a 是收敛数列,}{n b 是发散数列. 假设数列} {n n b a +收敛,则 n n n n a b a b -+=)(收敛,这与}{n b 是发散数列矛盾,所以,数列}{n n b a +发散. 同理可得数列 }{n n b a -发散. }{n n b a 和) 0(≠??? ???n n n b b a 不一定是发散数列. 例如,若}{n a 是无穷小数列,}{n b 是有界的发散数列. 则}{n n b a 和)0(≠??? ???n n n b b a 是无穷小数列,当然收敛. 但是,有下列结果:如果0lim ≠=∞→a a n n ,}{n b 是发散数列,则}{n n b a 和)0(≠? ?? ???n n n a a b 一定是发散数列. 6.证明以下数列发散: (1) ?? ????+-1)1(n n n 证明 设 1)1(+-=n n a n n ,则)(,11222∞→→+=n n n a n ,而1 21 212-→--=-n n a n , 由,定理 知 ?? ????+-1)1(n n n 发散. (2) {}n n )1(- 证明 {} n n )1(- 的偶数项组成的数列n a n 22=,发散,所以{ } n n )1(-发散. (3)?? ?? ?? 4cos πn 证明 设 4cos π n a n =,则子列 )(,118∞→→=n a n ,子列 )(,1148∞→-→-=+n a n ,故 ??????4cos πn 发散. 7.判断以下结论是否成立(若成立,说明理由;若不成立,举出反例): (1)若 }{12-k a 和}{2k a 都收敛,则}{n a 收敛. 解 结论不一定成立. 例如,设n n a )1(-=,则12=k a ,112-=-k a 都收敛,但n n a )1(-=发散. 注 若}{12-k a 和}{2k a 都收敛,且极限相等(即k k k k a a 212lim lim ∞→-∞→=),则}{n a 收敛. (2)若 }{23-k a ,}{13-k a 和}{3k a 都收敛,且有相同的极限,则}{n a 收敛. 证明 设a a a a k k k k k k ===∞ →-∞ →-∞ →31323lim lim lim ,则由数列极限的定义,知0>?ε, 01>?K ,1K k >?,ε<--||23a a k ;同样也有02>?K ,2K k >?,ε<--||13a a k ; 03>?K ,3K k >?,ε<-||3a a k . 取}3,3,3m ax {321K K K N =,当N n >时,对任 意的自然数 n ,若23-=k n ,则必有1K k >,从而ε<-||a a n ;同样若13-=k n ,则 必有2K k >,从而也有ε<-||a a n ;若k n 3=,则必有3K k >,从而ε<-||a a n . 所 以a a n k =∞→lim ,即} {n a 收敛. 8.求下列极限: (1)n n k 21 24 321lim -∞→Λ 解 因为 n n 2126543210-<Λ 121)12)(12(12)12)(32(32755533311+=+-----??? 而0121lim =+∞→n k ,所以 02124321lim =-∞→n n k Λ 另解 因为12254322124 321+<-n n n n ΛΛ,设n n S n 21 24321-=Λ , 1225432+=n n T n Λ,则n n T S <. 于是121+=? 121+ (2) 答案见教材提示. (3)1 0],)1[(lim <<-+∞ →αααn n k 解 ] 1)1 1[(]1)11[()1(0-+<-+=-+ )(,01 1∞→→==-n n n n αα 所以,0 ])1[(lim =-+∞ →α αn n k 另解 因为01<-α,所以11 )1(--<+ααn n ,于是 11)1()1(--+=+<+ααααn n n n n , 从而)(,0)1(01 ∞→→<-+<-n n n n αα α . (4) 答案见教材提示. 9.设 m a a a Λ,,21为 m 个正数,证明: } ,,max {lim 2121m n n n n n n a a a a a a ΛΛ=+++∞ → 证明 因为 } ,,max{},,max{212121m n n n n n n m a a a n a a a a a a ΛΛΛ≤+++≤ 而1 lim =∞ →n n n ,所以} ,,max {lim 2121m n n n n n n a a a a a a ΛΛ=+++∞→ 10.设a a n n =∞ →lim ,证明: (1)a n na n n =∞→][lim ; (2)若0,0>>n a a ,则1lim =∞→n n n a . 证明 (1)因为1][][+<≤n n n na na na ,所以n n n a n na n na ≤<-] [1. 由于 a n a n na n n n n =??? ??-=-∞→∞→1lim 1lim ,且a a n n =∞→lim ,从而a n na n n =∞→][lim . (2)因为 0lim >=∞→a a n n ,由 定理,存在0>N ,使得当N n >时,有a a a n 232 <<. 于是 n n n n a a a 232<<,并且123 lim 2lim ==∞→∞→n n n n a a ,所以1lim =∞→n n n a . 习题 1.利用e n n n =??? ??+∞ →11lim 求下列极限: (1)e n n n n n n n n n n n 11111111lim 1lim 11lim 1=? ?? ??-+??? ?? -+=??? ??-=??? ??--∞ →∞→∞→ (2) e n n n n n n n =??? ??+?? ? ??+=??? ??+∞ →+∞ →1111lim 11lim 1 (3)e n n n n n n n =? ?? ??++??? ??++=?? ? ??+++∞→∞→111111lim 111lim 1 (4) e n n n n n n n n n =? ? ? ?? +=??? ?? +=??? ??+∞ →?∞ →∞→22 1 2211lim 211lim 211lim 注:此题的求解用到事实(例1):若 a a n n =∞ →lim ,且 Λ,2,1,0=≥n a n ,则 a a n n =∞ →lim . (5) n n n ??? ?? +∞ →211lim 解 因为数列??????? ?????? ??+n n 11单调增加,且有上界 3,于是 ) (,13111112 22∞→→? ? ?? +=??? ??+ ,所以 111lim 2=??? ?? +∞ →n n n 2.试问下面的解题方法是否正确:求n n 2lim ∞→ 解 不正确. 因为极限n n 2lim ∞ →是否存在还不知道(事实上极限n n 2lim ∞ →不存在),所以设 a n n =∞ →2lim 是错误的. 3.证明下列数列极限存在并求其值: (1)设 Λ ,2,1,2,211===+n a a a n n 证明 先证数列 }{n a 的有界性,用数学归纳法证明:2是}{n a 的一个上界. 221<=a ,假设2 其次证明}{n a 单调增加. 0 2) 2(21>+-=-=-+n n n n n n n n a a a a a a a a ,所以n n a a >+1 , 即}{n a 单调增加. 从而}{n a 极限存在,设a a n n =∞→lim ,在n n a a 221 =+的两端取极限,得a a 22=,解之得 a = 0 (舍去) 和 2,所以2 lim =∞→n n a . 注: }{n a 的单调增加也可以如下证明: 12 2 221=>==+n n n n n a a a a a ,所以 n n a a >+1. 还可以如下得到:121214 12121 4 1211 22++ ++++ ++=< = +n n a a n n n ΛΛ (2)设Λ ,2,1,),0(11=+=>=+n a c a c c a n n 证明 先证数列 }{n a 的有界性,用数学归纳法证明:}{n a 的一个上界是 1 + c . c c a +<=11,假设c a n +<1,则c c c c a c a n n +=++<+<+=+112122 1, 所以 }{n a 有上界1 + c . 其次证明 }{n a 单调增加(用数学归纳法证明). 21a c c c a =+<=,假设 n n a a <-1,于是n n a c a c +<+-1,从而n n a c a c +<+-1,即1+ 增加. 所以}{n a 极限存在,设a a n n =∞→lim ,在n n a c a +=+21的两端取极限,得a c a +=2, 解之得 2411c a +±= . 由于a n > 0 ,所以 a > 0 . 故 2 lim =∞→n n a . (3)Λ ,2,1),0(!=>=n c n c a n n 证明 先证 }{n a 从某一项以后单调减少. 取自然数 N 使得 N > c ,于是当N n >时, n n n n n n a a N c a n c n c n c n c a <+<+=+=+=++11!1)!1(11 ,即从第N 项开始}{n a 单调减少. 由于 }{n a 的各项都大于零,所以}{n a 有下界0. 从而}{n a 极限存在. 设a a n n =∞→lim , 在 n n a n c a 11 +=+的两端取极限,得a a ?=0,故0=a ,即0lim =∞→n n a . 4.利用??????? ?????? ??+n n 11为递增数列的结论,证明??? ?????????? ??++ n n 111为递增数列. 证明 设 n n n n n n a ? ?? ??++=??? ??++=12111,要证:Λ,3,2,1=≤-n a a n n ,即 因为????????????? ??+n n 11为递增数列,所以有111111+??? ??++?? ? ?+n n n n , 即1 121+??? ??++?? ??+n n n n n n ,于是 n n n n n n a n n n n n n n n n n n n n n a =??? ??++<+?++???? ??++=+?? ? ??++ ? ? ??+=+--121121211211 1 1 . 其中用到事实:1)1()2(1122 ≤++=+?++? n n n n n n n . 5.应用柯西收敛准则,证明以下数列 }{n a 收敛: (1) n n n a 2sin 22sin 21sin 2+++= Λ 证明 不妨设m n >,则有 n m m m n n m m a a 2sin 2)2sin(2)1sin(||21+ ++++= -++Λ n m m n m m n m m 2121212sin 2)2sin(2)1sin(2121+ ++≤+++++≤++++ΛΛ ??? ??+++++?? ??+++=---+--+ΛΛΛm n m n m m n m 21212112121211211111 m m m 12 12211< =?=+ 所以,0>?ε,取 ε1= N ,N m n >?,,有ε<-||m n a a ,由柯西收敛准则,}{n a 收敛. (2) 222131211n a n ++++ =Λ 证明 不妨设m n >,则有 2221 )2(1)1(1||n m m a a m n + ++++= -Λ n n m m m m )1(1)2)(1(1)1(1-++++++≤Λ m n m n n m m m m 1111112111111<-=--+++-+++-=Λ 所以,0>?ε,取ε1= N ,N m n >?,,有ε<-||m n a a ,由柯西收敛准则,}{n a 收敛. 6.证明:若单调数列}{n a 含有一个收敛子列,则}{n a 收敛. 证明 不妨设 }{n a 是单调增加数列,}{k n a 是其收敛子列. 于是}{k n a 有界,即存在 0>M ,使得Λ,2,1,=≤k M a k n . 对单调增加数列}{n a 中的任一项m a 必有 M a a k m m ≤≤,即}{n a 单调增加有上界,从而收敛. 7.证明:若0>n a ,且1lim 1>=+∞→l a a n n n ,则0lim =∞→n n a 证明 因为1lim 1>=+∞→l a a n n n ,所以存在 r 使得1lim 1>>=+∞→r l a a n n n . 于是由数列极限 的保号性定理(),存在0>N ,当N n >时,r a a n n >+1,1+>n n ra a . 从而有n N n N N N a r a r ra a 13221--+++>>>>Λ, 因此, )(,001 1 ∞→→< <--+n r a a N n N n , 故 lim =∞ →n n a . 8.证明:若}{n a 为递增有界数列,则}sup{lim n n n a a =∞→;若}{n a 为递减有界数列, 则} inf{lim n n n a a =∞→. 又问逆命题成立否? 证明 证明过程参考教材,定理(单调有界定理). 逆命题不一定成立. 例如数列 ?????-=为偶数为奇数 n n n a n 1 11, 1 }sup{lim ==∞→n n n a a ,但 } {n a 不单调. 9.利用不等式 0),()1(11 >>-+>-++a b a b a n a b n n n ,证明: ????????????? ??++111n n 为递减数列,并由此推出????????????? ??+n n 11为有界数列. 证明 设 1 11+??? ??+=n n n a ,由不等式 )()1(1 1a b a n a b n n n -+>-++,有 1111++++-+->-n n n n n n a b a na b na a b ,于是b a na b na b n n n n +->++11, b na a na b n n n n 1+-+>. 在上式中令 1111,111-= -+=+=+=n n n b n n n a ,a b >,得 n n n n n n a ? ? ? ??-=??? ??-+=-11111 n n n n n n n n n n n n n n n ? ?? ??++?? ? ??+-??? ??++??? ??+>11111 n n n n a n n n n n n n =? ? ? ??+=??? ??++??? ??+=+1 1111 即 n n a a >-1 ,故??? ???????? ? ? ??++1 11n n 为递减数列. 而411111111 1 =??? ??+≤? ?? ??+?? ? ?++n n n n ,所以??????? ?????? ??+n n 11为有界数列. 10.证明: n n e n 3 )11(< +- 证 由上题知??????? ?????? ??++1 11n n 为递减数列,于是对任何n m >有, 1 1 1111++?? ? ??+>?? ? ??+m n n n ,令∞→m ,取极限得, e n n >?? ? ??++1 11 ① 又因为n n n n n n n n n n ??? ??++??? ??++??? ??+?=? ?? ? ?++113111111111 ② 由①、②得 n n n n n e ? ?? ??++?? ??+<+113111 ,从而 n n e n e n n 3 )11()11(< +-=+- 11.给定两正数 a 1 与 b 1 ( a 1 > b 1 ),作出其等差中项 2 1 12b a a += 与等比中项 112b a b =,一般地令 21n n n b a a += +,Λ,2,1,1==+n b a b n n n 证明:n n a ∞ →lim 与n n b ∞ →lim 皆存在且相等. 证明 因为 11b a >,所以有 n n n n n n a a a b a a =+<+= +221,即}{n a 单调减少. 同样 可得}{n b 单调增加. 于是有 1 11 12b b b a b a a a n n n n n n ≥=≥+=≥++,即}{n a 单调减少有 下界,}{n b 单调增加有上界,故n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 皆存在. 在 n n n b a a +=+12的两端取极限,可得n n n n b a ∞→∞→=lim lim 12.设}{n a 为有界数列,记},,sup{1Λ+=n n n a a a ,},,inf{1Λ+=n n n a a a 证明:⑴ 对任何正整数n ,n n a a ≥; ⑵ }{n a 为递减有界数列,}{n a 为递增有界数列,且对任何正整数n ,m 有m n a a ≥; ⑶ 设a 和a 分别是}{n a 和}{n a 的极限,则a a ≥; ⑷ }{n a 收敛的充要条件是a a = 证 ⑴ 对任何正整数n ,n n n n n n n a a a a a a a =≥≥=++},,inf{},,sup{11ΛΛ ⑵ 因为1211},,sup{},,sup{++++=≥=n n n n n n a a a a a a ΛΛ,Λ,2,1=n ,所以}{n a 为递减有界数列. 由 1211},,inf{},,inf{++++=≤=n n n n n n a a a a a a ΛΛ,知}{n a 为递增有界数列. 对任何正整数n ,m ,因为 }{n a 为递减有界数列,}{n a 为递增有界数列,所以有 m m n m n n a a a a ≥≥≥++. ⑶ 因为对任何正整数n ,m 有m n a a ≥,令∞→n 得,m n n a a a ≥=∞→lim ,即 m a a ≥,令∞→m 得 a a a m m =≥∞ →lim ,故a a ≥. ⑷ 设 }{n a 收敛,a a n n =∞→lim . 则0>?ε,0>?N ,N n >?,ε<-||a a n ,εε+<<-a a a n . 于是有εε+≤<-a a a n ,从而a a a n n ==∞→lim . 同理可得 a a a n n ==∞ →lim ,所以a a = 反之,设a a =. 由a a n n =∞→lim , a a a n n ==∞→lim ,得0>?ε,0>?N ,N n >?, 有 εε+<<-a a a n 及εε+<<-a a a n ,从而 εε+<≤≤<-a a a a a n n n 总练习题 1.求下列数列的极限: (1)n n n n 3lim 3+∞ → 解 当3>n 时,有n n 33 <,于是 )(,323323333∞→→?=?<+<=n n n n n n n n n ,所以 3 3lim 3=+∞ →n n n n (2)n n e n 5 lim ∞→ 解 设h e +=1,则当6>n 时, 6 2!6)5()1(!2)1(1)1(h n n n h h n n nh h e n n n --≥++-++=+=ΛΛ,于是 )(,0)5)(4)(3)(2)(1(!606 55∞→→-----?< 解法2 用 习题7的结论. 设n n e n a 5=,1)1(lim lim 5 1 51>=+=+∞→+∞→e n e e n a a n n n n n n ,从而 0lim lim 5 ==∞ →∞→n n n n a e n . 解法3 用 习题2⑸的结果0)) ((lim lim 5515==∞→∞→n n n n e n e n 解法4 用单调有界定理. 令n n e n a 5 =,则51)11(1n e a a n n +=+. 因为 e n n <=+∞→1)11(lim 5,所以存在0>N ,当N n >时,e n <+5)1 1(,从而当N n >时,1 )1 1(151<+=+n e a a n n . 于是从N n >起数列}{n a 递减,且有下界0,因此}{n a 收敛. 设a a n n =∞→lim ,在等式n n a n e a ?+=+51)11(1的两端取极限,得a e a ?=1 ,所以0=a . (3)) 122(lim n n n n ++-+∞→ 解 )] 1()12[(lim )122(lim +-++-+=++-+∞ →∞ →n n n n n n n n n 011121lim =??????++-++++=∞ →n n n n n 2.证明: (1)) 1|(|0lim 2<=∞ →q q n n n 证明 当0=q 时,结论成立. 当1||0< >+=h h q ,于是有n n h q )1(1+=,而由牛顿 二项式定理,当3>n 时有3 !3)2)(1()1(h n n n h n --≥+,从而 )(0!3)2)(1() 1(03 2 22 ∞→→--≤+= n ,所以 lim 2=∞ →n n q n 另解 用 习题2⑸的结果 )(sgn ))| |1(( lim lim 22==∞ →∞ →n n n n n q q n q n (2)) 1(,0lg lim ≥=∞→αα n n n 证明 因为0,lg > )(,02 2lg 2lg 021 ∞→→=<=< -n n n n n n n n αα αα,所以0lg lim =∞→αn n n . (3)0!1 lim =∞→n n n 证明 先证明不等式: n n n ? ?? ??>3!. 用数学归纳法证明,当1=n 时,显然不等式成立;假设 n n n ? ?? ??>3!成立,当 n + 1 时 n n n n n n n n n n n n ? ? ? ??+??? ??+?+=??? ???+>?+=+131)1(3)1(!)1()!1( 1 1 31113 31++??? ??+>?? ? ??+?? ? ??+=n n n n n n 故不等式n n n ? ?? ??>3!成立. 由此可得)(,03!10∞→→< 另解 用数学归纳法证明不等式:n n n ≥! 3.设a a n n =∞ →lim ,证明: (1)a n a a a n n =+++∞→Λ21lim (又问由此等式能否反过来推出a a n n =∞→lim ) 证明 因为a a n n =∞ →lim ,于是有11,0,0N n N >?>?>?ε, 2||ε < -a a n . 从而当 1N n >时,有 n na a a a a n a a a n n -+++=-+++ΛΛ21 21 22||||||||||||12121111εε+≤?-+≤-++-+-+ -++-+-≤++n A n N n n A n a a a a a a n a a a a a a n N N N ΛΛ 其中||||||121a a a a a a A N -++-+-=Λ是一个定数. 再由0lim =∞→n A n ,知存在 02>N ,使得当2N n >时,2ε< n A . 因此取},m ax {21N N N =,当N n >时,有 ε ε εε=+<+≤-+++22221n A a n a a a n Λ. 反过来不一定成立. 例如n n a )1(-=不收敛,但0lim 21=+++∞→n a a a n n Λ. 练习:设+∞=∞→n n a lim ,证明:+∞=+++∞→n a a a n n Λ21lim (2) 若),2,1(0Λ=>n a n ,则a a a a n n n =∞→Λ21lim 证明 先证算术平均值—几何平均值—调和平均值不等式: n a a a a a a a a a n n n n n +++≤ ≤+++ΛΛΛ2121211 11 算术平均值—几何平均值不等式: n a a a a a a n n n +++≤ ΛΛ2121 对任何非负实数1a ,2a 有 2)(2 12 121a a a a +≤ ,其中等号当且仅当21a a =时成立. 由此推出,对4个非负实数1a ,2a ,3a ,4a 有 2 1 43212 12 1432 1214 14321) 22(])()[()(a a a a a a a a a a a a +?+≤= 42224321 4 321a a a a a a a a +++=++ +≤ 按此方法继续下去,可推出不等式n a a a a a a n n n +++≤ΛΛ21 21对一切k n 2=( Λ,2,1,0=k )都成立,为证其对一切正整数n 都成立,下面采用所谓的反向归纳法,即 证明:若不等式对某个)2(≥n 成立,则它对1-n 也成立. 设非负实数 121,,,-n a a a Λ,令 )(11 121-+++-= n n a a a n a Λ,则有 ) 1(1)1()(1 211211 1211121-+++++++≤-+++?----n a a a a a a n n a a a a a a n n n n n n ΛΛΛΛ 整理后得 )(11 ) (1211 1121---+++-≤ n n n a a a n a a a ΛΛ,即不等式对1-n 成立,从而 对一切正整数n 都成立. 几何平均值—调和平均值不等式n n n a a a a a a n ΛΛ21211 11≤+++的证明,可令 i i x y 1= ,再对i y (n i ,,2,1Λ=)应用平均值不等式. 由),2,1(0Λ=>n a n ,知0lim ≥=∞→a a n n . 若0≠a ,则 a a n n 11lim =∞→. 由上一小题的结论,有 ) (,1 11212121∞→→+++≤ ≤+++n a n a a a a a a a a a n n n n n ΛΛΛ 而a a n a a a a a a n n n n n ==+++=+++∞→∞→1 1 1111lim 111lim 2121ΛΛ,所以 a a a a n n n =∞ →Λ21lim . 若0=a ,即0 lim =∞→n n a ,则11,0,0N n N >?>?>?ε,ε a . 从而当1N n >时, 有 n N n n N n n N N n n a a a a a a a a a a a 1 1112112121-+?≤?=εΛΛΛΛ ε εεε ?=?=?=--n n N N n N n n N A a a a a a a 11112121ΛΛ 其中 1 121N N a a a A -=εΛ,是定数,故2 1lim <=∞ →n n A ,于是存在02>N ,使得当 2N n >时,2 ε ε221≤n n n A a a a Λ,故0 lim 21=∞ →n n n a a a Λ 4.应用上题的结论证明下列各题: (1)0 131211lim =++++ ∞ →n n n Λ 证明 令n a n 1= ,则01 lim lim ==∞→∞→n a n n n ,所以0 1 31211lim =++++ ∞ →n n n Λ. (2)) 0(1lim >=∞ →a a n n 证明 令a a =1,Λ,3,2,1==n a n ,则1lim =∞→n n a ,从而 1 lim lim lim 21===∞ →∞ →∞ →n n n n n n n a a a a a Λ (3)1 lim =∞ →n n n 证明 令11=a ,Λ,3,2,1=-= n n n a n ,则1lim =∞→n n a ,于是 1lim lim 13423121lim lim 21===-?????=∞→∞ →∞→∞→n n n n n n n n n a a a a n n n ΛΛ. (4) ! 1lim =∞→n n n 证明 令 Λ,2,1,1 == n n a n ,则0lim =∞→n n a ,所以 1lim 1211lim 3211lim !1lim ==???=????=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n ΛΛ (5)e n n n n =∞→!lim 证明 令 Λ ,3,2,11111 1 =?? ? ?? -+=? ?? ??-=--n n n n a n n n ,则e a n n =∞ →lim ,所以 e n n n n n n n n n n n n n n n n n n =?? ? ??-=?? ? ??-???? ?????? ?????? ???==-∞→-∞→∞→∞→1 1 4 3 2 1lim 14534232lim !lim !lim 另证 令Λ,2,1,!==n n n a n n ,则e n a a n n n n n =??? ??-+=-∞ →-∞→1 1111lim lim . 于是 e a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n ==???==-∞→-∞→∞→∞→112312lim lim lim !lim Λ. (6)1321lim 3=++++∞→n n n n Λ 证明 因为1lim =∞→n n n ,所以1lim 321lim 3==++++∞→∞→n n n n n n n Λ (7)若)0(lim 1>=+∞→n n n n b a b b ,则a b n n n =∞→lim 证明 n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b 1 12312112312lim lim lim lim ∞ →+∞→+∞ →∞ →????=????=ΛΛ a b b n n n =?=+∞→1lim 1 (8)若d a a n n n =--∞→)(lim 1,则d n a n n =∞→lim 证明 设10 =a ??????-++-+-+=-∞→∞→n a a a a a a n a n a n n n n n )()()(lim lim 11201 0Λ d a a n a a a a a a n a n n n n n n n =-+=-++-+-+=-∞→-∞→∞→)(lim 0)()()(lim lim 1112010Λ 5.证明:若}{n a 为递增数列,}{n b 为递减数列,且 0)(lim =-∞→n n n b a ,则n n a ∞→lim 与n n b ∞ →lim 都存在且相等. 证明 因为 )(lim =-∞ →n n n b a ,所以 }{n n b a -有界,于是存在0>M ,使得 M b a M n n ≤-≤-. 从而有1b M b M a n n +≤+≤, M a M a b n n -≥-≥1,因此} {n a 为递增有上界数列,}{n b 为递减有下界数列,故n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 都存在. 又因为 0)(lim lim lim =-=-∞ →∞ →∞ →n n n n n n n b a b a ,所以 n n n n b a ∞ →∞ →=lim lim . 6.设数列 }{n a 满足:存在正数M ,对一切 n 有 M a a a a a a A n n n ≤-+-+-=-||||||12312 证明:数列}{n a 与}{n A 都收敛. 证明 数列 }{n A 单调增加有界,故收敛. 由柯西收敛准则,0,0>?>?N ε,当 N n m >>时,ε<-||n m A A . 于是 ε<-=-++-+-≤-+---n m n n m m m m n m A A a a a a a a a a ||||||||1211Λ 所以由柯西收敛准则,知数列}{n a 收敛. 7.设??? ??+=>>a a a a σσ21,0,01, ???? ??+=+n n n a a a σ211, Λ,2,1=n , 证明:数列}{n a 收敛,且其极限为σ 证明 因为 σσ σ=?≥???? ??+= +n n n n n a a a a a 211,故数列}{n a 有下界σ. 1 12112121=??? ??+≤???? ??+=+σ σ σn n n a a a ,于是n n a a ≤+1,即数列}{n a 单调减少,从而数列} {n a 收敛. 设A a n n =∞→lim ,由???? ??+=+n n n a a a σ211,得σ+=+212n n n a a a ,两端取极限得,σ+=222A A ,解得σ=A ,所以σ =∞→n n a lim . 8.设011>>b a ,记211--+= n n n b a a , 111 12----+?=n n n n n b a b a b ,Λ,3,2=n . 证明:数列}{n a 与}{n b 的极限都存在且等于11b a . 证 因为 1111211112 1 2111112)(2--------------+?-+= ++≤+?=n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b n n n n n n n n n b b a b a b a b a -+=+?-+=--------111111112,所以n n n n a b a b =+≤--21 1,Λ,3,2=n 数列}{n a 是递减的:n n n n n n a a a b a a =+≤+=+221,Λ,2,1=n 数列}{n a 有下界:021 1≥+= --n n n b a a ,Λ,2,1=n ,所以}{n a 收敛,设a a n n =∞→lim . 数列}{n b 是递增的:1 1 111111122---------=+?≥+?=n n n n n n n n n n b a a b a b a b a b ,Λ,3,2=n 数列}{n b 有上界:1a a b n n ≤≤,Λ,2,1=n ,所以}{n b 收敛,设b b n n =∞→lim . 令∞→n 在21 1 --+=n n n b a a 的两端取极限,得b a =. 211--+= n n n b a a 与 111 12----+?=n n n n n b a b a b 两端分别相乘,得11--=n n n n b a b a ,Λ,3,2=n 所以有11b a b a n n =,Λ,3,2=n ,令∞→n 取极限得11b a ab =,从而11b a a = q ,令0,1||1