立方根
立方根
1．立方根的概念及表示方法
(1)立方根的概念：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 就叫做a 的立
方根(也叫做三次方根)．如23＝8，那么2就叫做8的立方根，由于????－323＝－278，所以－32
叫做－27
8的立方根．
(2)立方根的表示方法：a 的立方根可表示为“3
a ”，读作“三次根号a ”，其中“3”是根指数，“a ”是被开方数．要注意，这里的根指数“3”不能省略．例如：2的立方根可
表示为3
2.
【例1－1】 求下列各数的立方根：
(1)8；(2)－125；(3)1
27
；(4)－0.064；(5)0；(6)－6.
【例1－2】 下列语句正确的是( )． A ．64的立方根是2 B ．－3是27的立方根
C ．125216的立方根是±5
6 D ．(－1)2的立方根是－1
2．立方根的性质
(1)立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.
(2)开立方
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．如同开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．
【例2】 有下列命题：①负数没有立方根；②一个数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0.其中错误的是( )．
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①③④ 3．立方根的应用
立方根在日常生活中应用很广泛，如求物体的体积等．
【例3】 某金属冶炼厂，将27个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭，量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160 cm 、80 cm 和40 cm ，求原来立方体钢锭的边长为多少？
4．立方根的化简公式
3
－a ＝－3a ；3
a 3
＝a ；(3
a )3＝a .
如果x 3
＝a ，那么x 就是a 的立方根，即x ＝3
a ，所以x 3
＝(3
a )3＝a .同样，根据定义，a 3
是a 的三次方，所以a 3
的立方根就是a ，即3
a 3＝a .
设x 3
＝a ，则(－x )3
＝－x 3
＝－a .根据立方根的定义可知，x ＝3
a ，－x ＝3
－a .3
－a ＝－
3
a .
要深入理解立方根的性质，必须掌握以上性质公式． 【例4】 化简：
(1)3
－64；(2)3
0.000 125；(3)－
3
338
.
5．灵活利用立方根与平方根解题
平方根与立方根是两个很相近的概念，如果不正确地认识和理解它们的异同，在解题中很容易引起混淆而造成解题错误．
(1)区别：①定义不同．平方根：如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根．立方根：如果x 3
＝a ，那么x 叫做a 的立方根．②表示方法不同．正数a 的平方根记为±a ，数a 的立方根
记为3
a .表示平方根时，根指数2一般省略不写，但是用根号表示立方根时，根指数3绝对不能省略，否则就与二次根式混淆了．③读法不同．正数a 的平方根±a ，读作“正、负根
号a ”．数a 的立方根3
a 读作“三次根号a 或a 的立方根”．④被开方数的取值范围不同．在
平方根±a 中，被开方数a 是非负数，即a ≥0.但在3
a 中，a 可以是任意的数．⑤根的个数不同．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．任何数都存在立方根，一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
(2)联系：求平方根与立方根的运算都是开方运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算，都是乘方的逆运算．
【例5－1】 已知a 3＋64＋|b 3－27|＝0，求(a －b )b 的立方根．
【例5－2】 已知3
5x ＋32＝－2，求x ＋17的平方根．
课后练习
1.填空题
(1)
1214
的平方根是_________； (2)(－4
1
)2的算术平方根是_________；
(3)一个正数的平方根是2a －1与－a +2，则a =_________，这个正数是_________； (4)25的算术平方根是_________； (5)9
－2
的算术平方根是_________；
(6)4的值等于_________，4的平方根为_________； (7)(－4)2的平方根是_________，算术平方根是_________. （8）若9x 2－49=0,则x =________.
(9)若12+x 有意义，则x 范围是________.
(10)已知｜x －4｜+y x +2=0,那么x =________,y =________. (11)如果a ＜0,那么2a =________,(a -)2=________.
2.选择题
(1)2
)2(-的化简结果是
A.2
B.－2
C.2或－2
D.4
(2)9的算术平方根是 A.±3
B.3
C.±3
D.
3
(3)(－11)2的平方根是
A.121
B.11
C.±11
D.没有平方根 (4)下列式子中，正确的是 A.55-=-
B.－6.3=－0.6
C.2
)13(-=13
D.36=±6
(5)7－2
的算术平方根是 A.
71
B.7
C.
4
1 D.4
(6)16的平方根是 A.±4
B.24
C.±2
D.±2
(7)一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是 A.a +2
B.a －2
C.a +2
D.a 2+2
(8)下列说法正确的是
A.－2是－4的平方根
B.2是(－2)2的算术平方根
C.(－2)2的平方根是2
D.8的平方根是4 (9)16的平方根是 A.4
B.－4
C.±
D.±2
(10)169+的值是 A.7
B.－1
C.1
D.－7
牢记1-9的立方 一、选择题
1.下列说法中正确的是（ ） A.－4没有立方根 B.1的立方根是±1 C.
36
1
的立方根是61
D.－5的立方根是35-
2.在下列各式中：327102
=3
4
3
001.0=0.1,301.0 =0.1,－33)27(-=－27,其中正确
的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
3.若m <0，则m 的立方根是（ ）
A.3m
B.－
3
m
C.±3m
D.
3
m -
4.如果36x -是6－x 的三次算术根，那么（ ）
A.x <6
B.x =6
C.x ≤6
D.x 是任意数 5.下列说法中，正确的是（ ）
A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 3.选择题
(1)如果a 是(－3)2的平方根，那么3a 等于（ ） A.－3
B.－33
C.±3
D.33或－33
(2)若x ＜0，则332x x -等于（ ）
A.x
B.2x
C.0
D.－2x (3)若a 2=(－5)2,b 3=(－5)3,则a +b 的值为（ ） A.0 B.±10 C.0或10
D.0或－10
（5）如果2(x －2)3=64
3
,则x 等于（ ） A.
2
1
B.27
C.21或2
7 D.以上答案都不对
二、填空题
6.364的平方根是______.
7.（3x －2）3=0.343,则x =______.
8.若8
1-
x +x -81
有意义，则3x =______.
9.若x <0，则2x =______,33x =______. 10.若x =(35-)3，则1--x =______.
2.填空题
(1)如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是________. (2)327
1
-
=________， (38)3=________ (3)364的平方根是________. 三、解答题
11.求下列各数的立方根 （1）729 （2）－4
2717 （3）－216
125 （4）（－5）3
12.求下列各式中的x .
(1)125x 3=8 (2)(－2+x )3=－216
(3)32-x =－2 (4)27(x +1)3+64=0
三、解答题
13.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.
14.已知:2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值.
15.已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长.
第三讲 平方根和立方根的应用
第三讲 平方根和立方根的应用 【学习目标】 1、进一步了解理解平方根，算术平方根，立方根和开立方的概念； 2、会用根号表示一个数的平方根，算术平方根，立方根，掌握三者的基本运算以及它们与相反数、倒数、绝对值相结合的简单运算；熟练掌握一些基本数的平方和立方，以便解决开平方和开立方的运算。 3、掌握平方根和立方根的一些简单的综合利用，让学生知道数学来源于实际生活，增强学生数学的学习兴趣。 【知识要点】 1、算术平方根、平方根与立方根的区别与联系： （1） 区别： A 、根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。 B 、被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数；立方根中被开方数可以是任何数。 C 、 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果；算术平方根只有一个，且是正数;立方根的结果只有一。 （2） 联系：二者都是与乘方运算互为逆运算。 特别注意： a a =2)( a a =2 a a =33 a a =33)( 2、无理数的相反数、倒数、绝对值与有理数的相反数、倒数、绝对值类似。 3、比较两个无理数的大小：（1）＞b 0≥a ?＞b （2）a ＞b 3a ?＞3b 或 3a ＞3b 4、含有二次根号式子取最小值时，当且仅当被开方数为0，且被开方数为非负数有意义。 5、简单方程的解法以及二次根式非负性的性质。 【典型例题】 例1、下列说法，正确的有（ ）
（1） 只有非负数才有平方根和立方根；（2）如果a 有立方根，那么a 一定是正数 ；（3）如果a 没有平方根，那么a 一定是负数 ；（4）立方根等于它本身的数是0；（5）一个正数的平方根一定大于它的立方根。 A ．1个 B 2个 C3个 D4 例2、a.由于6443=，则 是 的立方； 是 的立方根。 b.若 a -＞0,则=22)(a ; =33a 例3、13-的相反数是 ；2-的绝对值是 ；()331-的倒数 是 。 例4、A.若a=23-,b=-∣－2∣，c=33)2(--,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）. A. a ＞b ＞c B. c ＞a ＞b C. b ＞a ＞c D. c ＞b ＞a B.比较大小：5.1 45 ；3213+m 322-m ；3 32 例5、多项选择题：下列各数没有算术平方根的是（ ），有立方根的是（ ） A ．－﹙－2﹚ B ．3)3(- C ．2)1(- D ．11.1 例6、如果53-x +1有意义，则x 可以取的最小整数为 ，若有意义， 最小值是 。 例7、 A 、解方程 8)12(3-=-x B 、若8-+b a =0，则a b 的立方根是多少？ 【经典练习】 一、 判断题 （1） 只有正数才有平方根、算术平方根和立方根 （ ） （2）如果a 没有平方根 ，那么a 也没有立方根 （ ） （3）如果a 有立方根 ，那么a 也有平方根 （ ）
第5讲 立方根
第五讲 立方根 一．知识要点 1．立方根： ． 2．开立方： ． 3．立方根的性质： ． 4．平方根与立方根的区别与联系： 联系：(1) ． (2) ． 区别：(1) (2) (3) (4) 5．逼近思想（估算）：通过估算比较两个数的大小 估计一个无理数的大致范围的方法： 若a ＜21a ，则 ；若 ，则 ． 6．误差：答案一般有两个； 二．典例分析 例1．求下列各数的立方根： （1）-27； （2）827-； （3）-5； （4）0．216； （5）0； （6）7； （7）5 158 -； （8）0．512 例2 ____= 1（ 2（ 3（ (4) 例3 求下列各式的值：3 ____= （1）3 ____= (2) 3____= (3) 3(____= （4）3____= 例4．求下列各式中的x 值： 3 27174+
37118 x += （）； 3 (2)27(1)80x -+=； 例5．估算下列数的大小（11） （20．1） 例6．通过估算，比较下列各组数的大小 （11 2 (2) 1 2 (3) 3.85 （4）2________ 3 ； （5； 例7:x y ． 例8＝2 1a -0的值． 例9．已知：M a a b =++-82 是a +8的算术数平方根，N b a b =--+324是b -3立方根，求M N +的平 方根． 例10．已知32-x 与311y -互为相反数，求 x y -的值． 例11．当01a <<，下列关系式成立的是（ ） A a >a > B a D a >a < 例12．下列命题中正确的是（ ） （1）0．027的立方根是0．3；（2）3a 不可能是负数；（3）如果a 是b 的立方根，那么ab ≥0;(4)一个
八年级数学第共享课程2讲“平方立方根”出门考试卷
八年级数学上第2讲“平方立方根”出门考试卷 时间：10分钟满分100分 姓名：分数： 一．选择题（共3小题） 1．的算术平方根是（） A．±16 B．16 C．±4 D．4 2．下列说法正确的是（） A．（﹣1）2是1的算术平方根 B．﹣1是1的算术平方根 C．（﹣2）2的算术平方根是﹣2 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是0 3．若一个数的立方根是﹣3，则该数为（） A．B．﹣27 C．±D．±27 二．填空题（共3小题） 4．已知（﹣x）2=25，则x=；=7，则x=． 5．﹣52的平方根为﹣5． 6．的平方根是；的立方根是2，则a=． 三．解答题（共2小题） 7．王师傅打算用铁皮焊制一密封的正方体水箱，使其容积为1.331m3，求需要多大面积的铁皮．
8．如图，用R表示足球的半径，球的表面积公式为S=4πR2．如果做一个足球需要的橡胶布的面积为1936π cm2，则足球的半径R为多少？ 一．选择题 1． 【分析】首先根据算术平方根的定义求出的结果，然后再求结果的平方根．【解答】解：∵=16， 又∵（±4）2=16， ∴16的平方根为±4， 则16的算术平方根为4． 故选D． 2． 【分析】利用算术平方根的定义计算，即可做出判断． 【解答】解：A、（﹣1）2=1，1的算术平方根为1，即（﹣1）2是1的算术平方根，本选项正确； B、1的算术平方根是1，本选项错误； C、（﹣2）2=4，4的算术平方根为2，本选项错误； D、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0和1，本选项错误， 故选A 3． 【分析】由于立方根和立方为互逆运算，因此只需求得﹣3的立方即可解决问题．【解答】解：这个数=（﹣3）3=﹣27． 故选：B． 二．填空题 4．
02第二讲 数的开方
代数（一） 根式计算（一） ——数的开方【知识要点】 1．平方根与立方根 定义：若一个数的n次方等于a，这个数叫做a的n次方根。其中a是被开方数，n是根指数。 性质：（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根； （2）任何数a的奇次方根只有一个，且与a同正负； （3）0的任何次方根为0。 【典型例题】 例1（1）求下列各数的平方根及算术平方根： 196 169 ，()25-， 24 1 25 ，0.0256。 （2 （3）求下列各数的平方根及立方根： 1 64 -，729，6 10-
例2（1）122 ++x x 的平方根为（ ） A ．没有平方根 B ．(1)x ±+ C ．0 D ．1 （2）1412 -+- x x 的平方根为（ ） A ．)2(2 1 -±x B ．没有平方根 C ．0或没有平方根 D ．0 （3）一个自然数的一个平方根是m -，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（ ） A ．1+m B ．12+m C ．1+± m D ．12+±m （4）下列各式中值为正数的是（ ） A ． C 例3 解下列方程 （1） 1442 x =25 （2） -10032)4()1(-=-x （3） 3 81250x += （4）5 51600x -= 例4 求x x -+中x 的值 例5 0=，求y x 的平方根。 例6 （1）已知536.1236.2=，858.46.23=，求236和00236.0的值。 （235.12=0.3512=，求x 。 例7 已知()2644n -==，求x 的值。
【练 习】 A 组 1．下列各式中正确的是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 2． 的立方根是（ ）． （A ）－4 （B ）±4 （C ）±2 （D ）－2 3． ，则 的值是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 4．下列四种说法中： （1）负数没有立方根； （2）1的立方根与平方根都是1； （3） 的平方根是 ； （4） ． 共有（ ）个是错误的． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 B 组 5．（1）125的立方根等于 ，－125的立方根等于 。 （2）0.216的立方根等于 ，()7 1-的立方根等于 。 （3）0.16的平方根等于 ，49的算术平方根等于 。 （4）平方根等于本身的数是 ，立方根等于本身的数是 。 （5）64的平方根的立方根等于 ，9的立方根可表示成 。 6．求下列各式的值： （1）21.1 （2）16- （3） 36 25 4+ ± （4（5（6）
平方根立方根的计算
平方根立方根的计算 一、填空题 1.如果x 的平方等于a ，那么x 就是a 的 ，所以的平方根是 2.非负数a 的平方根表示为 3.因为没有什么数的平方会等于 ， 所以负数没有平方根，因此被开方数一定是 或者 4 既 的平方根是 5.非负的平方根叫 平方根 6．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________； 7．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 8．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 9. x =则 ，若,x x =-=则 。 10．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，2 10-的算术平方根是 ； 11．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义； 12．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 13．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 14 _______；9的平方根是_______． 15．144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 16．327= ， 64-的立方根是 ； 17．7的平方根为 ，21.1= ； 18．一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数 是 ； 19．平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数 是 ； 20．当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 21．若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ； 22．若3x x =，则x= ；若x x -=2 ，则x ； 23．若0|2|1=-++y x ，则x+y= ； 24．计算： 381264 27 3292531+-+= ； 25．2 )8(-= ， 2)8(= 。 26．9的算术平方根是 ，16的算术平方根是 ； 27．2 10-的算术平方根是 ，0)5(-的平方根是 ； 28．一个正数有 个平方根，0有 个平方根，负数 平方根. 29．一个数的平方等于49，则这个数是 30．16的算术平方根是 ，平方根是 31．一个负数的平方等于81，则这个负数是 32．如果一个数的算术平方根是5，则这个数是 ，它的平方根是 33．25的平方根是 ； （-4）2 的平方根是 。 34．9的算术平方根是 ；3-2 的算术平方根是 。 35．若a 的平方根是±5，则a = 。 36．如果a 的平方根等于2±，那么_____=a ；
立方根和开立方知识讲解
立方根和开立方 【学习目标】 1. 了解立方根的含义； 2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【要点梳理】 要点一、立方根的定义 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3 x a =，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点诠释：一个数a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 要点二、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质 = a = 3 a = 要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左 移动1位.0.060.6660. 要点五、n次方根 如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根.当n 为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根. 求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数. 要点诠释：实数a的奇次方根有且只有一个，正数a的偶次方根有两个，它们互为相反 数；负数的偶次方根不存在.；零的n0 =. 【典型例题】 类型一、立方根的概念 1、下列结论正确的是（） A．64的立方根是±4 B． 1 2 -是 1 6 -的立方根 C．立方根等于本身的数只有0和1D=
【2018年暑期课程北师大版初二数学】第9讲：立方根-教案
2018年暑期课程说明 暑期课程是专为新年级的学生设计的一门衔接课程，课程设计特点主要是通过专项巩固与预习相结合，其主要目的是在于巩固既有知识，有效帮助学生培养预习学习习惯，为新年级奠定扎实的基础。 感谢以下老师在2018初二数学（北师版）暑期课程研发修订审核中的辛苦付出！ 修订人员：伍玲（郑州） 审核人员：初中数学备课组5（郑州） 为了更加提升我们的课程质量，请您扫描二维码，对2018暑期课程纠错。 感谢您使用暑期课程以及纠错反馈！
知识讲解： ●温故知新 1．计算：=31 ，=3)21( ，=30 ， =32.0 ，=-3 )3.0( ，=-3)43( ，=-3)51( 。 2.填一填：27(____)3=，64(____)3-=，125(____)3-=， 1258(____)3-= ●投石问路 1.要制作一种容积为273m 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？ 解：设这种包装箱的边长是xm ，则有 =27 想一想：这个问题，其实就是已知一个数的立方，反过来求这个数。即已知x a x ，求=3 2.什么叫立方根？什么叫开立方？ ①一般的，如果一个数x 的 等于a ，即a x =3，那么这个数x 叫做 立方根或 ，a 叫做 。 求一个数的 的运算，叫做 .立方与 互为逆运算。 ②填一填： 第九讲：立方根 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 北师大版 课时时长（分钟） 120 知识点 1、 立方根的定义 2、 立方根的性质 3、 开立方 4、 利用立方根、平方根的定义求字母的值 教学目标 1、掌握立方根的定义以及正数、负数、0的立方根的特点. 2、正确理解立方根的定义. 3、体验数学在实际生活中的作用. 教学重点 掌握立方根的定义. 教学难点 运用所学知识解决问题.
《用计算器求平方根和立方根》教案新部编本.docx
精品教学教案设计| Excellent teaching plan 教师学科教案[ 20–20学年度第__学期] 任教学科： _____________ 任教年级： _____________ 任教老师： _____________ xx市实验学校
精品教学教案设计| Excellent teaching plan 《用计算器求平方根和立方根》教案 教学目标 ( 一) 知识目标 1. 会用计算器求平方根和立方根. 2. 经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力. ( 二 ) 能力训练目标 1. 鼓励学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲. 2. 鼓励学生自己探索计算器的用法，并能熟悉用法. 3. 能用计算器探索有关规律的问题，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. ( 三 ) 情感与价值观目标 让学生经历运用计算器的活动，培养学生探索规律的能力，发展学生合理推理的能力.教学重点、难点 1. 探索计算器的用法. 2.用计算器探求数学规律 . 教学方法 学生自主探究法. 教学过程 ( 一) 新课导入 我们在前几节课分别学习了平方根和立方根的定义，还知道乘方与开方是互为逆运算. 比如23828 的立方根， 82 的立方，有时可以根据逆运算来求方根或平方、立方. 对于 1 =，叫叫 0以内数的立方，20以内数的平方要求大家牢记在心，这样可以根据逆运算快速地求出这些 特殊数的平方根或立方根，那么对于不特殊的数我们应怎么求其方根呢？可以根据估算的方 法来求，但是这样求方根的速度太慢，这节课我们就学习一种快速求方根的方法，用计算器开方 . ( 二) 新课讲解 【师】请大家互相看一下计算器，拿类型相同的计算器的同学请坐到一起. 这样便于大家互相讨论问题. 如果你的计算器的类型与书中的计算器的类型相同，请你按照书中的步骤 熟悉一下程序，若你的计算器的类型不同于书中的计算器，请拿相同类型计算器的同学先要 探索一下如何求平方根、立方根的步骤，把程序记下来，好吗？给大家 8分钟时间进行探索. 【师】现在根据自己掌握的程序计算 5.89，32 ,3 1285 , 5+1 7
2021人教版七年级下册 实数 立方根 讲义(解析版)
实数 立方根 知识讲解 一、立方根的定义 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 补充：一个数a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 二、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 补充：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 三、立方根的性质 = =a =；3a 补充：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 四、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 0.060.6，
660. 五、平方根与立方根的联系 典例讲解 例1、下列结论正确的是（ ） A ．64的立方根是±4 B ．12 -是16 -的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1D =【答案】D ； 【解析】64的立方根是4；12 -是18-的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1. 课堂巩固 1.下列说法正确的是（ ）
A ．一个数的立方根有两个 B ．一个非零数与它的立方根同号 C ．若一个数有立方根，则它就有平方根 D ．一个数的立方根是非负数 【答案】B ； 提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根. 2.下列说法正确的是（ ） A ．﹣4的立方是64 B ． 0.1的立方根是0.001 C ． 4的算术平方根是16 D ． 9的平方根是±3 【答案】D. 例2．（1）下列运算中错误的有（） ＝4± 4=4=-4=；⑤4= A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【详解】 4 4= 4=，④不符合题意，⑤2=±，⑤ 符合题意， （2）64的立方根是（） A ．4 B ．8 C ．8± D ．2 【答案】A 【详解】∵4的立方是64，∴64的立方根是4
2第二讲 立方根和开平方根 n次方根
第二讲 立方根、开立方、n 次方根 【典型例题1】（1）以下说法中正确的有（ ）. A ．16的平方根是4± B ．64的立方根是4± C ．27-的立方根是3- D ．81的平方根是9 【解】 C （2）下列说法正确的是（ ） A 一个数的立方根有两个，且他们互为相反数 B 任何一在个数必有立方根与平方根 C 一个数的立方根必与这个数同号 D 负数没有立方根 【解】 C 【知识点】 1、立方根概念：如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3 a ”表示， 读作“三次根号a ”， 3 a 中的 a 叫做被开方数，“3”叫做根指数。 2、立方根的性质：正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零。（任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根） 【基本习题限时训练】下列说法是否正确？如果不正确，请说明理由。 （1） 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。 （2） 只有零的立方根是它本身。 （3） 只有零的平方根是它本身。 （4） 1的平方根与立方根相同。 【解】（1） √ （2）× （3） √ （4）× 【拓展题1】 1、已知：x =b a m +是m 的立方根，而y=36- b 是x 的相反数，且m=3a-7。求a 、b 、m 的 值. 【解】由题意,可得?????-=-=-=+7363a m m b b a 解得?? ? ??=-==825 m b a 2、立方根有如下性质：3 ab =3 a ?3 b ，3b a =33 b a
计算：（1）36.2101.0?的值 （2）设32=m , 3 3=n ,用含m 、n 的代数式表示348、3 81 16 【解】（1）36.2101.0?=3216001.0?=3001.0?3 216=0.1×6=0.6 （2）348=386?=36×38=332?×2=2mn 38116=381163=33 3 2728??=333332728??=n m 32 ————————————————————————————— 【典型例题2】求下列各数的立方根： (1)1000 (2)278 - (3)001.0- (4)0 【解】（1）10 （2）-3 2 （3）-0.1 （4）0 【知识点】 求一个数a 的立方根的运算叫开立方 【基本习题限时训练】 (1)下列各式中值为正数的是( ) (A)()35 5.2- (B)-()32 4.3- (C)30 (D)37- 【解】D (2)下列说法中正确的是（ ） (A) 278的立方根是3 2 ± （B ）-125没有立方根 (C)0的立方根是0 （D ）()4832 =-- 【解】C （3）下列说法正确的是（ ） （A ）一个数的立方根一定比这数小 （B ）一个正数的立方根有两个 （C ）每一个数都有算术平方根 （D ）一个负数的立方根只有一个，且仍为负数 【解】D （4）如果-b 是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） （A ）-b=3 a (B)()a b =-3 (C)3a b = (D)a b =3 【拓展题2】
人教版七年级数学下册练习第4讲 平方根和立方根
第4讲 算术平方根、平方根、立方根 Ⅰ、算术平方根 如果一个正数x 的平方等于a ，那个这个正数x 叫做a 的算术平方根，记作_________； 0的算术平方根是________ Ⅱ、平方根 如果一个数的平方等于a ，那个这个数叫做a 的平方根或者二次方根，记作_________； 求一个数的________的运算，叫做开平方。 公式补充：①a )a (2= ②|a |a 2= 一．练习：（预习自主完成） 1. 81的算术平方根是（ ） A ．9± B ．9 C ．-9 D ．3 2 ） A. 49- B. 23 C. 49 D. 23- 3.下列说法不正确的是（ ） A 、9的算术平方根是3 B 、0的算术平方根是0 C 、负数没有算术平方根 D 、 因为2x a =，所以x 叫做a 的算术平方根 4. 如果 5.1=y ，那么y 的值是（ ） A ．2.25 B ．22.5 C ．2.55 D ．25.5 5. 计算()22-的结果是（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4 6. 下列各式中正确的是（ ） A ．525±= B ．()662-=- C ．()222-= D ．()332=- 7. 下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③a 的算术平方根是a ；④（π-4）的算术平方根是π-4；⑤算术平方根不可能是负数。其中，不正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 22
8. 已知5x 2=，则x 为（ ） A. 5 B. -5 C. ±5 D. 以上都不对 9．一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ）A ．a+1 B ．a2+1 C ．a +1 D ．1a 2+ 二、填空题： 1. 一个数的算术平方根是25，这个数是______; 算术平方根等于它本身的数有______;81的算术平方根是__________。 2. 144=_____4925=________ 0025.0=_______()=2196________()=-28________ 3. 当______m 时，m -3有意义； 4．已知0)3b (1a 22=+++，则 =32ab ________。 5．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 6．12+x 的算术平方根是2，则x ＝________． 7．若9x 2－49=0,则x=________. 8.已知7+3与3-7的小数部分分别为a 、b ，求a-b 的值。 9. 若2+a +︱b-1︳=0,求（a+b ）2019 。
用计算器求平方根与立方根 学案
用计算器求平方根与立方根 学习目标： 1.会用计算器求非负数的算术平方根、平方根.立方根.（难点） 2.根通过利用计算器开平（立），解决一些简单的实际问题.(重点） 学习重点：利用计算器开平（立）解决实际问题. 知识链接 1.计算:=-9 4±259 ；=44.1_____________. 2.计算: (1)327--=______；(2)3343 125 - =______；(3)3729.0-=______；(4)3216-=______. 二、新知预习 3.（1）如何用计算器计算平方根呢？ 按照要求用计算器求下列各数的值，并将结果填在表格中：（结果精确到0.001） 输入数 2 3 5 6 按键顺序 [来 源:https://www.wendangku.net/doc/7113202881.html,] 计算结果 （2）如果用计算器计算立方根根呢？ NOTE ：2ndF 是第二功能键，按下此键后，计算器将按键盘上红字所显示的功能进行计算 输入数 3 2 3 3 3 5 3 6 按键顺序 [来 源学科网Z.X.X.K] 计算结果 三、自学自测 1.用计算器求下列各式的近似值：（精确到0.001） （1）7；（2）3 252；（3）32 25；（4）3 12?? ??? . 四、我的疑惑 _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 自主学习
舟山市数学七年级下册：第10讲 立方根
舟山市数学七年级下册：第10讲立方根 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共8题；共16分) 1. （2分）的值是（） A . 4 B . 2 C . ±2 D . -2 2. （2分） (2019七下·呼和浩特期末) 的平方根是 ,用式子表示正确的是（） A . B . C . D . 3. （2分） (2016七下·莒县期中) 下列说法正确的是（） A . ﹣5是﹣25的平方根 B . 3是（﹣3）2的算术平方根 C . （﹣2）2的平方根是2 D . 8的平方根是±4 4. （2分） (2019七下·右玉期末) 下列说法错误的是） A . 4是16的算术平方根 B . 是的一个平方根 C . 的平方根 D . 的立方根 5. （2分） (2016七下·黄冈期中) 9的算术平方根是（） A . ±3 B . 3 C . D .
6. （2分）﹣27的立方根为（） A . ±3 B . 3 C . -3 D . 没有立方根 7. （2分） 16的算术平方根是（） A . 4 B . ±4 C . 8 D . ±8 8. （2分）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如．但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得． 请同学们观察下表： n0.0999*******… 0.3330300… 运用你发现的规律解决问题，已知≈1.435，则≈（） A . 14.35 B . 1.435 C . 0.1435 D . 143.5 二、填空题 (共10题；共30分) 9. （3分） (2019七下·新左旗期中) 的相反数是________，| -2|=________， =________． 10. （3分）(2016·十堰) 计算：| ﹣4|﹣（）﹣2=________． 11. （3分） (2020七下·厦门期末) 计算下列各题： （1） 4的平方根是________； （2） 25的算术平方根是________； （3） -8的立方根是________； （4） - 的相反数是________； （5）的绝对值是________；
立方根计算题
计算 1．（8分）.计算：（12 （2 2．计算（12分） （1）－26－（－5）2 ÷（－1）； （2）]2)3 2 (3[4322--?-- ； （3）－2（49－364-）＋│－7│ 3．（每小题4分，共12分） （1）32 2769----）（； （23-； （3）2121 049 x - =． 4．（本题共有2小题，每小题4分，共8分） （1）计算：38+1)3 1(-－02015； （2）已知：(x －1)2 ＝9，求x 的值． 5．（6分×2）（1）计算：2014011 (1)()3 p --+-（2）解方程：3 64(1)27x += 6．（8分）（1）计算：223281764)9(---+． （2）已知()01123 =++x ， 求x 的值． 7．4 1 8)14.3(1 302012 + --+-π 8．求下列各式中x 的值． (1)(x －2)3 ＝8； (2)64x 3 ＋27＝0． 9．计算： （1 （2）． 10(6－27)2 11．已知x ＋2的平方根是±2，2x ＋y ＋7的立方根是3，试求x 2 ＋y 的立方根． 12290x -=，求3x ＋6y 的立方根． 13．计算：-＝________．
14．求下列各式的值． （1； （2． 152 (27)0b -= 16．已知4x 2＝144，y 3 ＋8＝0，求x ＋y 的值． 17．已知x a = x ＋y ＋3的算术平方根，2x y b -= x ＋2y 的 立方根，试求b －a 的立方根． 18．求下列各式的值： 19 ） A ．± B ． C ．±3 D ．3 20．求下列各式中x 的值． （1）8x 3 ＋125＝0； （2）（x ＋2）3 ＝－27． 21．求下列各数的立方根． （1）611 64-； （2）93 2125 +． 22．计算题．（每题4分，共8分） （1－（ 12 ）－21）0 ； （2 +3. 23．计算：（－1）2 5︱ 24．（6分）计算：( ) 31 200745sin 2821-?- -?? ? ??- 25．计算（本题16分） （1）－7＋3＋（－6）－（－7） （2）)4(5)100(-?÷- （3） 384-+ （4）)836512 1 ()24(+- ?-
(完整版)平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解
6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解 第一部分：知识点讲解 1、学前准备【旧知回顾】 2.平方根 （1）平方根的定义：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根， 也叫做二次方根。即若a x =2 ，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。即有a x ±=，（0≥a ）。 （2）平方根的性质： （3）注意事项： a x ±=，a 称为被开方数，这里被开方数一定是一个非负数（0≥a ）。 （4）求一个数平方根的方法： （5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。它与平方互为逆运算。 3. 算术平方根 （1）算术平方根的定义：若a x =2 ，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。即有a x ±=， （0≥a ）。其中a x =叫做a 的算术平方根。
（2）算术平方根的性质： （3）注意点：在以后的计算题中，像2 2-52）（++，其中，25分别指的是2和 5的算术平方根。 4.几种重要的运算： ① b a ab ?= ()0,0>>b a , ab b a =?()0,0>>b a ② b a b a =)0,0(>≥b a , b a b a = )0,0(>≥b a ③ a a =2)()0(≥a , a a =2 ， a a =2 -）（ ★★★ 若0<+b a ，则()b a b a b a b a --=+-=+=+2 )( 5.立方根 （1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也 叫做三次方根。即若a x =3 ，则x 叫做a 的立方根。即有3a x =。 （2）立方根的性质： （3）开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
立方根 用计算器求立方根
立方根 用计算器求立方根 得分________ 班级_________ 姓名__________ A 组试题 一、填空题 1．-27的立方根是__________。 2．343 64-的立方根是__________。 3．64的立方根是_____________。 4．_________127 193=-- 5．立方根等于自身的相反数的数是_____________。 6．729的6次根等于____________。 二、选择题 1．-64的立方根是（） A ．-4 B ．4 C ．±4 D ．不存在 2．如果-b 是a 的立方根，那么下列结论正确的是（） A ．3 a b =- B ．a b =-3 C ．3a b = D ．a b =3 3．1的2n （n 为正整数）次方根是（） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．2n 4．下列语句正确的是（） A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零 B ．一个数的立方根不是正数就是负数 C ．负数没有立方根 D ．一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零 5．若一个数的算术平方根与它的立方根的值相同，则这个数是（）
A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．非负数 6．-27的立方根与81的平方根之和是（） A ．0 B ．-6 C ．0或-6 D ．6 7．下列各式中值为正数的是（） A ．35)5.2(- B ．32)4.3(-- C ．30 D ．3|7| 8．计算器按 按键所得计算结果（不得实际使用计算器）是（） A ．2.2 B ．0.4 C ．1.8 D ．-2.2 三、解答题 1．计算 （1）23)8(8-+- （2）53142325)27(225.0+-- 2．求下列各式中的x （1）0001.01.03=x （2）18 1313=-x （3）112)1()2(-+-=-n x （n 为正整数） 3．已知a 是b 的立方根，且a 、b 两数之差为0，求a
八数上实数第二讲
实数 知识点回顾: １．体验现实生活中存在不是有理数的数 ２．小数的分类 ?? ??????无限不循环小数无限循环小数无限小数有限小数小数 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示，反过来任何有限小数或无限循环小数也都是有理数． ３．近似计算和估算 利用两边逼近的方法． ４．无限不循环小数叫做无理数．无理数不能转化为分数，而有理数总可以转化为分数，即有理数都可以表示为）是互质的整数，且、的形式（0≠p q p p q ． 无理数(初中阶段)主要有三种： ①π； ②形如２.１０１００１０００１…（两个１之间０的个数逐次加１）的数； ③开方开不尽的数，如2，7-，35… ５．平方根和算术平方根 （1）如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 叫做a 的平方根． （2）一个正数的平方根有两个，它们互为相反数； ０有一个平方根，它是０本身； 负数没有平方根． （3）一个正数a 的平方根有两个，分别为a 和a -，我们把那个正的平方根a 叫做a 的算术平方根． 一个正数的算术平方根是一个正数；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根． 注：搞清几个符号表示的意义： ①的平方根表示a a ±； ②的正的平方根的算术平方根、表示a a a ； ③的算术平方根的相反数 的负的平方根、表示－a a a ． （４）开平方运算 求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，其中a 叫做被开方数；平方运算与开平方运算互为逆运算．
６．平方根（算术平方根）的性质 （１）a a :有意义的条件为±≥０； （２）a 是非负数，即a ≥０； （３）()())0(),0(22≥=-≥=a a a a a a ； （４）???<-≥==0 ,0,2a a a a a a ７．立方根的概念极其性质 （１）如果一个数的立方等于a ，即a x =3 ，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根）． a 的立方根表示为3a ，其中a 为被开方数，“3”符号中的３为根指数（这个数不能省略）；3a 读作“三次根号a ” 或“a 的立方根”． （２）开立方运算 求一个数a 的立方根的运算叫做开立方运算．开立方运算与立方运算互为逆运算． （３）立方根的性质 ①在3a 中，被开方数a 可以为正数、零、负数．3a 的正负与a 一致． ②33a a -=-． ③()a a a ==3333．
2018年七年级数学下册春季课程第三讲平方根与立方根的认识试题无答案新版新人教版
第三讲 平方根与立方根的认识 一、知识梳理： 要点一：平方根、算术平方根及立方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a ，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数 . 要点诠释：a ≥0，a ≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. 平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥a 的算术平方根. 3.立方根的定义 （1）如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点诠释：一个数a a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. （2）立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
要点二：平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三：平方根及立方根的性质 (0) ||0(0) (0) a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 立方根的性质： = a = 3 a = 要点诠释：立方根第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四：平方根及立方根小数点位数移动规律 平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = ， 0.25 =. 平方根及立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 0.06 0.6 6 ， 60. 二、课堂精讲： 【典型例题】 类型一：平方根、算术平方根及立方根的概念 例1：（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c 是的整数部分，求a+b+c的平方根．
立方根专题复习(教师版)
立方根专题复习（教师版） 【学习目标】 1. 了解立方根的含义； 2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【要点梳理】 要点一、立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果 3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点诠释：一个数a 的立方根，用3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 要点二、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质 3 3a a -=- 33 a a = () 3 3 a a = 要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，30.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝. 【典型例题】 类型一、立方根的概念 1、下列结论正确的是（ D ） A ．64的立方根是±4 B ．12- 是1 6 -的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1 D 332727-= 举一反三： 【变式1】下列说法正确的是（ B ） A ．一个数的立方根有两个 B ．一个非零数与它的立方根同号 C ．若一个数有立方根，则它就有平方根 D ．一个数的立方根是非负数 【变式2】下列说法正确的是（ D ） A ．﹣4的立方是64 B ． 0.1的立方根是0.001 C ． 4的算术平方根是16 D ． 9的平方根是±3 类型二、立方根的计算