新湘教版九年级下册数学全册教案
第1章二次函数
1.1二次函数
V教学目际
【知识与技能】
1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 【过程与方法】
经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.
【情感态度】
体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识.
【教学重点】
二次函数的概念.
【教学难点】
在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程?
A A r 2 λ
(l)y=(χ-3)2-χ2 : (2)y=2x (X-I) ； (3)y二3‘xT； (4)y二二；(5) y二5-x'+x.
【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析.
解：(2)(5)是二次函数,其余不是.
【教学说明】判定一个函数是否为一-次函数的思路：
1.将函数化为一般形式.
2.自变量的最高次数是2次.
3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0.
例2讲解教材P3例题.
【教学说明】山实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围.
例3已知函数y=(m2-m)x?x+(m+l) (In是常数)，当m为何值时：
(1)函数是一次函数；
(2)函数是二次函数.
【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零,列出相应方程或
不等式?
IKn I f nr C Zn ”" = 0或1
解：⑴由｛一〃Z = O得＜,
[in≠0[ tn≠O
Am-I.即当In=I 时，函数y= (m3~m)x2+mx+ (m+l)是一次函数.
(2)由m2-m≠0 得mH O 且InH 1,
?°?当InHO 且mH 1 时,函数y二(m2-m) x2+mx+ (m+1)是二次函数.
【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二次函数的一些
实际应用中的二次函数解析式.
四、运用新知，深化理解
1.下列函数中是二次函数的是( )
A. y =———! ---
B. y=3x3+2x*
C. y二(χ-2) 2-χ2
D. y = ?- Vlx2
x~ +2x-3
2.二次函数y二2x(χ-l)的一次项系数是( )
A. 1
B.-l
C. 2
D. -2
3.若函数y =伙-3)√-3A+2+A X+1是二次函数，则k的值为( )
A. O
B. O或3
C. 3
D.不确定
4.若y=(a÷2)x2-3x÷2是二次函数，则a的取值范围是 ______________ .
5.已知二次函数y=l-3x+5x3,则二次项系数a= , 一次项系数b= ,常数项
6.某校九（1）班共有X名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试
写出y与X之间的函数关系式_______________ ,它_______ （填"是”或"不是”）二次函数.
7?如图，在边长为5的正方形中，挖去一个半径为X的圆（圆心与正方形的中心重合），剩
余部分的面积为y?
（1）求y关于X的函数关系式；
（2）试求自变量X的取值范围;
（3）求当圆的半径为2时，剩余部分的面积（兀取3. 14,结果精确到十分位）?
【答案】1?D 2. D 3. A 4. a≠-2 5. 5, -3, 1 6. y = -χ1 2^-χ是
2 2
7.（1） y=25- ∏ x2=~ π x2+25.
（2）0 1 ?教材匕第「3题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 敦学反思 ■亠 【知识与技能】 1?会用描点法画函数y=ax2(a>0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质. 2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a>O)的图象和性质解决简单的实际问题? 【过程与方法】 经历探索二次函数y=ax2(a>0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯. 【情感态度】 通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=a√(a>0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性. 【教学重点】 1.会画y=ax2(a>0)的图象. 2.理解，掌握图象的性质. 【教学难点】 （3）当X二2 时，y=-4 π +25Q-4 X 3. 14+25=12. 44^=12. 4. 即剩余部分的面积约为12. 4. 【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，待学生完成上述作业后，教师指导. 五、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾二次函数的有关概念. 2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问？与同伴交流. 【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳. 1-2二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质 二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程. 一、情境导入，初步认识 问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么？二次函数图象是什么形状呢？ 问题2如何用描点法画一个函数图象呢？ 【教学说明】①略；②列表、描点、连线. 二、思考探究，获取新知 探究1画二次函数y=ax2(a>0)的图象? 画二次函数y=ax2的图象. 【教学说明】①要求同学们人人动手,按"列表、描点、连线”的步骤画图y二丘的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学. ②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征. ③强调画抛物线的三个误区. 误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势. 如图(1)就是y=x'的图象的错误画法. 误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形. 如图(2)就是漏掉点(0, 0)的y=x2的图象的错误画法. 误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止. 如图(3),就是到点(-2, 4), (2, 4)停住的y=x'图象的错误画法. 探究2 y=ax2(a>0)图象的性质在同一坐标系中，画出y=x',丄√,y=2√的图象? 2 【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导，强调画图时注意每一个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点)，从而归纳二次函数y=ax2(a>0)的图象和性质. 【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y随X的增大时的变化情况等儿个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调. y=ax2(a>0)图象的性质 1.图象开口向上. 2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最低点? 3.当x>0时，y随X的增大而增大，简称右升；当XVO时，y随X的增大而减小，简称左降. 三、典例精析，掌握新知 例已知函数y =伙+ 2)√+A-4是关于X的二次函数. ⑴求k的值. (2)k为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当X在哪个范围内取值时，y随X 的增大而增大？ 【分析】此题是考查二次函数y=ax:的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k的值，然后根据k÷2>0,求出k的取值范围，最后山y随X的增大而增大，求出X的取值范围. 解：⑴由已知得［/+2H° ,解得心2或2-3? k∏4 = 2 所以当k=2或k=-3时，函数y =伙+ 2)√+w是关于X的二次函数. (2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上,所以k÷2>0. 由(1)知22,最低点是(0,0),当XMo时，y随X的增大而增大. 四、运用新知，深化理解 1.(广东广州中考)下列函数中，当x>0时，y值随X值增大而减小的是( ) C 3 1 A.y二x' B. y=χ-l C. y = —x D? y二― 4 X 2.已知点(-l,y1), (2,yJ, (-3, y3)都在函数y二x'的图象上，则( ) A. y1 B. yι C. y3 D. y2 3.抛物线V=-X2的开口向，顶点坐标为，对称轴为， 3 ----------- --------------------- ------------------- 当X二-2时，y二_______ ；当y二3时，X= ________ ,当XWO时，y随X的增大而____________ : 当XAo时，y随X的增大而 ____________ . 4.如图，抛物线y=ax2上的点B, C与X轴上的点A (-5, 0) , D (3, 0)构成平行四边形ABCD, BC 与y轴交于点E (0, 6),求常数a的值. 【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导. 4 【答案】1?D 2. A 3. ±, (0, 0),y轴，±3,减小，增大 3 4?解：依题意得：BC=AD=8, BC〃x轴，且抛物线y=d上的点B, C关于y轴对称，乂T BC 与y 轴交于点E (0, 6) , ??? B 点为(-4, 6) , C 点为(4, 6),将(4, 6)代入y=aX= 得：a=-. 8 五、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾二次函数y=a√(a>0)图象的画法及其性质? 2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问？请与同伴交流. 宀谍后作业 1.教材P；第1、2题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. J敎字反思 本节课是从学生画y=x'的图象，从而掌握二次函数y=ax2(a>0)图象的画法，再山图象观 察、探究二次函数y=a√(a>0)的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.