不等式高考真题(含答案)
【2010课标卷】设函数f(x)=241x -+
（Ⅰ)画
出函数(x)的图像；
（Ⅱ）若不等式f(x)≤的解集非空，求a 的取值范围.
【答案】
【2011课标卷】设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集
（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值。
解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。
由此可得 3x ≥或1x ≤-。故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-。 ( Ⅱ) 由()0f x ≤得： 30x a x -+≤
此不等式化为不等式组30x a x a x ≥??-+≤?或30x a a x x ≤??-+≤? 即 4x a a x ≥???≤??
或2x a a a ≤???≤-?? 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a
x x ≤- 由题设可得2a
-= 1-，故2a =
【2012课标卷】 已知函数()2f x x a x =++-
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。
【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥?-+-≥
2323x x x ≤???-+-≥?或23323x x x <
x x x ≥???-+-≥? 1x ?≤或4x ≥
（2）原命题()4f x x ?≤-在[1,2]上恒成立24x a x x ?++-≤-在[1,2]上恒成立
22x a x ?--≤≤-在[1,2]上恒成立30a ?-≤≤
【2013课标Ⅰ卷】已知函数()f x |21||2|x x a -++()g x 3x +.
（Ⅰ）当a =2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；
（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12
)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 【解析】当a 2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，
设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ?-???
， 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0
∴原不等式解集是{|02}x x <<.
（Ⅱ）当x ∈[2a -，12
)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+， ∴2x a ≥-对x ∈[2a -，12)都成立，故2
a -≥2a -，即a ≤43， ∴a 的取值范围为（-1，43].
【2013课标Ⅱ卷】设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=，证明：
（Ⅰ）13ab bc ac ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a ++≥
【2014课标Ⅰ卷】若0,0a b >>，且
11ab a b +=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.
【解析】：(Ⅰ) 由11ab a b ab
=+≥，得2ab ≥，且当2a b ==时等号成立， 故3333342a b a b +≥=g ，且当2a b ==
时等号成立，∴33a b +的最小值为42. （Ⅱ）由62326a b ab =+≥，得32
ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾， 所以不存在,a b ，使得236a b +=成立.
【2014课标Ⅱ卷】设函数()f x =1(0)x x a a a
++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.
【2015课标Ⅰ卷】已知函数()12,
0f x x x a a =+--> .
（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；
（）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-??=+--≤≤??-++>?
，
所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3
a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△的面积为22(1)3
a +. 由题设得22(1)3
a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为（2，+∞）. 【2015课标Ⅱ卷】设,,,a
b
c
d 均为正数，且a b c d +=+，证明：
（Ⅰ）若ab cd >a b c d >
a b c d >是a b c d -<-的充要条件．
【解析】（Ⅰ）因为2)2a b a b ab =++，2(2c d c d cd =++，由题设a b c d +=+，ab cd >，得22(a b c d >a b c d >．
（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因
为a b c d +=+，所以ab cd >a b c d >
+ a b c d >+22()a b c d +>.
即2a b ab ++>2c d cd ++a b c d +=+，所以ab cd >.
于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<-.
a b c d >是a b c d -<-的充要条件．