二元一次方程组特殊解法

二元一次方程组的特殊解法

1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。

这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。

解二元一次方程的一般方法在此就不举例说明了。

2、灵活消元

（1）整体代入法

5. 解方程组y x x y +=+-=?????1423231

解：原方程组可变形为435231x y x y -=--=???

继续变形为232512312x y x x y -+=-<>-=<>

???

<2>代入<1>得：125

+=-x x =-3

解得：y =-73 方程组的解为x y =-=-????

?373 （2）先消常数法

例6. 解方程组433132152x y x y +=<>-=<>

??? 解：<1>×5－<2>得：17170x y +=

x y =-<>3

<3>代入<1>得：y =-3

把y =-3代入<3>得：x =3

所以原方程组的解为x y ==-???

33 （3）设参代入法

例7. 解方程组x y x y -=<>=<>???

321432:: 解：由<2>得：

x y 43= 设x y k 43==，则x ky k ==<>

433， 把<3>代入<1>得：492

k k -= 解得：k =-

25 把k =-25代入<3>，得：x y =-=-8565

， 所以原方程组的解是x y =-=-?????

??8565 （4）换元法

例8. 解方程组()()x y x y x y x y +--=+=-????

?23

634 解：设x y a x y b

+=-=，，则原方程组可变形为 3236340a b a b -=-=???，解得a b ==???2418

所以x y x y +=-=???

2418 解这个方程组，得：x y ==???213

所以原方程组的解是x y ==???

213

（5）简化系数法

例9. 解方程组43313442x y x y -=<>-=<>

???

解：<1>＋<2>得：777x y -= 所以x y -=<>

13 <1>－<2>得：xy +=-<>

14 由<3>、<4>得：x y ==-???

01

解三元一次方程组的消元技巧

解三元一次方程组的基本思想和解二元一次方程组一样也是消元，化三元为二元、一元，最终求出各未知数的值，完成解题过程.但是，在具体解题过程中，许多同学却难以下手，不清楚先消去哪个未知数好.下面就介绍几种常见的消元策略，供同学们学习时参考.

一、当方程组中含某个未知数的项系数成整数倍关系时，可先消去这个未知数

例1．解方程组24393251156713.x y z x y z x y z ++=??-+=??-+=?

，， ①②③

分析：方程组中含y 的项系数依次是4，－2，－6，且4=－2×（－2），－6=－2×3.由此可先消去未知数y .

解：①+②×2，得81331x z +=，④

②×3-③，得4820x z +=， ⑤

解由④、⑤组成的方程组，得13x z =-??=?

，⑥ 把⑥代入①，得12

y =， 所以原方程组的解是1312

x y z ??=-?=???=?.

二、当某个方程组中缺含某未知数的项时，可以从其余方程中消去所缺少的未知数.

例2．解方程组3472395978.x z x y z x y z +=??++=??-+=?

， ， ①②③

分析：因为方程①中缺少未知数y 项，故而可由②、③先消去y ，再求解. 解：②×3+③，得111035x z +=，④

解由①、④组成的方程组，得52

x z =??=-?， ⑤ 把⑤代入②，得13

y =，

所以原方程组的解为5132

x y z =???=??=-??. 三、当有两个方程缺少含某未知数的项时，可先用含公共未知数的代数式表示另外两个未知数，再用代入法消元.

例3．解方程组27532234 4.y x x y z x z =-??++=??-=?

， ， ①②③

分析：很明显，在方程①、③中，分别缺少未知数z 、y 的项，而都含有未

知数x 的项，从而可用含x 的代数式分别表示y 、z ，再代入②就可以直接消去y 、

z 了. 解：由③，得314

z x =-， ④ 把①、④代入②，得2x =， ⑤

把⑤代入①，得3y =-， ⑥ 把⑤代入③，得12

z =， 所以原方程组的解是2312

x y z ??=?=-???=?.

四、对于一些结构特殊的三元一次方程组，可采用一些特殊的方法消元

1．整体代入法

即将原方程组中的一个方程（或经过变形整理后的方程）整体代入其它方程中，从而达到消元求解的目的.

例4．解方程组5154383210791458.x y z x y z x y z -+=??-+=??-+=?

，， ①②③

分析：注意到①中的5155(3)x y x y -=-，这就与②有了联系，因此，①可化为5(32)638x y z z -+-=，把②整体代入该方程中，可求出z 的值，从而易得x 与y 的值.

解：由①，得5(32)638x y z z -+-=， ④

把②整体代入④，得2z =，

把2z =代入①、③，得515307930

x y x y -=??-=?. ⑤ 解⑤，得31x y =??=-?

. 所以原方程组的解是312x y z =??=-??=?

.

2．整体加减法

例5．解方程组1151.x y z y z x z x y +-=??+-=??+-=?

， ， ①②③

分析：方程组中每个未知数均出现了三次，且含各未知数的项系数和均为1，故可采用整体相加的方法.

解：①+②+③，得17x y z ++=， ④

再由④分别减去①、②、③各式，分别得3z =， 6x =，8y =.

所以原方程组的解是683x y z =??=??=?

.

3．整体改造

例6．解方程组2011487271045477.x y z x y z x y z +-=??+-=??+-=?

， ， ①②③

分析：按常规方法逐步消元，非常繁杂.考察系数关系：②中含y 、z 项的系数是①中对应系数的4倍；③中含x 、z 项的系数是①中对应系数的27倍.因此可对②、③进行整体改造后，综合加减法和代入法求解.

解：由②、③，得74(2)727(2)7777.x x y z x y z y ++-=??+-+=?， ④⑤

再将①代入④、⑤，得1x =，1y =.把x 、y 的值代入，得1z =.

所以原方程组的解为111x y z =??=??=?

.

4．参数法

例7．解方程组34524.x y z x y z ?==???++=?， ①②

分析：由于345x y z ==，所以可设345

x y z ==k =，则得 3x k =，4y k =，5z k =. ③

③代入②可得2k =，代入③易求x 、y 、z . 解：设345

x y z ==k =，则得 3x k =，4y k =，5z k =. ③

③代入②，得2k =，代入③，得6810x y z =??=??=?

.

评注：这里的k 被称为辅助未知数（或参数）.由于它的中介作用，避免了原方程组中三个未知数x 、y 、z 的直接变换消元，从而大大减少了运算量.

专训4 二元一次方程组的五种特殊解法

专训4 二元一次方程组的五种特殊解法 名师点金：解二元一次方程组的思想是“消元”，是一个变“未知”为“已知”的过程．解二元一次方程组的过程的实质是转化过程，因此解方程组时，要根据方程组的特点，灵活运用方程组的变形的技巧，选用较简便的方法来解． 引入参数法解二元一次方程组 1．用代入法解方程组： ?????x 3＋y 4＝0，① 2（x ＋y ）－3（2y －x ）＝62.② 特殊消元法解二元一次方程组 类型1 方程组中两未知数系数之差的绝对值相等 2．解方程组：? ????2 015x ＋2 016y ＝2 017，①2 016x ＋2 017y ＝2 018.② 类型2 方程组中两未知数系数之和的绝对值相等 3．解方程组：? ????13x ＋14y ＝40，①14x ＋13y ＝41.②

利用换元法解二元一次方程组 4．解方程组?????3（x ＋y ）＋4（x －y ）＝20，x ＋y 4 －x －y 2＝0. 同解交换法解二元一次方程组 5．已知关于x ，y 的方程组?????ax －by ＝4，3x －y ＝5与方程组?????ax ＋by ＝16，4x －7y ＝1 的解相同，求(a －b)2 018的值． 运用主元法解二元一次方程组

6．已知?????4x －3y －3z ＝0，x －3y －z ＝0 (x ，y ，z 均不为0)，求xy ＋2yz x 2＋y 2－z 2的值．

答案 1．解：由①，得x 3＝－y 4 . 设x 3＝－y 4 ＝k ，则x ＝3k ，y ＝－4k. 将x ＝3k ，y ＝－4k 代入方程②，得2(3k －4k)－3[2×(－4k)－3k]＝62. 解这个方程，得k ＝2.所以x ＝6，y ＝－8. 所以原方程组的解是?????x ＝6，y ＝－8. 技巧点拨：本题利用引入参数法解方程组．当方程组中出现x a ＝y b 的形式时，常考虑先用参数分别表示出x ，y 的值，然后将x ，y 的值代入另一个方程求出参数的值，最后将参数的值回代就能求出方程组的解． 2．解：②－①，得x ＋y ＝1.③ 由③，得x ＝1－y.④ 把④代入方程①，得2 015(1－y)＋2 016y ＝2 017. 解这个方程，得y ＝2. 把y ＝2代入方程③，得x ＝－1. 所以原方程组的解为? ????x ＝－1，y ＝2. 点拨：观察方程①和②的系数特点，数值都比较大，如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误．根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法求解，更为简便． 3．解：①＋②，得27x ＋27y ＝81.化简，得x ＋y ＝3.③ ①－②，得－x ＋y ＝－1.④ ③＋④，得2y ＝2，y ＝1. ③－④，得2x ＝4，x ＝2. 所以这个方程组的解是? ????x ＝2，y ＝1. 点拨：方程组中x 的系数分别为13，14，y 的系数分别为14，13.当两式相加时，x 和y 的系数相等，化简即可得到x ＋y ＝3；当两式相减时，x 和y 的系数互为相反数，化简即可得到－x ＋y ＝－1.由此达到化简方程组的目的． 4．解：设x ＋y ＝m ，x －y ＝n ，则原方程组可转化为?????3m ＋4n ＝20，m 4－n 2 ＝0，解得?????m ＝4，n ＝2.

二元一次方程组的概念及解法

二元一次方程组的概念及解法 知识点梳理 知识点一二元一次方程组的概念 含有两个未知数，并且含有未知数的相的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。 把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组，像这样的方程组叫做二元一次方程组。 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 典例分析 例1、在方程组、、、、 、中，是二元一次方程组的有个； 例2、已知二元一次方程2x－y＝1，若x＝2，则y＝;若y＝0，则x＝． 变式1：方程x＋y＝2的正整数解是__________. 变式2、在方程3x－ay＝8中，如果是它的一个解，那 么a的值为? ? ? = = 1 3 y x

例3 方程组???=+=-5 21 y x y x 的解是（ ） A 、 ???=-=21y x B 、???-==12 y x C 、???==21y x D 、???==12y x 例4、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组 。 例5、我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十头，下有九十四足。问鸡兔各几何。”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？使找出问题的解。 知识点二 解二元一次方程 消元解二元一次方程???代入消元法加减消元法 典例分析 例1、 把方程2x －y －5＝0化成含y 的代数式表示x 的形式：x ＝ ． 化成含x 的代数式表示y 的形式：y = ．

方程与不等式之二元一次方程组易错题汇编及答案

方程与不等式之二元一次方程组易错题汇编及答案 一、选择题 1．下面几对数值是方程组233, 22 x y x y +=?? -=-?的解的是（ ） A ．1, x y =?? =? B ．1, 2x y =?? =? C ．0, 1 x y =?? =? D ．2, 1x y =?? =? 【答案】C 【解析】 【分析】 利用代入法解方程组即可得到答案. 【详解】 23322x y x y +=?? -=-?① ② ， 由②得：x=2y-2③， 将③代入①得：2（2y-2）+3y=3， 解得y=1， 将y=1代入③，得x=0， ∴原方程组的解是0 1x y =??=? ， 故选：C. 【点睛】 此题考查二元一次方程组的解法：代入法或加减法，根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键. 2．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五人出七，不足三，问人数、羊价各几何?”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据题意，可列方程组为（ ）. A ．545 73y x y x =+??=-? B ．54573y x y x =-??=+? C ．545 73y x y x =+??=+? D ．545 73y x y x =-??=-? 【答案】C 【解析】 【分析】 根据羊价不变即可列出方程组. 【详解】 解：由“若每人出5钱，还差45钱”可以表示出羊价为：545y x =+，由“若每人出7钱，

还差3钱”可以表示出羊价为：73y x =+，故方程组为545 73y x y x =+?? =+? .故选C. 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，明确羊价不变是列出方程组的关键. 3．若是关于x 、y 的方程组 的解，则(a+b)(a ﹣b)的值为( ) A ．15 B ．﹣15 C ．16 D ．﹣16 【答案】B 【解析】 【分析】 把方程组的解代入方程组可得到关于a 、b 的方程组，解方程组可求a ，b ，再代入可求（a+b ）（a-b ）的值． 【详解】 解：∵ 是关于x 、y 的方程组 的解， ∴ 解得 ∴（a+b ）（a-b ）=（-1+4）×（-1-4）=-15． 故选：B ． 【点睛】 本题考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题关键． 4．某出租车起步价所包含的路程为0～2km ，超过2km 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km ，付了28元．设这种出租车的起步价为x 元，超过2km 后每千米收费y 元，则下列方程正确的是（ ） A ．7161328x y x y +=??+=? B ．()7216 1328x y x y ?+-=?+=? C ．()716 13228x y x y +=??+-=? D ．()()7216 13228x y x y ?+-=??+-=?? 【答案】D 【解析】 【分析】 根据津津乘坐这种出租车走了7km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km ，付了28元可列方程组．

《解二元一次方程组》教案(例题+练习+答案)

二元一次方程组的解法 1.二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做 二元一次方程。 例1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________ 判断一个方程是为二元一次方程的三个要素： ①含有两个未知数 ②未知数的次数为1 ③整式方程 想一想：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？ ①二元一次方程的解是成对出现的； ②二元一次方程的解有无数个； ③一元一次方程的解只有一个。 例2 若方程 是二元一次方程，求m 、n 的值． 分析： 变式： 方程 是二元一次方程，试求a 的值． 注意： ①含未知项的次数为1； ②含有未知项的系数不能为0 2.二元一次方程组的解 2(1)3x y y z +=?? +=?， 5(2)6 x y xy +=?? =?，7(3)6 a b b -=??=?， 2(4)13x y x y +=-???-=??，52(5)122 y x x y =-?? ?+=??，25(6)312 x y -=?? +=?，213257m n x y --+=211321 m n -=??-=?1 (2)2 a x a y -+-=

二元一次方程组的解法，即解二元一次方程的方法；今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。 练一练：1、若 =-?? =? x 1 y 2是关于 x 、y 的方程 5x +ay = 1 的解，则a=（ ）. 2、方程组 +=?? -= ?y z 180y z （）的解是 =??=?y 100 z （）. 3、若关于x 、y 的二元一次方程组––=?? + =?4x 3y 1 kx k 1y 3（）的解x 与 y 的值相等，则k =（ ）. 3、用一个未知数表示另一个未知数 想一想：(1)24x y ，所以________x ； (2)345x y ，所以________x ，________y ； (3) 2y x =,所以x = ，________y ． 总结出用一个未知数表示另一个未知数的方法步骤： ①被表示的未知数放在等式的左边，其他的放在等式的右边． ②把被表示的未知数的系数化为1． 4.二元一次方程的解法 （1）用代入法解二元一次方程组 将方程组中的一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法. 代入消元法解方程组的步骤是： ①用一个未知数表示另一个未知数； ②把新的方程代入另一个方程，得到一元一次方程（代入消元）； ③解一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把这个未知数的值代入一次式，求出另一个未知数的值； ⑤检验，并写出方程组的解.

特殊法解二元一次方程组优秀教学设计

特殊法解二元一次方程组专题 命题人：易晓萍 班级：________姓名：__________ 学习目标：掌握整体代入法、换元法、轮换对称方程、含参方程等特殊的方法解方程 一、整体代入法 例1、对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组： 变式练习：（1）???=+=+11325y x y x （2）?????=--=-12264532y y x y x 归纳总结：在运用消元法解二元一次方程组时，要注重整体思想的运用，以探求消元捷径，提高解题速度和准确性。 二、换元法 请阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组 ，若设x +y ＝m ，x ﹣y ＝n ，则原方程组可变形为，用加减消元法解得，所以，再解这个方程组得．由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 ． 变式练习：（1）???=-++=--+11)(2)(35)()(2n m n m n m n m （2）???????=-++=-++1732)(3732y x y x y x y x 归纳总结：具备这种特征的二元一次方程组，如果按照常规解法，不仅计算量大，而且特别容易出错，若根据

其特征，适当进行换元，不仅可以减少运算量，而且可以更快更准确。 三、轮换对称方程 定义：在解方程组 时，我们可以先①+②，得x +y ＝1，再②﹣①，得x ﹣y ＝9，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． 变式练习：（1）???=+=+13 341 43y x y x （2） ???=+=+15151491494951y x y x 归纳总结：具备这种特征的二元一次方程组，如果按照常规解法，不仅计算量大，而且特别容易出错，若根据 其特征，将两个方程相加相减得出新的方程，会大大减低计算量。（依据是等式的性质） 四、含参方程 例、解方程组 ???-=+=14 434:3:2::c b a c b a 变式练习：已知x 、y 的值满足等式 54321y x y x +=+=+，求式子32123++++y x y x 的值 归纳总结：连比或者连等，通常利用设参法，先将连比或连等中的未知数设参数表示，再求解，以达到消元的目的。

二元一次方程组解法练习题含答案

二元一次方程组解法练习题精选 一．解答题（共16小题） 1．求适合的x，y的值． 2．解下列方程组 ． 6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和． （1）求k，b的值． （2）当x=2时，y的值． （3）当x为何值时，y=3？ 7．解方程组： （1）；（2）．8．解方程组： 9．解方程组： 10．解下列方程组： 12．解二元一次方程组： ； ． 15．解下列方程组： （1）（2）． 16．解下列方程组：（1）（2）

二元一次方程组解法练习题精选（含答案） 参考答案与试题解析 一．解答题（共16小题） 1．求适合的x，y的值． 解二元一次方程组． 考 点： 分 先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法消析： 去未知数x，求出y的值，继而求出x的值． 解 解：由题意得：， 答： 由（1）×2得：3x﹣2y=2（3）， 由（2）×3得：6x+y=3（4）， （3）×2得：6x﹣4y=4（5）， （5）﹣（4）得：y=﹣， 把y的值代入（3）得：x=， ∴． 点 本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法． 评： 2．解下列方程组 （1） （2） （3）

（4）．考 点： 解二元一次方程组． 分析：（1）（2）用代入消元法或加减消元法均可； （3）（4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解． 解答：解：（1）①﹣②得，﹣x=﹣2， 解得x=2， 把x=2代入①得，2+y=1， 解得y=﹣1． 故原方程组的解为． （2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39，解得，y=3， 把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5， 解得x=2． 故原方程组的解为． （3）原方程组可化为， ①+②得，6x=36， x=6， ①﹣②得，8y=﹣4， y=﹣． 所以原方程组的解为． （4）原方程组可化为：，

二元一次方程易错题集

《二元一次方程组》二元一次方程组 选择题 1、下列方程①3x+6=2x，②xy=3，③，④中，二元一次方程有几个（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、如果是方程2x+y=0的一个解（m≠0），那么（） A、m≠0，n=0 B、m，n异号 C、m，n同号 D、m，n可能同号，也可能异号 3、二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有（）对． A、1 B、2 C、3 D、4 4、方程（|x|+1）（|y|﹣3）=7的整数解有（） A、3对 B、4对 C、5对 D、6对 5、（2007?枣庄）已知方程组：的解是：，则方程组： 的解是（） A、B、 C、D、 6、解方程组时，一学生把c看错得，已知方程组的正确解是， 则a，b，c的值是（） A、a，b不能确定，c=﹣2 B、a=4，b=5，c=﹣2 C、a=4，b=7，c=﹣2 D、a，b，c都不能确定 7、若关于x、y的方程组只有一个解，则a的值不等于（） A、B、﹣ C、D、﹣ 8、若方程组的解是，则方程组的解是（）

A、B、 C、D、 9、若方程组的解是，则方程组的解是（） A、B、 C、D、 10、若方程组有无穷多组解，（x，y为未知数），则（） A、k≠2 B、k=﹣2 C、k＜﹣2 D、k＞﹣2 填空题 11、若是方程2x+y=0的解，则6a+3b+2=_________． 12、已知二元一次方程3x+y=0的一个解是，其中a≠0，那么9a+3b﹣2的值为_________． 13、若是方程3x+y=1的一个解，则9a+3b+4=_________． 14、若4x﹣3y=0且x≠0，则=_________． 15、已知方程组的解适合x+y=2，则m的值为_________． 16、当a=_________时，方程组无解． 17、关于x、y的方程组的解x，y的和为12，则k的值为_________．

解二元一次方程组的两种特殊方法

解二元一次方程组的两种特殊方法 一、合并法。 一组方程组中两道方程不能直接用代入法或加减法消元，但是相加（或相减）后两未知数的系数相同，这时适合用合并法来解。 例 ?? ?=+=+② ①12 54223y x y x 解：（①+②）÷7 ③2=+y x ③×3－① ④2-=x ④代③ ④4 =y （1）???? ?-=+=+②①10 651056y x y x （2） ?????? ?=-=+② ①3 4 1526 411517 y x y x

（3）???? ?=+=+②①61 71379 137n m n m （4）????? -=+-=+② ①106 1911741119t s t s （5）???? ?-=++--=++-② （）（ ①）（）（ 42)20172018792517201720183922y x y x

二、换元法。 一组方程中两道方程都含有较复杂的相同代数式，用一半方法消元比较麻烦，这时可以用换元法。 例 ?????? ?-=+---=++-②① 23 25323 253x y y x x y y x 解： 考虑到两式中代数式3 25 3x y y x +-和相同，所以可以设 3 2,53x y n y x m +=-= 。原方程变为 ???? ? -=--=+④ ③2 2n m n m 解得 ???? ?=-=⑥⑤0 2 n m 即 ?? ?=+-=-?????? ?=+-=-⑩⑨⑧⑦0 210 303 2253y x y x x y y x 解⑨⑩组成的方程组得.4,2=-=y x ?? ?=-=∴4 2y x 方程组得解为 练习B ： ?????=++--=+--②①）（62 32)(4)(51x y y x y x y x ???????=++--=--+② ①）（3 142 3 3143)(42)(32x y y x y x y x

二元一次方程组易错题整理

二元一次方程组易错题 1、下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．3x-y 2=0 B ．2x +1y =1 C ．3x -52 y=6 D ．4xy=3 2．若4x-3y=0，则4545x y x y -+的值为（ ） A ．31 B ．-14 C ．12 D ．不能确定 3．方程3x+2y=5的非负整数解的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．如果二元一次方程组3,9x y a x y a +=??-=?的解是二元一次方程2x-3y+12=0的一个解，那么a?的值是（ ） A ．34 B ．-47 C ．74 D ．-43 5．某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，?其中一台空调调价后售出可获利10%（相对于进价），另一台空调调价后售出则要亏本10%，这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（ ） A ．既不获利也不赔本; B ．可获利1%; C ．要亏本2% ; D ．要亏本1% 6.关于x 、y 的二元一次方程组???=-=+4 2by ax by ax 与???-=-=+654432y x y x 的解相同， 则a= ，b= . 7.甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的a ,得到方程组的解为???-=-=13y x ；乙看错了方程②中的b ,得到方程组的解为 。 （1）甲把a 看成了什么？乙把b 看成了什么？ （2）求出原方程组的正确解。 （3）试计算20072006101??? ??-+b a 的值. ???==4 5y x ???-=-=+ ②by x ①y ax 24155

(计算题)二元一次方程组练习题-直接打印版

萌学教育 二元一次方程组专题训练 1、???=-=+33651643y x y x 2、???=+=-6 251023x y x y 3、 4、???=+-=18435276t s t s 5、 ???=-=+574973p q q p 6、???=-=+4 26 34y x y x 7、???-=-=+22223n m n m 8、???=--=-495336y x y x 9、? ? ?=-=+195420 23b a b a 10、???=-=-y x y x 23532 11、???=-=+124532n m n m 12、?? ?=+=+10232556y x y x 13、???=+=+2.54.22.35 .12y x y x 14、? ????=-+-=+6 )(3)1(26 1 32y x x y x 15、 16 17、 18、 带入消元法： （5） 请用X 表示Y 1）2X+Y=4 2)2X-Y=5 3)Y-X=6 4)2Y-X=7 5）2Y+X=8 6)2X+2Y=10 7)2X-2Y=12 8)3X=2Y 9)4X=6Y 10)3X+2Y=-9 请用Y 表示X 1）2X+Y=4 2)2X-Y=5 3)Y-X=6 4)2Y-X=7 5）2Y+X=8 6)2X+2Y=10 7)2X-2Y=12 8)3X=2Y 9)4X=6Y 10)3X+2Y=-9 ???=-=+1572532y x y x 3216,31;m n m n +=??-=??? ?? ?=--=+-4 323 122y x y x y x 523,611; x y x y -=??+=?234,443; x y x y +=??-= ?

二元一次方程组易错点

方程组基本解法（消元） ⑴代入消元法：把方程组中的一个方程进行变形，写出用一个未知数表示另一个未知数的代数式，（注意应写为y=ax+b或x=ay+的形式）然后把它代入另一个方程中，消去未知数，得到关于的一元一次方程，通过解这个一元一次方程，再来求二元一次方程组的解．我们把这种通过“代入”消去一个未数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法． ⑵加减消元法：当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时，可以把方程的两边分别相加（当某个未知数的系数互为相反数时）或相减（当某个未知数的系数相等时）来消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．像上面这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 运用代入法、加减法解二元一次方程组要注意的问题： (1)当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，用代入消元法比较简单； (2)若方程组中一个未知数的系数为1(或－1)时，选择这个方程进行变形，用代入消元法比较简便； (3)当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相同或相反时，进行加减消元比较方便； (4)若两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系，利用等式性质，可以转化成(3)的类型，选择加减消元法比较简便； (5)若两个方程中，同一个未知数的系数的绝对值都不相等，那么，应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元；

(6)对于比较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母、去括号、合并同类项等)。通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作加减消元的考虑。 解方程一般步骤及易错点 1、去分母：（1）去分母时漏乘没有分数线的常数项或者未知项。如14 3x =+y 左右两边同乘12时注意右边变为12（2）去分母时没有给分子加上括号 2、去括号：（1）去括号时，括号内的符号变号时出现错误 （2）去括号时，括号内的最后一项或几项漏乘了括号前的乘数 3、移项时变号出现错误，或者是直接漏了几项。 4、合并未知数（如x）项和常数项时出现有理数加减法的计算错误。 5、系数划一时出现忘记符号以及分数计算等经典错误。

数学人教版七年级下册二元一次方程组的特殊解法

二元一次方程组的特殊解法教学设计 一、教学目标： 1、知识与技能：二元一次方程组的常规解法是代入法和加减法， 但对一些系数结构比较特殊的方程组应灵活选择适当的方法求解。 2、过程与方法:通过观察、思考、讨论使学生掌握解方程组的特 殊方法 3、情感态度价值观;培养学生合作交流的意识和勇于探究的精神 二、教学重点:根据方程组的特点选择适当的方法求解。 三、教学难点：对特殊方法的探究 四、教学流程： （一）温习旧知，激发思维 1、解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2、消元的方法有哪些？ 3、什么情况下用代入法简单？什么情况下用加减法简单？ （二）思考探究 第一组 运用消元法时，对于有些问题，不是从局部着手，而是从大处着眼，从整体上观察，探求解题途径，这种数学思想方法叫整体探求思想，在《二元一次方程组》中，体现这种思想方法的地方很多．在平常遇到方程组求解时，先从全局观察，再动手求解，可以在一定程度上训练孩子们“大处着眼，小处着手”的战略眼光，对今后的数学学习，

以至工作中都会有所帮助。 第二组 21x+23y=243 23x+21y=241 5x-9y=24 仔细观察各未知数的系数，第一个方程组的x ，y 的系数，刚好是第二个方程中y 和x 的系数，故可采用整体相加减，使系数绝对值变小，得到一个新的简易的方程。 （第三组） 第三组一题为设参数法解二元一次方程组，此解法另辟蹊径，避繁就简，新颖独特，广开解题思路，更有利于开发学生的智力，培养学生的创造性思维能力。 二题按常规方法不仅运算量大，而且容易出错.根据题目的特点，适时进行换元，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地解出方程组的解。 （三）趁热打铁，及时巩固 解方程组 对新的方法予以巩固提升 ???????=-=-8524076y x y x

含参数的二元一次方程组的解法

含参数的二元一次方程组的解法 二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。现选取几道题略作讲解，供同学们参考。 一、两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。 例：已知方程 与 有相同的解， 则a 、b 的值为 。 略解：由（1）和（3）组成的方程组? ??=-=+5235y x y x 的解是 ? ??-=+=21y x 把它代入(2)得 a=14；把它代入（4）得b=2。 方法：是找每个方程组中都是已知数的方程组成新的方程组，得到的解，即是相同的解，再代入另一个方程，从而求出参数的解。 二、根据方程组解的性质，求参数的值。 例2：m 取什么整数时，方程组的解是正整数 略解：由②得x=3y 2×3y-my=6 y=m -66 因为y 是正整数，x 也是正整数所以6-m 的值为1、2、3、6；m 的值为0、3、4、5。 方法：是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。 三、由方程组的错解问题，示参数的值。 例3：解方程组???=-=+872y cx by ax 时，本应解出???-==2 3y x 由于看错了系数c,从而得到解? ??=-=22y x 试求a+b+c 的值。 方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而，求出参数的值。8273=-?-?）（c 2-=c 把???-==23y x 和???=-=2 2y x 代入到ax+by=2中，得到一个关于a 、b 的方程组。 （1） （2） ???=+=+4535y ax y x （3） （4） ???=+=-1552by x y x ① ② ???=-=-0362y x my x

第八章 二元一次方程组单元 易错题难题提高题学能测试试题

第八章 二元一次方程组单元 易错题难题提高题学能测试试题 一、选择题 1．已知31x y =??=?是方程组102ax by x by -=??+=?的解，则x a y b =??=?是哪一个方程的解（ ） A ．34x y += B ．34x y -= C ．439x y -= D ．439x y += 2．我市某九年一贯制学校共有学生3000人，计划一年后初中在校生增加8%，小学在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%，设这所学校现初中在校生x 人,小学在校生y 人,由题意可列方程组（ ） A ．3000 8%11%300010%x y x y +=?? +=?? B ．3000 8%11%3000(110%)x y x y +=?? +=+? C ．()()300018%111%300010%x y x y +=??+++=?? D ．3000 8%11%10%x y x y +=??+=? 3． 三个二元一次方程2x +5y -6=0，3x -2y -9=0，y =kx -9有公共解的条件是k =( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．下列各组数是二元一次方程37 1 x y y x +=?? -=?的解是( ) A ．1 2 x y =?? =? B ．0 1 x y =?? =? C ．7 x y =?? =? D ．1 2x y =?? =-? 5．下列各组数中①2 2x y =??=?； ②21x y =??=? ；③22x y =??=-? ；④16 x y ??? ==是方程410x y +=的解的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．下列方程组是三元一次方程组的是（ ） A ．1 23x y y z z x +=?? +=??-=? B ．02310x y z x yz y z ++=?? -=??-=? C ．22154x y y z x z ?+=? +=??-=? D ．563x y w z z x +=?? +=??+=? 7．《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是3219 423x y x y +=?? +=? ，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）

1认识二元一次方程组教学设计.doc

第五章二元一次方程组 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在七年级上册已学过一元一次方程，学生已经具备列一元一次方程解决实际问题的经验基础，为本节的学习已做好知识储备，估计学生应有能力经过自主探索和交流列出二元一次方程组，解决简单的实际问题. 学生活动经验基础：本节所涉及的实际问题包括：老牛、小马驮包裹问题、公园的门票问题等，这些问题均为全体学生所熟悉的情境，容易被学生接受和理解，从而也容易建立相应的数学模型来解题. 二、教学任务分析 《谁的包裹多》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》的第一节，本节内容安排1个课时完成?具体内容是：让学生通过对实际问题的分析，体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；同时了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解? 二元一次方程是继一元一次方程后，又一个体现符号表示思想的内容，它是刻画现实世界的一个有效数学模型，在数学上有着广泛的应用，同时也是学习物理、化学等其他学科知识的一个重要基础.它既是一元一次方程知识的延伸和拓广，又是今后学习一般线性方程组及平面解析几何等知识的基础，具有承上启下 的作用.列方程（组）解应用题是联系实际的重要方面，突显了方程作为一种数学模型的重要特征，这既是培养学生逻辑思维能力的良好载体，也是培养学生应用意识和实践能力的良好题材? 基于学生对一元一次方程理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念.在学习过程中，要突出强调建模思想，展现方程是刻画现实世界的有效数学模型，是贯穿方程与方程组的一条主线?为此，本节课的教学目标是： （1）理解二元一次方程（组）及其解的概念，能判别一组数是否是二元一

(完整word版)二元一次方程组特殊解法

二元一次方程组的特殊解法 1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。 这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。 解二元一次方程的一般方法在此就不举例说明了。 2、灵活消元 （1）整体代入法 5. 解方程组y x x y +=+-=?????142 3231 解：原方程组可变形为435 231x y x y -=--=??? 继续变形为232512312x y x x y -+=-<> -=<>??? <2>代入<1>得：125+=-x x =-3 解得：y =-7 3 方程组的解为x y =-=-?????3 7 3 （2）先消常数法 例6. 解方程组433132152x y x y +=<> -=<>??? 解：<1>×5－<2>得：17170x y += x y =-<> 3 <3>代入<1>得：y =-3 把y =-3代入<3>得：x =3 所以原方程组的解为x y ==-???3 3 （3）设参代入法 例7. 解方程组x y x y -=<> =<>???321432::

解：由<2>得： x y 43= 设x y k 43 ==，则x ky k ==<>433， 把<3>代入<1>得：492 k k -= 解得：k =-25 把k =-25代入<3>，得：x y =-=-8565 ， 所以原方程组的解是x y =-=-????? ??8565 （4）换元法 例8. 解方程组()()x y x y x y x y +--=+=-???? ?23 634 解：设x y a x y b +=-=，，则原方程组可变形为 3236340a b a b -=-=???，解得a b ==???2418 所以x y x y +=-=??? 2418 解这个方程组，得：x y ==???213 所以原方程组的解是x y ==??? 213 （5）简化系数法 例9. 解方程组43313442x y x y -=<>-=<> ??? 解：<1>＋<2>得：777 x y -= 所以x y -=<> 13 <1>－<2>得：xy +=-<> 14

二元一次方程组易错题整理

二元一次方程组易错题 1下列方程中，是二元一次方程的是（ ） 2 A . 3x-y 2 =0 B . ?+丄=1 C .- 3 5y=6 2 D .4xy=3 x y 2 .若 4x-3y=0 , 则4x _5y 的值为 （） 4x -.-5y A . 31 B .-1 C .1 D . 不能确定 4 2 3.方程3x+2y=5的非负整数解的个数为（ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 4.如果二元- 次方程组 x y 3a, 的解是二兀一次方程 2x-3y+12=0的一个解，那么a?的值是（）A .- |x —y =9a 4 4 C . 7 4 B.—— D .-- 7 4 3 5.某商场根据市场信息， 对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售， ?其中一台空调调价后售出 可获利10%（相对于进价），另一台空调调价后售出则要亏本 10%这两台空调调价后的售价恰好相同, 那么商场把这两台空调调价后售出（ ） A .既不获利也不赔本； B .可获利1%; C .要亏本2% ; D .要亏本1% 6?关于x 、y 的二元一次方程组?x +by =2与/X *3y =4 的解相同， ax-by =4 4x-5y=-6 贝 H a= ______ , b= ______ . （1）甲把a 看成了什么？乙把 b 看成了什么? （2）求出原方程组的正确解。 7.甲、乙两人共同解方程组 7=_3 ；乙看错了方程②中的 y=—1 'ax+5y = 15 ① ￡x _ by = -2 ② b ,得到方程 组的解为 由于甲看错了方程①中的 x =5 。 a ,得到方程组的解为 （3）试计算

浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法

浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法 云南省曲靖市宣威市羊场镇初级中学 张荣芝 【摘要】 解二元一次方程组最常用的方法是代人法和加减法，但对于一些特殊的二元一次方程组，若能根据方程组的特征，灵活运用一些技巧，不仅可以简化解题过程，而且有助于培养同学们的创新意识。 【关键词】二元一次方程组 巧解 创新意识 加减法 二元一次方程组的解题思路就是消元，通过消元把二元转化为一元。消元分代入消元法和加减消元法，这是解二元一次方程组的基本方法。解题时常遇到一些特殊形式的方程（组），它们结构巧妙而富有规律性。此时应仔细观察题目的特点，抓住方程的结构特征或某种规律，联想一些解题方法与技巧，往往能避免常规解法带来的繁杂运算，找到较为简便的解法。这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。 整体代入法 例1 解方程组y x x y +=+-=?????1423231 解：原方程组可变形为435231 x y x y -=--=??? 继续变形为 2 x －3y+2 x=－5

2 x －3y=1 （2）代入（1）得：125+=-x x =-3 解得：y =-73 方程组的解为x y =-=-?????373 再如： 2a ＋b ＝3 (1) 3a ＋b ＝4 (2) 解： （2）式变形为（2a ＋b ）＋a ＝4 (3) ,ax by m bx ay n +=??+=? 把（1）代入(3)得 3＋a ＝4 ∴ a ＝1 把a ＝1代入（1）得b ＝1 ∴原方程组的解是 a ＝1 b ＝1 二、直接加减法 a x+by ＝m 当方程组中未知数的系数具有轮换特点时，即类似于 bx + ay=n 的形式，可以直接将两个方程相加、减，反复两次，然后联立得到新方程，从而巧妙地迅速求解，我们称之谓反复加减法． 例2 解方程组 4x －3y ＝3 (1) 3x －4y ＝4 (2) 解： （1）＋（2）得 7x －7y ＝7

二元一次方程组易错难题集

试题(一) 1.把103 .02.017.07.0=--x x 中的分母化为整数2.甲每秒跑7ｍ，乙每秒跑6.5ｍ，甲让乙先跑5ｍ，设ｘ秒后甲可追上乙，列方程是3.连续两次降价10％，降价后为a 元，则原价为 4.试卷有25道题，做对一题得4分，做错（或不做）1题倒扣1分，某人共得70分，他做对 道题。 5.一辆长 4米，速度为110千米／时的轿车超一辆长12米，速度为100千米／时的卡车， 则要花费的时间是 6.甲单独做需x 天完成，乙单独做需y 天完成，两人合作需天 7.当m ＝_____时，（m －3）x |m|-2 ＋m －3＝0是一元一次方程。 8.如果2、2、5和x 的平均数为5，而3、4、5、x 和y 的平均数也是5，那么x =_____， y =____. 9.一船在相距80千米的码头间航行，顺水需4小时，逆水需5小时，则水流速度为10、若()()k x k m x m -=-有唯一解，则k ____m _____。 11、已知 524x m mx x -=--的解在2与10之间（不包括2和10），则m 的 取值为_____。 12、当 m = 时，()0332 =-+--m x m m 是一元一次方程，方程 的解是 。 13、若 01 2=--x b x 的解是非负数，则b 的取值范围是 。 14. 若x a x x 4)]3(2[3=--和18 5143=--+x a x 有相同的解，这个相同解是 。 15.一个三位数满足：①三个数位上的数字和为20；②百位上的数字比十位上的数字大5；③个位上的数字是十位上的数字的3倍。这个三位数是？ 16.将彩电按成本价提高50%，然后“大酬宾，八折优惠”，结果每台仍获利270元，每台彩电成本价是 ？ 17.一队学生去郊游，以每小时5千米的速度行进，经过一段时间后。通讯员骑自行车从学校出发，以每小时14千米的速度按原路追上去，用去10分钟追上学生队伍，通讯员出发前，

《二元一次方程组》-二元一次方程组易错题解析

《二元一次方程组》二元一次方程组易错题解析 选择题 1、下列方程①3x+6=2x，②xy=3，③，④中，二元一次方程有几个 （） A、1个 B、2个 C 、3个D、4个 2、如果是方程2x+y=0的一个解（m≠0），那么（） A、m≠0，n=0 B、m，n异号 C、m，n同号 D、m，n可能同号，也可能异号 3、二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有（）对． A、1 B、2 C、3 D、4 4、方程（|x|+1）（|y|﹣3）=7的整数解有（） A、3对 B、4对 C、5对 D、6对 5、（2007?枣庄）已知方程组：的解是：，则方程组： 的解是（） A 、 B 、 C 、D、 6、解方程组时，一学生把c看错得，已知方程组的正确解是 ，则a，b，c的值是（） A、a，b不能确定，c=﹣2 B、a=4，b=5，c=﹣2 C、a=4，b=7，c=﹣2 D、a，b ，c都不能确定 7、若关于x、y的方程组只有一个解，则a的值不等于（） A 、 B 、﹣ C、D、﹣

8、若方程组的解是，则方程组的解是（） A、B、 C、D、 9、若方程组的解是，则方程组的解是（） A、B、 C、D、 10、若方程组有无穷多组解，（x，y为未知数），则（） A、k≠2 B、k=﹣2 C、k＜﹣2 D、k＞﹣2 填空题 11、若是方程2x+y=0的解，则6a+3b+2=_________． 12、已知二元一次方程3x+y=0的一个解是，其中a≠0，那么9a+3b﹣2的值为_________． 13、若是方程3x+y=1的一个解，则9a+3b+4=_________． 14、若4x﹣3y=0且x≠0，则=_________． 15、已知方程组的解适合x+y=2，则m的值为_________． 16、当a=_________时，方程组无解． 17、关于x、y的方程组的解x，y的和为12，则k的值为_________．