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2016年考研数学三真题解析

2016年考研数学（三）真题解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim

0=--→b x a

e x

x x ，则a =

，b =

【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim

0=--→b x a e x

x x ，且0)(cos sin lim 0

=-?→b x x x ，所以 0)(lim 0

=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为

51)(cos lim )(cos sin lim

00=-=-=--→→b b x x x

b x a e x x x x ，得b = -4.

因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)

()

(lim

x g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；

(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.

(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，

则

)

()(22v g v g v

u f

=???.

【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =

)()

(v g v g u

+，

所以，)(1v g u f =??，

)

()

(22v g v g v u f '-=???. (3) 设??

???≥-<≤-=21

,12121,)(2

x x xe x f x ，则2

)1(22

-?dx x f .

【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数

的积分性质即可.

【详解】令x - 1 = t ，?

-==-1

1)()()1(dt x f dt t f dx x f

＝21

)21(0)1(12121

12-=-+=-+?

?-dx dx xe x .

【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.

(4) 二次型2

132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .

【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换

或配方法均可得到答案.

【详解一】因为2

132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=

3231212

32221222222x x x x x x x x x -++++=

于是二次型的矩阵为 ????

? ??--=21112111

2A ,

由初等变换得 ???

? ??--→????? ??---→000330211330330211A ,

从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.

【详解二】因为2

132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=

3231212

32221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23

)2121(2x x x x x -+++

= 222

32y y +=,

其中 ,21

213211x x x y ++= 322x x y -=.

所以二次型的秩为2.

(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>

}{DX X P

. 【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】由于21

DX =

, X 的分布函数为 ?

??≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ

故

=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e

【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.

(6) 设总体X 服从正态分布),(2

1σμN , 总体Y 服从正态分布),(2

2σμN ,

1,,21n X X X Λ和 2,,21n Y Y Y Λ分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则

2121212)()(21σn n Y Y X X E

n j j n i i =?????

???????-+-+-∑∑==.

【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.

【详解】因为 2

121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 21

22])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2

σ.

【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2

)2)(1()

2sin(||)(---=

x x x x x x f 在下列哪个区间内有界.

(A) (-1 , 0).

(B) (0 , 1).

(D) (2 , 3). [ A ]

【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +

→与)(lim x f b x -

→存在，则函数f (x )

在(a , b )内有界.

【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim

-→x f x ，42

sin )(lim 0

-=-→x f x ，

sin )(lim 0=

→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).

【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +

→与)(lim x f b x -

→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )

内有界.

(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞

→)(lim ，

?????=≠=0

,00

,)1()(x x x

f x

g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.

(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限)(lim 0

x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元x

u 1

，可将极限)(lim 0

x g x →转化为)(lim x f x ∞

→.

【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0

u f x f x g u x x ∞

→→→=== a (令x

u 1

)，又g (0) = 0，所以，

当a = 0时，)0()(lim 0

g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，

)0()(lim 0

g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性

与a 的取值有关，故选(D).

【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则

(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.

(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，

考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.

【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ? (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )

的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，

当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.

故选(C).

【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：

(1) 若

∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞

n n u 收敛.

(2) 若

∑∞

n n u 收敛，则∑∞

=+1

1000n n u 收敛.

(3) 若1lim

>+∞→n

n n u u ，则∑∞

n n u 发散.

(4) 若

∑∞=+1

)(n n n v u 收敛，则∑∞=1

n n u ，∑∞

n n v 都收敛.

则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3).

(D) (1) (4).

[ B ]

【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令n

n u )1(-=，显然，

∑∞

n n u 分散，而∑∞

=-+1

212)(n n n u u 收敛.

(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.

(3)是正确的，因为由1lim

>+∞→n

n n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞)，所以∑∞

=1n n u 发散. (4)是错误的，如令n v n u n n 1

,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞

n n v 都发散，而

∑∞

=+1

)(n n n v u 收敛. 故选(B).

【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.

(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .

(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.

[ D ]

【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，

至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；

另外，0)

()(lim

)(>--='+

→a

x a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈

使得

()(00>--a

x a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈

使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).

【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.

(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有

(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.

【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.

(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*

≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系

(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.

??-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r

根据已知条件,0*

≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).

【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*

A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.

(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,

若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2

αu . (B) 2

1αu

-. (C) 2

1αu -. (D) αu -1. [ C ]

【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得

1}{α

x X P -=

>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.

三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)

求)cos sin 1(lim 2220x

x x -→. 【分析】先通分化为“

”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】x

x x

x x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =346)4(21

lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22

020304220==-=-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0

”型极限，应充分利用等价无穷小

替换来简化计算. (16) (本题满分8分) 求

??++D

d y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).

【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆

}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.

【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，

由对称性，

0=??D

yd σ.

??????

+-+=+2

222222D D D

d y x d y x d y x σσσ

?--=θπ

ππθθcos 20

232

dr r d dr r d .

)23(9

932316-=-=

ππ

所以，

)23(9

)(2

2-=++??πσD

d y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足

??≥x a

dt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，??=b

b a

dt t g dt t f )()(.

证明：

??≤b

a b a dx x xg dx x xf )()(.

【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，?=x

a dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可. 【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，?=x a dt t F x G )()(，

由题设G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，

G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.

从而

????-=-==b

b a

a b

dx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，

由于 G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，故有 0)(≤-?b

dx x G ，

即

0)(≤?b

a dx x xF .

因此

??≤b

dx x xg dx x xf )()(.

【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；

(II) 推导

)1(d E Q dP

-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =

；由Q = PQ 及dP

Q P E d =可推导 )1(d E Q dP

-=. 【详解】(I) P

dP dQ Q P E d -=

=20. (II) 由R = PQ ，得

)1()1(d E Q dP

dQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=

E d ，得P = 10.

当10 < P < 20时，d E > 1，于是0

，

故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.

【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dP

Q P dP dQ Q P E d -

==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：

Qdp E dR d )1(-=，

Q E dp

d )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E Ep

-=1(收益对价格的弹性). (19) (本题满分9分) 设级数

)(8

642642428

64+∞<<-∞+???+??+?x x x x Λ

的和函数为S (x ). 求：

(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.

【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.

【详解】(I) Λ+???+??+?=

64264242)(8

64x x x x S ，易见 S (0) = 0，

Λ+??+?+='6

42422)(7

53x x x x S

)642422(642Λ+??+?+=x x x x

)](2

x S x x +=.

因此S (x )是初值问题

0)0(,2

=+='y x xy y 的解.

(II) 方程2

x xy y +='的通解为

[3C dx e x e y xdx xdx +??=?-

x Ce x +--

=，

由初始条件y(0) = 0，得C = 1.

故12

2-+-

=x e x y ，因此和函数12

)(2

2-+-

=x e x x S .

【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)

设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T

β)3,3,1(-=,

试讨论当b a ,为何值时,

(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;

(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;

(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.

【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211

是否有解的问题即易求解. 【详解】设有数,,,321k k k 使得

βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有

??????-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ?????

?????---→000101111b a b a .

(Ⅰ) 当0=a 时, 有

????

?????---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有

?????---→000101111),(b a b a βA ?????

????

?????

-→01

0010

1011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解：

k 111-

=, a k 1

2=, 03=k ．

此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为 211

)11(αa

αa β+-

=． (Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有

?????---→000101111),(b a b a βA ?????

?????????

--→00

0011

1011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解，其全部解为

a k 111-

=, c a

k +=1

2, c k =3，其中c 为任意常数． β 可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为

321)1

()11(αc αc a

αa β+++-

=．【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000).

(21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵

??????

?=111Λ

M M M ΛΛb b b b

b b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;

(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1

-为对角矩阵.

【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程

0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.

【详解】 (Ⅰ) ο1当0≠b 时，

||---------=

-λb

b λb b b λA E λΛ

M M M M Λ

＝1

)]

1(][)1(1[------n b λb n λ ,

得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12Λ．对b n λ)1(11-+=，

???????

??---------=-b n b b b b n b

b b b

n A E λ)1()1()1(1ΛM M M ΛΛ→????

??---------)1(111)1(1

11)

1(n n n ΛM M M ΛΛ →????????

??------------00001111

111111

11ΛΛM M M M ΛΛ

n n n →???

???

??---------0000

1111111111

11ΛΛ

M M M

M ΛΛn n n

→???????? ?

?---00

00000

011

11ΛΛM M M M ΛΛn n n n n →????????

??---00

1100

101001

ΛΛM M M M

ΛΛ

解得T

ξ)1,,1,1,1(1Λ=，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 T

k ξk )1,,1,1,1(1Λ= (k 为任意不为零的常数)．对b λ-=12，

?????

?---------=-b b b b b b b b b A E λΛM M M Λ

Λ2→??????

?000000

111

M M M Λ

Λ 得基础解系为

T ξ)0,,0,1,1(2Λ-=，T ξ)0,,1,0,1(3Λ-=，T n ξ)1,,0,0,1(,-=ΛΛ．

故A 的属于2λ的全部特征向量为

n n ξk ξk ξk +++Λ3322 (n k k k ,,,32Λ是不全为零的常数)．

ο2 当0=b 时，

n λλλλA E λ)1(1

010001

||-=---=

-ΛM M M Λ

特征值为11===n λλΛ，任意非零列向量均为特征向量．

(Ⅱ) ο

1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP Λ=，则

??????

??---+=-b b b n AP P 11)1(11O

ο2 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有

E AP P =-1．

【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程

组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)

设A ，B 为两个随机事件,且41)(=

A P , 31)|(=A

B P , 2

1)|(=B A P , 令 ???=不发生，，发生，A A X 0,1 ?

??=.0,1不发生，发生，

B B Y

求

(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 2

Y X Z +=的概率分布.

【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．

【详解】 (Ⅰ) 因为 12

)|()()(=

=A B P A P AB P ，于是 61)|()()(==

B A P AB P B P ，则有 12

)(}1,1{=

===AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=

-====AB P A P B A P Y X P ， 12

1)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ， 3

2)]()()([1)(1)(}0,0{=

-+-=?-=?===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 3

2121611211}0,0{=---===Y X P )，即),(Y X 的概率分布为：

(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，6

)(2==B P EY ，

163)(22=-=EX EX DX ，16

)(22=-=EY EY DY ，

)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，

所以X 与Y 的相关系数 15

1515

1),(=

DX Y X Cov ρXY ．方法二： X, Y 的概率分布分别为

X 0 1 Y 0 1

P 43 41 P 65 6

1 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=12

故 24

)(),(=?-=EY EX XY E Y X Cov ，从而

.15

15),(=

DX Y X Cov XY ρ

(Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．

2}0,0{}0{=

====Y X P Z P ， 4

1}1,0{}0,1{}1{=

==+====Y X P Y X P Z P ， 12

1}1,1{}2{=

====Y X P Z P ，即Z 的概率分布为：

【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的

分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分)

设随机变量X 的分布函数为

???≤>??? ??-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本,

(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.

【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都

须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】当1=α时, X 的概率密度为

?????≤>=+，

，，

101,),(1x x x ββx f β

(Ⅰ) 由于

+∞

++∞

∞

--=

);(ββ

dx x βx dx βx xf EX β 令

X ββ

=-1, 解得 1

-=X X β, 所以, 参数β的矩估计量为 1

X X

β.

(Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21Λ, 似然函数为

∏=+??

??=>==n

i i βn

i n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他ΛΛ

当),,2,1(1n i x i Λ=>时, 0)(>βL , 取对数得 ∑=+-=n

i i

ββn βL 1

ln )1(ln )(ln ,

对β求导数，得

∑=-=n

i i x βn βd βL d 1

ln )]([ln ，令

0ln )]([ln 1

=-=∑=n

i i x βn βd βL d ，解得 ∑==n

i i

β1

ln ，

于是β的最大似然估计量为

∑==n

i i

ln ?β

．

( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为

???

??≤>=，

，，αx αx x αβx f 0,2),(32

对于总体X 的样本值n x x x ,,,21Λ, 似然函数为

∏=??

??=>==n

i i n

n i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他ΛΛ

当),,2,1(n i αx i Λ=>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为

},,,m in{?21n x x x α

Λ=, 于是α的最大似然估计量为

},,,m in{?21n X X X α

Λ=．

考研数学三试题解析超详细版

2016年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2f u v ?= ??. (3) 设?? ???≥ -<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=?. (4) 二次型2 132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______. (6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(2 2σμN ,1,,21n X X X 和 2 ,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则 12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==?? -+-????=??+-?????? ∑∑. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2 ) 2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞ →)(lim ， ?????=≠=0 ,00 ,)1()(x x x f x g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则 (A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题： (1) 若 ∑∞=-+1 212)(n n n u u 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛.

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、若反常积分01(1)a b dx x x +∞ +?收敛，则（A ）1a <且1b >. （B ）1a >且1b >. （C ）1a <且1a b +>. （D ）1a >且1a b +>. 2、已知函数2(1), 1,()ln ,1, x x f x x x -

2016年考研数学三真题及解析

2016年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{} max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2016年考研数一真题及解析

2016考研数学（一）真题完整版一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -

2016年考研数学一大纲

2016年考研数学大纲（数学一）研究生数学一考试科目：高等数学（同济）、线性代数（同济）、概率论与数理统计（浙大）考研考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式：答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构：高等教学约56%；线性代数约22%；概率论与数理统计约22%. 四、试卷题型结构：单选题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立；数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则两个重要极限；函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质。考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则．

7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容：导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求 1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理． 6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法． 7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用． 8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．

2016-2017年考研数学二真题及答案

2016考研数学二真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α 1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，αα α2 1 1 2 1 1x x ~ )cos (-是 α 2 阶无穷小，由题意可知??? ??>>121α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）

2016-2017年考研数学三真题及答案

2016考研数学三真题及答案一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)

历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-???? ????-???? B P 求5,.A A 八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ????=??????A 与20000001y ?? ??=?? ??-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P

完整word版,历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)

1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-????????-????B P 求5 ,.A A 八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ????=?? ???? A 与20000001y ?? ??=????-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P

2000年-2016年考研数学一历年真题完整版(Word版)

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) ? =_____________. (2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________. (4)已知方程组12312 112323120x a x a x ????????????+=????????????-?????? 无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a > (2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1 4S S xdS xdS =???? (B)1 4S S ydS xdS =???? (C) 1 4S S zdS xdS =???? (D) 1 4S S xyzdS xyzdS =???? (3)设级数 1 n n u ∞ =∑收敛,则必收敛的级数为 (A)1 (1)n n n u n ∞ =-∑ (B) 2 1 n n u ∞ =∑ (C) 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑ (D) 11 ()n n n u u ∞ +=+∑ (4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充分必要条件为 (A)向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示

2016年考研数学一答案

2016年考研数学一答案【篇一：2016考研数学数学一试题(完整版)】 ass=txt>一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. （1）若反常积分 01dx收敛，则 xa(1x)b （a）a1且b1.（b）a1且b1. （c）a1且ab1.（d）a1且ab1. 2(x1),x1,（2）已知函数f(x)则f(x)的一个原函数是 x1,lnx, (x1)2,x1.(x1)2,x1.（a）f(x)（b）f(x) x(lnx1),x1.x(lnx1)1,x1. (x1)2,(x1)2,x1.x1.（c）f(x)（d）f(x) x(lnx1)1,x1.x(lnx1)1,x1. （3 ）若y(1x2)2 y(1x2)2是微分方程yp(x)yq(x) 的两个解，则q(x) （a）3x(1x2).（b）3x(1x2). （c）xx. （d）. 1x21x2 x,（4）已知函数f(x)1,nx0,则 11x,n1,2,,n1n （a）x0是f(x)的第一类间断点. （b）x0是f(x)的第二类间断点.

（c）f(x)在x0处连续但不可导. （d）f(x)在x0处可导. （5）设a，b是可逆矩阵，且a与b相似，则下列结论错误的是（a）at与bt相似（b）a1与b1相似（c）aat与bbt相似（d）aa1与bb1相似 22（6）设二次型f(x1,x2,x3)x12x2则 fx(x,1x,x34x1x24x1x34x2x3，2)32在空间直角坐标下表示的二次曲面为（a）单叶双曲面（b）双叶双曲面（c）椭球面（d）柱面（7）设随机变量x~n(,2)(0)，记pp{x2}，则（a）p随着的增加而增加（b）p随着的增加而增加（c）p随着的增加而减少（d）p随着的增加而减少（8）随机试验e有三种两两不相容的结果a1，a2，a3，且三种结果发生的概率1均为。将试验e独立重复做2次，x表示2次试验中结果a1发生的次数，y表3 示2次试验中结果a2发生的次数，则x与y的相关系数为（a）（b）（c）（d）二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. （9）limx0x0tln(1tsint)dt1cosx2_______. （10）向量场a(x,y,z)(xyz)ixyjzk的旋度rota_______. （11）设函数f(u,v)可微，zz(x,y)由方程(x1)zy2x2f(xz,y)确定，则dz|(0,1)______. （12）设函数f(x)arctanxx，且f(0)1，则a______. 21ax

2016年考研数学二真题与解析

2016年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 21 1x x ~)cos (-是α2 阶无穷小，由题意可知?? ? ??>>121αα 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞ →x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是

2016年考研数学一真题与解析答案

2016考研数学（一）真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -

2016年考研数学三考试大纲原文

2016年考研数学三考试大纲原文 2016年考研数学三考试大纲原文考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟二、答题方式答题方式为闭卷、笔试三、试卷内容结构微积分约56% 线性代数约22% 概率论与数理统计约22% 四、试卷题型结构单项选择题选题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题(包括证明题)9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算

极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系 2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念 5、了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念 6、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法 7、理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系 8、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型 9、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求 1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念)，会求平面曲线的切线方程和法线方程

2016年考研数学一【试题版】【无水印】

2016考研真题完整版数学（一）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -

2016年考研数学三真题及解析

2016年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______. n n n n -→∞ +??= ? ?? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()102 f '=,则() 2 24z f x y =-在点(1,2)处的全微分( ) 1,2d _____. z = （4）设矩阵 2112A ??= ? -?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足 2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____. ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0 x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0 x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则

(A) 0d y y <

2016年考研数学(一、二、三)真题与答案解析

2016考研数学（一）真题及答案解析考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设{}n x 是数列下列命题中不正确的是（）（A ）若lim n n x a →∞ =，则221lim lim n n n n x x a +→∞ →∞ == （B ）若221lim lim n n n n x x a +→∞ →∞ ==，则lim n n x a →∞ = （C ）若lim n n x a →∞ =，则321lim lim n n n n x x a -→∞ →∞ == （D ）若331lim lim n n n n x x a -→∞ →∞ ==，则lim n n x a →∞ = 【答案】（D ）（2）设211 ()23 x x y e x e = +-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则（A ）3,2,1a b c =-==- （B ）3,2,1a b c ===- （C ）3,2,1a b c =-== （D ）3,2,1a b c === 【答案】（A ）【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出3,2,1a b c =-==-。故选A 。（3）若级数 1 n n n a x ∞ =∑在2x = 处条件收敛，则x = 3x =依次为幂级数1 (1)n n n na x ∞ =-∑的（）（A ）收敛点，收敛点（B ）收敛点，发散点（C ）发散点，收敛点（D ）发散点，发散点【答案】（A ）【解析】因为级数 1 n n n a x ∞ =∑在2x =处条件收敛，所以2R =，有幂级数的性质， 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛半径也为2R =，即13x -<，收敛区间为13x -<<，则收敛域为13x -<≤ ，进而x =3x =依次为幂级数 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛点，收敛点，故选A 。（4）下列级数发散的是（）（A ） 18 n n n ∞ =∑ （B ） 1 1)n n ∞ =+

2016年考研数学一真题及详细解析

2016年考研数学一真题及详细解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且【答案】（C ）【解析】 1 (1) a b dx x x +∞ +? 1 111(1)(1)a b a b dx dx x x x x +∞=+++? ? 1 1p dx x ? 在（1p <时收敛），可知1a <，而此时(1)b x +不影响同理， 1 11 1(1)11b a b a b dx dx x x x x +∞ +∞+=+?? + ? ?? ? ? 1 1p dx x +∞ ? （1p >时收敛），而此时11b x ??+ ??? 不影响（2）已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -