排列组合全部20种方法
排列组合解法
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
练习、 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
三.不相邻问题插空策略
3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
四.定序问题倍缩空位插入策略
4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？
练习、10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
五.重排问题求幂策略
5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
练习
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
六.环排问题线排策略
6、 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
练习、 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？
七.多排问题直排策略
7、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？
前 排后 排
练习、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，
并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
八.排列组合混合问题先选后排策略
8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
练习、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正
副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种
九.小集团问题先整体后局部策略
9、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多
少个？
练习、
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 种
十.元素相同问题隔板策略
10、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m
n A n
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
练习题：
1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数？
十一.正难则反总体淘汰策略
11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
练习、我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
12、 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
练习题：
1、将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？
2、10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法
3、某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排方案种数为______
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,
有多少选派方法
将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为1
1m n C -- 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n
n A (n 为均分的组数)避免重复计数。 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
练习：
1、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
2、3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.
十四.构造模型策略 14、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,
也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
练习、某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？
十五.实际操作穷举策略
15、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
练习
1、同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？
2、给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方
法有 种
十六. 分解与合成策略
16、 30030能被多少个不同的偶数整除
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略
5
4321
十七.化归策略
17、 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
练习、某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A 走到B 的最短路径有多少种？
十八.数字排序问题查字典策略
18、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的
数？
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是
十九.树图策略
19、3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______
练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i 号人不坐i 号椅（54321,,,,i ）的不同坐法有多少种？
二十.复杂分类问题表格策略
20、有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色
齐备,则共有多少种不同的取法
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题
数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果 一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,
能达到好的效
B A
排列组合解法
解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有1
3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A
由分步计数原理得113
434288C C A =
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少
不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进
行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522
522480A A A =种不同的排法
乙
甲丁
丙
练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间
包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54
56A A 种
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略
C 1
4
A 3
4
C 1
3
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总
排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73
73/A A
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4
7A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种
坐法，则共有4
7A 种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法
练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？5
10C
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有6
7种不同的排法
练习题：
2． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原
节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法8
7
六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直
线其余7人共有（8-1）！种排法即7！
H
F
D C A
A B C D E A
B
E G
H G F
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A 种,再排后4个位
置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有5
5A 种,则共有
2
1
5
445A A A 种 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n
m 种
一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m
n A n
15243
前 排
后 排
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，
并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有2
5C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4
个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有24
54C A
练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,
且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有
多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有22
22A A 种排法，由
分步计数原理共有222
222A A A 种排法.
练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为2
5
4
254A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有2
5
5
255A A A 种
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位
置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有6
9C 种
分法。
一
班二班三班四班五班六班七班
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，
练习题：
2． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 4
9C
2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇
数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有12
55C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +-
练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得2
2
2
642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取
AB,第二步取
CD,第三步取
EF
该分法记为(AB,CD,EF),则222
642C C C 中还有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是
(AB,CD,EF)一种分法,故共有2223
6423/C C C A 种分法。
练习题：
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（5442
13842/C C C A ）
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排方案种数为______（2
2
2
2
4262/90C C A A =）
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,
有多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有22
33C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员
112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有22
55C C 种，由分类计数原理共有 2211222
3353455C C C C C C C ++种。
练习题：
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n
n A (n 为均分的组数)避免重复计数。 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27） 本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3
盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有3
5C 种
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有2
5C 种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩
下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒
时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2
52C 种
534
3号盒 4号盒 5号盒
练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方
法有 72种
十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，
所有的偶因数为：12345
55555C C C C C ++++
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共4
81258C -=,每个四面体有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成358174?=对异面直线
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果 5
4321
十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3
人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.
从3×3方队中选3人的方法有111321C C C 种。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有3355C C 选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有3311155321C C C C C 选法。
练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A 走到B 的最短路径有多少种？
(3
735C =)
十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
解:297221
122334455=++++=A A A A A N
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是
3140 十九.树图策略
例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______ 10=N
练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i 号人不坐i 号椅（54321,,,,i =）的不同坐法有多少种？44=N
二十.复杂分类问题表格策略
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且
三色齐备,则共有多少种不同的取法 解:
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题
数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果 红 1 1 1 2 2 3
黄 1 2 3 1 2 1 兰 3 2 1 2 1 1 取法 1415C C 2415C C 3415C C 1325C C 2325C C 1
235C C
一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗
B
A
排列组合问题的20种解法
排列组合问题的20种解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 复习巩固分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 44 3
由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆 里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再 与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522 522480A A A =种不同的排法 练习题: 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场 顺序有多少种 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5 5A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5 4 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行 排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数
排列组合问题的解法第三计
每周一计第三计——排列组合问题的解法 解决排列组合问题要讲究策略，用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。 （一）.特殊元素、特殊位置的“优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 例1 ： 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？ 解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0：0在个位有 种，0在十位有 种； 第二类，不含0：有1 223A A 种。 故共有（ 24A ＋1123A A ）＋1223A A ＝３０种。 注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。 解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个 放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有 种。 故共有 练习：甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学选四人组队参加4*100m 接力赛，其中甲、乙不跑最后一棒，共有多少种不同的安排方法？（此题可有元素优先和位置优先两个角度两种解法，但位置优先则更简单） （二）．排除法 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去. 例２：５个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有543543 2A A A -+=78种． （三）.相邻问题“捆绑法” 对于某些元素要求相邻．． 排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 例3： 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？ 解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应 全排列。由乘法原理共有6365A A 种。 （四）。不相邻问题“插空法” 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他可相邻元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的） 例4： 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？ 解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生间的4个空隙，由乘法原理共有 种。 注意：①分清“谁插入谁”的问题。要先排可相邻的元素，再插入不相邻的元素； ②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。 例5： 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？ 解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有3 5 C 种。 （五）。定序问题选位不排 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。 例6： 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？ 解：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有 种，再排列其它3人有 ，由乘法原理得共有 =60种。 1345240A A =5354A A 25C 3 3 A 25C 3 3A 24 A 1123A A 111233 A A A 2111423330 A A A A +=24A
排列组合(20份)
排列组合与概率总结复习 两个基本原理： 1.加法原理（分类计数原理）:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法, 在第二类办法中有2m 种不同的方法, ……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有：n m m m m N +???+++=321种不同的方法. 2.乘法原理（分步计数原理）: 做一件事,完成它有n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法, 做第二步有有2m 种不同的方法, ……, 做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有： n m m m m N ???????=321种不同的方法. 特别注意：分类是独立的、一次性的；分步是连续的、多次的。 三组基本概念： 1．排列 1）排列：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 2）排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素 中取出m 个元素的排列数。通常用m n A 表示。 特别地，当n m =时，称为全排列，当n m 时，称为选排列。 2． 组合 1）组合：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 2）组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元 素中取出m 个元素的组合数,记作m n C 。 3． 事件与概率 1）事件的分类：（1）必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件；（2）不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件；（3）随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。 2）一些特殊事件： （1）等可能事件：对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；另外，所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的。 （2）互斥事件：不可能同时发生的两个事件，我们把它称为互斥事件。如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥。 （3）对立事件：必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件。事件A 的对立事件通常记作 A 。特别地，有 B A +、B A ?的对立事件分别是B A ?、B A +，即B A B A ?=+、B A B A +=?。 （4）相互独立事件：一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响的两个事件叫做相互独立事件。 3）事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率 n m 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P (A )。 一些重要公式： 1．排列数公式 ：
【智博教育原创专题】排列组合的常见题型及其解法大全(包含高中所有的题型)
★绝密 备战2014专题 主编：冷世平
排列组合的常见题型及其解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。 ◆处理排列组合应用题的一般步骤为： ①明确要完成的是一件什么事（审题）；②有序还是无序；③分步还是分类。 ◆处理排列组合应用题的规律 ⑴两种思路：直接法，间接法；⑵两种途径：元素分析法，位置分析法。 排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律: ⑴使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。 ⑵排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。 ⑶复杂的排列问题常常通过试验、画“树图”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。 ⑷按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。 ⑸处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 ⑹在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。 总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等；其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。 【策略1】特殊元素（位置）用优先考虑 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 【例1】6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有种不同站法。 【分析】解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 【法一】（优先考虑特殊元素）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有4种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有120种站法，故站法共有480种； A种方法；剩下四【法二】（优先考虑特殊位置）先从除甲外的五个元素中任取两个站在两端，有2 5 A种方法，共计有480种。 个人作全排列有4 4 用0,2,3,4,5五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个。30 【策略2】相邻问题用捆绑法 将相邻的元素内部进行全排列，绑成一捆，看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列。
超全超全的排列组合的二十种解法
排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。①从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。②从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 ③用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是6种颜色呢。从6种颜色中取出4种进行排列呢。 解：A(4,4)=4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)=4x1x2x3x1=24。 A(6,6)=6x5x4x3x2x1=720。 A(6,4)=6!/(6-4)!=(6x5x4x3x2x1)/2=360。 [计算公式] 排列用符号A(n,m)表示，m≦n。 计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)! 此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2) (1) 例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。 组合的定义及其计算公式 1 组合的定义有两种。定义的前提条件是m≦n。 ①从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 ②从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 ③用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。 解：C(4,2)=A(4,2)/2!={[4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)]/[2x(2-1)x(2-2+1)]}/[2x(2-1)x(2-2+1)]=[( 4x3x2x1)/2]/2=6。 [计算公式] 组合用符号C(n,m)表示，m≦n。 公式是：C(n,m)=A(n,m)/m! 或C(n,m)=C(n,n-m)。
高中数学-排列组合解法大全
排列组合解法大全 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得1 1 3434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有5 2 2 522480A A A =种不同的排法 C 1 4 A 3 4 C 1 3 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
高三数学排列组合20种解题方法汇总含例题及解析
排列组合解法 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同 的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排 列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪， 4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列 数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73 73/A A
完整版排列组合的二十种解法最全的排列组合方法总结
教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略 ；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分 析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m i 种不同的方法，在第 2类办法中有m 2种不同的方 法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m i m 2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有叶种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，… 做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有: N mi m 2 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 ： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事 ，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少 类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题 （有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素 . 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C ； 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3 由分步计数原理得C 4C ；A ； 288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需 先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位 置。若 有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里 多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排 A 3 ,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，冋有 A 5 A 2 A 2 480种不同的
排列组合常用方法总结
排列组合常用方法总结 排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是，请参考！ 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何
一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定。 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
排列组合方法归纳大全
排列组合方法归纳大全 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
四.定序问题倍缩空位插入策略 例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 七.多排问题直排策略 例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
排列组合解法大全
排列组合解法大全 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素， 再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪， 4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进 行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法 种数是：73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4 7A 种方法，其余的三个位
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进 行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有 2m 种不同的方 法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的 排法
高中数学排列组合难题十一种方法
高考数学排列组合难题解决方法 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： N = mi + m2 j + m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有： N = mi江m2汇川X m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进 行,确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 练习题:7种不同的花种在排成一列的xx，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的xx，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 练习题1.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？ 解：把1，5，2，4当作一个小集团与3排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法. 1524
[超全]排列组合二十种经典解法!
超全的排列组合解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 g种不同的方法，在第 2类办法中有m2 种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： N m-\ m2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m,种不同的方法，做第 2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： N m1 m2 L m n 种不同的方法.
3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素? 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,123,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有C； 然后排首位共有C1 最后排其它位置共有A3 ；A：288 由分步计数原理得C4C 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
排列组合问题常用的解题方法含答案
高中数学排列组合问题常用的解题方法 一、相邻问题捆绑法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列． 例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的 排法种数有种。 二、相离问题插空法 元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相 离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端． 例2：七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是。 三、定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法． 例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可 不相邻)，那么不同的排法种数有。 四、标号排位问题分步法 把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一 个元素，如此继续下去，依次即可完成． 例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。 五、有序分配问题逐分法 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。 例5：有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人 中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有。 六、多元问题分类法 元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。 例6：由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数 字小于十位数字的共有个。 例7：从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？ 例8：从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种？ 七、交叉问题集合法 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 n A B n A n B n A B ?=+-?。 ()()()() 例 9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙 不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？ 八、定位问题优先法 某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素。 例10：1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不
排列组合问题的几种基本方法(复习归纳)
排列组合问题 1. 分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.) 处理问题的原则： ①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积. ④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列. 1. 分组（堆）问题 例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？ 解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤： ⑴先将四项工程分为三“堆”，有 211421 2 2 6C C C A 种分法； ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队， 有3!＝6种给法. ∴共有6×6＝36种不同的发包方式. 2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决. ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：分两步进行： 55A 有=120种排法 第1步，把除甲乙外的一般人排列： 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)： 26A 有=30种插入法
120303600∴?共有＝种排法 () 种不同的排法有22 5566P P P -∴ 3.捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列. 例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ 解：（1）分两步进行： 甲 乙 第一步，把甲乙排列(捆绑)： 22 A 有＝2种捆法 第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队： 55 A 有＝120种排法 几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔. 几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.
排列组合几种基本方法
排列组合几种基本方法 1.直接法 例1.用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。 2.间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。 例2 有五卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 3.插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例3.在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？ 4.捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 例4.4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ 5.阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法 例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。 6.平均分堆问题 例6.6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
7.合并单元格解决染色问题 例7．某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120） 8.排列问题 例8六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端； (6)甲、乙、丙三人顺序已定． 9.组合问题 例9某医院有科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中 (1)某科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？ (4)队中至少有一名科医生和一名外科医生，有几种选法？ 10.排列组合综合 例10(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？ (2)计算x ＋y ＋z ＝6的正整数解有多少组； (3)计算x ＋y ＋z ＝6的非负整数解有多少组． 5 46 132