与圆有关的动点问题
与圆有关的动点问题
1、如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）．
（1）求∠APC与∠ACD的度数；
（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．
（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．
2、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60o，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．
(1)求证：⊙D与边BC也相切；
(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留π)；
(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF时，求动点M
经过的弧长(结果保留π)．
3、半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC 在l上．
（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．
①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；
②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；
（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF 重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．
4、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．
（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；
（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；
（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．
5、如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C 重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．
（1）求证：OF∥BE；
（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG （E、F、O与E、H、G为对应点）如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．
6、如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．
（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；
（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立请说明理由；
（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．
答案：
1、解：（1）连接AC，如图所示：
∵AB=4，∴OA=OB=OC=AB=2。
又∵AC=2，∴AC=OA=OC。∴△ACO为等边三角形。
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC=∠AOC=30°。
又DC 与圆O 相切于点C ，∴OC ⊥DC 。∴∠DCO=90°。
∴∠ACD=∠DCO ﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。
（2）连接PB ，OP ，
∵AB 为直径，∠AOC=60°，∴∠COB=120°。
当点P 移动到弧CB 的中点时，∠COP=∠POB=60°。
∴△COP 和△BOP 都为等边三角形。∴AC=CP=OA=OP 。
∴四边形AOPC 为菱形。
（3）当点P 与B 重合时，△ABC 与△APC 重合，显然△ABC ≌△APC 。
当点P 继续运动到CP 经过圆心时，△ABC ≌△CPA ，理由为：
∵CP 与AB 都为圆O 的直径，∴∠CAP=∠ACB=90°。
在Rt △ABC 与Rt △CPA 中，AB=CP ，AC=AC
∴Rt △ABC ≌Rt △CPA （HL ）。
综上所述，当点P 与B 重合时和点P 运动到CP 经过圆心时，△ABC ≌△CPA 。
2、解：（1）证明：连接DE ，过点D 作DN ⊥BC ，垂足为点N 。
∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 平分∠ABC 。
∵⊙D 与边AB 相切于点E ，∴DE ⊥AB 。∴DN=DE 。
∴⊙D 与边BC 也相切。
（2）∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝23，∴AD ＝AB ＝23。 又∵∠A ＝60o，∴DE ＝ADsin600＝3，即⊙D 的半径是3。
又∵∠HDF ＝
12
∠HADC ＝60o，DH ＝DF ，∴△HDF 是等边三角形。 过点H 作HG ⊥DF ，垂足为点G ，则HG ＝3sin600＝332
。 ∴2HDF HDF 1396033S 333S 2243602
ππ???=??===扇形，。 ∴HDF HDF 39693S S S 3244ππ?-=-=-=扇形影阴。 （3）假设点M 运动到点M 1时，满足S △HDF ＝3S △MDF ，过点M 1作M 1P ⊥DF ，垂足为点P ，则
191333M P 42=???，解得3M P=2
'。 ∴111M P=DM 2
。∴∠M 1DF ＝30o。 此时动点M 经过的弧长为：3031802
ππ??=。 过点M 1作M 1M 2∥DF 交⊙D 于点M 2，
则满足HDF M1DF M2DF S ???=，
此时∠M 2DF ＝150o，动点M 经过的弧长为：150351802
ππ??=。
∵OA ＞0，
∴OA=5-1；
（2）如图3，设∠MON=n°，S 扇形MON =360n π×22=90
πn （cm 2）， S 随n 的增大而增大，∠MON 取最大值时，S 扇形MON 最大， 当∠MON 取最小值时，S 扇形MON 最小，
如图，过O 点作OK ⊥MN 于K ，
∴∠MON=2∠NOK ，MN=2NK ，
在Rt △ONK 中，sin ∠NOK=2
NK NK ON =， ∴∠NOK 随NK 的增大而增大，∴∠MON 随MN 的增大而增大， ∴当MN 最大时∠MON 最大，当MN 最小时∠MON 最小， ①当N ，M ，A 分别与D ，B ，O 重合时，MN 最大，MN=BD ， ∠MON=∠BOD=90°，S 扇形MON 最大=π（cm 2），
②当MN=DC=2时，MN 最小，
∴ON=MN=OM ，
∴∠NOM=60°，
S 扇形MON 最小=
23π（cm 2）， ∴23
π≤S 扇形MON ≤π．
4、（1）连接AO 、DO ．设⊙O 的半径为r ．
在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC=
=4，则⊙O 的半径r=（AC+BC ﹣AB ）=（4+3﹣5）=1；
∵CE 、CF 是⊙O 的切线，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE ，
∴四边形CEOF 是正方形，
∴CF=OF=1；
又∵AD 、AF 是⊙O 的切线，
∴AF=AD ；
∴AF=AC ﹣CF=AC ﹣OF=4﹣1=3，即AD=3；
（2）在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴==，
即=，∴y=﹣x+4，即y与x的函数关系式是y=﹣x+4；
（3）如图，P′H′与⊙O相切．
∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，
∴四边形OMH′D是正方形，
∴MH′=OM=1；
由（1）知，四边形CFOE是正方形，
CF=OF=1，
∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；
又由（2）知，y=﹣x+4，
∴y=﹣y+4，解得，y=．
5、（1）证明：连接OE
FE、FA是⊙O的两条切线
∴∠FAO=∠FEO=90°
在Rt△OAF和Rt△OEF中，
∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL），
∴∠AOF=∠EOF=∠AOE，
∴∠AOF=∠ABE，
∴OF∥BE，
（2）解：过F作FQ⊥BC于Q
∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y
PF=EF+EP=FA+BP=x+y
∵在Rt△PFQ中
∴FQ2+QP2=PF2
∴22+（x﹣y）2=（x+y）2
化简得：，（1＜x＜2）；
（3）存在这样的P点，
理由：∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，
当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，
即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，
此时Rt△AFO中，
y=AF=OA?tan30°=，
∴
∴当时，△EFO∽△EHG．
6、（1）PN与⊙O相切．
证明：连接ON，
则∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．
∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．
∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°．
即PN与⊙O相切．
（2）成立．
证明：连接ON，
则∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．
在Rt△AOM中，
∴∠OMA+∠OAM=90°，
∴∠PNM+∠ONA=90°．
∴∠PNO=180°﹣90°=90°．
即PN与⊙O相切．
（3）解：连接ON，由（2）可知∠ONP=90°．
∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，
∵∠PON=60°，∠AON=30°．
作NE⊥OD，垂足为点E，
则NE=O N?sin60°=1×=．
S阴影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON=OC?OA+CO?NE =×1×1+π﹣×1×
=+π﹣．