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【三维设计】高中数学 模块综合检测 新人教A版必修5

1

阶段质量检测(四) 模块综合检测

(时间90分钟,满分120分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)

1.一个等差数列的第5项a 5=10,且a 1+a 2+a 3=3,则有( ) A .a 1=-2,d =3 B .a 1=2,d =-3 C .a 1=-3,d =2

D .a 1=3,d =-2

2.若a <1,b >1,那么下列命题中正确的是( ) A.1a >1

b

B.b a

>1 C .a 2

D .ab

3.在△ABC 中,a =80,b =100,A =45°,则此三角形解的情况是( ) A .一解 B .两解 C .一解或两解

D .无解

4.已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C =3∶2∶1,那么,对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )

A .3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1

D .2∶3∶1

5.等比数列{a n }的前4项和为240,第2项与第4项的和为180,则数列{a n }的首项为( )

A .2

B .4

C .6

D .8

6.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若A =π3,b =1,△ABC 的面积为3

2,

则a 的值为( )

A .1

B .2 C.3

2

D. 3

7.已知不等式x 2

-2x -3<0的解集为A ,不等式x 2

+x -6<0的解集为B ,不等式x 2

ax +b <0的解集是A ∩B ,那么a +b 等于( )

A .-3

B .1

C .-1

D .3

2

8.已知a ,b ,c ∈R ,a +b +c =0,abc >0,T =1a +1b +1

c

,则( )

A .T >0

B .T <0

C .T =0

D .T ≥0

9.一个等比数列前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有( )

A .13项

B .12项

C .11项

D .10项

10.函数y =x 2+2

x -1

(x >1)的最小值是( )

A .23+2

B .23-2

C .2 3

D .2

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

11.已知0<x <1

3

,则x (1-3x )取最大值时x 的值是________.

12.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1-2a n =0(n ∈N *

),b n 是a n 和a n +1的等差中项,设S n 为数列{b n }的前n 项和,则S 6=________.

13.已知A 船在灯塔C 北偏东80°处,且A 到C 的距离为2 km ,B 船在灯塔C 北偏西40°处,A 、B 两船的距离为3 km ,则B 到C 的距离为________ km.

14.不等式ax 2

+4x +a >1-2x 2

对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是________. 三、解答题(本大题共4题,共50分)

15.(12分)已知α,β是方程x 2

+ax +2b =0的两根,且α∈[0,1],β∈[1,2],a ,

b ∈R ,求b -3a -1

的最大值和最小值.

16.(12分)已知函数f (x )=log 3(x 2

-4x +m )的图象过点(0,1). (1)求实数m 的值; (2)解不等式:f (x )≤1.

3

17.(12分)(2012·浙江高考)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b sin

A =3a cos

B .

(1)求角B 的大小;

(2)若b =3,sin C =2sin A ,求a ,c 的值.

18.(14分)设数列{a n }的前n 项和为S n =2n 2

,{b n }为等比数列,且a 1=b 1,b 2(a 2-a 1)=

b 1.

(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)设c n =a n b n

,求数列{c n }的前n 项和T n .

答 案

阶段质量检测(四) 模块综合检测

1.选A ∵a 1+a 2+a 3=3且2a 2=a 1+a 3,

∴a 2=1.又∵a 5=a 2+3d =1+3d =10,d =3.∴a 1=a 2-d =1-3=-2.

2.选D 利用特值法,令a =-2,b =2.则1a <1b ,A 错;b a

<0,B 错;a 2=b 2

,C 错.

3.选B ∵b sin A ≈100×0.7<a ,且b >a ,∴有两解. 4.选D ∵A ∶B ∶C =3∶2∶1,A +B +C =180°, ∴A =90°,B =60°,C =30°.

∴a ∶b ∶c =sin 90°∶sin 60°∶sin 30°=1∶32∶1

2

=2∶3∶1. 5.选C S 4-(a 2+a 4)=60?a 1+a 3=60. ∴q =

a 2+a 4

a 1+a 3

=3,a 1=6.

4

6.选D 根据S =12bc sin A =32,可得c =2,由余弦定理得a 2=b 2+c 2

-2bc cos A =3,

故a = 3.

7.选A 由题意:A ={x |-1<x <3},B ={x |-3<x <2}.A ∩B ={x |-1<x <2},由根与系数的关系可知:

a =-1,

b =-2,∴a +b =-3.

8.选B 法一:取特殊值,a =2,b =c =-1, 则T =-3

2

<0,排除A ,C ,D ,可知选B.

法二:由a +b +c =0,abc >0,知三数中一正两负, 不妨设a >0,b <0,c <0,

则T =1a +1b +1c =ab +bc +ca abc =ab +c b +a abc =ab -c 2

abc

.

∵ab <0,-c 2

<0,abc >0,故T <0,应选B.

9.选B 设该数列的前三项分别为a 1,a 1q ,a 1q 2

,后三项分别为a 1q n -3

,a 1q

n -2

,a 1q

n -1

.

所以前三项之积a 31q 3

=2,后三项之积a 31q

3n -6

=4,两式相乘,得a 61q 3(n -1)

=8,即a 21q

n -1

=2.又

a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n -1=64,所以a n 1·q

n n -1 2

=64,即(a 21q n -1)n =642,即2n =642

,所以n =12.

10.选A ∵x >1, ∴x -1>0.

∴y =x 2+2x -1=x 2-2x +2x +2

x -1

=x 2-2x +1+2 x -1 +3x -1

= x -1 2

+2 x -1 +3x -1

=x -1+

3

x -1

+2 ≥23+2.

11.解析:∵0<x <1

3,

∴0<1-3x <1.

∴y =x (1-3x )=1

3×3x (1-3x )

≤13? ????3x +1-3x 22=112,

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5

当且仅当3x =1-3x ,即x =1

6时取等号.

答案:16

12.解析:由a n +1=2a n ,{a n }为等比数列, ∴a n =2n

. ∴2b n =2n

+2n +1

即b n =3·2

n -1

∴S 6=3·1+3·2+…+3·25

=189. 答案:189

13.解析:如右图所示,在△ABC 中,∠ACB =40°+80°=120°,

AB =3 km ,AC =2 km.

设BC =a km.

由余弦定理的推论,得cos 120°=a 2+4-9

4a

,解得a =6-1或a =

-6-1(舍去),即B 到C 的距离为(6-1) km. 答案:(6-1)

14.解析:不等式ax 2

+4x +a >1-2x 2

对一切x ∈R 恒成立, 即(a +2)x 2

+4x +a -1>0对一切x ∈R 恒成立. 若a +2=0,显然不成立; 若a +2≠0,则

?

??

??

a +2>016-4 a +2 a -1 <0?

?????

a >-2,16-4 a +2 a -1 <0?

?????

a >-2a <-3或a >2

?a >2.

答案:(2,+∞)

15.解:∵?

??

??

α+β=-a ,

αβ=2b ,

∴?

???

?

a =- α+β ,

b =αβ

2.

∵0≤α≤1,1≤β≤2,

6

∴1≤α+β≤3,0≤αβ≤2.

∴?????

-3≤a ≤-1,0≤b ≤1.

建立平面直角坐标系aOb ,则上述不等式组表示的平面区域如下图所示.

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令k =

b -3

a -1

,可以看成动点P (a ,b )与定点A (1,3)的连线的斜率. 取B (-1,0),C (-3,1),则k AB =32,k AC =1

2

∴12≤b -3a -1≤3

2. 故

b -3a -1的最大值是32,最小值是1

2

. 16.解:(1)由已知有f (0)=log 3m =1, ∴m =3.

(2)由(1)知f (x )=log 3(x 2

-4x +3). 由x 2

-4x +3>0,得x <1或x >3,

∴函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞). ∵log 3(x 2

-4x +3)≤1且y =log 3x 为增函数, ∴0

-4x +3≤3, ∴0≤x <1或3

∴不等式的解集为{x |0≤x <1或3<x ≤4}.

17.解:(1)由b sin A =3a cos B 及正弦定理a sin A =b

sin B ,

得sin B =3cos B ,所以tan B =3又∵0<B <π, 所以B =π

3

.

(2)由sin C =2sin A 及a sin A =c

sin C ,得c =2a .

由b =3及余弦定理b 2

=a 2

+c 2

-2ac cos B , 得9=a 2

+c 2

-ac . 所以a =3,c =2 3. 18.解:(1)当n ≥2时,

7

a n =S n -S n -1=2n 2-2(n -1)2

=4n -2,

当n =1时,a 1=S 1=2满足上式,故{a n }的通项公式为a n =4n -2.

设{b n }的公比为q ,由已知条件a 1=b 1,b 2(a 2-a 1)=b 1知,b 1=2,b 2=12,所以q =1

4,

∴b n =b 1q

n -1

=2×

14

n -1

,即b n =2

4

n -1.

(2)∵c n =a n b n =4n -22

4

=(2n -1)4n -1

∴T n =c 1+c 2+…+c n =1+3×41

+5×42

+…+ (2n -1)4

n -1

.

4T n =1×4+3×42

+5×43

+…+(2n -3)4n -1

(2n -1)4n

. 两式相减得:

3T n =-1-2(41

+42

+43

+…+4n -1

)+(2n -1)4n =13

[(6n -5)4n

+5].

∴T n =19

[(6n -5)4n

+5].

8