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第五章 5.4 平面向量的应用-教师版

1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →

，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × )

(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →

<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )

(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →

＋t (AB →＋AC →

)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )

2、已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形

答案 B

解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →

＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →

|＝16＋64＝45， |BC →

|＝36＋36＝62，

第1课时

进门测

∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形．

3、已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →

|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3

答案 D

解析在△ABC 中，由余弦定理可得AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →

|·cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →

，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →

|＝3，故选D.

4、若向量a ，b 满足|a |＝|2a ＋b |＝2，则a 在b 方向上投影的最大值是( ) A. 3 B ．－3 C. 6 D ．－6 答案 B

解析由题意得|2a ＋b |2＝4|a |2＋4|a||b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝16＋8|b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝4，则cos 〈a ，b 〉＝－|b |2－128|b |＝－(|b |8＋32|b |

)≤－2

|b |8·32|b |＝－3

2，当且仅当|b |＝23时等号成立，所以向量a 在向量b 方向上投影的最大值是|a |cos 〈a ，b 〉＝－ 3.

5、平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP → ·OA →

＝4，则点P 的轨迹方程是____________．答案 x ＋2y －4＝0

解析由OP →·OA →

＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4，

即x ＋2y ＝4.

无

题型一向量在平面几何中的应用命题点1 向量和平面几何知识的综合

例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →

＝1，则AB ＝________.

(2)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →

＋3PB →

|的最小值为________．答案 (1)1

(2)5

解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →

，

又∵AC →＝AD →＋AB →，

作业检查

阶段训练

第2课时

∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)

＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2

＝|AD →

|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2

＝1＋12×12|AB →|－12

|AB →

|2＝1.

∴????12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12

. (2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .

则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )， P A →＝(2，－y )，PB →

＝(1，a －y )，则P A →＋3PB →

＝(5,3a －4y )，即|P A →＋3PB →

|2＝25＋(3a －4y )2，由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a . 因此当y ＝34a 时，|P A →＋3PB →

|2取最小值25.

故|P A →＋3PB →

|的最小值为5. 命题点2 三角形的“四心”

例2 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →

＋λ(AB →＋AC →

)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心答案 C

解析由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →

是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →

的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．引申探究

1．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →

＋λ? ????AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？答案 A

解析由条件，得OP →－OA →＝λ? ????AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ? ????AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →

|AC →|平分∠BAC ，即AP →

平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．

2．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →

＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →

|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？

答案 D

解析由条件，得AP →＝λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，从而AP →·BC →

＝λ(AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C

)

＝λ·|AB →|·|BC →|cos (180°－B )|AB →|cos B ＋λ·|AC →|·|BC →|cos C |AC →|cos C ＝0，

所以AP → ⊥BC →

，

则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．命题点3 平面向量数量积与余弦定理

例3 在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 垂直BC 于点D ，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，若DE →·DF →

＝6，则BC 等于( ) A ．213 B ．10 C ．237 D ．14

答案 A

解析由题意，知DE ＝AE ，DF ＝AF ， ∵DE →·DF →＝|DE →|·|DF →

|·cos ∠EDF ＝|DE →|·|DF →|·|DE →|2＋|DF →|2－|EF →

|22|DE →|·|DF →|

＝|AE →|2＋|AF →|2－|EF →|22＝16＋9－|EF →|22＝6，

∴|EF →

|＝13，∴BC ＝213.

【同步练习】

(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →

满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )

A ．等边三角形

B ．直角三角形

C ．等腰非等边三角形

D ．三边均不相等的三角形

(2)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →

＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．

答案 (1)A (2)1－

解析 (1)AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为平行于AB →，AC →

的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的

角平分线．因为(AB →|AB →|＋AC →

|AC →|)·BC →

＝0，所以∠BAC 的角平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .

又AB →|AB →|·AC →

|AC →

|＝??????AB →|AB →|·????

??AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝1

2，又0<∠BAC <π，

故∠BAC ＝π

3，所以△ABC 为等边三角形．

(2)cos ∠BAC ＝AB →·AC

→

|AB →||AC →|

＝2＋615，

∴sin ∠BAC ＝2－3

，

∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin ∠BAC ＝1－3

题型二向量在解析几何中的应用命题点1 向量与解析几何知识的综合

例4 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →

＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．

(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →

＝0，则y x ＝

___________.

答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)±3

解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →

＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.

由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0. (2)∵OM →·CM →

＝0，∴OM ⊥CM ，

∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ，

由

|2k |1＋k 2

＝3，得k ＝±3，即y

x ＝± 3.

命题点2 轨迹问题

例5 已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →

＋12PQ →)·(PC →－12PQ →

)＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；

(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →

的最值．解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →

)＝0，

得|PC →

|2－14|PQ →|2＝0，

即(x －2)2＋y 2－1

4(x －8)2＝0，

化简得x 216＋y 2

＝1.

∴点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 2

12＝1.

(2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →，又NE →＋NF →

＝0.

∴PE →·PF →＝PN →2－NE →

2＝x 2＋(y －1)2－1 ＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－1

3y 2－2y ＋16

＝－1

(y ＋3)2＋19.

∵－23≤y ≤2 3.

∴当y ＝－3时，PE →·PF →

的最大值为19，当y ＝23时，PE →·PF →

的最小值为12－4 3. 综上，PE →·PF →

的最大值为19； PE →·PF →

的最小值为12－4 3. 【同步练习】

(1)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →

的最小值为________．

(2)如图，已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在第一象限，且满足|F 2P

→

|＝a ，(F 1P →＋F 1F 2→)·F 2P →＝0，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若F 2P →＝5F 2Q →

，则双曲线C 的渐近线方程为( )

A ．y ＝±

55x B ．y ＝±1

C ．y ＝±

x D ．y ＝±

x 答案 (1)－9

(2)B

解析 (1)∵圆心O 是直径AB 的中点， ∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，

∵PO →与PC →

共线且方向相反，

∴当大小相等时，PO →·PC →

最小．由条件知，当PO ＝PC ＝32时，最小值为－2×32×32＝－92.

(2)由(F 1P →＋F 1F 2→)·F 2P →＝0，可得|F 1P →|＝|F 1F 2→

|＝2c ，

则点P (x ，y )(x >0，y >0)满足?

????

(x ＋c )2＋y 2＝4c 2，

(x －c )2＋y 2＝a 2，解得?

x ＝c －a 24c

，

y ＝a

16c 2－a 24c

又F 2P →＝5F 2Q →

，解得Q (c －a 220c ，a 16c 2－a 220c

)，

又Q 在双曲线C 上，代入双曲线方程化简得80c 4－168a 2c 2＋85a 4＝0，则(4c 2－5a 2)(20c 2－17a 2)＝0，又c >a ，所以4c 2－5a 2＝0,4(a 2＋b 2)－5a 2＝0，则a ＝2b ，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±1

2x ，

故选B.

题型四函数与方程思想在向量中的应用

例6 (1)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x |

|b |的最大值等

于______．

(2)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →

，则λ＋μ＝________.

解析 (1)因为b ≠0，所以b ＝x e 1＋y e 2，x ≠0或y ≠0. 当x ＝0，y ≠0时，|x |

|b |

＝0；

当x ≠0时，|b |2＝(x e 1＋y e 2)2＝x 2＋y 2＋3xy ，

|x |2|b |2＝x 2x 2＋y 2＋3xy ＝1

y 2

x 2＋3·y

x ＋1，不妨设y x ＝t ，则|x |2|b |2＝1

t 2＋3t ＋1，

当t ＝－

32时，t 2＋3t ＋1取得最小值1

，此时|x |2

|b |2取得最大值4，

所以|x |

|b |的最大值为2.

综上，|x |

|b |

的最大值为2.

(2)由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，得(μ2－1)AB →＋λ2AD →

＋(λ2＋μ2)AC →＝0，得(

μ2－1)AB →＋λ2AD →＋(λ2＋μ2)(AD →＋12AB →)＝0，得(14λ＋34μ－1)AB →

＋(λ＋μ2)AD →＝0.

又因为AB →，AD →

不共线，

所以由平面向量基本定理得???

14λ＋3

4μ－1＝0，

λ＋μ

2＝0，

解得???

λ＝－4

5，μ＝8

所以λ＋μ＝4

答案 (1)2 (2)4

1．向量在平面几何中的应用

第3课时

阶段重难点梳理

(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：

(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：

平面几何问题――→设向量

向量问题――→运算

解决向量问题――→还原

解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．

(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)． 3．向量与相关知识的交汇

平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．【知识拓展】

1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →

＝0.

2．若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行．

题型五平面向量与三角函数命题点1 向量与三角恒等变换的结合

例1 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.且a ＋b ＝(0,1)，则α＝________，β＝________.

答案

5π6 π

解析因为a ＋b ＝(0,1)，

所以?

????

cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，

由此得cos α＝cos(π－β)．由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.

代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12.

又α>β，所以α＝5π6，β＝π

命题点2 向量与三角函数的结合

例2 已知向量a ＝(sin x ，3

2)，b ＝(cos x ，－1)．

(1)当a ∥b 时，求tan 2x 的值；

重点题型训练

(2)求函数f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π

2，0]上的值域．

解 (1)∵a ∥b ，∴sin x ·(－1)－3

2·cos x ＝0，

即sin x ＋32cos x ＝0，tan x ＝－3

2，

∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝12

(2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝a ·b ＋b 2 ＝sin x cos x －3

2＋cos 2x ＋1

＝12sin 2x －32＋12cos 2x ＋12＋1 ＝

22sin(2x ＋π4

)． ∵－π2≤x ≤0，∴－π≤2x ≤0，－3π4≤2x ＋π4≤π4，

∴－

22≤22sin(2x ＋π4)≤12

， ∴f (x )在[－π2，0]上的值域为[－22，12]．

命题点3 向量与解三角形的结合

例3 已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x ,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；

(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 与c 的值．

解 (1)f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos(2x ＋π

3)，

令2k π≤2x ＋π

≤2k π＋π(k ∈Z )，

解得k π－π6≤x ≤k π＋π

(k ∈Z )，

∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为[k π－π6，k π＋π

3](k ∈Z )．

(2)∵f (A )＝1＋2cos(2A ＋π

3)＝－1，

∴cos(2A ＋π

3)＝－1，

又π3<2A ＋π3<7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.

∵a ＝7， ∴由余弦定理得

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.

①

∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，

②

由①②得b ＝3，c ＝2.

【同步练习】(1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →

＝0，则函数f (x )的最小正周期是______．

(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝6，sin A －sin C ＝sin(A －B )，若1≤a ≤6，则sin C 的取值范围是________．

答案 (1)3 (2)[

，1]

解析 (1)由图象可知，M (1

2，1)，N (x N ，－1)，

所以OM →·ON →

＝(12，1)·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，

解得x N ＝2，

所以函数f (x )的最小正周期是2×????2－1

2＝3. (2)由sin A －sin C ＝sin(A －B )，得

sin A ＝sin C ＋sin(A －B )＝sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ，又sin A ≠0，所以cos B ＝1

当a ＝6cos B ＝3∈[1,6]时，sin C ＝1；

当a ＝1时，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋36－2×1×6×1

2＝31，

所以b ＝31，于是6sin C ＝31

sin π

3，

得sin C ＝393

；

当a ＝6时，△ABC 为等边三角形，

则sin C ＝

32，39331>32

，从而得到sin C 的取值范围是[

，1]．题型六向量与学科知识的交汇命题点1 向量与不等式相结合

例4 (1)设e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，AB →＝(a －1)e 1＋e 2，AC →

＝b e 1－2e 2(a >0，b >0)，若A ，

B ，

C 三点共线，则1a ＋2

b 的最小值是( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8 (2)已知x ，y 满足????

y ≥x ，x ＋y ≤2，

x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →

的最大值是最小值的8倍，则实

数a 的值是________．答案 (1)B (2)1

解析 (1)因为A ，B ，C 三点共线，所以(a －1)×(－2)＝1×b ，所以2a ＋b ＝2.

因为a >0，b >0，所以1a ＋2b ＝2a ＋b 2·(1a ＋2b )＝2＋2a b ＋b

2a ≥2＋2

2a b ·b 2a ＝4(当且仅当2a b ＝b

，即a ＝1

，b ＝1时取等号)． (2) 因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →

＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当直线z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝1

命题点2 向量与数列结合

例5 设数列{x n }的各项都为正数且x 1＝1.如图，△ABC 所在平面上的点P n (n ∈N *)均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为3∶1，若(2x n ＋1)P n C →＋P n A →＝13

x n ＋1P n B →

，则x 5的值为( )

A ．31

B ．33

C ．61

D ．63

答案 A

解析在(2x n ＋1)P n C →＋P n A →＝13x n ＋1P n B →中，令P n D →＝(2x n ＋1)P n C →，作出图形如图所示，则(2x n ＋1)P n C

→

＋P n A →＝P n E →

＝13x n ＋1P n B →

，所以|P n E →

||P n B →|

＝13x n ＋1

， n n P AE P AB

S S

＝13x n ＋1.又|P n C →

||P n D →

＝P n C AE ＝12x n ＋1，所以

n n P AC P AD

S S

＝

n n P AC P AE

S S

＝1

2x n ＋1，则n n P AC P AB

S S

＝x n ＋13(2x n ＋1)＝1

，所以x n ＋1＝2x n ＋1，x n ＋1＋1＝2(x n ＋1)，故{x n ＋1}构成以2为首项、2为公比的等比数列，所以x 5＋1＝2×24＝32，则x 5＝31，故选A.

【同步练习】(1)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组???

0≤x ≤

2，

y ≤2，

x ≤2y

给定．若M (x ，y )

为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →

的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．3 2

D ．42

(2)角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，向量m 满足|m |＝

2，且m ＝(2sin B ＋C 2，cos B －C 2

)，当角A 最大时，动点P 使得|PB →|，|BC →|，|PC →

|成等差数列，则|P A →||BC →|的最大值是( )

A.233

B.223

C.24

D.324

答案 (1)B (2)A 解析 (1)由线性约束条件

???

0≤x ≤2，

y ≤2，x ≤2y

画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，目标函数z ＝OM →·OA →

＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图象可知，当直线z ＝2x ＋y 过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.

(2)设BC ＝2a ，BC 的中点为D .

由题意得|m |2＝(2sin

B ＋

C 2)2＋(cos B －C 2

＝1－cos(B ＋C )＋1

2[1＋cos(B －C )]

＝32－12cos B cos C ＋32sin B sin C ＝32

，则12cos B cos C ＝32sin B sin C ，化简得tan B tan C ＝13，则tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－32(tan B ＋tan C )≤－32×2tan B tan C ＝－3，当且仅当tan B ＝tan C ＝3

3时，等号成立，所以当角A 最大

时，A ＝2π3，B ＝C ＝π6，则易得AD ＝3a 3.因为|PB →|，|BC →|，|PC →|成等差数列，所以2|BC →|＝|PB →|＋|PC →

|，

则点P 在以B ，C 为焦点，以2|BC →

|＝4a 为长轴的椭圆上，由图(图略)易得当点P 为椭圆的与点A 在直线BC 的异侧的顶点时，|P A →|取得最大值，此时|PD →|＝(2a )2－a 2＝3a ，则|P A →|＝|PD →|＋|AD →|＝43a

3，

所以|P A →||BC →

|＝43a 32a ＝233，故选A.

题型六和向量有关的创新题

例6 称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③

解决小学数学实际应用问题

解决小学数学实际应用问题提升学生能力有方法李雪芹应用题是小学数学考试中最为综合的题型，也是难度较大的一类考试题目，家长最关心的是怎样提高小学生解决应用题的水平？一、引导学生主动探究，解决问题数学学习的最终目的是让学生运用所学的知识去解决生活中的问题，让学生在面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度、根据已有的知识经验寻求解决问题的策略，提高学生解决问题的意识与能力。其中最有效的方法是让学生有机会亲身实践。（一）教师要引导学生实践运用数学来源于生活，生活中的数学问题很多，在教学中引导学生把生活中的问题抽象为数学问题，这样既可以加深学生对所学知识的理解，又有助于提高解决问题的能力。如房屋装修粉刷面积，铺地用多少块砖，车轮为什么制成圆形等。凡是有助于学生用数学知识解决实际问题的机会，都要让学生去实践、去探索，使学生觉得身边处处有数学，懂得知识来源于日常生活，并能运用所学的数学知识和方法解决一些简单的实际问题，因此，教师应处理好数学的学与用的关系，注重学用结合，进一步认识和体会数学的应用价值。（二）主动探究、尝试解决。在这个过程中，注意调动学生的学习经验和生活经验，采用独立尝试、动手操作、画线段图、小组讨论等方式，让学生主动探索解决问题的方法。在教学过程中，让学生已掌握的知识技能对解决新问题产生积极的影响，体现学生学习的自主性。（三）及时引导学生对解决问题的过程进行评价与反思解决问题的过程是重要的，而对过程的及时评价与反思也是非常重要的。公正的评价有利于充分调动学生参与学习的积极性。对于学生在

交流时教师最好能给予他们鼓励和欣赏，比如“你们的想法与众不同，真不错！”“你能用这样的方法解答真好！”对于回答错误的学生老师则以宽容的心对待他—“没想好，没关系，再想想”“能大胆的发言，本身就是对自己的挑战”。（四）交流方法，优化解决方法。通过讨论交流，让学生清楚地了解每种方法中先解决了什么问题，并引导学生比较不同的方法，了解各种方法的特点，为学生选择简捷的解决问题的方法打下基础。这样加深了学生对解决问题过程和方法的理解，而且也让学生体验到了成功的喜悦，提高了他们学习数学的兴趣。二、强化学生解题思路训练应用题之所以难学，首先是因为应用题条件和问题本身就难以理解，但更难的是条件和问题之间的逻辑关系，使许多学生感到无从下手，不知道怎样去想。笔者认为解应用题就是要抓住条件和问题间的逻辑关系，重视学生解题思路的训练。培养学生解答复合应用题的能力，要注意思路的训练，使学生逐步掌握应用题数量关系的基本结构和变化规律，从而提高解题能力。为了让学生对所解答的应用题的数量关系理解透彻，教学复合应用题时，可先准备一些连续的简单的应用题。如：（1）学校买了5个篮球，一共1275元。每个篮球多少元？（2）每个篮球255元，学校买了5个，共要用多少钱？通过简单应用题（1）和（2）的分析、比较，学生很容易看出题（1）的问题“每个篮球多少元？”是题（2）的已知条件“每个篮球255元”。如果把题（1）中的已知条件“学校买了5个篮球，一共1275元”代替题（2）中的“每个篮球225元”，便可得出“学校买了5个篮球，一共1275元。这样，利用一个个简单应用题组成所求的复合应用题，寻找出中间问题，有利于帮助学生建立中间问题与基本数量关系的联系，从而提高分析解答应用题的能力。

平面向量的概念练习(教师版)

1、下列说法正确的是（） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若||||a b =，则a b =； ③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =； ⑤若m n =，n k =，则m k =； ⑥a b ，b c ，则a c . 其中不正确的命题的个数为（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD 是（） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假：（1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB 和向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b | ②a ∥b ③|a |＞0 ④|b |＝±1，其中正确的是（） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③

6、下列命中，正确的是（） A 、|a |＝|b |?a ＝b B 、|a |＞|b |?a ＞b C 、a ＝b ?a ∥b D 、｜a ｜＝0?a ＝0 7、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、平行向量是否一定方向相同？ 9、不相等的向量是否一定不平行？ 10、与零向量相等的向量必定是什么向量？ 11、与任意向量都平行的向量是什么向量？ 12、若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ 14、如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，（1）找出图中与AB 共线的向量；（2）找出图中与AB 相等的向量；（3）找出图中与｜AB ｜相等的向量；（4）找出图中与EC 相等的向量. A B E C D

小学奥数分数应用题(二).学生版

于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。（三）、原数量与现数量有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。这类分数应用题的单位“1”比较难找。需要将题目文字完善成我们熟悉的类似带“比”的文字，然后在分析。例如：水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了。完善后：水结成冰后体积增加了→ “水结成冰后体积比原来增加了” →原来的水是单位“1” 冰融化成水后，体积减少了→ “冰融化成水后，体积比原来减少了” →原来的冰是单位“1” 解题关键：要结合语文知识将题目简化的文字丰富后在分析单位“1”不变（一）抓住量率对应进行计算【例 1】甲、乙、丙三人一起买了八个面包平分着吃，甲拿出五个面包的钱，乙付了三个面包的钱，丙没带钱，等吃完后一算，丙应该拿出四元钱，问：甲应收回多少钱?(以角为单位) 【例 2】一小、二小、三小、四小四个学校组织了一次数学竞赛,共有700 多人参赛,其中一小占1 4，二小占1 3 、三小占1 5 ，其余都是四小的。比赛结果是,一小有1 10学生获奖,二小有1 12 学生获奖,三小有1 9 学生获奖，四小有多少人参赛? 例题精讲

分数应用题(讲义版本)

第1讲分数应用题知识点精讲一.分数应用题的三种基本类型：第一类：求一个数是另一个数的几分之几。（可以用比和比例的思想考虑）第二类：求一个数的几分之几是多少。（已知整体，求部分，用乘法）第三类：已知一个数的几分之几是多少，求这个数。（已知部分，求整体，用除法）二.解答这类应用题应注意以下几点： 1.掌握好相关基础知识。深刻理解和灵活运用“已知整体，求部分，用乘法”和“已知部分，求整体，用除法” 这两句话。 2.加强运用线段图解题和列方程解应用题的能力。 3.当条件错综复杂时，可借助表格理清思路。 4.在解题时一定要清楚把谁当作“1”。有时在解题的不同阶段需把不同的量看成单位“1”。 5. 三.重要解题思想： 1.与和差倍问题相联系，用设份数的方法计算； 2.“量率对应”：正确理解条件中分数所代表的含义，找出分数所对应的全部总量； 3.统一单位“1”：当题目中出现多个分率时，如果各个量都不改变，就可以设公共量为单位“1”，如果有的量发生改变，通常都会找“不变量”作为单位“1”。 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

例题精讲 1.食堂存有甲、乙、丙三袋大米．甲袋大米有30千克，乙袋大米的重量是甲袋大米的7 10 ，丙袋大米的重量是乙袋大米的6 7 ．三袋大米一共有________千克． 2.小强的爷爷家里和姥爷家里都种有若干桃树和枣树．爷爷家里有12棵桃树，姥爷家里的桃树比爷爷的多1 2 ，那么姥爷家里有______棵桃树；姥爷家里有12棵枣树，比爷爷的少 1 5 ，那么爷爷家里有______ 棵枣树． 3.联欢会上，老师拿来了一些糖．他把一半分给了男生，把2 7 分给了女生，最后只剩下了12块糖．那么老师一共拿来了________块糖． 4.如下表，填空格。男生人数女生人数男生占女生女生占总数总人数 3 275 110 45% 48 12% 42 7 4

人教版6年级分数应用题(教师版)

第六周转化单位“1”（一）专题简析：把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。如果甲是乙的a b ，乙是丙的c d ，则甲是丙的ac bd ；如果甲是乙的a b ，则乙是甲的b a ；如果甲的a b 等于乙的c d ，则甲是乙的c d ÷a b ＝bc ad ，乙是甲的a b ÷a b ＝ad bc 。例题1。乙数是甲数的23 ，丙数是乙数的45 ，丙数是甲数的几分之几？ 23 ×45 ＝815 练习1 1. 乙数是甲数的34 ，丙数是乙数的35 ，丙数是甲数的几分之几？ 2. 一根管子，第一次截去全长的14 ，第二次截去余下的12 ，两次共截去全长的几分之几？ 3. 一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。他醒来时，发现剩下的路程是他睡着前所行路程的14 。想一想，剩下的路程是全程的几分之几？他睡着时火车行了全程的几分之几？练1 1、＝920 2、＝58 3、＝18 ＝38 例题2。修一条8000米的水渠，第一周修了全长的14 ，第二周修的相当于第一周的45 ，第二周修了多少米？解一：8000×14 ×45 ＝1600（米）解二：8000×（14 ×45 ）＝1600（米）答：第二周修了1600米。练习2 用两种方法解答下面各题： 1. 一堆黄沙30吨，第一次用去总数的15 ，第二次用去的是第一次的114 倍，第二次用去黄沙多少吨？ 2. 大象可活80年，马的寿命是大象的12 ，长颈鹿的寿命是马的78 ，长颈鹿可活多少年？ 3. 仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的15 ，第二次取出余下的13 ，第二次取出多少吨？练2 1、＝7.5（吨） 2、＝35（年） 3、＝8吨例题3。晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的14 ，第二天看了余下的25 ，第二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页？

二次函数的实际应用(面积最值问题)(教师)

深圳实验培训中心2009年暑期初二培训资料姓名月日 1 第4课时二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． [例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm2)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm2)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案： 63 363 3360726612626262 1)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--?=+-=?-= [例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米) 则：)434(x x S -= x x 3442 +-= 4 289)417(42+- -=x ∵104340≤-

复数、平面向量与算法(教师版)

高考微点二复数、平面向量与算法牢记概念公式，避免卡壳 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )概念 (1)分类：当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数. (2)z 的共轭复数z －＝a －b i. (3)z 的模|z |＝a 2＋b 2. 2.复数的四则运算法则 (a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ； (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋ d 2 i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0). 3.平面向量的有关运算 (1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b ＝0|a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1 ）2. (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 2 2. 4.算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构；(2)条件结构；(3)循环结构. 活用结论规律，快速抢分 1.复数的几个常用结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2) 1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i. 2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算. 3.z ·z －＝|z |2 ＝|z － |2. 4.三点共线的判定

小学分数应用题综合完整版

小学分数应用题综合完整版一、单位1、量、率对应 1.迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的100 56，如果再生产5040台，总产量就超过计划产量的100 16。那么，原计划生产插秧机多少台？ 2.某工厂计划生产一批零件，第一次完成计划的 12，第二次完成计划的37，第三次完成450个，结果超过计划的 14，计划生产零件多少个？ 3.某小学五年级有三个班，一班和二班人数相等，三班的人数占全年级的 207，并且比一班多3人。问：五年级共有多少学生？ 4.有一篮鸡蛋，拿出了总数的 41还多10个，这时篮里剩下的比拿走的还多10个。问：原来篮里有多少个鸡蛋？ 5.等候公共汽车的人整齐地排成一排，小明也在其中。他数了数人数，排在他前面的人数是总人数的32，排在他后面的人数是总人数的 41。小明排在第几名？ 6.一艘客轮从甲港开出，途中到乙港有 72的乘客离船，又有45人上船，这时船上乘客人数相当于从甲港开出时的 2120。问：这时有多少乘客？ 7.一批铅笔分给甲、乙、丙三人，分给甲71，分给乙4 1，分给丙的数量是分给甲、乙二人数量差的2倍，这时还剩下11支铅笔。问：甲分到几支铅笔？ 8.一桶油，第一次用去 31，正好是4升；第二次又用去这桶油的4 1，还剩多少升？

9.王师傅四天做完一批零件，第一天和第二天共做了54个，第二、第三和第四天共做了90个，已知第二天做的个数占这批零件的 15。这批零件一共多少个？ 10.玩具厂三个车间共同做一批玩具。第一车间做了总数的 27，第二车间做了1600个，第三车间做的个数是一、二车间总和的一半，这批玩具共有多少个？ 11.有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数的和的 14多18，这五个偶数的和是多少？ 12.小明看一本小说，第一天看了全书的 18还多16页，第二天看了全书的16少2页，还剩下88页。这本书共有多少页？ 13.某校五年级共有学生152人，选出男同学的 111和5名女同学参加科技小组，剩下的男、女同学人数刚好相等。五年级男、女同学各有多少人？ 14.实验小学六年级有学生150人，六年级的学生数占全校学生数的 81，全校有学生多少人？ 15.养鸡场养公鸡比母鸡少1200只，公鸡只数是母鸡只数的5 3，公鸡和母鸡各有多少只？ 16.一项工程，甲队独要10天，乙队独做要5天。现在甲队先做3天，剩下的两队合做。两队还要合做几天？ 17.建造一座厂房，实际投资20万元。正好比计划节约了4万元，节约了百分之几？ 18.六（2）班共有学生45人，其中男生比女生人数少20％。男、女生各有多少人？ 19.小军读一本故事书，第一天共读42页，第二天共读43页，还余下全书的83％没有读。这本故事书共有多少页？ 20.一批零件，第一天加工了总数的1，第二天加工了250个，这时还剩25％没有加工，这批零件共有多

六年级奥数分数百分数应用题教师版

一、解答题（共25小题，满分0分） 1．（2011成都）甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是多少元 2．（2006泉山区校级自主招生）100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，这100千克的蘑菇现在还有千克． 3．有两桶水：一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7，那麽往每个桶中加进去的水量是多少升 4．（2012哈尔滨校级自主招生）有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一样重．如果从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍．这两堆煤共重多少吨

5．一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2：1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1：5，求开始时黑棋子、白棋子各有多少枚 6．某班有学生48人，女生占全班的%，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40%，问转来几名女生 7．（2010北京校级自主招生）把一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形．它与原来的正方形面积相等．问正方形的面积是多少 8．学校男生人数占45%，会游泳的学生占54%．男生中会游泳的占72%，问在全体学生中不会游泳的女生占百分之几

9．某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班．如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人 10.（2012中山校级模拟）一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米 11．有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为2：5．现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长方形纸板做侧面（图1），横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面（图2），那么做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是多少

一元一次方程的实际应用-利润(销售)问题 - 教师版

一元一次方程的实际应用-利润（销售）问题 1．某商场上月的营业额是a 万元，本月营业额为500万元，比上月增长15%，那么可列方程为( ) A ．15%500a = B ．(115%)500a += C ．15%(1)500a += D ．115%500a += 【答案】B 2．陈光以120元的价格分别卖出两双鞋，一双亏损20%，另一双盈利20%，则这两笔销售中陈光( ) A ．盈利10元 B ．盈利20元 C ．亏损10元 D ．亏损20元【答案】C 3．为迎接“双十一”购物节，东关街某玩具经销商将一件玩具按进价提高60%后标价，销售时按标价打折销售，结果相对于进价仍可获利20%，则这件玩具销售时打的折扣是( ) A ．7.5折 B ．8折 C ．6.5折 D ．6折【答案】A 4．某理财产品的年收益率为5.21%，若张老师购买x 万元该种理财产品，定期2年，则2年后连同本金共有10万元，则根据题意列方程正确的是( ) A ．(1 5.21)10x += B ．2(1 5.21)10x += C ．(1 5.21%)10x += D ．2(1 5.21%)10x += 【答案】D 5．商场将进价为100元的商品提高80%后标价，销售时按标价打折销售，结果仍获利44%，则这件商品销售时打几折( ) A ．7折 B ．7.5折 C ．8折 D ．8.5折【答案】C 6．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微商将一件商品按进价上调50%标价，再以标价的八折售出，仍可获利30元，则这件商品的进价为( ) A ．80元 B ．100元 C ．150元 D ．180元【答案】C

平面向量及其加减运算(教师版)

【知识结构】【要点点拨】一.平面向量 1.有向线段规定了方向的线段叫做有向线段。 2.向量既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也叫做向量的长度。（或向量的模） 3.向量的表示（1）向量可以用有向线段直观表示 ①有向线段的长度表示向量的长度； ②有向线段的方向表示向量的方向。（2）常见的表示方法 ①向量AB u u u r ，长度记为AB u u u r ； ②向量a r 、b r 、c r ，长度记为a r 、b r 、c r 。 4.相等的向量方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。 5.相反的向量方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。 6.平行向量方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。例1:判断下列语句是否正确：（1）用有向线段表示向量时，起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量。（2）表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线段的终点有可能相同。（3）向量AB u u u r 与向量BA uu u r 是同一个向量。（4）相等向量一定是平行向量。（5）互为相反的向量不一定是平行向量。（6）平行向量一定是相等向量或互为相反的向量。解：（1）√ （2）× （3）× （4）√ （5）× （6）× 例2:在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD ，//DE AB ，点E 在BC 上，如果把图中线段都画成有向平面向量的减法平面向量的加法平面向量的概念平面向量

线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）。（1）所有与AB u u u r 相等的向量。（2）所有与AB u u u r 互为相反的向量。（3）所有与AD u u u r 平行的向量。解：（1）DE AB =u u u r u u u r ；（2）与AB u u u r 互为相反的向量：BA uu u r 、ED u u u r ；（3）所有与AD u u u r 平行的向量为：DA u u u r ，BE uuu r ，EB uu u r ，EC uuu r ，CE u u u r ，BC uuu r ，CB u u u r 。二.平面向量的加法 1.向量的加法求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。 2.零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0r 。规定0r 的方向可以是任意的（或者说不确定）；00=r 。因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：()0a a +-=r r r 。对于任意向量，都有0a a +=r r r ，0a a +=r r r 。 3.向量的加法满足交换律：a b b a +=+r r r r 。 4.向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r u u r 。 5.向量加法的三角形法则求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量。 6.向量加法的多边形法则几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量。例1 如图，已知向量a r 与b r ，求作a b +r r 。略例2 计算：（1）AB BC +u u u r u u u r AC u u u r ；OE EF +u u u r u u u r OF u u u r . （2）AE FC EF ++=u u u r u u u r u u u r AC u u u r 。（3）AB BC CD DE EF ++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AF u u u r 。三、平面向量的减法 1.向量的减法

奥数：分数应用题(三).学生版

分数应用题（三）教学目标 1.分析题目确定单位“1” 2.准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题 3.抓住不变量，统一单位“1” 知识点拨一、知识点概述：分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”． 1 （2）甲比乙多，乙比甲少几分之几？ 8 19191 方法一：可设乙为单位“1”，则甲为1+=，因此乙比甲少÷=. 88889 1 方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少1÷9=. 9 二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。例如：我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。（二）、两种数量比较分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），

六年级奥数分数百分数应用题教师版定稿版

六年级奥数分数百分数应用题教师版精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】

第六讲：分数百分数应用题教学目标 1.分析题目确定单位“1” 2.准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题 3.抓住不变量，统一单位“1” BJ03-Y0355 知识点拨：一、知识点概述分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”．（2）甲比乙多1 8 ，乙比甲少几分之几？方法一：可设乙为单位“1”，则甲为 19 1 88 +=，因此乙比甲少 191 889 ÷=.

方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少 1 19 9÷=. 二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。例如：我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。（二）、两种数量比较分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。（三）、原数量与现数量

(完整版)小学数学分数应用题

分数应用题学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容解决复杂分数应用题课型一对一教学目标 1、掌握“已知一个数，求它的几分之几和比它多（或少）几分之几的数是多少” 2、掌握"已知一个数的几分之几和比它多（或少）几分之几数是多少,求这个数” 3、能熟练地列方程解答分数应用题重、难点重点： 1、弄清单位“1”的量，会分析题中的数量关系 2、掌握常用的解决稍复杂分数应用题的技巧难点：灵活运用技巧解决分数应用题知识梳理解答分数应用题，首先要确定单位“1”，在单位“1”确定以后，一个具体数量总与一个具体分数（分率）相对应，这种关系叫“量率对应”，这是解答分数应用题的关键。 1、分数乘法应用题： ①意义：是指已知一个数，求它的几分之几及比它多（或少）几分之几的数是多少的应用题。 ②特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。 ③数量关系式：单位“1”×分率=对应数量或单位“1”×（1±分率）=对应数量 2、分数除法应用题：（1）求分率 ①意义：求一个数是另一个数的几分之几及比它多（或少）几分之几是多少的应用题。 ②特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几及比它多（或少）几分之几的数，“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量。求分率，也就是求他们的倍数关系。 ③数量关系式:（甲数-乙数）/乙数或（甲数-乙数）/甲数。（2）求具体量 ①意义：已知一个数的几分之几及比它多（或少）几分之几数是多少,求这个数。 ②特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量。 ③数量关系式：对应数量÷分率=单位“1”的量或对应数量÷（1±分率）=单位“1”的量

小学数学分数应用题(一).教师版

1. 分析题目确定单位“1” 2. 准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题 3. 抓住不变量，统一单位“1” 一、知识点概述：分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系例如：（1）a 是b 的几分之几，就把数b 看作单位“1”．（2）甲比乙多1 8 ，乙比甲少几分之几？方法一：可设乙为单位“1”，则甲为19188+=，因此乙比甲少191 889 ÷=. 方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少1 199 ÷=. 二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。例如：我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。（二）、两种数量比较分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。（三）、原数量与现数量有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。这类分数应用题的单位“1”比较难找。需要将题目文字完善成我们熟悉的类似带“比”的文字，然后在分析。例如：水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了。完善后：水结成冰后体积增加了→ “水结成冰后体积比原来增加了” →原来的水是单位“1” 冰融化成水后，体积减少了→ “冰融化成水后，体积比原来减少了” →原来的冰是单位知识点拨教学目标分数应用题（一）

二次函数的实际应用(拱桥问题)教师

二次函数中抛物线形与拱桥问题 1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2 ， } 且过点（10，－4） ∴ 故（2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则 ∴ （3）当d ＝18时， ∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。 ] 2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶 ? 解：以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）设抛物线为y=ax2+k. { -==- 4101252a a ×，y x =-1252d h 24，-h d -=-412542 ×d h =-10418104076=-=h h ，.076 2276..+=

由B、D两点在抛物线上，有解这个方程组，得所以，顶点的坐标为（0，）则OE=÷=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶. 3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m． (1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗 (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米；解：(1)由对称性，当x=4时，y=．当x=10时，y=．故正常水位时，AB距桥面4米，由，故小船能通过． (2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。 4、如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小相同。正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米（即MO=6米），小孔顶点N距水面4.5米。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。(10m) （

平面向量的坐标表示docx -教师版

学员编号：年级：高二课时数：2小时学员姓名：辅导科目：数学学科教师：曾老师课程主题：平面向量的坐标表示授课时间：2019. 学习目标 1．掌握平面向量的概念 2．理解平面向量的数量积运算 3．平面向量的坐标运算解题（重点）教学内容平面向量的概念知识梳理 1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.例如：力，速度。 2．表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用小写字母a ，b …或用AB ，BC ，…表示. 注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段. 3．模：向量的长度叫向量的模，记作a 或AB .向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. 4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0 ；零向量的方向不确定. 注意：0和0 是不同，0是一个数字，0 代表一个向量，不要弄混. 5．单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.a a a 0 注意：单位向量不是只有一个，有无数多个，如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆。 6．共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. 注意：由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量平行向量和共线向量是一个意思，对于两个非零向量b a ,，若存在非零常数使b a 是b a ∥的充要条件. 7．相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 练习：★判断下列命题的真假 1、平行向量的方向一定相同的. ( × )

解：有可能方向相反. 2、与零向量相等的向量必定是零向量. ( √ ) 3、零向量与任意的向量方向都相同。 ( √ ) 4、向量就是一条有向的线段。 ( × ) 5、若m n u r r ，n k r r ，则m k u r r . ( √ ) 6、若,b a ，则.0 b a (× ) 解：注意区分0和零向量. 典例精讲例1（★）下列说法正确的是（D ） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 解析：任何都向量不能比较大小，模可以比较大小例2（★★）给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若||||a b r r ，则a b r r ； ③若AB DC u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC u u u r u u u r ； ⑤若m n u r r ，n k r r ，则m k u r r ； ⑥若b c b a ∥∥,，则.c a ∥ 正确的是____④⑤______ 解析：①把一个向量平移后向量是不变的，③A,B,C,D 有可能在一条直线上，⑥b 可能是零向量

分数应用题专项复习(学生版)

小升初分数应用题姓名__________ 成绩_______ 【解题步骤】一、正确的找单位“1”是解决分数应用题的前提。不管什么样的分数应用题，题中必有单位“1”。正确的找到单位“1”是解答分数应用题的前提和首要任务。分数应用题中的单位“1”分两种形式出现： 1、有明显标志的：（1）男生人数占全班人数的4/7 （2）杨树棵数是柳树的3/5 （3）小明的体重相当于爸爸的1/2 (4)苹果树比梨树多1/5 条件中“占”“是”“相当于”“比”后面，分率前面的量是本题中的单位“1”。 2、无明显标志的：（1）一条路修了200米，还剩2/3没修。这条路全长多少千米？（2）有200张纸，第一次用去1/4，第二次用去1/5。两次共用去多少张？（3）打字员打一部5000字的书稿，打了3/10，还剩多少字没打？这3道题中的单位“1”没有明显标志，要根据问题和条件综合判断。（1）中应把“一条路的总长”看作单位“1” （2）题中应把“200张纸”看作单位“1” （3）题中应把“5000个字”看作单位“1”。二、正确的找对应关系是解分数应用题的关键。每道分数应用题都有数量和分率的对应关系，正确的找到所求数量（或分率）和哪个分率（或数量）对应是解分数应用题的关键。 1、画线段图找对应关系。（1）池塘里有12只鸭和4只鹅，鹅的只数是鸭的几分之几？（2）池塘里有12只鸭，鹅的只数是鸭的1/3。池塘里有多少只鹅？（3）池塘里有4只鹅，正好是鸭的只数的1/3。池塘里有多少只鸭？用线段图表示一下这3道题的关系。从画的图可以看出，画线段图是正确找对应关系的有效手段。通过画线段图可以帮助学生理解数量关系，同时也可得出如下数量关系式：分率对应量÷单位“1”的量=分率单位“1”的量×分率=分率对应量分率对应量÷分率=单位“1”的量 2、从题里的条件中找对应关系一桶水用去1/4后正好是10克。这桶水重多少千克？水的3/4 = 10 三、根据数量关系式解答分数应用题“三步法”