1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(11)复数(Word版,含答案)

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编

复数部分

2019A 11、称一个复数数列{}n z 为“有趣的”，若11z =，且对任意正整数n ，均有

2211420n n n n z z z z ++++=，求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{}n z 及任意正整

数m ，均有12m z z z C +++≥。

★解析：考虑有趣的复数数列{}n z ．归纳地可知0n z ≠ ．由条件得

2

114210n n n n z z z z ++????++= ? ?????

（n N *∈），解得1134n n z i z +-±=（n N *∈），因此112n n z z +=，

故111

11

22

n n n z z --=?

=（n N *∈）① 进而有1111333

124n n n n n n z i z z z z ++-±+=?+

==② 记12m m T z z z =++

+（m N *∈）则

当m 为偶数时，记2m s =，由②得

122122122

223333

s

m k k

k k k k k T z z z z z z ∞∞--===≥+-+>+=-=

∑∑ 当m 为奇数时

，

记

21m s =+，由①

②得

21

2122212111

1332322s k k s s k k s k s z z z ∞∞

+---=+=+=<==+?∑∑， 故1221221

2122233s

m k k s k k

k k T z z z z z z z ∞-+-==??

≥+-+->-+= ???

∑∑ 当1m =时，1131T z ==>

，综上知3

C =满足要求。 另一方面，当11z =，22132k k i z -=，2121

132

k k i

z ++-+=（k N *∈），时，易验证得{}n z 为“有趣的”数列，

此时()21122121

1

333343

lim lim lim 1123s

s

s k k k s s s k k i i T z z z +++→∞

→∞

→∞

==---+=++=+=+=∑， 这表明3C ≤

3

C =

2019B 11. （本题满分20分）设复数数列{}n z 满足：11z =，且对任意正整数n ，均

有22

11420n n n n z z z z ++++=，证明：对任意正整数m

，均有123

m z z z ++

+<

。 ★证明：归纳地可知0n z ≠ ．由条件得2

114210n n n n z z z z ++????++= ? ????

?

（n N *

∈），解得

1n n z z +=

n N *∈），因此112n n z z +=，故11111

22n n n z z --=?=（n N *∈）①

进而有111112n n n n n n z z z z z ++-+=?+

==② 记12m m T z z z =++

+（m N *∈）则

当m 为偶数时，记2m

s =，由②得

212212211

1

1

23s m k k k k k k k k T z z z z ∞∞

---===≤+<+==

∑∑∑

。 当m 为奇数时，

记

21

m s =+

，

由

①

②

得

21

212211

12s k k s k s k s z z z ∞∞

+-=+=+=<==+∑∑，

故21221212113s

m k k

s k k

k k T z z z z z ∞

-+-==??

≤++<+= ???

∑∑ 综上知结论获证。

2018A 6、设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222

=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为

◆答案：2

3

-

★解析：设bi a z +=（R b a ∈,，且12

2=+b a ）

则原方程变为()()02222

2

=-+++i bx bx ax ax ，所以???=-=++0

202222bx bx ax ax ***

，

①若0=b ，则12

=a ，解得1±=a ，检验得，1=a ，31±-=x ，即1-=z ；

②若0=b ，则由**知0=x 或2，检验得：2=x ，代入* 得4

1

-=a ，415±=b ，

所以i z 4

15

41±

-=；

综上满足条件的所有复数之和为2

341541415411-=--++-+

-i i

2018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则

1

3

3221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） ◆答案： 2

3

2-r

★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，3

31

z z =，因此

133221z z z z z z w ++=。

于是()()

w w w z z z z z z z z z r Re 2322

3222

1

3213212

+=++++=++++=

解得2

3

Re 2-=r w 。

2017A 11、（本题满分20分）设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且

2)Re()Re(2221==z z ，（其中)Re(z 表示复数z 的实部） ⑴求)Re(21z z 的最小值；

⑵求212122z z z z --+++的最小值。

★解析：⑴对2,1=k ，设i y x z k k k +=，（R y x k k ∈,），由条件知，

()0Re >=k k z x ，()2Re 2

==-k

k k z y x 因此：

()()()()()

2

222Re Re 2121212

22

12121221121≥-+≥-++=

-=++=y y y y y y y y

y y x x i y x i y x z z 又当221=

=z z 时，()2Re 21=z z ，这表明)Re(21z z 的最小值为2。

⑵对于2,1=k ，设i y x z k k k +=，（R y x k k ∈,），将k z 对应到平面直角坐标系xOy 中的点

()k k k y x P ,，记/2P 是2P 关于x 轴的对称点，则1P ，/2P 均位于双曲线222=-y x 的右支上。

设21,F F 分别是双曲线的左右焦点，易知()()0,2,0,221F F -。根据双曲线的定义，有

2221+=PF PF ,222/21/2+=F P F P ，进而得到: =--+++212122z z z z

/211/211212122P P F P F P z z z z -+=--+++2424/212/221≥-++=P P F P F P ,等

号成立当且仅当2F 位于线段/21P P 上（例如，当i z z 2221+

==时，2F 恰是/

21P P 的中点）

。 综上可知，212122z z z z --+++的最小值为24。

2017B 2、设复数z 满足i z z 22109+=+，则z 的值为

★解析：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚

部可得9101022

a a

b b +=??=-+?，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z =

2016A 2、设复数z ，w 满足3=z ，i w z w z 47))((+=-+，其中i 是虚数单位，z ，w 分别表示复数z ，w 的共轭复数，则)2)(2(w z w z -+的模为 ◆答案：65

★解析：由运算性质，)(||||))((4722zw zw w z w z w z i ---=-+=+，因为2||z 与2

|

|w 为实数，0)Re(=-zw zw ，故7||||22=-w z ，i zw zw 4-=-，又3||=z ，所以2||2

=w ，从而

i i zw zw w z w z w z 81889)(2||4||)2)(2(22+=+-=---=-+

因此，)2)(2(w z w z -+的模为65．

2016B 3、已知复数z 满足z z z z ≠=+22

（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ◆答案：3

★解析：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b -+++=-

比较虚、实部得220,230.a b a ab b -+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有

230,a +=即32

a =-，进而

b ==

于是，满足条件的复数z 的积为33 3.22????-+--= ??? ???????

2015A 3、已知复数数列{}n z 满足11=z ，ni z z n n ++=+11),2,1( =n ，其中i 为虚数单位，

n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为

◆答案：2015 + 1007i ． ★解析：由

己

知

得

，

对

一

切

正

整

数

n

，

有

211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+?+=+．

2006*8、对一切R ∈θ，复数i a a z )sin 2()cos (θθ-++=的模不超过2，则实数a 的取值范围

为

◆答案：?

???

★解析：依题意，得2z ≤ 22

(cos )(2sin )4a a θθ?++-≤

22(cos 2sin )35a a θθ?-≤-2sin()35a θ??--≤- （

?=）（对任意

实数θ成立）2

35a ?≤-a ?≤故 a 的取值范围为 55?-???。

2002*7、已知复数21,z z 满足3,221==z z ,若它们所对应向量的夹角为0

60,则=-+2

12

1z z z z

◆答案：

7

133

★解析：由余弦定理得1921=+z z ,721=-z z ,可得 2

121z z z z -+=7133

2001*8、若复数21,z z 满足3,221==z z ，i z z -=-2

3

2321，则=?21z z ◆答案：i 13

721330+-

★解析：由3z 1-2z 2=211122213

1z z z z z z ??-??=)32(6

1

1221z z z z - 可得=+-?-=--=--=i i

z z z z z z z z z z 2

323632)23(632)23(61

221122121i 13721330+-．

本题也可设三角形式进行运算．

2000*6、设5

sin

5cos

π

π

ωi +=，则以9

73,,,ωωωω为根的方程是( )

A.012

3

4

=++++x x x x B. 012

34=+-+-x x x x

C. 01234=++--x x x x

D. 012

34=--++x x x x

◆答案：B

★解析：由于015=+ω，故9

7

3

,,,ωωωω都是方程015

=+x 的根．

又()()

01112

3

4

5

=+-+-+=+x x x x x x ．选B ．

1999*8、已知125arctan =θ，那么，复数i

i z ++=2392sin 2cos θθ的辐角主值是______ ◆答案：

4

π

★解析： z 的辐角主值()()[][]

4

2856128561arg 239512arg arg 2

π

=

+=-+=i i i z 。

1999*二、（本题满分50分）给定实数c b a ,,，已知复数321,,z z z 满足：

???

??=++===111

33221321z z z z z

z z z z ，求321cz bz az ++的值。 ★解析：记θθθ

sin cos i z i +=，则设θi e z z =21，αi e z z =32，则()αθ+=i e z z 3

1，根据题设得

()1=+++αθαθi i i e e e ，则其虚部()0sin sin sin =+-+αθαθ（利用和差化积公式）

即02

sin 2sin 2sin =+α

θαθ，得πθk 2=或παk 2=或παθk 2=+，Z k ∈， 所以21z z =或32z z =或31z z =，

①若21z z =，代入原式得012

13=+???

? ??z z ，得i z z =13或i z z -=13

， 此时221321)(c b a ci b z z cz bz az ++=

±+=++。

②若32z z =，同理可得， 2

2321)(a c b cz bz az ++==++ ③若31z z =，同理可得，2

2321)(b a c cz bz az ++==++，

综上所述，321cz bz az ++值有22)(c b a ++或22)(a c b ++或22)(b a c ++。

1998*8、设复数θθsin cos i z += (πθ≤≤0)，复数z ,z i )1(+,z 2在复平面上对应的三个点分别是R Q P ,,，当R Q P ,,不共线时，以线段PQ ，PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S ，则点S 到原点距离的最大值是_______. ◆答案：3

★解析：因为OP OR OQ OP OR OP OQ OP QP PQ OP OS -+=-+-+=++=, 即()()()ααααsin 2cos sin cos 2221-+-=+=-++=i z iz z z z i OS ∴()()ααααα2sin 25sin 2cos sin cos 22

2-=-+-=OS ．

即当2

2π

α=，即4

π

α=

时，OS 取得最大值3．

1998*13、（本题满分20分）已知复数θθcos sin 1i z +-= (

πθπ

<<2

)，求z 的共轭复数z 的

辐角主值。

★解析：??

?

??+??? ??++??? ??+=??? ??++??? ??++=24cos 24sin 224cos 22sin 2cos 12θπθπθπθπθπi i z 即??

?

?????? ??++??? ??+??? ??+=24sin 24cos 24cos 2θπθπθπi z

当πθπ<<2时，??

??????? ??++??? ??+-??? ??+-=24sin 24cos 24cos 2θπθπθπi z 即??

?

?????? ??-+??? ??-??? ??+-=243sin 243cos 24cos 2θπθπθπi z

1997*9、已知复数z 满足11

2=+

z

z ，则z 的幅角主值范围是 ． ◆答案：43arccos 212143arccos 2121+??? ?

?

+≤≤-??? ??+πθπk k ，（1,0=k ）

★解析：记)sin (cos θθi r z +=，则112=+z z 等价于01)12cos 4(42

4=+-+r r θ，这个

等式成立等价于关于x 的二次方程01)12cos 4(42

=+-+x x θ有正根．

所以()041,042cos 41,01612cos 221212

>=>-=+≥--=?x x x x θθ，

解得4

32cos -≤θ。 即()()4

3

arccos 12243arccos 12++≤≤-+πθπk k ．

所以43arccos 212143arccos 2121+??? ?

?

+≤≤-??? ??+πθπk k ，（1,0=k ）

∴ 辐角主值为2

43θ

π-．

1997*15、（本题满分20分）设非零复数54321,,,,a a a a a 满足：

???

????=????

??++++=++++===S

a a a a a a a a a a a a a a a a a a 54321543214

5342312111114，其中S 为实数，2≤S 。 求证：复数54321,,,,a a a a a 在复平面上对应的点位于同一圆周上。

★证明：设q a a a a a a a a ====45342312，则由下式得()

0144

32411=++++???

? ??-q q q q q a a ． 得4

114q

a a =

或01432=++++q q q q ，故22

1±=q a ，或01432=++++q q q q ． ⑴ 若22

1±=q a ，则得S q q q q =???

?

??++++±221112． 即???

?

????-???? ??++±=????????-???? ??++???? ??+±=45211211122

2q q q q q q S ．

∴ 由已知，有R q q ∈-???? ??++45

2112，且1452112

≤-???? ?

?++q q ． 令()θθsin cos 211i h q q +=++

，(0>h )．则()R i h ∈-+4

5

2sin 2cos 2θθ，所以02sin =θ， 又()1452sin 2cos 12≤-+≤-θθi h ，即()4

9

2sin 2cos 412≤+≤θθi h ，所以02cos >θ，

故πθk =(Z k ∈)

∴R q

q ∈+1

．再令()ααsin cos i r q +=，(0>r )．同理可得0sin =α或1=r ．

若0sin =α，则r q ±=为实数．此时21

≥+

q

q ．此时25211≥++q q ，或

2

3

211-≤++

q q ． 此时，由1452112

≤-???? ?

?++q q ，知1-=q ．此时，2=i a ． 若1=r ，仍有2=i a ，故此五点在同一圆周上．

⑵ 若014

3

2

=++++q q q q ．即015

=-q ，∴1=q ．此时54321a a a a a ====，即此五点在同一圆上．

综上可知，表示复数54321,,,,a a a a a 在复平面上所对应的点位于同一圆周上．

1996*8、复平面上非零复数21,z z 在以i 为圆心1为半径的圆上，21z z ?的实部为零，1z 的辐角主值为

6

π

，则=2z ____________．

◆答案：i 2

323+-

★解析：1z 满足1=-i z ；6arg 1π

=

z ，得i z 21231+=

，)6

sin()6cos(1ππ-+-=i z ． 设2z 的辐角为θ(πθ<<0)，则()θθθsin cos sin 22i z +=．

所以??

????

-+-=?)6sin()6cos(sin 221πθπθθi z z ，若其实部为0，则26ππθ=-，于是32πθ=，

i z 2

3

232+-

=。

1995*2、设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为2021,,,z z z ，则

复数199520199521995

1,,,z z z 所对应的不同的点的个数是( )

A.4

B.5

C.10

D.20

◆答案：A

★解析：设θθsin cos 1i z +=，则1

1-?=k k z z ε，其中

10

sin

10

cos

π

π

εi +=．显然

i i =-=-==5

10

15

20

,1,,1εε

ε

ε

．

∴ ()()()()1

1199519951995sin 1995cos 1995sin 1995cos ---+=?+=k k k i i i z θθεθθ．

∴ 共有4个值．选A ．

1995*7、设βα,为一对共轭复数，若32=-βα，且2β

α

为实数，则=α_____． ◆答案：2

★解析：设yi x +=α，(R y x ∈,)，则y 2=-βα．∴3±=y ．

设θα=arg ，则可取πθθ22=+，(因为只要求α，故不必写出所有可能的角)． 则πθ3

2

=，于是1±=x ．1=α．

1994*一、（本题满分25分）关于x 的二次方程0212

=+++m z x z x ，其中m z z ,,21均是复数，且i z z 2016422

1+=-，设这个方程的两个根为βα,，满足72=-βα ，求m 的最大值和最小值。

★解析：设bi a m += (R b a ∈,)．则()()[]i b a m z z -+-=--=?5444422

1．设?的平方

根为vi u +．(R v u ∈,)，即()()()[]i b a vi u -+-=+5442

．72=-βα，即282

=-β

α，

所以()()754=-+-i b a ，即()()2

2

2

754=-+-b a ，即表示复数m 的点在圆

()()222754=-+-b a 上，该点与原点距离的最大值为417+

，最小值为417-．

1993*6、设n m ,为非零复数，i 为虚数单位，C z ∈，则方程n mi z ni z =-++与

m mi z ni z -=--+在同一复平面内的图形(21,F F 为焦点)是( )

z 2

-4

4

x

O

y Z 2

Z 3

Z 1

x

O

y

◆答案：B

★解析：方程①为椭圆，②为双曲线的一支．二者的焦点均为()mi ni ,-，由①0>n ，故否定A ，

由于n 为椭圆的长轴，而C 中两个焦点与原点距离(分别表示m n ,)均小于椭圆长轴，故否定

C ．

由B 与D 知，椭圆的两个个焦点都在y 轴负半轴上，由n 为长轴，知n OF =1，于是0

m OF -=2．曲线上一点到ni -距离大，否定D ，故选B ．

1993*7、二次方程()0)1()(12

=++++-λλi x i x i (i 为虚数单位，R ∈λ)有两个虚根的充

分必要条件是λ的取值范围为________． ◆答案：2≠λ

★解析：即此方程没有实根的条件．当R ∈λ时，此方程有两个复数根，若其有实根，则

012=++x x λ，且02=--λx x ．相减得()()011=++x λ．

当1-=λ时，此二方程相同，且有两个虚根．故1-=λ在取值范围内． 当1-≠λ时，1-=x ，

代入得2=λ．即2=λ时，原方程有实根1-=x ．故所求范围是2≠λ．

1993*9、若C z ∈，65)4arg(2

π=-z ，3

)4arg(2

π=+z ，则z 的值是_ _______．

◆答案：()

i 31+±

★解析：如图，可知2

z 表示复数(

)0

0120sin 120cos 4i +．

∴(

)(

)

i i z 3160sin 60cos 20

0+±=+±=．

1992*5、设复数21,z z 在复平面上对应的点分别为B A ,，且41=z ，0242

22121=+-z z z z ，O 为坐标原点，则OAB ?的面积为( )

A.38

B. 34

C. 36

D. 312 ◆答案：A ★解析：注意到3

sin 3cos 221π

πi z z ±=．∴82=z ，21,z z 的夹角为060． 所以382

38421=???=S ．选A ．

1992*10、设21,z z 都是复数，且7,5,32121=+==z z z z ，则3

12arg ???

?

??z z 的值是______．

◆答案：π

★解析：2

1

532753cos 22231-=??-+=

∠Z OZ ,即031120=∠Z OZ ，

∴3arg 12π=???

?

??z z 或35π

． ∴ π=???

?

??3

12arg z z ．

1991*11．设复数21,z z 满足3211=+=z z z ，3321=-z z ，则

=+2000212000213)()(log z z z z ．

◆答案：4000

★解析：由(

)2

2

212

212212z z z z z z +=-++，得32

=z

．由于32211==+=z z z z ，

故0

21120arg arg ±=-z z ． ∴(

)

4000040002000212000

2132000120cos 32)()

(=??=+z z z z ．

故4000)()

(log 2000212000

213=+z z z z ．

1990*5．设非零复数y x ,满足02

2=++y xy x ，则代数式1990

1990

???

? ??++?

??

? ??+y x y y x x 的值是

( )

A.19892-

B.1-

C.11

D.以上答案都不对

◆答案：B

★解析：记

ω=y x 或2ω，其中00120sin 120cos i +=ω．012=++ωω．且13

=ω．若ω=y

x ，则得11990

1990

-=???

?

??++?

???

??+y x y y x x ．若2ω=y x

，则得11990

1990

-=???

?

??++???

? ??+y x y y x x ．选B ．

1989*1．若B A ,是锐角△ABC 的两个内角，则复数)cos (sin )sin (cos A B i A B z -+-= 在复平面内所对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 ◆答案：B

★解析：由于0

18090,0<+<<

0009090>->>B A ，

所以B A cos sin >，B A sin cos <．故0sin cos <-A B ,0cos sin >-A B ． 即点Z 位于第二象限．选B

1988*11、（本题满分15分）复平面上动点1z 的轨迹方程为101z z z =-，0z 为定点，00≠z ，另一个动点z 满足11-=z z ，求点z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置。 ★解析：z z 1

1-=，故得z z z 110=--，即110=+zz ．0011z z z =+．即以01z -为圆心

1z 为半径的圆．

1986*2、 设z 为复数，{

}

2

2

1)1(-=-z z z ，那么( )

A ．{}纯虚数=M

B ．{}实数=M

C ．{}

实数?≠M ?≠{}复数 D ．

{}

复数=M ◆答案：B

★解析：即()()

011)1(2

=----z z z ，即()

0)1(=--z z z ，得1=z 或z z =，即z 为实数．选B

1985*5、 设λ,,w z 为复数，1≠λ，关于z 的方程w z z =-λ有下面四个结论：

Ⅰ．2

1λ

λ-+=

w

w z 是这个方程的解； Ⅱ．这个方程只有一解； Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解．则( )

A ．只有Ⅰ、Ⅱ正确

B ．只有Ⅰ、Ⅲ正确

C ．只有Ⅰ、Ⅳ正确

D ．以上A 、B 、C 都不正确 ◆答案：A

★解析：原式两端取共轭：w z z =-λ，乘以λ再取共轭：w z z λλλ=-，相加，由1≠λ，

得方程有唯一解2

1λ

λ-+=

w

w z ．选A ．

各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2012各省数学竞赛汇集

目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页 2. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页 3. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页 4. 20XX年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页 5. 20XX年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页 6. 20XX年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页 7. 20XX年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页 8. 20XX年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页 9. 20XX年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页 10. 20XX年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页 11. 20XX年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页 12. 20XX年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页 13. 20XX年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页 14. 20XX年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页 15. 20XX年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值 为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角 为锐角的直线l 与双曲线C 交于 ,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为 ___ 1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 _____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足：1123, 7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b += ___ 132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___. 二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在ABC ?中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：

高中数学-复数的基础知识

复数 基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++=， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，

高中数学易错题举例解析

高中数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(9 5 )2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2

高中数学复数专题知识点整理

专题二 复数 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解

80个高中数学易错题

2017年高考备考：高中数学易错点梳理 一、集合与简易逻辑 易错点1 对集合表示方法理解存在偏差 【问题】1: 已知{|0},{1}A x x B y y =>=>，求A B I 。 错解：A B =ΦI 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。 正确结果：A B B =I 【问题】2: 已知22 {|2},{(,)|4}A y y x B x y x y ==+=+=，求A B I 。 错解： {(0,2),(2,0)}A B =-I 正确答案：A B =ΦI 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。 易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集 【问题】: 已知2 {|2},{|21}A x a x a B x x =<<=-<<，且B A ?，求a 的取值范围。 错解：[-1，0） 剖析：忽视A =?的情况。 正确答案：[-1，2] 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合B A ?就有可能忽视了A =?，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。 易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性 【问题】: 已知1∈{2a +,2 (1)a +, 2 33a a ++ }，求实数a 的值。 错解：2,1,0a =-- 剖析：忽视元素的互异性，其实当2a =-时，2 (1)a +=233a a ++=1；当1a =-时， 2a +=2 33a a ++=1；均不符合题意。 正确答案：0a = 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。 易错点4 命题的否定与否命题关系不明 【问题】: 写出“若a M a P ??或，则a M P ?I ”的否命题。 错解一：否命题为“若a M a P ??或，则a M P ∈I ” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。 错解二：否命题为“若a M a P ∈∈或，则a M P ∈I ” 剖析：知识不完整，a M a P ??或的否定形式应为a M a P ∈∈且。 正确答案：若a M a P ∈∈且，则a M P ∈I

最新高中数学《复数》经典考题分类解析

最新高中数学《复数》经典考题分类解析 复数的代数运算年年必考，其题目活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力，复数的几何意义也是考查的一个重点。落实考查特点有利于抓住复习中的关键：（1）复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的模、复数的相等、共轭复数的概念。（2）复数代数形式基本运算的技能与技巧，特别是 i ±1的计算，注意转化思想的训练，善于将复数向实数转化。 （3）复数的几何意义， 1、复数的概念以及运算 例1i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++=L ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 解：原式＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i 点评：复数是高中数学的重要内容，是解决数学问题的重要工具，本题考查了复数的概念以及复数的引入原则，主要考查i 12-=的实际应用问题。 例2若a 为实数， =，则a 等于（ ） A ． B ． C ． D ．-解析：由已知得：等式左边＝i a a i ai 3 223223)21)(2(-++=-+ 由复数相等的充要条件知：???????-=-=+23 220322a a ，所以a ＝ 点评：本题考查了复数的基本运算以及复数相等的概念。 例3若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 解析：(1)(2)bi i ++＝i b b )12()2(++-，因为(1)(2)bi i ++是纯虚数，因此

???≠+=-0 1202b b 所以b ＝2。 点评：本题考查的复数的乘法运算问题，通过该运算考查了纯虚数的概念。 2、复数的几何意义 复数与复平面上的点，及复平面上从原点出发的向量建立了一一对应关系，这样使得 复数问题可以借助几何图形的性质解决，反之，一些解析几何问题、平面几何问题也可以借助于复数的运算加以解决。 例4若35ππ44θ??∈ ??? ，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：复数的实部a ＝)4sin(2sin cos π θθθ+=+，虚部b ＝ )4sin(2cos sin πθθθ-=-，因为4 543πθπ<<，所以 ππθπππθπ<-<<+<42,234，所以0)4sin(<+πθ，0)4 sin(>-πθ，即a<0，b>0，所以复数对应的点在第二象限。 点评：本题以复数的三角形式作为命题背景，考查了复数的三角形式运算以及三角函数的恒等变化，以及复数的几何意义。复数与复平面内的点的对应关系经常出现在考题中，关键是把复数化简成bi a +的形式，并且准确的判断出a 、b 的符号是求解问题的关键。 3、复数的开放性的考查 例4．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可） 解析：因为24z bz -＝i b ab ab b a )42()4(222-+--是实数，所以有 0422=-b ab ，因为0≠b ，所以b a 2=，所以答案可以填写（2，1）或（2，4）、（3，6）等等。

2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品

2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.

高中数学复数

第1章：复数与复变函数 §1 复数 1．复数域 形如iy x z +=的数，称为复数，其中y x ,为实数。实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。记为 z x Re =， z y Im = 虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数，z 的共轭复数记为z 。 设 ，复数的四则运算定义为 加（减）法： 乘法： 除法： 相等： 当且仅当 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+ ②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ?=? ④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ??=?? ⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ?+?=+? 全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示。

例 设i 3,i 5221+=-=z z ，求 2 1 z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。 解 为求 2 1 z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=??=z z z z z z z 2．复平面 一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x 和y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z 平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点 所引的矢量 与复数z 也构成一一对应 关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如： 这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3． 复数的模与辐角 向量 的长度称为复数 的模或绝对值，即：

(完整word版)高中数学-复数专题

复数专题 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理）） i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ （ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 2 ．（2012年高考（新课标理））下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- （ ） A ．23,p p B ．12,p p C ．,p p 24 D ．,p p 34 3 ．（2012年高考（浙江理））已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= （ ） A ．1-2i B ．2-i C ．2+i D ．1+2i 4 ．（2012年高考（四川理））复数2(1)2i i -= （ ） A ．1 B ．1- C ． i D ．i - 5 ．（2012年高考（上海理））若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则 （ ） A ．3,2==c b . B ．3,2=-=c b . C ．1,2-=-=c b . D ．1,2-==c b . 6 ．（2012年高考（陕西理））设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7 ．（2012年高考（山东理））若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为虚数单位),则z 为 （ ） A ．35i + B ．35i - C ．35i -+ D ．35i -- 8 ．（2012年高考（辽宁理））复数 22i i -=+ （ ） A ．34i - B ．34i + C ．41i - D ．3 1i +

高中数学竞赛试题汇编八《圆锥曲线》

【2012四川】设M 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的动点，则MO MF 的最大值是 (A) 3 (B) 3 (C) 43 (D) 答案：B 【2013黑龙江】设12,F F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，若双曲线右 支上存在一点P ，使() 220OP OF F P +?=u u u r u u u u r u u u u r ，O 为原点，且12PF =u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率是 (A) (B) 1 (C) (D) 答案：B 【2012江西】椭圆22 22153 x y +=的内接正方形面积是 答案 45017 . 【2011江西】以抛物线2y x =上的一点M （1,1）为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形△MAB 和△MCD ，则线段AB 与CD 的交点E 坐标是 答案(1,2)-. 【2013全国】点A ，B 在抛物线2 4y x =上满足4OA OB ?=-u u u r u u u r ， O 为坐标原点，F 为焦点，则OFA OFB S S ???= 答案2.

【2013辽宁】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，斜率为1且过点M （b ，0）的直线与椭圆交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，若125 OA OB ?=-u u u r u u u r ，则该椭圆的方程是 答案22 1164 x y +=. 【2013吉林】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点A,B,C,D 若菱形ABCD 的内切圆半 径等于椭圆焦距的6 ，则椭圆的离心率是 答案 2 【2011新疆】已知O,F 分别为抛物线的顶点和焦点，PQ 为过焦点F 的弦， |OF|=a,|PQ|=b ， 求△OPQ 的面积. 答案略 【2013山东】椭圆22 143 x y +=的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ，求该平行四边形面积的最大值. 答案略 【2012辽宁】设不过原点O 的直线l 与椭圆2 214 x y +=交于,P Q 两点，且直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围. 答案略

高一数学复数的运算练习题

复数的运算测试题 一、选择题 1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ） Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ 2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．—1 答案：Ｄ 3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ． 2 a =或 0a = 答案：Ｄ 4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）

Ａ．若22120z z +>，则2212z z >- Ｂ． 12 z z -= Ｃ．22121200z z z z +=?== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ 5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限 Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ 6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ 7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则1 2z z ·的最大值为（ ）

Ａ．3 2 Ｄ．3 答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ） Ａ． 2- Ｂ． Ｃ． Ｄ．4 答案：Ｂ 9．在复平面内12 ω=-对应的向量为OA ，复数2ω对应的向量为 OB ．那么向量AB 对应的复数是（ ） Ａ．1 Ｂ． 1- Ｄ． 答案：Ｄ 10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小； ②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．

高中数学复数练习题百度文库

一、复数选择题 1．复数3 (23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．9i B ．46i - C ．9 D ．46- 2．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ． 35 B ．35i - C ．15 - D ．1 5 i - 3．已知复数21i z i =-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4． )) 5 5 11-- +＝（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 5．若复数1z i =-，则 1z z =-（ ） A B ．2 C ． D ．4 6．若 1m i i +-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D 7．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） A B C ．3 D ．5 8．已知复数z 满足2 2z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ） A ．恒在实轴上 B ．恒在虚轴上 C ．恒在直线y x =上 D ．恒在直线y x =-上 9．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．设复数z 满足41i z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．设a + ∈R ，复数()()() 2 4 2 121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7

高一数学必修一易错题集锦答案

高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.

湖北省武汉市部分市级示范高中高二数学复数练习试题 百度文库

一、复数选择题 1．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 3．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（ ） A B ．1 C ．2 D ．3 4．已知,a b ∈R ，若2 ()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 5．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+i C ．76i - D ．76i + 7．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．8．已知复数5 12z i =+，则z =（ ） A ．1 B C D ．5 9．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i - 10．满足313i z i ?=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i -- C ．3i + D ．3i -+ 11．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 12．复数 2i i -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15 D ． 35 13．设21i z i +=-，则z 的虚部为（ ）

高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》

高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》 一、知识清单 1. 求轨迹方程的步骤：建(系),设(点),限(制条件),代(入坐标),化(简). 2．直线方程的几种形式：一般/点斜/斜截/截距/两点式. 3．l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1l 2的充要条件是k 1k 2=-1。 4．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。 5．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2200| |B A C By Ax d +++=。 6．圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2；圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0) 圆的参数方程为?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x 【2010黑龙江】与圆()2221x y -+=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有 (A) 2条 (A) 3条 (A) 4条 (A) 6条 答案：选C 【2010浙江】设P 是圆22 36x y +=上的动点，A （20,0）线段PA 的中点M 的轨迹方程为 . 答案：()22109x y -+=. 【2010黑龙江】已知22 1a b +=，且c a b <+恒成立，则c 的取值范围是 (A) (,2)-∞- (B) (,-∞ (C) ( (D) (-∞ 答案：选B 【2012河北】已知点P 是直线40kx y ++=，PA ，PB 是圆C: 2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 .

高中数学高考总复习复数习题

高中数学高考总复习复 数习题 Last revised by LE LE in 2021

高中数学高考总复习复数习题一、选择题 1．复数3＋2i 2－3i ＝( ) A．i B．－i C．12－13i D．12＋13i 2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( ) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是( ) A．－1 B．4 C．－1和4 D．－1和6 4．(文)已知复数z＝ 1 1＋i ，则z－·i在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 (理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋1 z ( ) A．是纯虚数 B．是虚数但不是纯虚数C．是实数

D．只能是零 5．复数(3i－1)i的共轭复数 ．．．．是( ) A．－3＋i B．－3－i C．3＋i D．3－i 6．已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为( ) A．－4 B．4 C．－1 D．1 7．(文)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (理)现定义：e iθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对e iθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋ C 54cosθsin4θ，b＝C 5 1cos4θsinθ－C 5 3cos2θsin3θ＋C 5 5sin5θ，那么复数a＋b i等于 ( ) A．cos5θ＋isin5θ B．cos5θ－isin5θ C．sin5θ＋icos5θ D．sin5θ－icos5θ 8．(文)已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位)，若复数a b ∈R，则实数x 的值为( ) A．－6 B．6

高中数学易错题集锦

高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如

果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。