高二理科期末复习数列专题
《数列》专题复习
1．n S 与n a 的关系：1
1(1)(1)n n
n S n a S S n -=??=?->?? ，已知n S 求n a ，应分1=n 时1a = ；2≥n 时，
n a = 两步，最后考虑1a 是否满足后面的n a .
2.等差等比数列
3.数列通项公式求法。
4.数列求和（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法
等差数列
等比数列
定义
1n n a a d --=（2n ≥）
*1
()n n
a q n N a +=∈ 通项
d n a a n )1(1-+=，(),()n m a a n m d n m =+->
， 中项
如果,,a A b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中
项．2
a b
A +=。
等差中项的设法：
如果,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a 与
b 的等比中项．
等比中项的设法：
a
q
，a ，aq 前n 项和 )(21n n a a n
S +=
，d n n na S n 2
)1(1-+= 性 质
*(,,,,)
m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+若
2m p q =+，则 若q p n m +=+，则
2*2,,(,,,)
m p q m p q a a a p q n m N =+=?∈若则有
n S 、2n n S S -、32n n S S -为等差数列
n S 、2n n S S -、32n n S S -为等比数列
函数看数列
1222
1()()22
n n a dn a d An B
d d s n a n An Bn
=+-=+=+-=+ 111(1)
11n
n n n n n a a q Aq q
a a
s q A Aq q q q
=
==-=-≠--
判定方法
（1）定义法：证明)(*
1N n a a n n ∈-+为一个常数；
（2）等差中项：证明*
11(2N n a a a n n n ∈+=+-，)2≥n （3）通项公式:(,n a kn b k b =+为常数)(*
N ∈n )
（4）2
n s An Bn =+(,A B 为常数)(∈*n N )
（1）定义法：证明
)(*1
N n a a n
n ∈+为一个常数 （2）中项：证明2
1n
n a a -=*1(,2)n a n N n +?∈≥ （3）通项公式：(,n
n a cq c q =均是不为0常
数） （4）
n n s Aq =A -(,A q
为常数，
≠≠A 0,q 0,1）
5. n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当0,01<>d a 时，满足??
?≤≥+00
1m m a a 的项数m 使得m S 取最大值.
(2)当 0,01> 1 m m a a 的项数m 使得m S 取最小值。 6.数列的实际应用 现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决. 训练题 一、选择题 1.已知等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +，则2011是这个数列的 ( ) A.第1006项 B.第1007项 C. 第1008项 D. 第1009项 2.在等比数列}{n a 中，485756=-=+a a a a ，则10S 等于 （ ） A ．1023 B ．1024 C ．511 D ．512 3.已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20为( ) A.180 B.－180 C.90 D.－90 4.在△ABC 中，tan A 是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以3 1 为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.非等腰的直角三角形 5.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n （，则通项公式为（ ） A.)(2* N n a n n ∈= B. ???≥==)2(2) 1(3n n a n n C. )(2 *1 N n a n n ∈=+ D. 以上都不正确 6.一种细胞每3分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充 满该容器，如果开始把2个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为 （ ） A ．15分钟 B ．30分钟 C ．45分钟 D ．57分钟 二、填空题 7．数列{n a }是等差数列，（1）若47a =，则7s =_________；（2）若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为_________. 8.设函数f (x )满足2()(1)2 f n n f n ++= (n ∈N *)且f (1)=2,则f (20)为_______. 9.已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为_________. 10.已知｛a n ｝是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围是_____. 三、解答题 11．设数列{}n a 中，2 4251n s n n =-++ (1)求通项公式； (2)求10111220a a a a ++++ 的值； (3)求n s 最大时n a 的值. 12.已知数列{}n a 中，15a =，1221n n n a a -=+-（n *∈N 且2n ≥）． （1）若数列2n n a λ+?? ???? 为等差数列，求实数λ的值； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 13．已知函数1 3)(+= x x x f ,数列{}n a 满足).)((,111* +∈==N n a f a a n n (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)记13221++++=n n n a a a a a a S ,求n S . 训练题参考答案 一、选择题 B A ABBD 二、填空题 7.49; 9 8.97; 9.31; 10.(－3,+∞) 三、解答题 11．解：1 (1)(2)n n n a s s n -=-≥ 22(4251)[4(1)25(1)1]298n a n n n n n ∴=-++---+-+=- 1122 a s == 不适合上式 22(1)298(2)n n a n n =?∴=?-≥? （2）1011202091001a a a s s +++=-=- 34(3)5030a a =>=-< 3s ∴最大，这时35a =。 12.解：（1）因为1221n n n a a -=+-（n *∈N 且2n ≥），所以 111221112222 n n n n n n n n a a a λλλλ ---++-+++==+-． 显然，当且仅当 102n λ+=，即1λ=-时，数列2n n a λ+?? ???? 为等差数列； （2）由（Ⅰ）的结论知：数列12n n a -?? ???? 是首项为1122a -=，公差为1的等差数列， 故有 1 2(1)112n n a n n -=+-?=+，即 (1)21n n a n =+?+（n *∈N ）． 因此，有23223242(1)2n n S n n =?+?+?+++?+ ， 23412223242(1)22n n S n n += ?+?+?+++?+ ， 两式相减，得 2314(222)(1)2n n n S n n +-=++++-+?- ， 整理，得1(21)n n S n +=+（n *∈N ）． 13. 解：（Ⅰ）由已知得，1 31+= +n n n a a a ， ∴ 31 11 += +n n a a ，即 3111=-+n n a a ∴数列? ?? ?? ?n a 1是首项11=a ,公差3=d 的等差数列. ∴ 233)1(11 -=?-+=n n a n , 故)(2 31 *∈-= N n n a n (Ⅱ) ∵)1 31 231(31)13)(23(11+--=+-= +n n n n a a n n 13221++++=n n n a a a a a a S ) 13)(23(1 7 414 11+-+ +?+?=n n )]1 31231()7141()411[(31+--++-+-=n n 1 3)1311(31+= +-=n n n . 假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计 海南华侨中学邓建书 课题名称 求数列通项（高三数学第二阶段复习总第1课时） 科目 高三数学 年级 高三（5）班 教学时间 2009年4月10日 学习者分析 数列通项是高考的重点内容 必须调动学生的积极让他们掌握！ 教学目标 一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究 体会从特殊到一般 又到特殊的认识事物规律 培养学生主动探索 勇于发现的求知精神 二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式 三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力； 2. 在领会函数与数列关系的前提下 渗透函数、方程的思想 教学重点、难点 1.重点：用递推关系法求数列通项公式 2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足 若不满足必须写成分段函数形式；若满足 则应统一成一个式子. 教学资源 多媒体幻灯 教学过程 教学活动1 复习导入 第一组问题： 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2） 由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项 第二组问题：[学生讨论变式] 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2）； 解题方法：观察递推关系的结构特征 可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项 （3） 解题方法：观察递推关系的结构特征 联想到"？=？)" 可以构造一个新的等比数列 从而间接求出通项 教学活动2 变式探究 变式1：数列中 求 思路：设 由待定系数法解出常数 高二期末复习备考专题（一）圆锥曲线 1.（2013届北京丰台区一模）已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过P(2，直线l ：y=kx+m(k≠0)交椭圆C 于不同的两点A ，B 。 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）是否存有实数k ，使线段AB 的垂直平分线经过点Q （0,3）？若存有求出 k 的取值范围；若不存有，请说明理由。 【答案】（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22 221x y a b +=()0a b >>，由题意 22224 42 1 a b a b ?-=??+=??，解得28a =，2 4b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=. （Ⅱ）假设存有斜率为k 的直线，其垂直平分线经过点Q （0,3）， 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，AB 的中点为N(x 0,y 0), 由22 184x y y kx m ?+ =???=+? 得222(12)4280k x mkx m +++-=, 222222164(12)(28)648320m k k m k m ?=-+-=-+>，所以22840k m -+>,…7分 122412mk x x k +=- +, ∴12022212x x mk x k +==-+，00 2 12m y kx m k =+=+, 线段AB 的垂直平分线过点Q （0,3 ）， ∴1NQ k k ?=-，即003 1y k x -?=-，∴236m k -=+， 0?> ， 整理得42362850k k ++<，显然矛盾∴不存有满足题意的k 的值。 2.（湖北省重点中学联考）已知圆M ：2 2 2 (x y r -+=（0r >）.若椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>） 高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． 高二第一学期末复习题（数列）2015-12-26 命题教师：陈爱云 一、选择题 1．如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（ ） A 为常数数列 B 为非零的常数数列 C 存在且唯一 D 不存在 2．在等差数列{}n a 中，已知1a +4a +7a =39，2a +5a +8a =33，则3a +6a +9a =（ ） A 30 B 27 C 24 D 21 3.若lga,lgb,lgc 成等差数列，则（ ） A b= 2c a + B b=2 1 (lga+lgc) C a,b,c 成等比数列 D a,b,c 成等差数列 4.在等比数列}{n a 中,,8,1685=-=a a 则=11a ( ) A 4- B 4± C 2- D 2± 5．(2013年全国新课标)设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( ) A.3 B.4 C .5 D.6 6．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂成二个，则经过3小时， 由1个这种细菌可以繁殖成（ ） A 511个 B 512个 C 1023个 D 1024个 7.在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项和S 8等于 （ ） A. 12 B. 24. C. 36 D 48 8．已知等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项和为S n , 则数列{ n a 1 }的前n 项和为 （ ） A n S 1 B 1n n S q - C 1n n S q - D n n S q 9．已知等差数列{a n }中，|a 3|=|a 9|，公差d<0，则使前n 项和S n 取最大值的正整数n 是（ ） A 4或5 B 5或6 C 6或7 D 8或9 10. 已知等差数列{}n a 中，15,652==a a .若n n a b 2=，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A.30. B. 45. C.90. D.186. 11. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ） A. 高三数学数列专题复习题含答案 一、选择题 1.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数 ()128()()()f x x x a x a x a =---L ，则()'0f =（ ） A ．62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x 项均取0，则()' 0f 只与函数()f x 的一次项 有关；得：412 123818()2a a a a a a ??==L 。 2、在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 【答案】C 3、已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ?? ???? 的前5项和为 （A ） 158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）15 8 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 显然q ≠1，所以3639(1q )1-=121-q 1q q q q -?+?=-，所以1{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列， 前5项和5 51 1()31211612 T -= =-. 4、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 【答案】A 【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，3 7897988()a a a a a a a ===g 10,所以 13 2850a a =, 所以13 3 3 64564655 28()()(50)52a a a a a a a a a =====g 5.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ， 321 ,22 a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A.12+ B. 12- C. 322+ D 322- 6、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2 Y XZ = D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D 【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足。 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++=L A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2n D. 2 (1)n - 人教版高中高二2015----2016上学期英语期末复习 高考语法填空专题训练 一 Once there lived a rich man31_______wanted to do something for the people of his town.32________first he wanted to find out whether they deserved his help. In the centre of the main road into the town, he placed33________very large stone. Then he34________(hide ) behind a tree and waited. Soon an old man came along with his cow.“Who put this stone in the centre of the road”said the old man, but he did not try to remove the stone. Instead, with some difficulty he passed around the stone and continued on his way.35________man came along and did the same thing; then another came ,and another. All of them complained about the stone but not tried to remove36________. Late in the afternoon a young man came along. He saw the stone,37_______(say) to himself: “The night38________(be) very dark. Some neighbors will come along later in the dark and will fall against the stone.” Then he began to move the stone. He pushed and pulled with all his39_______(strong) to move it. How great was his surprise at last!40_______the stone, he found a bag of money. 二 The Internet is an amazing information resource. Students, teachers, and researchers use it as31______investigative tool. Journalists use it to find information for stories. Doctors use it to learn more about unfamiliar diseases and the32_____(late) medical development. Ordinary people use it for shopping, banking, bill-paying, and communicating with family and friends. People all over the world use it to connect with individuals from33_______countries and cultures. However, 34_______there are many positive developments35_________(associate) with the Internet, there are also certain fears and concerns.36________concern relates to a lack of control over37________appears on the Internet. With television and radio there are editors to check the accuracy or appropriateness of the content of programs, and with television there are38 _________(restrict) on what kinds of programs can39__________(broadcast) and at what times of the day. With the Internet, parents cannot check a published guide to determine what is suitable 40__________ their children to see. 三 Crying marriage31_______(surprise), isn’t it Factually, the custom of crying marriage existed a long time ago in many areas of Southwest China’s Sichuan Province, and32_______(remain) in fashion33________the end of the Qing Dynasty. Though not so popular as before, the custom is still observed by people in many places, especially Tujia people, who view it as a34_________(necessary) to marriage procedure. It is very much35_________same in different places of the province. According to elderly people, every bride had to cry at the wedding.36________, the bride’s neighbors would look down upon37__________as a poorly cultivated girl and she would become the laughingstock of the village.In fact, there were cases38________which the bride was beaten by her mother for not crying at the wedding ceremony. In a word, crying at wedding is a39________by custom to set off the happiness of the wedding through falsely sorrowful words. However, in the40________(arrange) marriages of the old days of China, there were indeed quite a lot of brides who cried over their unsatisfactory 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 求数列通项专题 题型一：定义法（也叫公式法） 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目 例：等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，2 55a S =．求数列}a {n 的 通项。 解：设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列，∴ 912 3a a a =， 即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得 d a d 12 = ∵0d ≠，∴d a 1=………① ∵ 2 55S a = ∴ 211)d 4a (d 24 5a 5+=??+ …………② 由①②得： 53a 1= ，53d = ∴n 5353)1n (53a n =?-+= 题型二：已知n n S a 与的关系求通项公式(或()n n S f a =) 这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例：（1）已知数列}{n a 的前n 项和22+=n S n ，求数列}{n a 的通项公式 解：当1=n 时，311==S a ； 当2≥n 时，122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ； ? ??≥-==∴)2(12) 1(3n n n a n （2）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足1)1(log 2+=+n S n ，求数列}{n a 的通项公式 解：由1)1(log 2+=+n S n ，得121-=+n n S ， ? ??≥==∴)2(2) 1(3n n a n n 练习：1、已知数列{n a }的前n 项和为32n n S =-, 求n a . 2、数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，)(1121≥+=+n S a n n ，求{}n a 的通项公式 高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n； 1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式 高二上期末综合试题（一） 一、选择题： 1．若a b 、是任意实数，且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b > B ．1- D ．b a ?? ? ??，则 221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”； ③“2,11x x ?∈+≥R ”的否定是“2 ,11x x ?∈+≤R ”； ④在△ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件． 其中不正确的命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6．已知直线x y a +=与圆2 2 4x y +=交于,A B 两点，且||||OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为（ ） A ．2 B C ．2或2- D 7．下列说法正确的是（ ） A ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大 B ．A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小 C ．若1)()()(=+=B P A P B A P 则事件A 与B 是互斥且对立事件 D ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件事件 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ） 数列专题解析方法 解题策略一：有比较有鉴别才有收获，弄清每种方法好的地方，掌握这一点，就能解决很多问题。 解题策略二：具体做题时有三个步骤：想一想，做一做，看一看。 解题策略三：拿到题就动手做题的习惯不好，很盲目，时间浪费了，还做不出来；想好了再动手，不管能不能做完，能不能做对，都要做.回头看一看，还有没有更好的方法，书上怎么讲的，老师怎么做的，回想联想再猜想，这样一比较，就能领悟到很多东西.数学题靠做，但是在做题的过程中，还要学会总结分析，并建立错题集，时常翻阅，这样我们的解题能力才会得到提高. 一、数列通项公式的求解 类型一：观察法 例1:写出下列数列的一个通项公式 （1）3,5,9,17,33， ； （2）;,5 44,4 33,3 22,2 11 （3）7,77.777.7777. ； （4）;,11 26,917,710,1,32 -- （5）;,16 65,825,49,23 类型二：公式法 （1）1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 例2：已知等差数列{}n a 中，,3,131-==a a 求{}n a 的通项公式 （2）11n n m n m a a q a q --== 例3：已知等比数列{}n a 中，,306,6312=+=a a a 求{}n a 的通项公式 类型三：利用“n S ”求解 （1）???≥-==-)2() 1(,11n S S n S a n n n 例4：已知数列{}n a 的前n 项和)(24*2N n n n S n ∈+-=，求{}n a 的通项公 式 例5：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有,464,3111--+-==n n n n S a a S a 求 {}n a 的通项公式 例6：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有),1(12,111≥+==+n S a a n n 求{}n a 的通项公式 例7：已知正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 满 足,12 +=n n a S 求{}n a 的通项公式 （2）1--n n S S 的推广 例8：设数列{}n a 满足*13221,3 333N n n a a a a n n ∈=++++- 求{}n a 的通项公式 类型四：累加法 形如)(1n f a a n n =-+或)(1n f a a n n =--型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数） （1）若()f n 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 例9：,2,1211=++=+a n a a n n 求{}n a 的通项公式 （2）若()f n 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 例10：,2,211=+=+a a a n n n 求{}n a 的通项公式 （3）若()f n 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 例11：,1,1121=+++=+a n n a a n n 求{}n a 的通项公式 （4）若()f n 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和 例12：,1,21 121=++ =+a n n a a n n 求{}n a 的通项公式 类型五：累乘法 新数学《数列》期末复习知识要点 一、选择题 1．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111 n a a a +++L 的值 A ． 1 n n - B ． 1 n n + C ． 1 1n n -+ D ． 1 n n + 【答案】A 【解析】 分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111 n a a a +++L 的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=， 则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L ， 所以 1111 (1)1n a n n n n ==--- 所以 231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n -+++=-+-++-=-=-L L ，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=，选B. 3．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21 C ．24 D ．36 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】 因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (23) 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A={2,0,1,8}，B={2,0,1,9}，则A∪B=() A. {2,0,1,8} B. {2,0,1} C. {2,0,1,8,9} D. {2,0,1,9} 2.已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠?1，且a5+a4=3(a3+a2)，则a5=() A. ?9 B. 9 C. ?81 D. 81 3.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是() A. y=ln(x?1) B. y=|x?1| C. y=(1 2 )x D. y=sinx+2x 4.有一人在打靶中，连续射击2次，事件“至多有1次中靶”的对立事件是() A. 只有1次中靶 B. 至少有1次中靶 C. 2次都不中靶 D. 2次都中靶 5.执行如图所示的程序框图，若输入x=30，则输出的结果为() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6.若tanθ+1 tanθ =4，则sin2θ=() A. 1 5B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 7.“x=2”是“x≥1”的() A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 8.设x，y满足约束条件{y?x≤3 x+y≤5 y≥m ，若z=x+4y的最大值与最小值的差为5，则实数m等于 () A. 2 B. ?2 C. 3 D. ?3 9.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A. 若m⊥n，m//α，n//β，则α//β B. 若m⊥n，α∩β=m，n?α，则α⊥β C. 若m//n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β D. 若m//n，n⊥β，m?α，则α⊥β 10.若f(x)是偶函数，当x>0时f(x)单调递减，，则 f(a),f(b),f(c)的大小关系为() A. f(c) 高三数学总复习数列专题复习 第一课时 1、 设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且23S ＝9S 2，S 4＝4S 2，求 数列的通项公式． 2、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ． （1） 写出数列 {}n a 的前三项321,,a a a ； （2） 求证数列?? ? ? ??-+n n a )1(32为等比数列，并求出{}n a 的通项公式． 3、 已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足：.22,1175243=+=?a a a a （Ⅰ）求通项 n a ； （Ⅱ）若数列 }{n b 是等差数列，且 c n S b n n += ，求非零常数c ； 4、数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1,a n +1=n n 2 +S n (n =1,2,3，…)． 证明：(i)数列{n S n }是等比数列；(ii)S n +1=4a n . 答案： 1、设数列 {}n a 的公差为d 由题意得：???+=++=+)2(464)2(9)33(11121d a d a d a d a ?? ?==00 1d a 或 ??? ????==98941d a 因为0≠d 所以 98,941== d a 94 98-=n a n 2、（1）在 1,)1(2≥-+=n a S n n n 中分别令3,2,1=n 得： ??? ??-=+++=+-=1 2121 23321 22111a a a a a a a a a 解得： ??? ??===201 3 21a a a （2）由1,)1(2≥-+=n a S n n n 得： 2,)1(21 11≥-+=---n a S n n n 两式相减得： 2,)1(2)1(21 1≥----+=--n a a a n n n n n 即： 2,)1(221≥--=-n a a n n n n n n n n n n a a a )1(32 )1(342)1(32)1(342111---+=----=--- ) 2)()1(32 (2)1(3211≥-+=-+--n a a n n n n 故数列?? ?? ??-+n n a )1(32是以31321=-a 为首项，公比为2的等比数列． 所以 1231)1(32-?=-+n n n a n n n a )1(32 2311-?-?=- 3、（1）设数列 {}n a 的公差为d 由题意得：?? ?=+=++22 52117 )3)(2(111d a d a d a ???==411d a 或 ???-==421 1d a （舍去） 所以： 3 4-=n a n （2） n n n n S n -=-+= 222) 341( 由于 c n S n + 是一等差数列 故b an c n S n +=+对一切自然数n 都成立 即： bc n b ac an b an c n n n +++=++=-)())((222 ?????=-=+=012bc b ac a ??????? -===2102c b a 或 ?????=-==0 12c b a （舍去） 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121求数列通项专题高三数学复习教学设计
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