《数列》知识点汇总
一、选择题
1.设{a n }为等比数列,{b n }为等差数列,且S n 为数列{b n }的前n 项和.若a 2=1,a 10=16且a 6=b 6,则S 11=( ) A .20 B .30 C .44 D .88
【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{a n }的公比为q ,由a 2=1,a 10=16列式求得q 2,进一步求出a 6,可得b 6,再由等差数列的前n 项和公式求解S 11. 【详解】
设等比数列{a n }的公比为q ,由a 2=1,a 10=16,
得810
2
16a q a =
=,得q 2=2. ∴4
624a a q ==,即a 6=b 6=4,
又S n 为等差数列{b n }的前n 项和, ∴()111116
1111442
b b S b
+?=
==.
故选:C. 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质,训练了等差数列前n 项和的求法,是中档题.
2.已知等差数列{}n a 中,若311,a a 是方程2210x x --=的两根,单调递减数列
{}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是( )
A .(),3-∞-
B .1,3??-∞- ???
C .1,3??-+∞ ???
D .()3,-+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出71a =,再根据{}n b 是递减数列,得到1
21
n λ<-+对*n N ∈恒成立,即得解. 【详解】
∵311,a a 是方程220x x --=的两根,∴3112a a +=. ∵{}n a 是等差数列,∴311722a a a +==,∴71a =,
∴2
n b n n λ=+,又∵{}n b 是递减数列,
∴10n n b b +-<对*n N ∈恒成立, 则()()()2
2
110n n n
n λλ+++-+<,∴()2110n λ++<,
∴1
21
n λ<-
+对*n N ∈恒成立, ∴13
λ<-.
故选:B. 【点睛】
本题主要考查等差中项的应用,考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3.将正整数20分解成两个正整数的乘积有120?,210?,45?三种,其中45?是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称45?为20的最佳分解.当p q ?(p q ≤且
*,p q ∈N )是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-,则数列
(){}5n
f ()*
n N ∈的前2020项的和为( )
A .1010
5
1+
B .1010514-
C .1010512
-
D .101051-
【答案】D 【解析】 【分析】
首先利用信息的应用求出关系式的结果,进一步利用求和公式的应用求出结果. 【详解】
解:依题意,当n 为偶数时,22(5)550n
n
n f =-=; 当n 为奇数时,1
1
1222(5)5545n n n n f +--=-=?, 所以01100920204(555)S =++?+,
101051451
-=-g ,
101051=-.
故选:D 【点睛】
本题考查的知识要点:信息题的应用,数列的求和的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题.
4.等差数列{}n a 中,1510a a +=,47a =,则数列{}n a 前6项和6S 为()
A .18
B .24
C .36
D .72
【答案】C
【解析】 【分析】
由等差数列的性质可得35a =,根据等差数列的前n 项和公式163466622
a a a a
S ++=?=?可得结果. 【详解】
∵等差数列{}n a 中,1510a a +=,∴3210a =,即35a =,
∴1634657
66636222
a a a a S +++=?=?=?=, 故选C. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用,属于基础题.
5.已知数列{}n a 中,12a =,2
11n n n a a a +=-+,记12111n n
A a a a =
++?+,12111
n n
B a a a =
????,则( ) A .201920191A B +> B .201920191A B +< C .2019201912A B -> D .201920191
2
A B -< 【答案】C 【解析】 【分析】
根据数列{}{},n n A B 的单调性即可判断n n A B -;通过猜想归纳证明,即可求得n n A B +. 【详解】
注意到12a =,23a =,37a =,不难发现{}n a 是递增数列. (1)2
1210n n n n a a a a +-=-+≥,所以1n n a a +≥.
(2)因为12a =,故2n a ≥,所以1n n a a +>,即{}n a 是增函数. 于是,{}n A 递增,{}n B 递减, 所以20192121156A A a a >=
+=,2019212111
6
B A a a <=?=, 所以2019201912
A B ->
. 事实上,111,A B +=221,A B +=331A B +=, 不难猜想:1n n A B +=. 证明如下:
(1)2
111211111111
111
11
n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++-=-+?
=
-?++???+=----. (2)2
11n n n a a a +=-+等价于
2
111
1
n n n
a a a +=
--, 所以111
1n n n a a a +-=-, 故12111111
n n a a a a +????=-, 于是12121111111n n a a a a a a ??
????
+++?+= ???
, 即有1n n A B +=. 故选:C. 【点睛】
本题考查数列的单调性,以及用递推公式求数列的性质,属综合中档题.
6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2019这2019个数中,能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{}n a ,则此数列所有项中,中间项的值为( ) A .992 B .1022
C .1007
D .1037
【答案】C 【解析】 【分析】
首先将题目转化为2n a -即是3的倍数,也是5的倍数,也即是15的倍数.再写出{}n a 的通项公式,算其中间项即可. 【详解】
将题目转化为2n a -即是3的倍数,也是5的倍数,也即是15的倍数. 即215(1)n a n -=-,1513n a n =-
当135n =,135151351320122019a =?-=<, 当136n =,136151361320272019a =?-=>, 故1,2,n =……,135数列共有135项.
因此数列中间项为第68项,681568131007a =?-=. 故答案为:C . 【点睛】
本题主要考查数列模型在实际问题中的应用,同时考查了学生的计算能力,属于中档题.
7.执行下面程序框图输出S 的值为( )
A .
2542
B .
3764
C .
1730
D .
67
【答案】A 【解析】 【分析】
模拟执行程序框图,依此写出每次循环得到的,S i 的值并判断5i >是否成立,发现当
6i =,满足5i >,退出循环,输出运行的结果111111324354657
S =
++?????++,利用裂项相消法即可求出S . 【详解】 由题意可知, 第1次循环时1
13
S =?,2i =,否; 第2次循环111324S =
+??,3i =,否; 第3次循环时111132435
S =++???,4i =,否; 第4次循环时111113243546
S =
++????+,5i =,否;
第5次循环时111111324354657
S =+++?????+,6i =,是; 故输出
111111324354657
S =
++?????++111111111112324354657????????????-+-+-+-+- ? ? ? ? ???????????????= 111125
1226742
??=
+--=
??? 故选:A. 【点睛】
本题主要考查程序框图中的循环结构,同时考查裂项相消法求和,属于基础题.
8.数列{}n a 的通项公式为(
)n a n c n N *
=-∈.则“2c <”是“{}n
a 为递增数列”的( )
条件. A .必要而不充分 B .充要
C .充分而不必要
D .即不充分也不必要
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->,解得1
2
c n <+
,由此得到若{}n a 是递增数列,则3
2c <
,根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”,则110n n a a n c n c +-=+--->, 即()()2
2
1n c n c +->-,化简得:12
c n <+, 又n *∈N ,1322n ∴+≥,32
c ∴<, 则2c
{}n a 是递增数列,{}n a 是递增数列2c ?<,
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件.
故选:A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断,涉及到根据数列的单调性求解参数范围,属于基础题.
9.设函数()m
f x x ax =+的导数为()21f x x '=+,则数列()()2N n f n *
????∈?
?????
的前n 项
和是( ) A .
1
n
n + B .
21
n
n + C .
21
n
n - D .
()
21n n
+ 【答案】B 【解析】 【分析】
函数()m f x x ax =+的导函数()21f x x '=+,先求原函数的导数,两个导数进行比较即可
求出m ,a ,利用裂项相消法求出()()
2N n f n *
????∈??????
的前n 项和即可.
【详解】
Q 1()21m f x mx a x -'=+=+,
1a \=,2m =,()(1)f x x x ∴=+,
11
2()()(1)221
f n n n n n ==-++, ∴111111122[()()()]2(1)1223111
n n S n n n n =-+-++-=-=+++L ,
故选:B . 【点睛】
本题考查数列的求和运算,导数的运算法则,数列求和时注意裂项相消法的应用.
10.在等比数列{}n a 中,已知259,243a a ==,那么{}n a 的前4项和为( ). A .81 B .120
C .121
D .192
【答案】B 【解析】 【分析】
根据35
2
a q a =求出公比,利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】
Q
35
2
27a q a ==, ∴ 3q =
∴ 4414(1)3(13)
120113
a q S q --===--.故选:B
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式,等比数列的前n 项和,属于中档题.
11.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,公比为q ,若639S S =,562S =,则1a =( )
A B .2
C D .3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意,分析可得等比数列{}n a 的公比1q ≠±,进而由等比数列的通项公式可得
(
)()6
3
11
11911a q a q q
q
--=?--,解可得2q =,又由(
)5
15
1
131621a q S
a
q
-=
==-,解可得
1a 的值,即可得答案.
【详解】
根据题意,等比数列{}n a 中,若639S S =,则1q ≠±, 若639S S =,则
(
)()6
3
11
11911a q a q q
q
--=?--,解可得3
8q
=,则2q =,
又由562S =,则有(
)5
151
131621a q S a
q
-===-,解可得12a =;
故选B . 【点睛】
本题考查等比数列的前n 项和公式的应用,关键是掌握等比数列的前n 项和的性质.
12.已知首项为1的正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,4a -、3a 、5a 成等差数列,则
2020S 与2020a 的关系是( )
A .2020202021S a =+
B .2020202021S a =-
C .2020202041S a =+
D .2020202043S a =-
【答案】B 【解析】 【分析】
求出等比数列{}n a 的公比q ,然后求出2020S 和2020a ,由此可得出结论. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ,则0q >,
4a -Q 、3a 、5a 成等差数列,3542a a a ∴=-,所以,220q q --=,
0q >Q ,解得2q =,20192019202012a a q ∴==,()20201202020201211a q S q
-=
=--,
因此,2020202021S a =-. 故选:B. 【点睛】
本题考查等比数列求和公式以及通项公式的应用,涉及等差中项的应用,考查计算能力,属于中等题.
13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1220a a +=,33
4
S =,且2n a S a ≤≤+,则实数a 的取值范围是( ) A .[]
1,0- B .11,2
??-???
?
C .1,12??????
D .[]
0,1
【答案】B 【解析】 【分析】
先求得等比数列的首项和公比,得到n S ,分析数列的单调性得到n S 的最值,从而列不等式求解即可. 【详解】
由1220,a a += 33
4S =,得11211,,1232n
n a q S ????==-=--?? ???????
,
当1n =时,n S 取最大值1,当2n =时,n S 取最小值
12
, 所以12
21a a ?
≤
???+≥?
,112a -≤≤,故选B. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的单调性,结合首项和公比即可判断,属于中档题.
14.等差数列{}n a 中,n S 为它的前n 项和,若10a >,200S >,210S <,则当n =( )时,n S 最大. A .8 B .9
C .10
D .11
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列的前n 项和公式与项的性质,得出100a >且110a <,由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 最大时n 的值. 【详解】
等差数列{}n a 中,前n 项和为n S ,且200S >,210S <, 即()
()120201*********a a S a a +=
=+>,10110a a ∴+>,
()
1212111212102
a a S a +=
=<,所以,110a <,则100a >,
因此,当10n =时,n S 最大. 故选:C. 【点睛】
本题考查了等差数列的性质和前n 项和最值问题,考查等差数列基本性质的应用,是中等题.
15.在正整数数列中,由1开始依次按如下规则,将某些数取出.先取1;再取1后面两个偶数2,4;再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9;再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16;再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去,得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…,则在这个新数列中,由1开始的第2 019个数是( ) A .3 971 B .3 972
C .3 973
D .3 974
【答案】D 【解析】 【分析】
先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2,则前n 组共1+2+3+…+n ()12
n n +=个数,运算即可得解.
【详解】
解:将新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…,分组为(1),(2,4),(5,7,9,),(10,12,14,16),(17,19,21,23,25)… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2, 则前n 组共1+2+3+…+n ()
12
n n +=
个数,
设第2019个数在第n 组中,
则()
()120192
120192
n n n n ?+≥???-???<, 解得n =64,
即第2019个数在第64组中,
则第63组最后一个数为632=3969,前63组共1+2+3+…+63=2016个数,接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974,
故选:D . 【点睛】
本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力,考查等差数列前n 项和公式,属中档题.
16.设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知121n n S S n +=+-, 现有下面四个结论
①数列{}n S n +为等比数列; ②数列{}n a 的通项公式为1
21n n a -=-;
③数列{}1n a +为等比数列;
④数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---. 其中结论正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据递推关系可得1+12()n n S n S n ++=+,可得①正确,利用等比数列求出2n
n S n =-,
根据前n 项和求n a ,可判断②③,计算2n S ,并分组求和可判断④. 【详解】
因为121n n S S n +=+-,
所以
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++, 又112S +=.
所以数列{}n S n +为首项是2,公比是2的等比数列,
所以2n
n S n +=, 则2n
n S n =-.
当2n ≥时,1
121n n n n a S S --=-=-, 但11
121a -≠-,
所以①正确,②③错误,
因为1
222n n S n +=-,
所以{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---, 所以④正确. 故选:B 【点睛】
本题主要考查了数列的递推关系式,等比数列的证明,由n S 求数列的通项公式,属于中档
题.
17.已知数列{}n a 中,732,1a a ==,又数列11n a ??
??+??
是等差数列,则11a 等于( )
A .0
B .
12
C .
23
D .1-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据条件得等差数列11n a ??
??+??
公差以及通项公式,代入解得11a . 【详解】
设等差数列11n a ??
??+??公差为d ,则
731111144,112324d d d a a =-∴=-=++, 从而31115
(3)11242424n n n a a =+-?=+++ 11111115211242432
a a =+=∴=+,选B. 【点睛】
本题考查等差数列通项公式,考查基本求解能力,属基本题.
18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若816S =,61a =,则数列{}n a 的公差为( ) A .
3
2
B .32
-
C .
23
D .23
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等差数列公式直接计算得到答案. 【详解】 依题意,()()
183********
a a a a S ++=
==,故364a a +=,故33a =,故632
33a a d -=
=-,故选:D . 【点睛】 本题考查了等差数列的计算,意在考查学生的计算能力.
19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12a =,12
n n n a S n
++=(*n ∈N ),则n S =( ) A .121n -+ B .2n n ?
C .31n -
D .123n n -?
【答案】B 【解析】 【分析】
由题得12
2,1
n n a n a n ++=?+再利用累乘法求出1(1)2n n a n -=+?,即得n S . 【详解】 由题得111(1)(1),,,2121
n n n n
n n n na n a na n a S S a n n n n ++---=
∴=∴=-++++(2n ≥) 所以122,1
n n a n a n ++=?+(2n ≥) 由题得22166,32
a a a =∴
==,所以12
2,1n n a n a n ++=?
+(1n ≥). 所以
32412313451
2,2,2,2,234n n a a a a n a a a a n
-+=?=?=?=?L , 所以11112,(1)22
n n n n a n a n a --+=?∴=+?. 所以(2)222
n n n n
S n n n =?+?=?+. 故选:B 【点睛】
本题主要考查数列通项的求法,考查数列前n 项和与n a 的关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20.《九章算术·均输》中有如下问题:“今有五人分十钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为( ) A .
4
3
钱 B .
73
钱 C .83
钱
D .
103
钱 【答案】C 【解析】 【分析】
依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ,a ﹣d ,a ,a +d ,a +2d ,由题意求得a =﹣6d ,结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d =5a =10求得a =2,则答案可求.
【详解】
解:依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d,则由题意可知,a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d,即a=﹣6d,
又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=10,∴a=2,
则a﹣2d=a
48 333
a
a
+==.
故选:C.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式,考查实际应用,正确设出等差数列是计算关键,是基础的计算题.
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π8 C . 12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;
高考数学压轴题含答案 RUSER redacted on the night of December 17,2020
【例 1】已知12,F F 为椭圆 2 2 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,以原点O 为圆心,半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点,设位于y 轴右侧的两个交点为B A ,,若1ABF ?为等边三角形,则椭圆的离心率为( ) 1 1 C. 1 2 【课堂笔记】 【规律总结】 ............................................................................................................................................................................................................ 【例2】已知函数 x x x x ax x f ln ln )(2 -- +=有三个不同的零点321,,x x x (其中321x x x <<),则 211)ln 1(x x -)ln 1)(ln 1(3 322 x x x x --的值为 ( ) A .a -1 B .1-a C .1- D .1 【课堂笔记】 【规律总结】 【例3】已知函数()2h x x ax b =++在 ()0,1上有两个不同的零点,记 {}()( )min ,m m n m n n m n ≤??=?>??,则 ()(){}min 0,1h h 的取值范围 为 . 【课堂笔记】 【规律总结】 ........................................................................................................................................................................................................... 【例4】下表是一个由2n 个正数组成的数 表,用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列,每一行各数从左到右依次构成等比数列,且公比都相等.已知 113161351,9,48.a a a a =+== (1)求1n a 和4n a ; (2)设 ()() ()() 4144121n n n n n n a b a n N a a += +-∈--,求数列{}n b 的前n 项和n S . 【例5】在平面直角坐标系中动点() ,P x y 到圆()2 2 :11F x y +-=的圆心F 的距离比 它到直线2y =-的距离小1. (1)求动点P 的轨迹方程;
2004年普通高等学校招生考试 数 学(文史类)(重庆卷) 本试卷分第Ⅰ部分(选择题)和第Ⅱ部分(非选择题)共150分 考试时间120分钟. 第Ⅰ部分(选择题 共60分) 参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那幺 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立,那幺 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那幺n 次独立重复试验中恰好 发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()( 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 函数y =的定义域是:( ) A [1,)+∞ B 23(,)+∞ C 23[,1] D 2 3(,1] 2. 函数221()1x f x x -=+, 则(2)1()2 f f = ( ) A 1 B -1 C 35 D 3 5 - 3.圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为:( ) A 2 B 2 C 1 D 4.不等式2 21 x x + >+的解集是:( ) A (1,0)(1,)-+∞U B (,1)(0,1)-∞-U C (1,0)(0,1)-U D (,1)(1,)-∞-+∞U
5.sin163sin 223sin 253sin313+=o o o o ( ) A 12- B 1 2 C 2- D 2 6.若向量r r a 与b 的夹角为60o ,||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,则向量a r 的模为: ( ) A 2 B 4 C 6 D 12 7.已知p 是r 的充分不必要条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件。那 么p 是q 成立的:( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 8.不同直线,m n 和不同平面,αβ,给出下列命题: ① ////m m αββα????? ② //////m n n m ββ???? ③ ,m m n n αβ??????异面 ④ //m m αββα⊥??⊥?? 其中假命题有:( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 9. 若数列{}n a 是等差数列,首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><,则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是:( ) A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 10.已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左,右焦点分别为12,F F ,点P 在双 曲线的右支上,且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为:( ) A 43 B 53 C 2 D 73 11.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮,这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯炮使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为:( ) A 2140 B 1740 C 310 D 7120
1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;
高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解: (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1,a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1, y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2), 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0, 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2