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2010矩阵论复习题

1. 设+

=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为

y x y x ?=⊕

对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =?

问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.

2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为

),(112211y x y x y x y x +++=⊕

对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为

)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+

=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.

3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3

R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .

4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=

证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .

5. 设T 是2

R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)(

1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;

2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.

6. 设T 是3

R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=

1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;

2)求T 的零空间和像空间的维数.

7.设线性空间3

R 的两个基为(I):321,,x x x , (II):321,,y y y , 由基(I)到基(II)的过度矩阵为????

? ??--=101010101C , 3R 上的线性变换T 满足

21321)32(y y x x x T +=++

12323(24)T x x x y y ++=+

31321)43(y y x x x T +=++

1)求T 在基(II)下的矩阵;

2)求)(1y T 在基(I)下的坐标.

8.在线性空间)(3R P 中

321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++=

讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.

9.在22R ?中求由基(I) 12101A ??= ??? 20122A ??= ??? 32112A -??= ??? 41312A ??= ??? 到基(II) 11210B ??=

?-?? 21111B -??= ??? 31211B -??= ??? 41101B --??= ???的过渡矩阵. 10.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=?, 求线性空间V 的维数和基.

11.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为

?=1

0)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.

12. 求矩阵10002i A i +??= ???

的奇异值分解. 13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和.

(提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。若A A T

-=,称A 为反对称矩阵)

14.设x 和y 是Eucild 空间V 的非零元,它们的夹角是θ,试证明θcos ||||||||2||||||||||||222y x y x y x ?-+=-

15.设A 是n n C

?上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明：22||||||||||||F Ax A x ≤?. 16.设n

n C A ?∈,并且满足E A A H =,计算2||||A 和F A ||||. 17.已知122112012422A ?? ?= ? ???

，求A 的最大值分解。

18.设m n A C ?∈，1）证明：()()H rank A A rank A =;

2) 证明：H A A 是半正定矩阵或正定矩阵。

19.求下列矩阵的谱阵和谱分解

400031013A ?? ?= ? ??? 332112310A ?? ?=- ? ?--??

20.设s λλλ,,,21 是n 阶单纯矩阵A 的重数为s r r r ,,,21 的特征值,∑==s i i n r

i E 是A 的对应于i λ的谱阵,证明

1)0=j i E E ,(j i ≠ ),,2,1,s j i =

2) ∑==s i i E E

21.设函数矩阵????

??-=t t t t A cos sin sin cos , 求)(t A dt d , ))((det t A dt d 和))(det(t A dt d . 22.证明 1))()()())((111t A t A dt

d t A t A dt d ---??-= 2)A

e Ae e dt

d At At At == 23.已知????? ??=73487612i A , ????

? ??=845x , 求111||||,||||,||||,||||,||||,||||x x Ax Ax A A ∞∞∞

24.设a ||||?是n n C ?的一种矩阵范数,B 和D 是n 阶可逆矩阵,且

,1||||1≤-a B 1||||1≤-a D ,试证明对任意的n n C A ?∈

a b BAD A ||||||||=

也是n n C ?的一种矩阵范数.

25. 已知a ||||?是n n C ?上的矩阵范数，0y 是n C 中的某非零列向量，n

x C ?∈设0||||||||H a x xy =证明它是n C 上的向量范数，并且与矩阵范数a ||||?相容。

26.设A 是n n C

?上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明：2||||||||||||x A Ax F F ?≤ 27.设n

n C A ?∈, B 和D 是酉矩阵, 证明: F F F F BAD AD BA A ||||||||||||||||=== 28.已知???? ??-=00a a A , ???

? ??-=a a a a B cos sin sin cos 其中R a ∈且0≠a , 证明:B e A =. 29.已知???

? ??-=33i i A , 1)证明A 是Hermite 矩阵; 2)求方阵函数A cos . 30.已知??????

? ??=2000310020111001A ， 1)求A 的Jordan 标准形J ; 2)求可逆矩阵P , 使J AP P =-1

31.已知??????

? ??=3000130001300001A , 求A sin 和)sin(At . 32.设A 为n 阶方阵,求证()det()A tr A e e =特别地当A 为反对称矩阵时有det()1A e =

33.设???

? ??--=3113A , 求方阵函数A e 和At e . 34.证明:线性方程组b Ax =(其中n m C A ?∈ m C b ∈)有解的充分必要条件是b b AA =+

35.已知??????? ?

?--=112001110001A , 求A 的广义逆矩阵+A . 36. 已知???

? ??=011i i i A , 求A 的广义逆矩阵+A . 37.设BC A =是A 的最大秩分解, 证明: +++=B C A

38.求微分方程组

32113x x x dt

dx +-= 32125x x x dt

dx -+-= 32133x x x dt

dx +-= 的通解.

2012矩阵论复习题

2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=

2016矩阵论试题

第 1 页共 6 页（A 卷）学院系专业班级姓名学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷太原理工大学矩阵分析试卷（A ）适用专业：2016级硕士研究生考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟共 8页一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是（）. (A) A 一定可以对角化；（B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ；（D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)(