2010矩阵论复习题
1. 设+
=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为
y x y x ?=⊕
对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =?
问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.
2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为
),(112211y x y x y x y x +++=⊕
对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为
)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+
=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.
3.设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=,试证明S 是3
R 的子空间,并求S 的一组基和S dim .
4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=
证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .
5. 设T 是2
R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)(
1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;
2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.
6. 设T 是3
R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=
1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;
2)求T 的零空间和像空间的维数.
7.设线性空间3
R 的两个基为(I):321,,x x x , (II):321,,y y y , 由基(I)到基(II)的过度矩阵为????
? ??--=101010101C , 3R 上的线性变换T 满足
21321)32(y y x x x T +=++
12323(24)T x x x y y ++=+
31321)43(y y x x x T +=++
1)求T 在基(II)下的矩阵;
2)求)(1y T 在基(I)下的坐标.
8.在线性空间)(3R P 中
321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++=
讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.
9.在22R ?中求由基(I) 12101A ??= ??? 20122A ??= ??? 32112A -??= ??? 41312A ??= ??? 到基(II) 11210B ??=
?-?? 21111B -??= ??? 31211B -??= ??? 41101B --??= ???的过渡矩阵. 10.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=?, 求线性空间V 的维数和基.
11.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为
?=1
0)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.
12. 求矩阵10002i A i +??= ???
的奇异值分解. 13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和.
(提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。若A A T
-=,称A 为反对称矩阵)
14.设x 和y 是Eucild 空间V 的非零元,它们的夹角是θ,试证明θcos ||||||||2||||||||||||222y x y x y x ?-+=-
15.设A 是n n C
?上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明:22||||||||||||F Ax A x ≤?. 16.设n
n C A ?∈,并且满足E A A H =,计算2||||A 和F A ||||. 17.已知122112012422A ?? ?= ? ???
,求A 的最大值分解。
18.设m n A C ?∈,1)证明:()()H rank A A rank A =;
2) 证明:H A A 是半正定矩阵或正定矩阵。
19.求下列矩阵的谱阵和谱分解
400031013A ?? ?= ? ??? 332112310A ?? ?=- ? ?--??
20.设s λλλ,,,21 是n 阶单纯矩阵A 的重数为s r r r ,,,21 的特征值,∑==s i i n r
1
i E 是A 的对应于i λ的谱阵,证明
1)0=j i E E ,(j i ≠ ),,2,1,s j i =
2) ∑==s i i E E
1
21.设函数矩阵????
??-=t t t t A cos sin sin cos , 求)(t A dt d , ))((det t A dt d 和))(det(t A dt d . 22.证明 1))()()())((111t A t A dt
d t A t A dt d ---??-= 2)A
e Ae e dt
d At At At == 23.已知????? ??=73487612i A , ????
? ??=845x , 求111||||,||||,||||,||||,||||,||||x x Ax Ax A A ∞∞∞
24.设a ||||?是n n C ?的一种矩阵范数,B 和D 是n 阶可逆矩阵,且
,1||||1≤-a B 1||||1≤-a D ,试证明对任意的n n C A ?∈
a b BAD A ||||||||=
也是n n C ?的一种矩阵范数.
25. 已知a ||||?是n n C ?上的矩阵范数,0y 是n C 中的某非零列向量,n
x C ?∈设0||||||||H a x xy =证明它是n C 上的向量范数,并且与矩阵范数a ||||?相容。
26.设A 是n n C
?上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明:2||||||||||||x A Ax F F ?≤ 27.设n
n C A ?∈, B 和D 是酉矩阵, 证明: F F F F BAD AD BA A ||||||||||||||||=== 28.已知???? ??-=00a a A , ???
? ??-=a a a a B cos sin sin cos 其中R a ∈且0≠a , 证明:B e A =. 29.已知???
? ??-=33i i A , 1)证明A 是Hermite 矩阵; 2)求方阵函数A cos . 30.已知??????
? ??=2000310020111001A , 1)求A 的Jordan 标准形J ; 2)求可逆矩阵P , 使J AP P =-1
31.已知??????
? ??=3000130001300001A , 求A sin 和)sin(At . 32.设A 为n 阶方阵,求证()det()A tr A e e =特别地当A 为反对称矩阵时有det()1A e =
33.设???
? ??--=3113A , 求方阵函数A e 和At e . 34.证明:线性方程组b Ax =(其中n m C A ?∈ m C b ∈)有解的充分必要条件是b b AA =+
35.已知??????? ?
?--=112001110001A , 求A 的广义逆矩阵+A . 36. 已知???
? ??=011i i i A , 求A 的广义逆矩阵+A . 37.设BC A =是A 的最大秩分解, 证明: +++=B C A
38.求微分方程组
32113x x x dt
dx +-= 32125x x x dt
dx -+-= 32133x x x dt
dx +-= 的通解.
2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3.设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=,试证明S 是3R 的子空间,并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=
第 1 页 共 6 页 (A 卷) 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式:闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷(A ) 适用专业:2016级硕士研究生 考试日期:2017.1.09 时间:120 分钟 共 8页 一、填空选择题(每小题3分,共30分) 1-5题为填空题: 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ,则1||||A =。 2. 设线性变换1T ,2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ,B ,则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3.在3R 中,基T )2,1,3(1--=α,T )1,1,1(2-=α,T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β, T )3,2,1(2=β,T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ,则 5432333A A A A A -++-= . 5.??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题: 6.设A 是正规矩阵,则下列说法不正确的是 ( ). (A) A 一定可以对角化; (B )?=H A A A 的特征值全为实数; (C) 若E AA H =,则 1=A ; (D )?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7.设矩阵A 的谱半径1)( 华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A 卷) 2013~2014学年第一学期 课程编号:50920021 课程名称:矩阵论 年 级:2013 开课单位:数理系 命题教师: 考核方式:闭卷 考试时间:120分钟 试卷页数: 2页 特别注意:所有答案必须写在答题册上,答在试题纸上一律无效 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页,代数重数指特征多项式中特征值的重数,几何重数指不变子空间的维数,前者加起来为n ,后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确,线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误,按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页,需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题(每小题3分,共27分) (6)210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. (7)301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页,将矩阵做变换即得 南京航空航天大学2012级硕士研究生 二、(20分)设三阶矩阵,,. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形; A (2) 利用矩阵的知识,判断矩阵和是否相似,并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页 三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解; A (2) 求广义逆矩阵; +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页 武汉理工大学研究生考试试题(2010) 课程 矩阵论 (共6题,答题时不必抄题,标明题目序号) 一,填空题(15分) 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-,则其最小多项式为 2、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--,21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ; 二,(20)设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明:V 是22?R 的线性子空间; 2、求V 的维数与一组基; 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈,定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、(15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈,定义: 习题二 1.化下列矩阵为Smith 标准型: (1)222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; (2)2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; (3)2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解:(1)对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? , 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ; (2)矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??; (3)对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中,可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子: (1) 21 0021002λλλ--????--????-??; (2)100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ; 2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一.判断题(每小题3分,共15分) 1.线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零, 即ker A =0。( ) 2.实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。( ) 3.设A 是n 阶方阵,则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)( 4. 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间,求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 , 。 5.设A 是复数域上的正规矩阵,则A 满足: ,并 写出常用的三类正规矩阵 。 三.计算题(每小题12分,共48分) 1.在3R 中,试用镜像变换(Householder 变换)将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量,写出变换矩阵。 。 习题三 1.证明下列问题: (1)若矩阵序列{}m A 收敛于A ,则{}T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A ; (2)若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛,则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明:(1)设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(,,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim , 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ,ij m ij m a a =∞ →)(lim ,n j i ,,2,1, =, 故{} T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S , 其中m m m A c A c c S +++= 10. 若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛,设其和为S ,即 S A c m m m =∑∞ =0 ,或S S m m =∞ →lim , 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ,故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛,且其和为T S , 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ,且{} 1-m A ,1 -A 都存在,证明: (1)A A m m =∞ →lim ;(2){}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明:设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ,有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =, 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ = ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ , 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ,硕士研究生课程考试试题矩阵论答案
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