全国通用版高考数学二轮复习专题二数列第3讲数列的综合问题学案文

第3讲 数列的综合问题

[考情考向分析] 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．

热点一 利用S n ，a n 的关系式求a n 1．数列{a n }中，a n 与S n 的关系

a n ＝?

??

??

S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.

2．求数列通项的常用方法

(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．

(2)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n .

(3)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1

a n

＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累乘法求数列的通项a n .

(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．

例1 已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＋a 5＝8，数列{b n }中，b 1＝2，其前n 项和S n 满足：

b n ＋1＝S n ＋2(n ∈N *)．

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n

，求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)∵a 2＝2，a 3＋a 5＝8，

∴2＋d ＋2＋3d ＝8，∴d ＝1，∴a n ＝n (n ∈N *

)． ∵b n ＋1＝S n ＋2(n ∈N *

)，① ∴b n ＝S n －1＋2(n ∈N *，n ≥2)．②

由①－②，得b n ＋1－b n ＝S n －S n －1＝b n (n ∈N *

，n ≥2)， ∴b n ＋1＝2b n (n ∈N *

，n ≥2)．

∵b 1＝2，b 2＝2b 1，

∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴b n ＝2n

(n ∈N *

)． (2)由c n ＝a n b n ＝n

2

n ，

得T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，

12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1， 两式相减，得

12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－2＋n 2n ＋1， ∴T n ＝2－

n ＋2

2

n

(n ∈N *

)．

思维升华 给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为

a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再

求a n .

跟踪演练1 (2018·绵阳诊断性考试)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：a 1a n ＝S 1＋S n . (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝log 2a n

32，求数列{b n }的前n 项和T n .

解 (1)由已知a 1a n ＝S 1＋S n ，可得 当n ＝1时，a 2

1＝a 1＋a 1， 解得a 1＝0或a 1＝2， 由{a n }是正项数列，故a 1＝2.

当n ≥2时，由已知可得2a n ＝2＋S n ，2a n －1＝2＋S n －1， 两式相减得，2()a n －a n －1＝a n ，化简得a n ＝2a n －1， ∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， 故a n ＝2n

.

∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n

(n ∈N *

)． (2)∵b n ＝log 2a n

32，代入a n ＝2n

化简得b n ＝n －5，

显然{b n }是等差数列， ∴其前n 项和T n ＝

n ()－4＋n －52

＝

n 2－9n

2

(n ∈N *

)．

热点二 数列与函数、不等式的综合问题

数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．

例2 设f n (x )＝x ＋x 2

＋…＋x n

－1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；

(2)证明：f n (x )在? ????0，23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0

(1)解 由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1

，

所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2

＋n ·2n －1

，①

则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2

n －1

＋n ·2n

，②

由①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22

＋…＋2n －1

－n ·2n

＝1－2n

1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n

－1， 所以f n ′(2)＝(n －1)·2n

＋1. (2)证明 因为f n (0)＝－1<0， f n ? ??

??23＝23??????1－? ????23n 1－23

－1

＝1－2×? ????23n ≥1－2×? ??

??232

>0，

所以f n (x )在? ??

??0，23内至少存在一个零点， 又f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx

n －1

>0，

所以f n (x )在? ??

??0，23内单调递增， 因此f n (x )在? ??

??0，23内有且仅有一个零点a n ， 由于f n (x )＝x －x n ＋1

1－x

－1，

所以f n (a n )＝a n －a n ＋1

n

1－a n

－1＝0，

由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n >1

2

，

故12

， 所以0

??23n .

思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点

(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视． (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件． (3)不等关系证明中进行适当的放缩．

跟踪演练2 (2018·泉州质检)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知1，a n ，S n 成等差数列． (1)求{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝a n ＋1(a n ＋1－1)(a n ＋2－1)(n ∈N *

)，证明：23

≤b 1＋b 2＋…＋b n <1.

(1)解 由已知1，a n ，S n 成等差数列， 得2a n ＝S n ＋1，①

当n ＝1 时，2a 1＝S 1＋1，所以a 1＝1； 当n ≥2时，2a n －1＝S n －1＋1，② ①②两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，所以

a n

a n －1

＝2， 则数列{a n }是以a 1＝1为首项，q ＝2为公比的等比数列， 所以a n ＝a 1q

n －1

＝1×2

n －1

＝2

n －1

(n ∈N *

)．

(2)证明 由(1)得b n ＝

a n ＋1

()a n ＋1－1()

a n ＋2－1

＝2n

()2n ＋1－1()2n

－1＝12n －1－1

2n ＋1－1， 所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝?

????12－1－122－1＋? ????122－1－123－1＋…＋? ??

??12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1

－1，

因为2

n ＋1

－1≥22

－1＝3,0<12n ＋1－1≤13

，

所以23≤1－1

2n ＋1－1<1，

即证得2

3≤b 1＋b 2＋…＋b n <1.

热点三 数列的实际应用

用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，

要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果． 例3 科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A 市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A 市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m 万吨(m >0)．

(1)求A 市2019年的碳排放总量(用含m 的式子表示)； (2)若A 市永远不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围． 解 设2018年的碳排放总量为a 1,2019年的碳排放总量为a 2，…， (1)由已知，a 1＝400×0.9＋m ，

a 2＝0.9×()400×0.9＋m ＋m

＝400×0.92

＋0.9m ＋m ＝324＋1.9m . (2)a 3＝0.9×()400×0.92

＋0.9m ＋m ＋m

＝400×0.93＋0.92

m ＋0.9m ＋m ， …，

a n ＝400×0.9n ＋0.9n －1m ＋0.9n －2m ＋…＋0.9m ＋m

＝400×0.9n

＋m 1－0.9n

1－0.9

＝400×0.9n

＋10m ()1－0.9n

＝()400－10m ×0.9n

＋10m .

由已知?n ∈N *

，a n ≤550，

(1)当400－10m ＝0，即m ＝40时，显然满足题意； (2)当400－10m >0，即m <40时，

由指数函数的性质可得()400－10m ×0.9＋10m ≤550，解得m ≤190. 综合得m <40；

(3)当400－10m <0，即m >40时， 由指数函数的性质可得10m ≤550， 解得m ≤55，综合得40

思维升华 常见数列应用题模型的求解方法

(1)产值模型：原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间n 的总产值y ＝N (1＋p )n

. (2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期的利率为r ，存期为

n ，则本利和y ＝a (1＋r )n .

(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a 元，每期的利率为r ，存期为n ，则本利和y ＝a (1＋nr )．

(4)分期付款模型：a 为贷款总额，r 为年利率，b 为等额还款数，则b ＝r (1＋r )n a

(1＋r )n

－1

. 跟踪演练3 (2018·上海崇明区模拟)2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记 2016 年为第 1 年，f (n )为第 1 年至此后第 n (n ∈N *

)年的累计利润(注：含第 n 年，累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万元)，且当 f (n )为正值时，认为该项目赢利．

? ??

??参考数值：? ????327≈17，? ????328≈25，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7 (1)试求 f (n )的表达式；

(2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．

解 (1)由题意知，第1年至此后第n (n ∈N *

)年的累计投入为8＋2(n －1)＝2n ＋6(千万元)， 第1年至此后第n (n ∈N *

)年的累计净收入为 12＋12×? ????321＋12×? ????322＋…＋12×? ????32n －1 ＝12??????1－? ????32n 1－32

＝? ????32n －1(千万元)．

∴f (n )＝? ????32n

－1－(2n ＋6)

＝? ??

??32n

－2n －7(千万元)． (2)方法一 ∵f (n ＋1)－f (n )＝

??????? ????32n ＋1－2(n ＋1)－7－????

??? ????32n －2n －7 ＝12????

??? ????32n －4， ∴当n ≤3时，f (n ＋1)－f (n )<0，

故当n ≤4时，f (n )递减； 当n ≥4时，f (n ＋1)－f (n )>0， 故当n ≥4时，f (n )递增． 又f (1)＝－15

2

<0，

f (7)＝? ?

???327－21≈17－21＝－4<0，

f (8)＝? ??

??32

8－23≈25－23＝2>0.

∴该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利．

方法二 设f (x )＝? ????32x

－2x －7(x ≥1)，

则f ′(x )＝? ????32x ln 3

2

－2，

令f ′(x )＝0，

得? ??

??32x

＝2ln 32＝2ln 3－ln 2≈21.1－0.7＝5，

∴x ≈4.

从而当x ∈[1,4)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 又f (1)＝－15

2

<0，

f (7)＝? ??

??32

7－21≈17－21＝－4<0，

f (8)＝? ????328－23≈25－23＝2>0. ∴该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利．

真题体验

1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 答案 －63

解析 ∵S n ＝2a n ＋1， 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)．

当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.

∴数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝2的等比数列，

∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1(1－2n )1－2

＝1－2n

，

∴S 6＝1－26

＝－63.

2．(2017·山东)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；

(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .

解 (1)设数列{x n }的公比为q .

由题意得?

????

x 1＋x 1q ＝3，

x 1q 2

－x 1q ＝2.所以3q 2

－5q －2＝0，

由已知得q >0，所以q ＝2，x 1＝1. 因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2

n －1

(n ∈N *

)．

(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n

－2

n －1

＝2

n －1

，

记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，

由题意得b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2

，

所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝3×2－1

＋5×20

＋7×21

＋…＋(2n －1)×2

n －3

＋(2n ＋1)×2

n －2

.①

又2T n ＝3×20

＋5×21

＋7×22

＋…＋(2n －1)×2n －2

＋(2n ＋1)×2n －1

，②

①－②得

－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2

n －1

)－(2n ＋1)×2

n －1

＝32＋2(1－2n －1

)1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝(2n －1)×2n

＋12(n ∈N *)．

押题预测

已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式S n ＝ka n ＋1，k 为不等于0的常数． (1)试判断数列{a n }是否为等比数列； (2)若a 2＝1

2

，a 3＝1.

①求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n 的表达式； ②设b n ＝log 2S n ，数列{c n }满足c n ＝1

b n ＋3b n ＋4

＋b n ＋2·2n b

，数列{c n }的前n 项和为T n ，当n >1时，

求使

4n －1T n

22

成立的最小正整数n 的值． 押题依据 本题综合考查数列知识，第(1)问考查反证法的数学方法及逻辑推理能力，第(2)问是高考的热点问题，即数列与不等式的完美结合，其中将求数列前n 项和的常用方法“裂项相消法”与“错位相减法”结合在一起，考查了综合分析问题、解决问题的能力． 解 (1)若数列{a n }是等比数列，则由n ＝1得a 1＝S 1＝ka 2，从而a 2＝ka 3. 又取n ＝2，得a 1＋a 2＝S 2＝ka 3，

于是a 1＝0，显然矛盾，故数列{a n }不是等比数列． (2)①由条件得?????

a 1＝1

2

k ，a 1

＋1

2＝k ，

解得?????

a 1＝12，

k ＝1，

从而S n ＝a n ＋1.

当n ≥2时，由S n －1＝a n ，得a n ＝S n －S n －1＝a n ＋1－a n ，

即a n ＋1＝2a n ，此时数列是首项为a 2＝1

2，公比为2的等比数列．

综上所述，数列{a n }的通项公式为a n ＝?????

12

，n ＝1，

2n －3，n ≥2.

从而其前n 项和S n ＝2n －2

(n ∈N *

)．

②由①得b n ＝n －2，

从而c n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋n ·2n －2

.

记C 1＝

12×3＋13×4＋…＋1(n ＋1)(n ＋2)

＝? ????12－13＋? ????13－14＋…＋? ??

??1n ＋1－1n ＋2

＝

n

2(n ＋2)

，

记C 2＝1·2－1

＋2·20

＋…＋n ·2n －2

，

则2C 2＝1·20

＋2·21

＋…＋n ·2n －1

，

两式相减得C 2＝(n －1)·2

n －1

＋12

， 从而T n ＝n

2(n ＋2)＋(n －1)·2

n －1

＋12

＝

n ＋1n ＋2

＋(n －1)·2n －1

， 则不等式

4n －1T n

＋n ＋122

， 即n 2

＋n －90>0，因为n ∈N *

且n ≠1，故n >9， 从而最小正整数n 的值是10.

A 组 专题通关

1．(2018·安徽省“皖南八校”联考)删去正整数数列1,2,3，… 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2 018项是( ) A ．2 062 B ．2 063 C ．2 064 D ．2 065

答案 B

解析 由题意可得，这些数可以写为12

,2,3,22

,5,6,7,8,32

，…，第k 个平方数与第k ＋1个平方数之间有2k 个正整数，而数列12

,2,3,22

,5,6,7,8,32

，…，452

共有2 025项，去掉45个平方数后，还剩余2 025－45＝1 980(个)数，所以去掉平方数后第2 018项应在2 025后的第38个数，即是原来数列的第2 063项，即为2 063.

2．(2018·百校联盟联考)已知数列{a n }中，a 1＝7，a n ＋1－2a n ＋2＝a n ＋1，则a 30等于( ) A ．1 028 B ．1 026 C ．1 024 D ．1 022

答案 D

解析 因为a n ＋1－2a n ＋2＝a n ＋1， 所以a n ＋1＝a n ＋1＋2a n ＋2， 即a n ＋1＋2＝a n ＋2＋2a n ＋2＋1， 所以()a n ＋1＋22

＝()a n ＋2＋12

，

即a n ＋1＋2－a n ＋2＝1，

故{}a n ＋2是以3为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＋2＝3＋(n －1)×1＝n ＋2， 所以a n ＝n 2

＋4n ＋2，所以a 30＝1 022.

3．(2018·商丘模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ≥2(n ∈N *

)，S n 为数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．a n ≥2n ＋1 B ．S n ≥n 2

C ．a n ≥2

n －1

D ．S n ≥2

n －1

答案 B

解析 由题意得a 2－a 1≥2，a 3－a 2≥2，a 4－a 3≥2，…，

a n －a n －1≥2，

∴a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋…＋a n －a n －1≥2(n －1)， ∴a n －a 1≥2(n －1)，∴a n ≥2n －1. ∴a 1≥1，a 2≥3，a 3≥5，…，a n ≥2n －1， ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ≥1＋3＋5＋…＋2n －1， ∴S n ≥n

2

(1＋2n －1)＝n 2

.

4．(2018·河南省豫南豫北联考)数列{a n }满足a 1＝65，a n ＝a n ＋1－1a n －1

(n ∈N *)，若对n ∈N *

，都有

k >1a 1＋1a 2＋…＋1

a n

成立，则最小的整数k 是( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 答案 C 解析 由a n ＝a n ＋1－1

a n －1

，得a n ()a n －1＝a n ＋1－1， ∴

1a n ＋1－1＝1a n ()a n －1＝1a n －1－1

a n

，

即1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，且a n >1. ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝? ??

??1a 1－1－1a 2－1＋

? ????1a 2－1－1a 3－1＋…＋? ??

??1a n －1－1a n ＋1－1 ＝

1a 1－1－1

a n ＋1－1

， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1

a n

＝5－

1

a n ＋1－1

<5.

又对n ∈N *

，都有k >1a 1＋1a 2＋…＋1a n

成立，

∴k ≥5.故最小的整数k 是5.

5．(2018·马鞍山联考)已知f (n )表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数

有1,2,3,4,6,12，则f (12)＝3；21的因数有1,3,7,21，则f (21)＝21，那么∑i ＝51

100

f (i )的值为

( )

A ．2 488

B ．2 495

C ．2 498

D ．2 500 答案 D

解析 由f (n )的定义知f (n )＝f (2n )，且若n 为奇数则f (n )＝n ， 则

∑i ＝1

100f (i )＝f (1)＋f (2)＋…＋f (100)

＝1＋3＋5＋…＋99＋f (2)＋f (4)＋…＋f (100) ＝

50×()

1＋992

＋f (1)＋f (2)＋…＋f (50)

＝2 500＋∑i ＝1

50

f (i )，

∴

∑i ＝51

100f (i )＝∑i ＝1

100

f (i )－∑i ＝1

50

f (i )＝2 500.

6．对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n

n

为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优

值”H n ＝2

n ＋1

，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n 恒成立，则实数k 的取

值范围为________．

答案 ????

??73，125

解析 由题意可知a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n

＝2n ＋1

，

∴a 1＋2a 2＋…＋2

n －1

a n ＝n ·2n ＋1，①

a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)·2n ，②

由①－②，得2

n －1

a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n (n ≥2，n ∈N *)，

则a n ＝2n ＋2(n ≥2)，

又当n ＝1时，a 1＝4，符合上式，

∴a n ＝2n ＋2(n ∈N *

)，∴a n －kn ＝(2－k )·n ＋2， 令b n ＝(2－k )·n ＋2，

∵S n ≤S 5，∴b 5≥0，b 6≤0，解得73≤k ≤12

5

，

∴k 的取值范围是????

??73，125.

7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝43(a n －1)，则(4n －2

＋1)? ????16a n ＋1的最小值为__________．

答案 4

解析 ∵S n ＝43(a n －1)，∴S n －1＝4

3(a n －1－1)(n ≥2)，

∴a n ＝S n －S n －1＝4

3(a n －a n －1)，

∴a n ＝4a n －1，又a 1＝S 1＝4

3

(a 1－1)，

∴a 1＝4，∴{a n }是首项为4，公比为4的等比数列， ∴a n ＝4n

，

∴(4n －2

＋1)? ????16a n ＋1＝? ????4n

16＋1? ??

??164n ＋1 ＝2＋4n

16＋16

4n ≥2＋2＝4，

当且仅当n ＝2时取“＝”．

8．已知数列{a n }的首项a 1＝a ，其前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n －1＝4n 2

(n ≥2，n ∈N *

)，若对任意n ∈N *

，a n

解析 由条件S n ＋S n －1＝4n 2

(n ≥2，n ∈N *

)， 得S n ＋1＋S n ＝4(n ＋1)2

， 两式相减，得a n ＋1＋a n ＝8n ＋4， 故a n ＋2＋a n ＋1＝8n ＋12，

两式再相减，得a n ＋2－a n ＝8，

由n ＝2，得a 1＋a 2＋a 1＝16?a 2＝16－2a ， 从而a 2n ＝16－2a ＋8(n －1)＝8n ＋8－2a ； 由n ＝3，得a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＝36?a 3＝4＋2a ， 从而a 2n ＋1＝4＋2a ＋8(n －1)＝8n －4＋2a ，

由条件得????

?

a <16－2a ，8n ＋8－2a <8n －4＋2a ，

8n －4＋2a <8(n ＋1)＋8－2a ，

解得3

9．已知数列{a n }中，a 1＝1，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *

)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若函数f (n )＝

1n ＋a 1＋2n ＋a 2＋3n ＋a 3＋…＋n n ＋a n

(n ∈N *

，且n >2)，求函数f (n )的最小值； (3)设b n ＝1

a n

，S n 表示数列{b n }的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式g (n )，使得S 1＋S 2

＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出g (n )的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由． 解 (1)点P (a n ，a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上， 即a n ＋1－a n ＝1，且a 1＝1，

∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n (n ∈N *

)． (2)∵f (n )＝1n ＋1＋2n ＋2＋…＋n 2n

， ∴f (n ＋1)＝

1n ＋2＋2n ＋3＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1＋n ＋1

2n ＋2

， ∴f (n ＋1)－f (n )＝－?

????1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n ＋

n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2>12＋n 2n ＋1－n

n ＋1

＝12＋n (n ＋1)－n (2n ＋1)(2n ＋1)(n ＋1)＝12－n 2

2n 2＋3n ＋1 ＝12－12＋3n ＋1n

2

>0， ∴f (n ＋1)－f (n )>0，∴f (n )是单调递增的，

故f (n )的最小值是f (3)＝23

20.

(3)∵b n ＝1n ?S n ＝1＋12＋13＋…＋1

n ，

∴S n －S n －1＝1

n

(n ≥2)，

即nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1，

∴(n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1，…， 2S 2－S 1＝S 1＋1，

∴nS n －S 1＝S 1＋S 2＋…＋S n －1＋n －1，

∴S 1＋S 2＋…＋S n －1＝nS n －n ＝(S n －1)·n (n ≥2)， ∴g (n )＝n .

10．(2016·四川)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中

q >0，n ∈N *.

(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式；

(2)设双曲线x 2

－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3

n

3

n －1.

(1)解 由已知S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.又由S 2＝

qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．

所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝q

n －1

.

由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，可得

2a 3＝3a 2＋2，即2q 2

＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 由已知，q >0，故q ＝2.所以a n ＝2n －1

(n ∈N *

)．

(2)证明 由(1)可知，a n ＝q

n －1

.

所以双曲线x 2

－y 2

a 2n

＝1的离心率

e n ＝1＋a 2n ＝1＋q

2(n －1)

. 由e 2＝1＋q 2

＝53，解得q ＝43.

因为1＋q

2(k －1)

>q

2(k －1)

，

所以1＋q 2(

k －1)

>q

k －1

(k ∈N *

)．

于是e 1＋e 2＋…＋e n >1＋q ＋…＋q n －1

＝q n －1

q －1

.

故e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3

n

3

n －1.

B 组 能力提高

11．若数列{a n }满足a n ＋12n ＋5－a n

2n ＋3＝1，且a 1＝5，则数列{a n }的前100项中，能被5整除的

项数为( )

A ．42

B ．40

C ．30

D ．20 答案 B

解析 ∵数列{a n }满足a n ＋12n ＋5－a n

2n ＋3＝1，

即

a n ＋1

2(n ＋1)＋3－a n 2n ＋3＝1，且a 1

2×1＋3

＝1，

∴数列???

?

??

a n 2n ＋3是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴

a n 2n ＋3

＝n ，∴a n ＝2n 2

＋3n ，由题意可知，

∴每10项中有4项能被5整除，∴数列{a n }的前100项中，能被5整除的项数为40. 12．(2018·江西省重点中学协作体联考)设x ＝1是函数f (x )＝a n ＋1x 3

－a n x 2

－a n ＋2x ＋1(n ∈N *

)的极值点，数列{a n }满足 a 1＝1，a 2＝2，b n ＝log 2a n ＋1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则

????

??2 018b 1b 2

＋2 018b 2b 3＋…＋ 2 018b 2 018b 2 019等于( ) A ．2 017 B ．2 018 C ．2 019 D ．2 020 答案 A

解析 由题意可得f ′(x )＝3a n ＋1x 2

－2a n x －a n ＋2， ∵x ＝1是函数f (x )的极值点， ∴f ′(1)＝3a n ＋1－2a n －a n ＋2＝0， 即a n ＋2－3a n ＋1＋2a n ＝0. ∴a n ＋2－a n ＋1＝2()a n ＋1－a n ，

∵a 2－a 1＝1，∴a 3－a 2＝2×1＝2，a 4－a 3＝2×2＝22

，…，a n －a n －1＝2n －2

，

以上各式累加可得a n ＝2

n －1

.

∴b n ＝log 2a n ＋1＝log 22n

＝n . ∴

2 018b 1b 2＋2 018b 2b 3＋…＋ 2 018b 2 018b 2 019

＝2 018?

??

??11×2＋12×3＋…＋12 018×2 019 ＝2 018?

?

???1－12 019＝2 018－2 0182 019＝2 017＋1

2 019

. ∴??

??

??2 018b 1b 2＋2 018b 2b 3＋…＋ 2 018b 2 018b 2 019＝2 017. 13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n －n ＝2(a n －2)(n ∈N *

)． (1)证明：数列{a n －1}为等比数列；

(2)若b n ＝a n ·log 2(a n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . (1)证明 ∵S n －n ＝2(a n －2)，

当n ≥2时，S n －1－(n －1)＝2(a n －1－2)， 两式相减，得a n －1＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1－1，∴a n －1＝2(a n －1－1)， ∴

a n －1

a n －1－1

＝2(n ≥2)(常数)．

又当n ＝1时，a 1－1＝2(a 1－2)， 得a 1＝3，a 1－1＝2，

∴数列{a n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)解 由(1)知，a n －1＝2×2n －1

＝2n

，

∴a n ＝2n

＋1，

又b n ＝a n ·log 2(a n －1)， ∴b n ＝n (2n

＋1)， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n

＝(1×2＋2×22

＋3×23

＋…＋n ×2n

)＋(1＋2＋3＋…＋n )， 设A n ＝1×2＋2×22

＋3×23

＋…＋(n －1)×2

n －1

＋n ×2n

， 则2A n ＝1×22

＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1

，

两式相减，得

－A n ＝2＋22

＋23

＋…＋2n －n ×2n ＋1

＝2(1－2n

)1－2－n ×2n ＋1，

∴A n ＝(n －1)×2

n ＋1

＋2.

又1＋2＋3＋…＋n ＝

n (n ＋1)

2

，

∴T n ＝(n －1)×2

n ＋1

＋2＋

n (n ＋1)

2

(n ∈N *

)．

14．已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1

a m

≥1？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说

明理由．

解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，

则由已知可得?????

a 31q 3

＝125，

|a 1q －a 1q 2

|＝10，

解得?????

a 1＝53，q ＝3

或?

??

??

a 1＝－5，

q ＝－1.

故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1，n ∈N *

.

(2)设S m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1

a m

，

若a n ＝53·3n －1

，则1a n ＝35? ??

??13n －1，

则数列????

??1a n 是首项为35，公比为1

3的等比数列．

从而S m ＝35??????1－? ????13m 1－13＝910·??????1－? ????13m <9

10<1.

若a n ＝－5·(－1)

n －1

，则1a n ＝－15

(－1)n －1

，

故数列????

??1a n 是首项为－1

5，公比为－1的等比数列，

从而S m ＝?????

－15

，m ＝2k －1(k ∈N *)，

0，m ＝2k (k ∈N *)，

故S m <1.

综上，对任何正整数m ，总有S m <1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1

a m

≥1成立．

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模） 已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。

~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． {

、 ~

、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，

（1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．

高考数学等差数列习题及答案 百度文库

一、等差数列选择题 1．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为（ ） A ． 89 B ． 910 C ．10 11 D ． 1112 2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则1223 910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 9 19 9．题目文件丢失！ 10．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

2022年高考数学总复习：等差数列及其前n项和

第 1 页 共 13 页 2022年高考数学总复习：等差数列及其前n 项和 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2 d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 知识拓展 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)?{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)?{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)?{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)?{a n }是等差数列．

【高考数学专题突破】《专题三第讲数列求和及综合应用学案》(解析版)

第2讲 数列求和及综合应用 数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列：S n ＝na 1＋ n （n －1）2 d (d 为公差)或S n ＝n （a 1＋a n ） 2 . (2)等比数列：S n ＝???? ?na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1其中(q 为公比)． 4类特殊数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝1 2n (n ＋1)． (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2 . (3)12＋22＋32＋…＋n 2 ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (4)13＋23＋33＋…＋n 3＝14 n 2(n ＋1)2 . 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n 2a n ＋3 ，n ∈N * .

(1)求证：数列???? ?? 1a n 为等差数列； (2)设T 2n ＝ 1 a 1a 2－ 1 a 2a 3＋ 1 a 3a 4－ 1 a 4a 5 ＋…＋ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ，求T 2n . 【解】 (1)证明：由a n ＋1＝3a n 2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋2 3 ， 所以 1 a n ＋1－1a n ＝23. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列???? ??1a n 是首项为1，公差为2 3的等差数列． (2)设b n ＝ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ＝? ??? ?1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ， 由(1)得，数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列， 所以 1 a 2n －1 － 1 a 2n ＋1＝－43，即 b n ＝? ????1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ＝－43×1a 2n ， 所以b n ＋1－b n ＝－43? ????1a 2n ＋2－1a 2n ＝－43×43＝－16 9. 又b 1＝－43×1a 2＝－43×? ????1a 1＋23＝－20 9 ， 所以数列{b n }是首项为－209，公差为－16 9的等差数列， 所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－ 209n ＋n （n －1）2×? ?? ??－169＝－49(2n 2 ＋3n )． 求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解，需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝ n （a 1＋a n ） 2 或S n ＝na 1＋ n （n －1） 2d ；等比数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝?????na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1；第三关，运算关，认真运算，此类题将迎刃而解． 命题角度二 分组转化法求和 将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)，然后分别求和．也可先根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和． 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N * ，且不等式ax 2 －3x ＋2<0的解集为(1，

高考数学大题题型解答技巧

高考数学大题题型解答技巧 六月，有一份期待，年轻绘就畅想的星海，思想的热血随考卷涌动，灵魂的脉搏应分 数澎湃，扶犁黑土地上耕耘，总希冀有一眼金黄黄的未来。下面就是小编给大家带来 的高考数学大题题型解答技巧，希望大家喜欢! 高考数学大题必考题型(一) 排列组合篇 1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单 的应用问题。 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。 5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率。 7.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事 件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. 立体几何篇 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的 课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从 历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是 常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺 少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握

高考数学等差数列专题复习(专题训练) 百度文库

一、等差数列选择题 1．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ． 1 2 尺布 B ． 5 18 尺布 C ． 16 31 尺布 D ． 16 29 尺布 2．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则 1223910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 919 3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列 5．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 6．已知数列{}n a 的前n 项和2 21n S n n =+-，则13525a a a a +++ +=（ ） A ．350 B ．351 C ．674 D ．675 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921 a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．19或20 8．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---?+，*n N ∈，则 存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ） A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 C ．· n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．· n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，

最新高考数学数列题型专题汇总

1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中，使得()*∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

2. 4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 22 23 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 24 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121

高考数学等差数列习题及答案 百度文库

一、等差数列选择题 1．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60 B ．11 C ．50 D ．55 2．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 4．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45 B ．50 C ．60 D ．80 6．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231 n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A ． 13 15 B ． 2335 C ． 1117 D ． 49 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921 a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．19或20 8．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．64 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11 2 a = ，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ?? ???? 的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．21 4 a =- B ． 648 211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为 712 D ．1121 n n n n n T T T n n +-= ++ 11．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之

浙江专版2018年高考数学第1部分重点强化专题专题2数列突破点5数列求和及其综合应用教学案

突破点5 数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页) [核心知识提炼] 提炼1 a n 和S n 的关系 若a n 为数列{a n }的通项，S n 为其前n 项和，则有a n ＝??? ? ? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 在使用这个关系 式时，一定要注意区分n ＝1，n ≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法：①形如a n ＋1＝a n ＋c (c 为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如 a n ＋1＝ka n (k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列． (2)叠加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式． (3)叠乘法：形如 a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1 ，求其通项公式． (4)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q 1－p ，再转化为等比数列求解． (5)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q n ＋1 ，得 a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{ b n }? ? ???其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解． (6)取对数法：形如a n ＋1＝pa m n (p >0，a n >0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和 数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种： (1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小． (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题．

高考理科数学试题汇编(含答案)数列大题

（重庆）22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分） 在数列{}n a 中，()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ （1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明：01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=?；（2）证明见解析. 试题分析：(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈

若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得 10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-，，数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =，归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +，所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上：01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.

高考数学二轮考点专题突破检测 数列专题

专题达标检测 一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于 ( ) A ．30 B ．40 C ．60 D ．80 解析：由等差数列性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，故a 2＋2a 6＋a 10＝4a 6 ＝120，故a 6＝30，a 3＋a 9＝2a 6＝2×30＝60. 答案：C 2．(2009·宁夏、海南理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若 a 1＝1，则S 4等于 ( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 解析：设等比数列的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列．得4a 2＝4a 1＋a 3.∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0 ∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝15. 答案：C 3．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－1 2，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ， 则Πn 中最大的是 ( ) A ．Π11 B ．Π10 C ．Π9 D ．Π8 解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1· q 1＋2＋… ＋n －1＝29n ????－12(n －1)n 2＝(－1)n (n －1)22－n 2 ＋19n 2 ，∴ 当 n ＝9时，Πn 最大．故选C 答案：C 4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列?? ?? ?? 1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析：∵f ′(x )＝m x m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)，

高考数学数列大题专题

高考数学数列大题专题 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ （1）求数列n a 的通项公式； （2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。 4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且． （Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{n n a 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S

5.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a . （1）求2a ，3a ，4a ； （2）求证：数列11n a ??? ?-?? 是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。 622,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证： ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列； ⑵n a n n 221-=+； ⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 7. .已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前； （2）若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n .

高三数学二轮复习：数列专题及其答案

2018届高三第二轮复习——数列 第1讲等差、等比考点 【高 考 感 悟】 从近三年高考看，高考命题热点考向可能为： 1．必记公式 (1)等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d 2. (3)等比数列通项公式：a n a 1q n － 1. (4)等比数列前n 项和公式： S n ＝?????na 1 （q ＝1）a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）. (5)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (6)等比中项公式：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)． (7)数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝?????S 1（n ＝1） S n －S n －1 （n ≥2）. 2．重要性质 (1)通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m q n － m . (2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列． ②等比数列中，若a 1＞0且q ＞1或a 1＜0且0＜q ＜1，则数列为递增数列；若a 1＞0且0＜q ＜1或a 1 ＜0且q ＞1，则数列为递减数列． 3．易错提醒 (1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab .

【 真 题 体 验 】 1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.19 2 C ．10 D ．12 2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝1 4 ，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2 B ．1 C.12 D.1 8 3．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________． 4．(2016·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111 ==3 n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和. 【考 点 突 破 】 考点一、等差（比）的基本运算 1．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________． 2．(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝9 2 . (1)求{a n }的通项公式； (2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .

数列大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练

专题08 数列大题部分 【训练目标】 1、 理解并会运用数列的函数特性； 2、 掌握等差数列，等比数列的通项公式，求和公式及性质； 3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法； 4、 掌握常用的求和方法； 5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。 【温馨小提示】 高考中一般有一道小题，一道大题，小题侧重于考等差数列与等比数列的性质，熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式，求和的方法。总之，此类题目难度中等，属于必拿分题。 【名校试题荟萃】 1、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设数列{}n a 的前n 项和， 且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1 { }n a 的前n 项和n T ，求使得成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n n a = （2）10 （2）由（1）可得 112n n a ?? = ??? ，所以，

由 ，即21000n >，因为 ，所以10n ≥，于是使得 成立的n 的最小值为10. 2、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈） 。 （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1 2ln 2-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（1） （2） （2）由 函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为 所以切线在x 轴上的截距为21 ln 2 a -，从而，故22a = 从而n a n =，2n n b =， 2n n n a n b =