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三角函数讲义

三角函数

1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：

（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

（答：25- ；5

π-）

（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z .

（3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .

（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表

示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π

α=∈.如α

的终边与6

的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。

（答：Z k k ∈+

2π

π）

4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第

二象限角，则2

是第_____象限角

（答：一、三）

5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22

S lR R α==，1弧度

(1rad)57.3≈ . 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：22cm ）

6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么

s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r

α=()0x ≠，

()csc 0r

y y

α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

如

（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。

（答：7

-）；

（2）设α是第三、四象限角，m

m --=43

2sin α，则m 的取值范围是_______

（答：（－1，)2

）；

（3）若0|

cos |cos sin |sin |=+αα

αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα?的符号

（答：负）

7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若08

θ-<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为

_____

(答：tan sin cos θθθ<<)；

（2）若α为锐角，则,s i n ,t an ααα的大小关系为_______

（答：sin tan ααα<<）；

（3）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______

（答：2(2,2]()33

k k k Z ππ

ππ-+∈）

8.特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75°

sin α

21 22 2

3 0 1 0 －1 62

4- 62

4+ cos α 23 2

2 21 1 0 －1 0 62

+ 62

- tan α 33 1 3

0 0 2-3 2+3 cot α

2+3

2-3

9. 同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,

（3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此

A x

O M P

角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如

（1）函数sin tan cos cot y αα

αα

+=+的值的符号为____

（答：大于0）；

（2）若π220≤≤x ，则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是____ （答：[0,]4π ],4

[ππ）；

（3）已知53sin +-=m m θ，)2

(524cos πθπ

θ<<+-=m m ，则θtan ＝____

（答：12

-）；

（4）已知11tan tan -=-αα，

则α

αα

αc o s s i n c o s 3s i n +-＝___；2cos sin sin 2++ααα＝____ （答：35-；5

）；

（5）已知a = 200sin ，则

160tan 等于

A 、21a a

-- B 、21a

- C 、a a 21-- D 、a a 2

（答：B ）；

（6）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin f 的值为______

（答：－1）。

10.三角函数诱导公式（2

πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取

奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；(2)转化为锐角三角函数。如

（1）97cos tan()sin 2146

ππ

π+-+的值为________

（答：2323

-）；（2）已知5

)540sin(-=+α ，则=-)270c o s ( α______，若α为第二象限角，则

=+-+-)

180tan()]360cos()180[sin(2

ααα ________。（答：5

-；1003-）

11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ

αβαβαβααα=±=±???→=

()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2

1cos2sin 2

2tan tan 21tan 令＝

＝

αβ

αβαβαβααα

αααβα

αβααβα

αα

=±=???→=-↓=-=-±±=

?-↓=

- 如（1）下列各式中，值为1

的是

A 、1515sin cos

B 、2

cos sin π

C 、22251225tan .tan .-

D 、1302cos +

（答：C ）；

（2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件

C 、必要不充分条件

D 、既不充分也不必要条件

（答：C ）；

（3）已知3

sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____

（答：7

）；

（4）13

1080sin sin -

的值是______ （答：4）； (5)已知0tan110a =，求0tan50的值（用a 表示）甲求得的结果是3

13a a

-+，

乙求得的结果是2

12a a

-，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______

（答：甲、乙都对）

12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，

2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22

αβ

αβ++=?，(

)(

)

αββ

ααβ+=---等）

，如

（1）已知2tan()5αβ+=

，1tan()44πβ-=，那么tan()4

α+的值是_____ （答：3

）；

（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，2

sin()αβ-=，求

cos()αβ+的值

（答：490

729

）；

（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3

cos()5

αβ+=-，则y 与x 的

函数关系为______

（答：2343

1(1)555

y x x x =--+<<）

(2)三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值sin 50(13tan10)+

（答：1）；

（2）已知sin cos 2

1,tan()1cos 23

αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值

（答：1

）

(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± 。如

（1）已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____

（答：2

2-）；

(2)设ABC ?中，33tan A tan B tan Atan B ++=，3

sin Acos A =，则此

三角形是____三角形

（答：等边）

(4)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2

α-=

与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。如

(1)若3

(,)αππ∈，化简

111122222cos α++为_____ （答：sin

）；

（2）函数2553f (x )sin x cos x cos x =-5

(x R )+∈的单调递增区间为____

（答：512

[k ,k ](k Z )π

ππ-

∈）

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如

（1）tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αα

αα

+++

（答：sin α）；

（2）求证：

1tan 1sin 212sin 1tan 2

ααα

++=--；

（3）化简：

4221

2cos 2cos 22tan()sin ()

x x x x ππ-+

-+ （答：1

cos 22

x ）

(6)常值变换主要指“1”的变换

（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=?

tan sin 42ππ=== 等）

，如已知tan 2α=，求22sin sin cos 3cos αααα+-（答：3

5）. (7)正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”，如

（1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __

（答：21

t -±)，特别提醒：这里[2,2]t ∈-；

（2）若1(0,),sin cos 2

απαα∈+=，求tan α的值。

（答：47

+-）；

（3）已知

2sin 22sin 1tan k ααα+=+()42

ππ

α<<，试用k 表示sin cos αα-的值（答：1k -）。

13、辅助角公式中辅助角的确定：()22sin cos sin a x b x a b x θ+=++(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b

θ=

确定)在求最值、化简时起着重要作用。如

（1）若方程sin 3cos x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________.

（答：[－2,2]）；

（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______

(答：3

-)；

（3）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?=

(答：－2)；

（4）求值：

=?+?

-?20sin 6420cos 120sin 32

2________

(答：32)

14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图

象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222

ππ

ππ的五点，再用光滑

的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

15、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：（1）定义域：都是R 。

（2）值域：都是[]1,1-，对sin y x =，当()22

x k k Z π

π=+∈时，y 取最大值

1；当()322

x k k Z π

π=+

∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k

Z π=∈时，

y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。如

（1）若函数sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21

-，则=a __，=

b ＿

（答：1

,12

a b ==或1b =-）；

（2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2

,2[π

π-∈x ）的值域是____

（答：[－1, 2]）；

（3）若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是____ 、_____

（答：7；－5）；

（4）函数2

()2cos sin()3sin 3

f x x x x π

=+-sin cos x x +的最小值是_____，

此时x ＝__________

（答：2；()12

k k Z π

π+

∈）

；（5）己知2

cos sin =

βα，求αβcos sin =t 的变化范围（答：1

[0,]2

）；

（6）若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα22sin sin +=y 的最大、最小值

（答：1max =y ，222m in -=y ）

。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？

（3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；

②()sin()f x A x ω?=+和()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||

T π

ω=。如

(1)若3

sin )(x

x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++ ＝___

（答：0）；

(2) 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为____

（答：π）；

(3) 设函数)5

2sin(2)(π

π+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成

立，则||21x x -的最小值为____

（答：2）

（4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是

()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2

x k k Z π

π=+∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶

函数，对称中心是(),02k k Z ππ?

?+∈ ??

?，对称轴是直线()x k k Z π=∈（正(余)弦型

函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。如

（1）函数522y sin x π??

=- ???

的奇偶性是______、

（答：偶函数）；

（2）已知函数31f (x )a x b s i n x (a ,b =++为常数），且57f ()=，则

5f ()-=______

（答：－5）；

（3）函数)c o s (s in c o s 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______

（答：128k (,)(k Z )ππ-∈、28

k x (k Z )ππ

=+∈）

；（4）已知3f (x )sin(x )cos(x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。

（答：6

k (k Z )π

θπ=+

∈）

（5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ?

?=-+∈???

?在上单调递增，在

()32,222k k k Z ππππ??++∈???

?单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ 16、形如sin()y A x ω?=+的函数：

（1）几个物理量：A ―振幅；1

f T

=―频率（周期的倒数）；x ω?+―相位；

?―初相；

（2）函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；?由图象上的特殊点确定，如()s i n ()(0,f x A x A ω?ω=+>>，||)2π?<的图象如图所示，则()f x ＝_____（答：15()2sin()23

f x x π=+）；

（3）函数sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X x ω?=+，

23题图

2π9

X -22

令X ＝0，3,,,222

ππ

ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；

②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

（4）函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象；②函数()sin y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为

原来的

，得到函数()sin y x ω?=+的图象；③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图象；④函数

sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <）

，得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意，若由()s i n y x ω=得到()s i n y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移|

个单位，如（1）函数2sin(2)14

y x π

=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图

象？

（答：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4

y x π

=-的图象，再

向左平移8

个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的

图象，最后将纵坐标缩小到原来的1

2即得sin y x =的图象）；

(2) 要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2

y =的图象向___平

移____个单位

（答：左；2

）；

（3）将函数72sin(2)13

y x π

=-+图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于

原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a

；若不唯一，求出模最小的向

量

（答：存在但不唯一，模最小的向量(,1)6

a π=--

）；

（4）若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是

（答：[1,2)）

（5）研究函数sin()y A x ω?=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将sin()y A x ω?=+中的x ω?+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ω?=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。如

（1）函数23

y sin(x )π

=-+

的递减区间是______

（答：51212

[k ,k ](k Z )π

πππ-

+∈）

；（2）12

34x y log cos()π

=+的递减区间是_______

（答：336644

[k ,k ](k Z )π

πππ-+∈）

；（3）设函数)2

,0,0)(sin()(π?πω?ω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线3

2π

=x 对称，它的周期是π，则

A 、)21

,0()(的图象过点x f

B 、()f x 在区间52[,]123

ππ

上是减函数

C 、)0,12

5()(π是的图象的一个对称中心x f

D 、()f x 的最大值是A

（答：C ）；

（4）对于函数()2sin 23f x x π?

?=+ ??

?给出下列结论：

①图象关于原点成中心对称； ②图象关于直线12

x π

成轴对称；

③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3

个单位得到；④图像向左平移

个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。其中正确结论是_______

（答：②④）；

（5）已知函数()2sin()f x x ω?=+图象与直线1y =的交点中，距离最

近两点间的距离为3

，那么此函数的周期是_______

（答：π）

17、正切函数tan y x =的图象和性质：

（1）定义域：{|,}2

x x k k Z π

π≠+∈。遇到有关正切函数问题时，你注意到

正切函数的定义域了吗？

（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值；

（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =

cos x +的周期为

2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626

y x y x ππ

=-+=-+，|tan |y x =的周期不变；

（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π??

???

()k Z ∈，特别提醒：

正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

（5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ??

-++∈ ???

内都是增函数。

但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图：

18. 三角形中的有关公式：

(1)内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角

和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C

===(R 为三角形外接圆的半径).注意：

①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；

()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R

= 2c

；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理：222

2222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc

+-=+-=等，常选用余弦定

理鉴定三角形的形状.

(4)面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆

半径）.如ABC ?中，若C B A B A 222

22sin sin cos cos sin =-，判断ABC ?的形状（答：直角三角形）。

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊

三角函数图象几何性质x O y x =x 1x =x 2x 4邻中心|x 3-x 4|= T /2邻渐近线|x 1-x 2|=T 无穷对称中心:由y =0或y 无意义确定y =A tan(ωx +φ)x 3无对称轴

任意一条y 轴的垂线与正切

函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！

tan()y A x ω?=+三角函数图象几何性质x O

y x =x 1

x =x 2x 4邻中心|x 3-x 4

|=T /2邻轴|x 1-x 2|=T /2无穷对称中心:由y =0确定无穷对称轴:由y =A 或-A 确定y =A sin(ωx +φ)x 3

T 邻中心轴相距sin()y A x ω?=+

性：,sin()sin ,sin

cos 22

A B C

A B C A B C π++=-+==；

（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如

（1）ABC ?中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=60 6 4,a ,b == ，那么满足条件的ABC ? A 、有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定

（答：C ）；

（2）在ABC ?中，A ＞B 是sin A sin B >成立的_____条件

（答：充要）；

（3）在ABC ?中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝_____

（答：1

-）；

(4)在ABC ?中，a ,b ,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(s i n A +++3s i n C )a s i n B -=，则C ∠＝____

（答：60 ）；

（5）在ABC ?中，若其面积222

a b c S +-=，则C ∠=____

（答：30 ）；

（6）在ABC ?中，60 1A ,b == ，这个三角形的面积为3，则ABC ?外接圆的直径是_______

（答：239

）；

（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，

13,cos ,cos 32

B C

a A +==则= ，22

c +的最大值为（答：19

;）；

（8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是

（答：06

C π

<≤

）；

（9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠= ，且,,AOB BOC COA

???的面积满足关系式3AOB BOC COA S S S ???+=，求A ∠（

答：45 ）．

19.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsin a 表

示一个角，这个角的正弦值为a ,且这个角在,22ππ??

-????

内(11)a -≤≤。(2)反正弦

arcsin x 、反余弦arccos x 、反正切arctan x 的取值范围分别是)2

,2(],,0[],2

,2[πππππ--.

在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？(0,],[0,],[0,]22πππ，[)π,0， [0,),[0,),[0,]2

ππ．

20、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要

注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如

（1）若,(0,)αβπ∈，且t a n α、tan β是方程2560x x -+=的两根，则求αβ+的值______

（答：34

）；

（2）ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______

（答：3

）；

（3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值

（答：23

）.

第一章三角函数（初等函数二）

???

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}

36036090,k k k αα?<

36090360180,k k k α?+

360180360270,k k k αα?+<

360270360360,k k k αα?+<

180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}

18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}

90,k k αα=?∈Z

例1．已知,9090,90900000<<-<<-βα求2

α-

的范围。

解：000

0009090,4545,9090,2

βα-<-<-<-

<-<<

()22β

βαα-

=+- ，001351352β

α-<-< 例2．若集合|,3A x k x k k Z π

πππ??

≤≤+∈???

，{}|22B x x =-≤≤，则B A =_______________________________________。解[2,0][

,2]3π

- 2|,...[,0]

[,]...

333

A x k

x k k Z πππ

ππππ??=+≤≤+∈=-????

3、与角α终边相同的角的集合为{}

360,k k ββα=?+∈Z 例3．与02002-终边相同的最大负角是_______________。

解.0

202- 0

20025360(202)-=-?+-

4、已知α是第几象限角，确定

()*

n n

∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α

终边所落在的区域．

例4．设α角属于第二象限，且2

cos

-=，则

角属于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解.C 22,(),,(),2

k k k Z k k k Z π

παππππ+

<<+∈+

∈

当2,()k n n Z =∈时，

2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，2

在第三象限；而cos

cos

2α

=-?≤，2

∴

在第三象限； 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r

α=

． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=

，1180π

，180157.3π??=≈ ?

． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，

则l r α=，2C r l =+，211

S lr r α==．

例5 如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）

A ．5

.0sin 1 B ．sin 0.5 C ．2sin 0.5 D ．tan0.5

P x

M T 解4.A 作出图形得111

sin 0.5,,sin 0.5sin 0.5

r l r r α===?=

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()

220r r x y =+>，则sin y r α=

，cos x r α=，()tan 0y

x x

α=≠．例6．若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（）

解:000tan 600,4tan 6004tan 60434

a =

=-=-=-- 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．

例7．设MP 和OM 分别是角

17π

的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①0<

其中正确的是_____________________________。解.② 1717

s i n

0,c o s 01818

M P O M ππ=>=< 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=

()2

222sin

1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()

sin 2tan cos α

αα

= sin sin tan cos ,cos tan αααααα?

?== ??

?．

例8．已知4

sin 5

α=

，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（） 13、三角函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2π

αα??-=

???，cos sin 2παα??

-= ???

． ()6sin cos 2π

αα??+=

???，cos sin 2παα??

+=- ???

．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例9．满足2

sin =

x 的x 的集合为_________________________________。 14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数

()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩

短）到原来的

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数

()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不

变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．

函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1

倍（纵坐标不变），

得到函数

sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数

()sin y x ω?=A +的图象．

例10．将函数sin()3y x π

=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

再将所得的图象向左平移3

个单位，得到的图象对应的解析式是（）

A ．1sin 2y x =

B ．1sin()22y x π=-

C .1sin()26y x π=-

D .sin(2)6y x π

解111sin()sin()sin[()]sin()32323326y x y x y x y x πππππ

=-→=-→=+-→=-

函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2π

T =

；③频率：12f ω

T ；④相位：x ω?+；⑤初

相：?．

函数()sin y x ω?=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =

-，()max min 12y y B =+，()21122

x x x x T

=-<．例11．如图，某地一天从6时到11时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(?ω

(1) 求这段时间最大温差；

(2) 写出这段曲线的函数解析式

解（1）20°；（2）20)4

5-8

sin(10+=ππx y

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x =

cos y x = tan y x =

图象

定义域 R R

,2x x k k ππ??≠+∈Z ????

值域

[]1,1-

最

值

当22

x k π

π=+

()

k ∈Z 时，max 1y =；当

x k π

π=-

()k ∈Z 时，min 1y =-．

当()2x k k π=∈Z 时，

max 1y =；当2x k ππ=+

()k ∈Z 时，min 1y =-．

既无最大值也无最小

值

周期性 2π 2π

奇偶性

奇函数偶函数奇函数

函数性

质

单调

性在2,222k k ππππ?

?-+????

()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ?

?++???? ()k ∈Z 上是减函数．

在

[]()

2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+

()k ∈Z 上是减函数．

在,22k k ππππ?

?-+ ??

()k ∈Z 上是增函数．对称性

对

称

中

心()(),0k k π∈Z

对称轴()2

x k k π

π=+∈Z

对

称

中

心

(),02k k ππ??+∈Z ???

对称轴()x k k π=∈Z 对

称

中

心

(),02k k π??

∈Z ???

无对称轴

例12．（1）求函数1sin 1

log 2

y 的定义域。（2）设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值。

.解：（1）2

21111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2

x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z

πππ+≤<+∈ 5(2,2][2,2),()66

k k k k k Z ππ

ππππ++∈ 为所求。

（2）0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间

当c o s 1x =-时，m i n ()s i n (1)s i n 1f x =-=-；

当c o s 1x =时，m a x ()s i n

1f x =。例13．已知1tan tan αα

，

是关于x 的方程22

30x kx k -+-=的两个实根，且παπ2

<，求ααsin cos +的值．解：21tan 31,2tan k k αα?

=-=∴=± ，而παπ27

3<<，则1tan 2,tan k αα

+==

得tan 1α=，则2

sin cos 2

αα==-

，cos sin 2αα∴+=-。

例14．已知函数)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移

，这样得到的曲线和x y sin 2=的图象相同，则已知函数)(x f y =的解析式为_______________________________.

解．1sin(2)22

y x π=- 2s i n 2s i n ()2

y x y

x π

=?????→=-

???????→

右移个单位横坐标缩小到原来的2倍

2s i n (2)2y x π

=-1s i n (2)22

y x π

???????→=-

总坐标缩小到原来的4倍