最新2003年浙江大学数学分析试题答案汇总

2003年浙江大学数学分析试题答案

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2003年浙江大学数学分析试题答案

一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{k

n a ，

a a k n k =∞

→lim ，

所以，

ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n

二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时，

ε<-)''()'(x f x f

对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x

ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g

当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以

,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连

续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取

},m in{21δδδ=即可。

三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('

1

))((')()(a x f a x a f a f x f -+

-+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所

以)(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。

四、?

?==1

0,)(1)()(x dt t f x

dt xt f x ?2

)()()('x

dt t f x x f x x

?

-=

?，

2

2)(lim

)(lim

)

(lim

)0('0

2

A

x x f x dt t f x

x x x

x x ====→→→???， 2

)(lim )

(lim )()

(lim )('lim 2

002

00A

x dt t f x

x f x dt t f x

x f x x

x x x

x x =

-=-=?

?

→→→→?，)('x ?在0=x 连续。 五、当k m ≠时，不妨设k m <，