矩阵分析与应用 第1章

矩阵的代数性质

1.矩阵是线性映射的表示：

线性映射的相加表示为矩阵的相加

线性映射的复合表示为矩阵的相乘

2.矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。

学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示

复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学

习矩阵论的目的之一。

定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。如：对称矩阵可以定义为：a ij=a ji

也可以定义为: (x, Ay)=(Ax,y),

还可以定义为：Ax= f(x), 其中f(x)=x T Ax/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在x处的梯度。

3. 矩阵可以表示为图像

矩阵的大小可以表示为图像。反之，一幅灰度图像本身就是矩阵。图像压缩就是矩阵的表示问题. 这时矩阵相邻元素间有局部连续性，既相邻的元素的值大都差别不大。

4. 矩阵是二维的(几何性质)

矩阵能够在二维的纸张和屏幕等平面媒体上表示，使得用矩阵表示的问题显得简单清楚，直观，易于理解和交流。很多二元关系很直观的就表示为矩阵，如关系数据库中的属性和属性值，随机马尔科夫链的状态转移概率矩阵，图论中的有向图或无向图的矩阵表示等。

第一章：线性空间和线性变换

1.线性空间

集合与映射

集合是现代数学最重要的概念，但没有严格的定义。

集合与其说是一个数学概念，还不如说是一种思维方式，即用集合(整体)的观点思考问题。整个数学发展的历史就是从特殊到一般，从个体到整体的发展历程。

集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合的补；集合中元素没有重合，子集，元素

设S，S'为集合

映射：为一个规则σ：S → S', 使得S中元素a和S'中元素对应，记为a'=σ(a),或σ：a→a'.

映射最本质的特征在于对于S中的任意一个元素在S'中仅有唯一的一个元素和它对应。

映射的原象，象；映射的复合。满射,单射,一一映射。

若S'和S相同，则称σ为变换。

若S'为数域，则称σ为函数。

线性空间的定义和性质

定义1.1设V是一个非空集合，它的元素用x,y,z等表示，并称之为向量；K是一个数域，它的元素用k,l,m等表示，如果V满足下列条件

(I)在V中定义一个加法运算，即当V∈y x,时，有惟一的

x，且加法运算满足下列性质

+y

∈

V

(1)结合律;

x+

+

+

+

z

=

y

)

x

)

(

(z

y

(2)交换律;x

x+

+

=

y

y

(3)存在零元素0，使x+0=x；

(4)存在负元素，即对任何一向量x∈V ,存在向量y，使

x+y=0，则称y为x的负元素，记为-x，于是有

x+(-x) = 0

(II)在V中定义数乘运算，即当x∈V, k∈K,有唯一的k x∈V, 且数乘运算满足下列性质

（5）数因子分配律k(x+y)=k x+k y ;

(6) 分配律（k+l）x= k x+l x ;

(7) 结合律k(l x)=(k l ) x ;

(8) 1 x = x

则称V为数域K上的线性空间或向量空间。

特别地，当K为实数域R时，则称V为实线性空间；

当K为复数域C时，则称V为复线性(酉)空间。

例：次数不超过n-1的多项式P n全体按照通常的多项式加法和数乘构成一个线性的多项式函数空间；

即：f(x)=a0x n-1+a1x n-2+…+a n-2x+a n-1

g(x)=b0x n-1+b1x n-2+…+b n-2x+b n-1

定义f(x)⊕g(x)=f(x)+g(x),

k?f(x)=(k?a0)x n-1+(k?a1)x n-2+…+(k?a n-2)x+k?a n-1

n维实向量的全体按照通常的向量加法和数乘构成一个实线性空间,我们把这个空间称为实向量空间；

即：x, y∈R n，定义：(x⊕y)i=x i+y i ,(k?x)i=k?x i

所有m?n实矩阵的全体按照通常的矩阵加法和数乘构成一个实线性空间，称之为矩阵空间；

由例如，取V=R, x,y∈V, 定义x⊕y=(x3+y3)1/3, k?x=k1/3x，k∈R. 易验证这样定义的加法和数乘仍然构成一个线性空间。

线性空间中，向量的关系：

线性相关：若存在一组不全为零的数c1,c2,…,c m,使得

c1x1+c2x2+…+c m x m=0

则称向量组x1,x2,…,x m线性相关，否则为线性无关。

极大线性无关组：一个不可能再往里添加向量而保持

它们的线性无关性

引理1.1：线性无关组总是可以扩充为极大线性无关组。

例如：x1=(1,0,0)T,x2=(0,1,0)T, 则设

x3=(*,*,α)T,

其中*表示任意的数，只要α≠0，则x1,x2,x3就为极大线性无关组。引理1.2：在一个线性空间中任两个极大线性无关组若它们的所含向量个数都有限，则所含向量个数一定相同.

证明：设x1,x2,…,x m和y1,y2,…,y n为线性空间V中的两个极大线性无关组。则存在矩阵A,B使得

(x1,x2,…,x m)=(y1,y2,…,y n)A(1)

(y1,y2,…,y n)=(x1,x2,…,x m)B(2)

将式(1)代入式(2)可得

(y1,y2,…,y n)=(x1,x2,…,x m)B=(y1,y2,…,y n)AB(3)

另一方面，我们知道

(y1,y2,…,y n)=(y1,y2,…,y n) E n(4)

其中，E n为n阶单位矩阵。由于y1,y2,…,y n为极大线性无关组，因此表示系数矩阵应该唯一，也就说，由式(3)和式(4)可得AB = E n，由此有

trace(AB)= trace(E n)= n(5)

类似地，将式(2)代入式(1)可得

(x1,x2,…,x m)=(x1,x2,…,x m)BA=(x1,x2,…,x m)E m,

再由x1,x2,…,x m为极大线性无关组可得BA = E m,由此有trace(BA)= trace(E m)= m(6)

这样利用矩阵迹算子trace( )的性质，联合式(5)和式(6)可得

n= trace(AB)= trace(BA)=m。

因此，这两个极大线性无关组所含向量个数相同。

(定义)线性空间V的维数：V中极大线性无关组的所含向量的个数，定义为线性空间的维数。

维数有限的称为有限维空间，否则称为无穷维空间。

这个定义之所以有意义，是因为在引理1.2中我们证明了极大线性无关组的个数是相同的。

本书仅仅研究有限维空间，这里得到的结论有些可以直接推广到无穷维空间，但有些却不可能。必须小心！

在后面的讨论中我们仅仅讨论有限维空间，而不一一说明。

线性空间中向量的表示

线性空间的基：若线性空间V的向量x1,x2,…,x r满足1）x1,x2,…,x r线性无关；

2）V中的任意向量x都是x1,x2,…,x r的线性组合；

则称x1,x2,…,x r为V的一个基或基底，相应地称x i为基向量。推论1.1：线性空间中任意一组极大无关组构成它的一个基。定义1.2：称线性空间V n的一个基x1,x2,…,x n为V n的一个坐标系。设向量x∈V n,它在该个基下的线性表示为

x = c1 x1+c2x2+…+c n x n

则称c1,c2,…,c n为x在该坐标系下的坐标或分量，有时我们称n维向量(c1,c2,…,c n)T为向量x在该个基下的表示。

这实际定义在V和R n或(C n)的之间一一映射

σ: V→ R n(或C n)

即

σ: x∈V→ (c1,c2,…,c n)T∈R n(或C n)

数域相同的线性空间和n维列向量空间的关系：

定理1.2 在一个基下我们看到任意n维线性空间V和n维列向量空间R n(或C n)代数同构,即存在V和R n或(C n)的之间一一映射σ:V→ R n(或C n)

使得

σ(x+y)= σ(x)+ σ(y), x, y∈V

σ(kx) =k σ(x), x∈V, k∈K，

也就是σ保持加法和数乘运算。

(按后面的定义，σ实际为可逆的线性映射)。

这个定理说明虽然n维线性空间有无穷多，但是从代数的角度我们仅仅研究n维实(或复)向量空间就足够了。

例如：前面介绍次数不超过n-1的多项式全体按照通常的多项式加法和数乘构成一个线性的多项式函数空间P n，选择P n的一个基x1=1,x2=x,x3=x2,…,x n=x n-1, 则任意次数不超过n-1的多项式f(x) = a0x n-1+a1x n-2+…+a n-2x+a n-1

= (1,x,x2,…,)( a n-1, a n-2,…, a0)T

这样( a n-1, a n-2,…, a0)T就是多项式f(x)在基x1,x2,…,x n的坐标。显然我们可以看成将f(x)映射为( a n-1, a n-2,…, a0)T，这时明显可见映射为线性的，即若

σ: f(x)→ ( a n-1, a n-2,…, a0)T

σ: g(x)→ ( b n-1, b n-2,…, b0)T

则σ: f(x)+g(x)→ (a n-1+b n-1, a n-2+b n-2,…, a0+b0)T

基变换与坐标变换

在线性空间V n中，同一向量对不同的基，它的坐标表示是不一样的。当由一个基x1,x2,…,x n变换为另一个基y1,y2,…,y n时,则由基的定义可得

y1=c11x1+c21x2+…+c n1x n

y2= c12x1+c22x2+…+c n2x n

:

y n= c1n x1+c2n x2+…+c nn x n

或用矩阵形式写为

Y = XC 称为基变换公式(1.1)

其中矩阵C为

c11c12 (1)

c21 c22… c n2 称为由旧基到新基的过渡矩阵。

:

c n1 c n2…c nn

Y=(y1,y2,…,y n), X= (x1,x2,…,x n)

实(复)矩阵A为奇异矩阵定义为：存在非零n维实(复)向量x使得Ax = 0.

推论1.2 过渡矩阵非奇异. (自行证明)

从推论1.2我们可以发现，任何一个非奇异矩阵都可以看成是线性空间的两个基之间的过渡矩阵，换句话说，是一个基在另一个基下的坐标表示。

向量在不同基下的表示坐标的关系：

设由一个基x1,x2,…,x n变换为另一个基y1,y2,…,y n时过渡矩

阵为C,向量x 在基x 1,x 2,…,x n 和基y 1,y 2,…,y n 的坐标表示分别为

ξ =[ξ1,ξ2,…,ξn ]T , η =[η1,η2,…,ηn ]T 则有

x=X ?ξ=Y ?η=(X ?C)?η= X ?(C ?η),从而有ξ=C ?η或者η=C -1?ξ 或用分量形式推导得

∑∑∑∑∑∑==========n k k ik n i i n k n i i ik k n

k k k n i i i c c 111111ηηηξx x y x

x

即为 ξ=C ?η

线性子空间

定义：设V 1是数域K 上线性空间V 的非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件

(1)对加法封闭： 若x, y ∈V 1，则x+y ∈V 1

(2)对数乘封闭：若x ∈V 1，k ∈K,则k ?x ∈V 1.

则称V 1为V 的线性子空间或子空间。

仅由0元素构成的子空间为零子空间。

注意：零子空间的维数为0而不是1。

子空间的运算：交， 和， 直和

两个子空间V 1,V 2的交V 1?V 2仍为子空间。

定义1.8 设V 1, V 2为数域K 上的线性空间V 的子空间，且x ∈V 1, y ∈V 2,则由x+y 的全体构成的集合称为V 1和V 2的和，记为 V 1+V 2.记V 1+V 2={z | z=x+y, x ∈V 1,y ∈V 2}。

显然,两个子空间V 1, V 2的和V 1+V 2仍为子空间,并且交与和分别满足结合律， 即(V 1?V 2) ?V 3=V 1?(V 2 ?V 3),

(V1+V2)+ V3=V1+(V2 +V3),

从而它们都可以推广到几个子空间的情形,并且

V1?V2?… ?V n或V1+V2+… +V n有意义。

子空间的维数公式：dim V1+dim V2=dim (V1+V2)+dim(V1?V2)

直和的定义：若V1?V2=0,则V1+V2为V1,V2的直和，记为

V1⊕V2。

性质：对于V1⊕V2中的元素z, 在V1和V2分别存在唯一x和y 使得z = x + y.即z的分解唯一。

显然有V1⊕V2? dim(V1?V2)=0

? dim V1+dim V2=dim (V1⊕V2)

子空间的构成：1）由几个子空间的交或和构成。

2）向量x1,x2,…,x m组扩张而成。

由单个非零向量x对数乘运算封闭构成的一维子空间L(x)={z | z=k?x, k∈K}.

同理记L(x1,x2,…,x m)=L(x1)+L(x2)+…+L(x m)

显然dim(L(x1,x2,…,x m)) ≤m

思考题1：一个n维线性空间的真子空间有多少？

思考题2：若V1,V2, …,V m为线性空间V的真子空间，证明存在一个向量x∈V,但x?V1?V2?…?V m成立。

特别讨论在实线性空间R m中矩阵A=(a ij)∈R m?n的列向量构成的子空间L(a1,a2,…,a n)称为矩阵A的值域(列空间),记为

R(A)=L(a1,a2,…,a n)?R m

矩阵的秩

矩阵的列秩：由矩阵的列向量构成的最大无关组的个数。

矩阵的行秩：由矩阵的行向量构成的最大无关组的个数。

定理: 矩阵的行秩和列秩相同。

证明：由于rank(A)=rank(AA T)≤rank(A T)

同样，rank(A T) ≤rank(A)

这样，rank(A)= rank(A T)，

即矩阵的行秩和列秩相同.

从而它们称为矩阵的秩，记为rank(A).

定理dim(R(A))=rank(A).

定义1.7 设在实线性空间R n中矩阵A=(a ij)∈R m?n,称集合{x|Ax=0}为矩阵A的核空间,记为N(A),即N(A)={x|Ax=0}∈R n.

称N(A)的维数为A的零度，记为n(A),即n(A)=dim(N(A)).

定理：dim(R(A))+dim(N(A))=n.

思考：若A∈C n?n,R(A)⊕N(A)成立吗？举例说明？

成立的条件是什么？

2 线性映射,线性函数，线性变换及它们的矩阵表示

表示是什么？表示究是本质来说是一种映射，它把我们不熟悉或抽象的事物映射为我们熟知或具体的事物。

例如：抽象的线性空间在一个基下可表示为实或复的向量空间。同样地，线性空间之间的线性映射都可以表示为矩阵。这正是矩阵的代数本质所在。(向量为特殊的矩阵)

这就是本节所研究的内容。

定义：数域相同的线性空间X到线性空间Y的映射T称为线性映射，若T满足下列条件：1) T(x+y)=T(x)+T(y)

2) T(k x)=k T(x)

若线性空间W和线性空间V的维数分别为：m=dim(W),n=dim(V)

x1,x2,…,x m以及y1,y2,…,y n分别为W和V的一个基，

则线性映射可以表示为一个R n?m(或者C n?m)的矩阵。

设向量Tx i在基y1,y2,…,y n的坐标表示为

Tx i=(y1,y2,…,y n) (a1i,a2i,…,a ni)T=(y1,y2,…,y n)a i, i=1,2,…,m

记矩阵A=(a1,a2,…,a m)，

而基为Y=(y1,y2,…,y n), X= (x1,x2,…,x m)。

则有TX=(Tx1,Tx2,…,Tx m)=Y ?A (2.1)

对任意向量x在基x1,x2,…,x m的坐标表示为ξ =[ξ1,ξ2,…,ξm]T，向量T x在基y1,y2,…,y n的坐标表示为η=[η1,η2,…,ηn]T，那么我们

有T x=Y?η=T(X?ξ)=(TX) ?ξ=(Tx1,Tx2,…,Tx m) ?ξ

=Y?(Aξ )?η=Aξ(2.2)

从而对于线性映射T，在基X和Y的下的表示为矩阵A.

T : x →y = T x 其中x=Xξ, y=Yη

↓↓↓↓

A: ξ→η = A ξ

注意对于同一映射，若基X和Y选择不同，则T的表示A一般不相同。

一个很自然的问题就是各种表示之间的关系如何？

若用映射的形式我们可以表示为:

A=σ(T; X,Y) (2.3)

设线性空间W的另一组为X', 且X'=XC,

线性空间V的另一组为Y', 且Y'=YD,或Y=Y' D-1

(注意，因为C和D分别为过渡矩阵，从而可逆)

设线性映射T在基X'和Y'下的矩阵为A',即TX'=Y' A'

则TX'=T(XC)=(TX)C(由(2.1))

=(Y A)C=Y(AC)=Y'D-1AC=Y'A'

从而我们有A'= D-1AC (2.4)

这就是线性映射在不同基下的矩阵表示的关系式。

注意：D∈R n?n, A∈R n?m, C∈R m?m.

线性映射的复合：S: W→V; T: V→Z

定义(TοS)(x)=T(S(x)).

其中W, V和Z为线性空间，S和T都为线性映射。

很明显，线性映射的复合仍为线性映射。

设x1, x2,…,x m为W的一个基，

y1,y2,…,y n为V的一个基

z1,z2,…,z r为Z的一个基，

S在W和V的当前基下的表示为A,

而T在V和Z的当前基下的表示为B，

则它们的复合TοS在当前基下的矩阵表示为BA.

由于映射的复合一般不可交换，从而对应的矩阵的乘法也不可交换，即BA=AB一般不成立。

思考题：根据（2.3），若用映射的形式我们可以表示为: BA=σ(TοS; X, Z)

可见，TοS的矩阵表示和V的基Y的选择无关，假如选择另外一组V的基Y',证明这一点。

定理：设T为线性空间W到线性空间V的线性映射，则W内的线性子空间W1在V中的象V1为V的线性子空间。

反之，V中的线性子空间V1的逆象

T-1(V1)={ x | ? y ∈V1s.t. y=Tx }

也为W中的线性子空间。

证明：利用子空间的定义，显然可以得到。

定理：设T为线性空间W到线性空间V的线性映射，W1，W2

为W内的子空间，则

1). T(W1+W2)= T(W1)+T(W2)

2). T(W1?W2)? T(W1) ?T(W2) (思考为什么等式不能成立？)

记R(T)为W在V中的象，称之为值域，即

R(T)={ y∈V | y=Tx, ? x∈W }

记N(T)为V中零向量空间的逆象T-1(0),称之为T的核，即N(T)={ x| Tx=0, x∈W }

T的值域R(T)的维数dim(R(T))称为T的秩，其核子空间的维数dim(N(T))称为T的亏度。

dim(R(T))+ dim(N(T))=dim(W)

证明：设x1,x2,…,x r为N(T)的一个基，扩充它们使之为W的一个基：x1,x2,…,x r,x r+1,…,x n,那么我们证明T(x r+1),…,T(x n)为R(T)的一个基。

首先证明T(x r+1),…,T(x n)线性无关.设t r+1T(x r+1)+…+t n T(x n)=0 则T(t r+1x r+1+…+t n x n)=0,从而t r+1x r+1+…+t n x n∈N(T)

所以t r+1x r+1+…+t n x n能够被x1,x2,…,x r线性表示。因此存在t1,…,t r 使得t1x1+…+t r x r=t r+1x r+1+…+t n x n,即

t1x1+…+t r x r-t r+1x r+1-…-t n x n=0

因此t1=t2=…=t r=t r+1=…=t n=0

这样就说明T(x r+1),…,T(x n)线性无关。

其次我们证明对于任给y∈R(T)，y能被T(x r+1),…,T(x n)线性表

示. 由于y∈R(T)，因此存在x∈W使得y=T(x). 由于x1,x2,…,x r,x r+1,…,x n为W一个基，因此存在t1,…,t r,t r+1,…,t n使得x=t1x1+…+t r x r+t r+1x r+1+…+t n x n

从而y=T(x)=T(t1x1+…+t r x r+t r+1x r+1+…+t n x n)

= t1T(x1)+…+t r T(x r)+t r+1T(x r+1)+…+t n T(x n)

= t r+1T(x r+1)+…+t n T(x n)

因此y能够被T(x r+1),…,T(x n)线性表示。同时由于T(x r+1),…,T(x n)线性无关。这样它们就构成了R(T)的一个基。从而有dim(R(T))+ dim(N(T))=dim(W)

证毕.

例：对于R n到R m的线性映射T,对于任给x∈R n,T(x)=Ax,其中A 为R m?n的矩阵，这时R(T)=R(A)，即A的列向量构成的线性子空间. N(T)为Ax=0的解的全体构成的子空间.

由dim(R(T))+ dim(N(T))=dim(W)可以看出，Ax=0的基础解系的个数为n-r(A)，其中r(A)=R(T)为A的秩. 这个结论我们在高等数学里已经得到过.

对于W到V的两个的线性映射T1和T2分别定义它们的加法和数乘如下：

(T1+T2)(x)=T1x+T2x (2.4)

(k T1)(x) = k (T1x) (2.5)

那么有以下定理：

定理2.4：所有W到V的线性映射的全体按(2.4)和(2.5)定义的加

法和数乘构成一个线性空间。这个空间的维数为mn.

从这里我们可以看到，借助矩阵表示，我们可以完全利用矩阵运算研究线性映射，其实反过来也是对的，即，有时我们可以借助线性映射来研究矩阵。有时候，如果我们利用线性映射的某些特点可以证明矩阵的某些性质，如下例所示。

例设A∈C m?n, B∈C n?p.则N(AB)=B-1{N(A)?R(B)},

线性映射复合的维数公式：

dim(N(AB))=dim(N(B))+ dim(N(A)?R(B))

dim(R(AB))=dim(R(B)) - dim(N(A)?R(B))

所以可以证明，rank(A)+rank(B)-n≤rank(AB)

dim(R(AB))+dim(R(BC))- dim(R(B))≤ dim(R(ABC))

证明：1). 显然N(AB)=B-1{N(A)?R(B)}成立;

2). 欲证dim(N(AB))=dim(N(B))+ dim(N(A)?R(B))，

显然存在x1,x2,..,x r∈C p使得

Bx1, Bx2,.., Bx r为N(A)?R(B)的一个基，

那么显然x1,x2,..,x r线性无关。

再取N(B)的一个基为x r+1,x r+2,..,x s,那么可以证明

x1,x2,..,x r, x r+1,x r+2,..,x s,为N(AB)的一个基。从而有

dim(N(AB))=dim(N(B))+ dim(N(A)?R(B))

类似地可以证明

dim(R(AB))=dim(R(B)) - dim(N(A)?R(B))

或者由

dim(R(AB))+dim(N(AB))=dim(R(B))+dim(N(B))

可得dim(R(B))- dim(R(AB))=dim(N(A)?R(B))

3). dim(R(B))- dim(R(AB))=dim(N(A)?R(B))

≤ dim(N(A))=n- dim(R(A))

因此有rank(A)+rank(B)-n≤rank(AB)

等号成立的充要条件是N(A)?R(B).

同样的

dim(R(BC))- dim(R(ABC))=dim(N(A)?R(BC))

≤ dim(N(A)?R(B))

= dim(R(B))- dim(R(AB))

因此有

dim(R(AB))+dim(R(BC))- dim(R(B))≤ dim(R(ABC))

等号成立的条件就是

N(A)?R(BC)= N(A)?R(B)

因此这个例子说明，线性映射和矩阵之间的相互关系，既可以利用矩阵讨论线性映射的性质，也可以利用线性映射讨论矩阵的性质，二者之间建立联系是有助于矩阵研究的。

几个特殊的线性映射：

1）线性函数，即取V=R1,或C1称之为实或复线性函数。在泛

函分析中称之为线性泛函。

2)线性变换：若线性映射T为：W→W, 则称T为线性变换。

线性映射和线性映射的区别：

1.线性映射T：W →V,

线性变换T: W→W.

2.线性映射的矩阵表示A与W和V的选择基有关。

线性变换的矩阵表示A仅需选择W的一个基而不是两

个基。

区别2的意思是，线性空间W上的线性变换T的矩阵表示A仅需选择一个基x1,x2,…, x n,那么

Tx i=(x1,x2,…,x n) (a1i,a2i,…,a ni)T=(x1,x2,…,x n)a i, i=1,2,…,n

这时有TX=XA.

( 我们称A为线性变换T在线性空间W的基x1,x2,…, x n

的矩阵表示。)

这时如果将T看作W→W的线性映射，我们分别选择W的两个基X= (x1,x2,…,x m)和Y=(y1,y2,…,y n)，这时T的矩阵A表示为Tx i=(y1,y2,…,y n) (a1i,a2i,…,a ni)T=(y1,y2,…,y n)a i, i=1,2,…,m

这时有TX=Y A.

在以后，我们所线性变换时，仅需选择一个基。

由于线性变换仅为线性映射的特殊情形，因此前面讨论的关于线性映射的所有定义和性质对线性变换都适应，我们不必重复。

中科院矩阵分析与应用大作业

中科院矩阵分析与应用大作业 实现LU分解 QR分解 Householder reduction、Givens reduction Matlab 代码： function [] =juzhendazuoye A=input('请输入一个矩阵A='); x=input('请输入序号 1 LU分解 2 Gram-Schmidt分解 3 Householder reduction 4 Givens reduction:' ); if(x==1) %%*************LU分解*****************%% disp('PA=LU') m=size(A,1); % m等于矩阵A的行数 n=size(A,2); % n等于矩阵A的列数 if(m==n) % 判断矩阵A是不是方阵 % 如果矩阵A不是方阵那么就输出“error” U=A; % 把矩阵A赋值给矩阵U L=zeros(n); % 先将L设为单位阵 P=eye(n); % 首先将交换矩阵P设为单位矩阵 for j=1:n-1 for i=j+1:n if (U(j,j)~=0) %判断主元元素是否不为0

L(i,j)=U(i,j)/U(j,j); U(i,:)=U(i,:)-U(j,:)*U(i,j)/U(j,j); % U(j,j)为主元元素 else a=j+1; % 令a等于j+1 while((U(a,j)==0)&&(a

矩阵理论中的矩阵分析的实际应用论文

矩阵分析在同步捕获性能研究新应用 摘要：该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，仅需知道一步转移概率矩阵，利用现代计算机编程语言(如MAPLE，MATLAB等)的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数：通过对传输函数求导，可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项；可纠正流程图方法在分 析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。 关键词：CDMA；矩阵分析；传输函数；流程图；捕获 A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix Analysis Abstract：A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis．Given the first step transition probability matrix，the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE，MATLAB and so on，and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function．The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis，it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme．

矩阵的开题报告doc

矩阵的开题报告 篇一：矩阵变换及应用开题报告 鞍山师范学院 数学系 13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号： 30 指导教师：裴银淑 XX年 12月 26日 一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种 十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到 非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解 决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义：

矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式 识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着 不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内 外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词， 他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩 阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的 研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容， 在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在 第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金 斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的

CharlesR.Johnson联合编著的《矩 阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外 关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出 了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价： 矩阵理论一直都是各个学科的基本数学工具，矩阵变换是矩阵理论的基础， 近年来有许多关于矩阵变换的研究，这些研究将一些繁琐复杂的问题简单化，也 极大地推进和丰富了电子信息、航空航天等领域的发展，同时促进了更多的数学 家加入到研究矩阵变换的队伍中，这样就使得矩阵变换知识日渐完善，并应用到 更多的领域中去。 三、论文提纲 前言 (一)、矩阵初等变换及应用 1、矩阵初等变换的基本概念 2、初等变换在方程组中的应用 3、初等变换在向量组中的应用

第五章矩阵分析(改)

第五章 矩阵分析 本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识. §5.1 向量与矩阵的范数 从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用. 一、向量的范数 定义1 设V 是数域F 上n 维（数组）向量全体的集合，x 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件： 1）非负性 对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有 x =0； 2）齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有;x k kx = 3）三角不等式 对任意V y x ∈,，有 y x y x +≤+， 则称此函数x （有时为强调函数关系而表示为?） 为V 上的一种向量范数. 例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义 2 22212 n x x x x +++= 则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模]. 证 首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足

1）非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2）齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈，有 22||||||kx k x = =； 3）三角不等式 对任意复向量1212(,, ,),(,, ,)T T n n x x x x y y y y ==，有 222 221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++ ++ 2221122()()()n n x y x y x y ≤++++ ++ 2 21 1 1 ||2||||||n n n i i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ 不等式） 222222 2 22||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+ 因此 222||||||||||||x y x y +≤+ 所以 2||||x 确为n C 上的一种向量范数 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义 112||||||||||n x x x x =+++， 1max i i n x x ∞ ≤≤=， 则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数. 证 仅对后者进行证明. 1）非负性 当0x ≠时，max 0i i x x ∞ =>，又显然有00∞=； 2）齐次性 对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ，

研究生矩阵试题B2

北京交通大学 2005-2006学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B) 专业 班级 学号 姓名 一． （12分）设3R 的两个基为T T T I )1,0,1( ,)1,0,1( ,)1,1,1( :321=-==ααα和T T T II )5,4,3( ,)4,3,2( ,)1,2,1( :321===βββ， （1） 求基I 到基II 的过度矩阵；（2） 求T )1,1,1(=α在基I 下的坐 标。 二． （14分）设线性影射34:R R T →满足，对任意44321),,,(R x x x x T ∈， T T x x x x x x x x x x x x x x x T )3,2,(),,,(432142143214321-++-+++-=， 求T 的核()N T 及值域()R T 的基和维数。 三． （12分）设???? ? ??-=120520i i i A ， （1）计算1A 和∞A ；（2）如果T x )1,1,1(=， 计算1Ax 和∞Ax 。 四．（10分）求矩阵???? ? ??=131321*********A 的满秩分解。 五． （12分）求矩阵???? ? ??=230111140A 的正交三角分解UR A =，其中U 是

酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。 六． （20分）证明题： 1． 设A 是反Hermite 矩阵，证明A E -是可逆的。 2．设A 是正规矩阵， 如果A 满足0432=--E A A ，证明：A 是Hermite 矩阵。 3．证明：n 维欧氏空间V 的线性变换T 是对称变换，即对任何,x y V ∈， ),(),(Ty x y Tx = 的充要条件是T 在标准正交基下的矩阵表示是对称拒阵。 七． （20分） 设???? ? ??=100100011A 。 （1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求矩阵函数()f A ，并计算tA e 。

北京理工大学2017级硕士研究生矩阵分析考试题

北京理工大学2017-2018学年第一学期 2017级硕士研究生〈矩阵分析〉终考试题 一、（10分）设线性变换f 在基123[1,1,1],[1,0,1],[0,1,1] ααα=-=-=下的矩阵表示为101110123A -????=????-?? （1）求f 在基123[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]εεε===下的矩阵表示。 （2）求f 的核与值域。 二、（10分）求矩阵20000i A ????=?????? 的奇异值分解。 三、（10分）求矩阵111222111A -????=-????--?? 的谱分解。 四、（15分）已知(1)n u R n ∈>为一个单位列向量，令T A I uu =-，证明 （1）21A =； （2）对任意的X R ∈，如果有AX X ≠，那么22AX X <。 五、（15分）已知矩阵1212a A a ??-??=????-???? ， （1）问当a 满足什么条件时，矩阵幂级数121()k k k A ∞ =+∑绝对收敛？ （2）取a = 0，求上述矩阵幂级数的和。

七、（20分）求下列矩阵的矩阵函数2,sin ,cos tA e A A π π 300030021 01300103123001013000301 00013()()()A A A ??????????? ???===?????? ???????????? 八、（5分）已知 sin 53sin 2sin 52sin sin 5sin sin sin 5sin 2sin 52sin sin 5sin sin 5sin 2sin 52sin sin 53sin t t t t t t tA t t t t t t t t t t t t +--????=-+-????--+?? 求矩阵A 。 九、（5分）已知不相容线性方程组 141223341 10 x x x x x x x x +=??+=??+=??+=? 求其最佳最小二乘解。 十、（10分）已知Hermite 二次型 12312132131(,,)f x x x ix x x x ix x x x =+-+ 求酉变换X UY =将123(,,)f x x x 化为标准型。

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后知识题目解析

第1章 线性空间和线性变换（详解） 1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用 ij E (,1,2, ,1)i j i n <=-表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素 为1外，其余元素全为0的矩阵. 显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1) 2 n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1) 2 n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成 (1) 2 n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1) 2 n n -. 评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1) 2 n n +维线性空间，只需找出 (1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1) 2 n n +个向量线性表示即可. 1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可. 1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E 即 123412111111100311100000x x x x ??????????=+++???????????????????? 故 1234 1231211203x x x x x x x x x x +++++?? ??=??? ?+???? 于是 12341231,2x x x x x x x +++=++=

1210,3x x x +== 解之得 12343,3,2,1x x x x ==-==- 即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --. 方法二 应用同构的概念，22R ?是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T ， 1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有 111111 000 31110201003110000 01021000300011???? ????-??? ?→???? ??? ? -???? 因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --. 1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++= 即 12341234123134 12411111110110110110 k k k k k k k k k k k k k k k k k ????????+++???????????????? +++++??==??++++?? 于是 12341230,0k k k k k k k +++=++= 1341240,0k k k k k k ++=++= 解之得 12340k k k k ==== 故1234,,,αααα线性无关. 设

矩阵变换及应用开题报告

鞍山师范学院 数学系13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号：30 指导教师：裴银淑 2013年12月26日

一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义： 矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词，他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容，在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的CharlesR.Johnson联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价：

中科院矩阵分析_第五章

第五章 特征值的估计及对称矩阵的极性 本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论， 即 特征值的估计 广义特征值问题 实对称矩阵（一般是Hermite 矩阵）特征值的 极小极大原理，其次也涉及到一些特征值 和奇异值的扰动问题,最后简要地介绍矩阵 直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解 方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的 理论研究与实际应用当中都有着相当重要 的作用。 5.1特征值的估计 一、特征值的界 首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的 一些方法 定理5.1 设A=(a rs )∈R n×n ,令 M=||2 1 max ,1sr rs n s r a a -≤≤ λ若表示A 任一特征值，则λ的虚部Im(λ) 满足不等式 2 ) 1(|)Im(|-≤n n M λ |Im(λ)|≤||A -A T ||2 / 2 |Im(λ)|≤||A -A T ||1 ?/2. 证明：设x+i ?y 为对应于λ的A 的特征向量， 则 A(x+i ?y)=(α+β?i)(x+i ?y) 其中λ=α+β?i.显然x,y 为实向量，且x,y 为 线性无关的 向量。 经整理A(x,y)=(x,y)B, 其中B=??? ? ??-αββα 。 从而(x,y)T A(x,y)=(x,y)T (x,y)B 展开有

???? ??Ay y Ax y Ay x Ax x T T T T =α????? ??y y y x y x x x T T T T + β???? ? ? ?--x y y y x x y x T T T T (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 α(x T x +y T y )=x T Ax +y T Ay (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： β(x T x +y T y )=x T (A -A T )y 1). 记B=A -A T ,则 |x T By|≤||x||2 ?||B||2?||y||2 从而 |β|≤||x||2 ?||B||2?||y||2 /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) 利用ab /(a 2+b 2)≤1/2 可得 |β|≤||B||2 /2. 2). 由于|x T By|≤||Bx||1 ?||y||∞≤||B||1?||x||1 ?||y||∞ 从而 |β|≤||B||1 ?||x||1 ?||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) 易证明 ||x||1 ?||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) /2. (显然，不妨假设(||x ||2)2 +(||y ||2)2=1, 设||y ||∞=t =cos(α), 则y 必为t ? e j 的形式（为什么？）， 从而极值转化为求解如下最大值问题： max ||x||1, 满足约束(||x ||2)2=1-t 2 这样有均值不等式||x||1 x ||2 = -t 2)1/2, 从而我们需要求解t (1-t 2)1/2的最大值，设t =cos(α) 可得t (1-t 2)1/2的最大值为1/2. 从而得证。) 因此 |β|≤||B||1 3). 由于b ii =0, i =1,2,…,n , b ij = -b ji , 因此 |x T By|2=| 1 1()n ij i j j i i j i b x y x y -=>??-∑∑|2 ≤(2M )2 2 1||n i j j i i j i x y x y =>??- ??? ∑∑ (利用(a 1+a 2+…+a n )2≤ n ((a 1)2+(a 2)2+…+(a n )2) ≤(2M )2 (n (n -1)/2) 21||n i j j i i j i x y x y =>??- ??? ∑∑

矩阵分析 - 北京理工大学研究生院

课程名称：矩阵分析 一、课程编码：1700002 课内学时： 32 学分： 2 二、适用学科专业：计算机、通信、软件、宇航、光电、生命科学等工科研究生专业 三、先修课程：线性代数，高等数学 四、教学目标 通过本课程的学习，要使学生掌握线性空间、线性变换、Jordan标准形，及各种矩阵分解如QR分解、奇异值分解等，正规矩阵的结构、向量范数和矩阵范数、矩阵函数，广义逆矩阵、Kronecker积等概念和理论方法，提升研究生的数学基础，更好地掌握矩阵理论，在今后的专业研究或工作领域中熟练应用相关的矩阵分析技巧与方法，让科研结果有严格的数学理论依据。 五、教学方式 教师授课 六、主要内容及学时分配 1、线性空间和线性变换（5学时） 1.1线性空间的概念、基、维数、基变换与坐标变换 1.2子空间、线性变换 1.3线性变换的矩阵、特征值与特征向量、矩阵的可对角化条件 2、λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形（4学时） 2.1 λ-矩阵及Smith标准形 2.2 初等因子与相似条件 2.3 Jordan标准形及应用； 3、内积空间、正规矩阵、Hermite 矩阵（6学时） 3.1 欧式空间、酉空间 3.2标准正交基、Schmidt方法 3.3酉变换、正交变换 3.4幂等矩阵、正交投影 3.5正规矩阵、Schur 引理 3.6 Hermite 矩阵、Hermite 二次齐式 3.7.正定二次齐式、正定Hermite 矩阵 3.8 Hermite 矩阵偶在复相合下的标准形

4、矩阵分解（4学时） 4.1矩阵的满秩分解 4.2矩阵的正交三角分解（UR、QR分解） 4.3矩阵的奇异值分解 4.4矩阵的极分解 4.5矩阵的谱分解 5、范数、序列、级数（4学时） 5.1向量范数 5.2矩阵范数 5.3诱导范数（算子范数） 5.4矩阵序列与极限 5.5矩阵幂级数 6、矩阵函数（4学时） 6.1矩阵多项式、最小多项式 6.2矩阵函数及其Jordan表示 6.3矩阵函数的多项式表示 6.4矩阵函数的幂级数表示 6.5矩阵指数函数与矩阵三角函数 7、函数矩阵与矩阵微分方程（2学时） 7.1 函数矩阵对纯量的导数与积分 7.2 函数向量的线性相关性 7.3 矩阵微分方程 (t) ()() dX A t X t dt = 7.4 线性向量微分方程 (t) ()()() dx A t x t f t dt =+ 8、矩阵的广义逆（3学时） 8.1 广义逆矩阵 8.2 伪逆矩阵 8.3 广义逆与线性方程组 课时分配说明：第一章的课时根据学生的数学基础情况可以调整，最多5学时，如学生线

史荣昌魏丰版矩阵分析第一章(1)

矩阵分析 主讲教师：张艳霞

矩阵理论的应用 微分方程、概率与统计、优化、信号处理、控制 工程、经济理论等等。 工程经济理论等等 如需更深入地学习和了解在自己专业的应用，可 如需更深入地学习和了解在自己专业的应用可 参考： 《矩阵分析与应用》，张贤达著，清华大学出版社；《Matrix Analysis for Scientists & Engineers》: Alan J. Laub，SIAM.

第章 第一章线性空间和线性变换线性空间的基本概念及其性质 线性空间的基底，维数, 坐标变换 线性空间的基底维数 线性空间的子空间，交与和 线性映射及其值域、核 线性变换及其矩阵表示 矩阵（线性变换）的特征值与特征向量矩阵的可对角化条件

第一节第节线性空间 一：线性空间的定义与例子线性间的义定义 设是一个非空的集合，是一个数域， V F 在集合中定义两种代数运算,一种是加法运算,来表示另种是运算用来表示V 用 来表示; 另一种是数乘运算, 用来表示, +i 并且这两种运算满足下列八条运算律：（1）加法交换律αββα +=+（2）加法结合律 ()() αβγαβγ++=++

（3）零元素: 在中存在一个元素，使得对于 V 0任意的 都有 V α∈0αα +=（4）负元素: 对于中的任意元素都存在一 V α个元素 使得β αβ+=（5）i =1αα（6）()()k l kl αα=（7）()k l k l ααα+=+（8）()k k k αβαβ + =+为数域F 称这样的上的线性空间。 V

例1全体实函数集合构成实数域上的线性空间。R 例2 复数域上的全体型矩阵构成的集C m n ×合为上的线性空间。 m n × C C 例3实数域上全体次数小于或等于的多项式 R n 集合构成实数域上的线性空间; 1[]n R x +R 实数域上全体次数等于的多项式集合不构成实数域上的线性空间; R n R

波士顿矩阵分析在实际案例中的运用

波士顿矩阵分析在实际案例中的运用[1] 上海和达汽车零部件有限公司是由某国内上市公司与外商合的生产汽车零部件的企业。公司于1996年正式投产．配套厂海大众发、一汽大众、上海通用、东风柳汽、吉利、湖南长风武等。 和达公司的主要产品分成五类，一是挤塑和复合挤塑类(密封嵌条、车顶饰条等)；二是滚压折弯类(车门导槽、滑轨、车架管；三是普通金属焊接类(汽车仪表板横梁模块)；四是激光焊接镁合金横梁模块)；五是排档杆类(手动排档总成系列)。 和达公司产品波士顿矩阵分析 A 问题型业务(Question Marks．指高增长、低市场份额) 处在这个领域中的是一些投机性产品。这些产品可能利润率但占有的市场份额很小。公司必须慎重回答“是否继续投资．业务?”这个问题。只有那些符合企业发展长远目标、企业具优势、能够增强企业核心竞争力的业务才得到肯定的回答。 从和达公司的情况来看。滚压折弯类产品由于技术含量不高．褴低，未来市场竞争程度必然加剧。所以对于这类产品．最好就是舍弃。由于目前还能带来利润，不必迅速退出，只要目前持必要的市场份额，公司不必再增加投入。当竞争对手大举,可以舍弃。 B 明星型业务(8tsx8，指高增长、高市场份额) 这个领域中的产品处于快速增长的市场中并且占有支配地位份额。但也许不会产生正现金流量。但因为市场还在高速成业必须继续投资，以保持与市场同步增长，并击退竞争对手。 对于和达公司来说，铝横梁的真空电子束焊接系统是国内第一家。具有技术上的领先优势。因此企业应该加大对这一产品的投入．以继续保持技术上的领先地位。对于排档杆类产品．由于国内在这个领域的竞争程度还不太激烈，因此可以考虑进入。和达公司应该把这类产品作为公司

北京交通大学研究生矩阵分析期末考试试卷(7份)

2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业 班级 学号 姓名 一． （12分）3[]R x 表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。在 3[]R x 中取两个基：21231,1,(1)x x ααα==-=-； 21232,2,(2)x x βββ==-=-。（1）求123,,βββ到123,,ααα的过度矩阵，（2） 求21x x ++ 在123,,ααα下的坐标。 二． （14分）设T 是n R 的线性映射，对任意12(,, ,)T n n x x x x R =∈满足 11(0,, ,)n Tx x x -=。（1）证明0n T =； （2）求T 的核()N T 及值域 ()R T 的 基和维数。 三． （12分）设1023510224i A i i i -?? ?=++ ? ?-??，120x i -?? ? ?= ? ? ?-?? ，i = 。 计算11, , , Ax Ax A A ∞∞。 四．（10分）求矩阵1123101032160113A -?? ?-- ? = ?- ? ?-? ? 的满秩分解。 五． （12分）求矩阵011110101A ?? ? = ? ??? 的正交三角分解A UR =，其中U

是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。 六． （16分，1、2小题各5分， 3小题6分）证明题： 1． 设A 是n 阶正规矩阵，且满足2320A A E -+=。证明A 是Hermite 矩阵，并写出A 的Jordan 标准形的形式。 2．设A 是正定Hermite 矩阵，且A 是酉矩阵，证明A E =。 3．证明：若A 是Hermite 矩阵，则iA e 是酉矩阵。 七． （24分） 设100011101A ?? ? =- ? ?-?? 。（1）求E A λ-的Smith 标准形； （2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求相似变换矩阵P 使得1P AP J -=；（4）求1P -矩阵函数()f A ，并计算tA e 。 2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B) 专业 班级 学号 姓名 一． （12分）设3R 两个：123(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1)T T T ααα==-=； 123(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)T T T βββ=-=-=。（1）求123,,ααα到 123,,βββ的过度矩阵，（2） 求子空间V ，其中V 中的向量在两个基下的坐标相同。 二． （14分）设线性映射43:T R R →满足：对任意41234(,,,)T x x x x R ∈， 求的核()N T 及值域()R T 的基和维数。

矩阵分析期末考试2012

2012-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业 学号 姓名 一、（共30分，每小题6分）完成下列各题： （1）设4 R 空间中的向量????????????=23121α，????????????--=32232α，????????????=78013α，???? ?? ??????--=43234α， ????? ? ??????--=30475α Span V =1{}321,,ααα，Span V =2{}54,αα，分别求21V V +和21V V I 的 维数. 解：=A { }54321,,,,ααααα? ? ??? ? ??? ???--→000004100030110 202 01 21V V +和21V V I 的维数为 3和1 （2） 设() T i i 11-=α，() T i i 11-=β是酉空间中两向量，求 内积()βα, 及它们的长度（i = . （0， 2, 2）； （3）求矩阵?? ?? ? ?????----=137723521111A 的满秩分解.

解：?? ?? ? ?????----=137723521111A ??????? ? ??? ????? -- --→0000747510737201 ??????????----=137723521111A ??????????--=775211??????? ??? ??? ?? ? ----747 510737201* （4）设-λ矩阵???? ? ??++=2)1(000000 )1()(λλλλλA ，求)(λA 的标准形及其 行列式因子. 解：????? ??++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()??? ? ? ??++→2111λλλλ （5）设*A 是矩阵范数，给定一个非零向量α，定义 *H x x α=， 验证x 是向量范数. 二、（10分）设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为 ?? ?? ? ?????-=021110111A ， （1）（5分）求T 的值域)(T R 的维数及一组基； （2）（5分）求T 的核)(T N 的维数及一组基. 解：（1）由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]?? ?? ? ?????-021110111,,321εεε

中科院矩阵分析_第五章

第五章特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即 特征值的估计 广义特征值问题 实对称矩阵(一般是Hermite矩阵)特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题，最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。 5.1特征值的估计 一、特征值的界 首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的 一些方法 定理 5.1 设A=(a rs) R n X1,令 1 , , M= ma彷总a sr| 若表示A任一特征值，则的虚部Im() 满足不等式 |Im( )| M n(n21) |Im( )| ||A A T||2 / 2 |Im( )| ||A A T||1n /2. 证明：设x+i y为对应于的A的特征向量, 则A(x+i y)=( + i)(x+i y) 其中=+ i.显然x,y为实向量，且x,y为线性无关的向量。 经整理A(x,y)=(x,y)B, 其中B= 从而(x,y) T A(x,y)=(x,y) T(x,y)B 展开有

i 1 j i T T X y X X T T y y y X (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (x T x+y T y)=x T Ax+y T Ay (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： (x T x+y T y)=x T (A A T )y 1) . 记 B=A A T ,则 |x T By| ||x||2||B||2||y||2 从而 1 1 1凶|2 ||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y|2)2) 利用 ab/(a 2+b 2) 1/2 可得 | | ||B||2 /2. 2) . 由于 |x T By| ||B X ||I ||y|| ||B||i ||X ||I ||y|| 从而 | | ||B||i ||x||i ||y|| /((||X |2)2 +(||y||2)2) 易证明 ||x||i ||y|| /((||X ||2)2 +(||y||2) 2) n /2. (显然，不妨假设(||X ||2)2 +(||y||2)2=1, 设HyH =t=cos ()，则y 必为t e 的形式(为什么？) 从 而极值转化为求解如下最大值问题： max ||X ||1,满足约束(||X ||2)2=1 t 2 这样有均值不等式 ||x|h i n ||X ||2= 、、n (1 t 2)1/2, 从而我们需要求解t(1 t 2)1/2的最大值，设t=cos() 可得 t(1 t 2)1/2的最大值为1/2.从而得证。) 因此 11 ||B||1 . n /2. 3) . 由于 b ii =0, i =1,2,…,n, b ij = b ji , n 1 因此 x T By|2=| b ij (X y j X j y i )|2 i 1 j i 2 n (2M)2 |xy j X j Y i | i 1 j i (利用(a 1+a 2+…+a n )2 n((a 1)2+(a 2)2+ …+(a n )2) n (2M)2(n(n 1)/2) | X y j X j yj 2 X T A X y T Ax X T Ay y T Ay T T X X X y T T X y y y

北京交通大学研究生课程矩阵分析期末考试2011-12-16

北京交通大学 2011-2012学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业 班级 学号 姓名 一、（共12分，每小题3分）试对下列概念给出定义： （1）线性映射的值域和核；（2）线性变换的特征值和特征向量； （3）矩阵的最小多项式； （4）矩阵的诱导范数. 二、（共24分，每小题8分）设5R 空间中的向量 110212α????????=????????，201221α????????=????????，312012α?? ? ? ?= ? ? ???，413233α????????=????????，512013α????????=????????，623445α?? ???? ??=?? ?? ???? ， Span V =1()1234,,,αααα，Span V =2()56,αα， （1）求矩阵()123456,,,,,A αααααα=的满秩分解； （2）求21V V +的维数及基； （3）求21V V 的维数及基. 三、（10分）求矩阵2000 0224400 2A ????? ?=?????? 的正交三角分解UR A =，其中U 是次酉矩阵，R 是正线上三角矩阵. 四、（10分）设13021i i A i i ??= ?---??24 C ?∈，计算12, , , F A A A A ∞. （这里12-=i ）.

2 五、（共28分，每题7分）证明题： （1）设A 是正定Hermite 矩阵，B 是反Hermite 矩阵，证明：AB 的特征值的实部为0. （2）设A 为正规矩阵，证明：)(2A A ρ=. 这里)(A ρ为A 的谱半径. （3）设n n C B ?∈且1

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【最新整理，下载后即可编辑】 第五章 矩阵分析 本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识. §5.1 向量与矩阵的范数 从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用. 一、向量的范数 定义1 设V 是数域F 上n 维（数组）向量全体的集合，x 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件： 1）非负性 对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有x =0； 2）齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有 ;x k kx = 3）三角不等式 对任意V y x ∈,，有 y x y x +≤+， 则称此函数x （有时为强调函数关系而表示为?） 为V 上的一种向量范数. 例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义

2 22212 n x x x x +++= 则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模]. 证 首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足 1）非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2）齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈，有 22||||||kx k x = =； 3）三角不等式 对任意复向量 1212(,, ,),(,, ,)T T n n x x x x y y y y ==，有 222 221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++ ++ 2221122()()()n n x y x y x y ≤++++ ++ 2 2 1 1 1 ||2||||||n n n i i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ不 等式） 22 2222 2 22||||2||||||||||||(||||||||), x x y y x y ≤++=+ 因此 222||||||||||||x y x y +≤+ 所以 2||||x 确为n C 上的一种向量范数 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义 112||||||||||n x x x x =+++， 1max i i n x x ∞ ≤≤=， 则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数.

#研究生矩阵论第1讲 线性空间

矩阵论 1、意义 随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容 《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异： 线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容． 矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富． 3、方法 在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同： 线性代数：引入概念直观，着重计算． 矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将

来正确处理实际问题有很大的作用． 第1讲 线性空间 内容： 1.线性空间的概念； 2.基变换和坐标变换； 3.子空间和维数定理； 4.线性空间的同构 线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象． §1 线性空间的概念 1. 群，环，域 代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数． 代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算． 代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统． 1.1群 定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群． 1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα； 2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；