四年级数学---巧填数阵图

巧填数阵图

课前练习：

1、用0、

2、5、8、9 可以组成多少个不同数字的三位数

2、大小两个正方形对应边的距离为 4 厘米，两个正方形之间的部分面积为160平方厘米，求小正方形的面积？

3、在420 为的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行 1 分钟10 秒相遇，如果背向而行30 秒相遇，已知甲比乙快，求甲乙的速度？

4、哥哥和弟弟在同一所学校读书,哥哥每分钟走80米,弟弟每分钟走50米, 有一天, 弟弟先走12分钟,哥哥才出发, 当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校,问他们家离学校有多远?

学习新知

例1、把1—7 这七个数分别填入下图的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于12

例2、把数字1——8 分别地填入下图中的小圆圈内，使每个圆上的五个数的和都等于

20。

例3、将1—6这六个数填入图中的圆圈中，要求四条直线上的数字之和都等于10，那

么 a 是多少？

例4、下图中有5个圆，它们相交后分成9个区域，现在两个区域里已经填上了11

与7，请在另外的七个区域里分别填入2、3、4、5、6、9、10 这七个数，

使每个圈内的和都等于17。

课堂练习

1、把1—7 这七个数分别填入下图的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于14

2、把数字1—8 分别填入下图中的小圆圈内，使得每个圆上五个数的和都等于

22。

3、把5—14 这十个自然数分别填入下图中的圆圈中，使每个大圆上的六个数的

和等于55，求a+b 等于多少？

例1、4、下图中有 5 个圆，它们相交后分成9 个区域，现在两个区域里已经填上了10 与6，请在另外的七个区域里分别填入2、3、

4、5、6、7、9 这七个数，使每个圈内的和都等于15。

四、勇攀高峰。

例

1、把

2、

3、5、7、11、 13、17、

例2、图中有 10个小三角形和 4个大三角形，将 1——10 填入每个小三角

形，使每个大三角形内的数字之和都等于 25，（已填好三个数）

家庭作业

1、 将 1—— 11这十一个数分别填入下图中的圆圈中， 使每条线上 3 个圆圈中的数的

用箭头连接起来的四个数的和都等于

19 分别填入下图的每个圆圈中，使得

图中

和相等。

2、请将1、2、

3、

4、

5、

6、

7、这七个数发别填入下图中的小圆圈里，使每条直

线上的三个数之和都相等。

3、把数字1——8 分别填入下图中的小圆圈内，使每个圆上五个数的和都等于

21。

4、把数字5—14 分别填入下图中的小圆圈内，使每个圆上六个数的和都等于55

5、把数字10—80 分别填入下图中的小圆圈内，使每个圆上五个数的和都等于210

6、把数字1—8 分别填入下图中的8个小圆圈内，使每个小正方形四个顶点之和等于

大正方形四个顶点之和

6、将1—10 这十个数分别填入下图中的小圆圈中，使每个圆周上六个数的和是

29。

7、在下面坚式的方框中填入合适的数字，使得坚式成立

(完整版)4年级有趣的数阵图

4年级有趣的数阵图 相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”,背上有美妙的图案，史称“洛书”。 这个图案用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，也就是将 1～9这九个数字填在方格中，使每横行、每竖列和对角线的3个 数的和都相等。 幻方经过演变就得到我们即将要学习的数阵图，他们的解题 思路基本一样，接下来我们就一起看看数阵图吧！ 例1：把1～5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。 我发现一条直线上三个数相加时，端 点四个数只加一次，中间的数加了两 次。 不论那5个数填在哪里，从整体来看，5个数都加了1 次，其中有1个数还多加了一次，得到了2个和，也 就是6个数相加等于2×9=18。 说得对，我们把多加一次的那个数用括号或 者字母表示，就可以得到一个等式。 解答数阵图的关键是重叠数，所以填数阵时，一般优先考虑重叠数。可以把这个数位用括号或字母表示，列出等式，再根据条件解 答出来。

把1～7这七个数分别填入图中七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都是12。 例2：将从1～10填入各○中，使每条线上的数字和相等，你有几种填法？ 我发现一条直线上四个数相加时，中间的数 加了三次，其他的三个数只加一次。而且， 和前面不一样的地方是：没有告诉我们直线 上的和是多少。 和上题一样，不论这10个数怎么填，所有的数都加了 一次，其中还有1个数多加了2次，它们的总和等 于3条直线上数字的和，我们同样可以列出一个等式。

例3：把1～9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？ 将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法 ) 例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和都是24。 中间的三个数只加一次，三个角上的数都加了二次，有三个数要设字母吗？ 按照前面学习的方法，先列出一个等式，再考虑三个未知的数吧。

第十二讲巧填数阵图教师

第十二讲巧填数阵图 数学乐园 晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子.一个雪精灵告诉她们：“你们只要能够把1～7这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了.”你能帮她们填一填吗?. 【教学思路】在开课的时候，老师可通过故事引入，激发学生对填数游戏的兴趣.让学生初步感知什么是数阵.因为填数阵有一定的难度，所以在这里我们不需要马上让孩子完成这个题，可以放在最后来解决这个问题. 小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不 是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！ 基础篇 使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现. 数阵图是小学奥数中比较重要的一个知识点，现在我们把它放在一年级开始学习似乎有些过难.但这节课我们只是希望通过一些简单的填数字游戏，使学生初步感知到什么样的是 数阵，让学生用自己喜欢的方法来巧填数字，培养他们的思维能力.在鼓励学生去研究方法 的同时，教师引导学生去发现数阵的简单规律，以及填数阵的基本方法，通过找数阵中的关 键数来找到解题的钥匙.在今后的不断学习中，能把这种方法灵活应用到实际中去.

【教学思路】一般在解答这类填数问题时，把同一条边上出现两个数字的空格先填.之前我们已经有过这样的练习，学生有了一定的基础.这道题的答案不止一个，我们只要求学生能找到其中的一种就达到要求了. （1）右边两个圆的和应该是9，所以里可填（0，9）（2，7）（3，6）. （2）告诉我们中间的数字是2，剩下两边上两个数字的和应该是9-2=7.0+7=1+6=3+4，所以剩下两边上两个数可以填（0，7），（1，6），（3，4） （3）7+6=13，15-13=2，所以第2条线中间填2.左边第一条线：15-7=8，0+8=3+5，数字不重复共两种填法.第三条线15-6=9，0+9=4+5，数字不重复共两种填法 （4）6+4=10，13-10=3，所以第2条线最下是3，.左边第一条线：13-6=7，0+7=2+5，数字不重复共两种解法.第三条线：13-3=10，1+9=2+8，数字不重复共两种解法.

四年级数学数阵图(二)例题讲解

第17讲数阵图（二） 例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。 解：由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。 因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4 或10时可得两个解（见下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。

例2将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有

证明：设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为2d-c（见下图）。 根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到 3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）， 3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c， d——c＋b＝d——a＋c， 2c＝a＋b， a＋b

c＝2。 值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。 例3在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。 解：由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。 例4在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。

四年级数学巧填数阵图

巧填数阵图 课前练习： 1、用0、 2、5、8、9可以组成多少个不同数字的三位数 2、大小两个正方形对应边的距离为4厘米，两个正方形之间的部分面积为160平方 厘米，求小正方形的面积 3、在420为的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行1分钟10秒相遇，如果背向而行30秒相遇，已知甲比乙快，求甲乙的速度 4、哥哥和弟弟在同一所学校读书,哥哥每分钟走80米,弟弟每分钟走50米,有一天,弟弟先走12分钟,哥哥才出发,当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校,问他们家离学校有多远 学习新知 例1、把1—7这七个数分别填入下图的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于12。

例2、把数字1——8分别地填入下图中的小圆圈内，使每个圆上的五个数的和都等于20。 例3、将1—6这六个数填入图中的圆圈中，要求四条直线上的数字之和都等于10，那么a是多少 例4、下图中有5个圆，它们相交后分成9个区域，现在两个区域里已经填上了11与7，请在另外的七个区域里分别填入2、3、4、5、6、9、10这七个数，使每个圈内的和都等于17。 课堂练习

1、把1—7这七个数分别填入下图的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于14。 2、把数字1—8分别填入下图中的小圆圈内，使得每个圆上五个数的和都等于22。 3、把5—14这十个自然数分别填入下图中的圆圈中，使每个大圆上的六个数的和等 于55，求a+b等于多少 例1、4、下图中有5个圆，它们相交后分成9个区域，现在两个区域里已经填上了10与6，请在另外的七个区域里分别填入2、3、4、5、6、 7、9这七个数，使每个圈内的和都等于15。

四年级数学数阵图讲解(一)

四年级数学数阵图讲解（一） 我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵.其解题的关键在于“重叠数”。本讲和下一讲.我们学习三阶方阵.就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图.解题的关键仍然是“重叠数”。我们先从一道典型的例题开始。 例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中.使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。 分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45.正好是三个横行数字之和.所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。也就是说.每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。 在1～9这九个数字中.三个不同的数相加等于15的有： 9＋5＋1.9＋4＋2.8＋6＋1.8＋5＋2. 8＋4＋3.7＋6＋2.7＋5＋3.6＋5＋4。 因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。 因为中心方格中的数既在一个横行中.又在一个竖列中.还在两对角线上.所以它应同时出现在上述的四个算式中.只有5符合条件.因此应将5填在中心方格中。同理.四个角上的数既在一个横行中.又在一个竖列中.还在一条对角线上.所以它应同时出现在上述的三个算式中.符合条件的有2.4.6.8.因此应将2.4.6.8填在四个角的方格中.同时应保证对角线两数的和相等。经试验.有下面八种不同填法：

上面的八个图.都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如.第一行的后三个图.依次由第一个图顺时针旋转90°.180°.270°得到。又如.第二行的各图.都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以.这八个图本质上是相同的.可以看作是一种填法。 例1中的数阵图.我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地.将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中.如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等.那么这样的图称为三阶幻方。 在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等.而不要求两条对角线上的三数之和也相等.则解不唯一.这是因为在例1的解中.任意交换两行或两列的位置.不影响每行或每列的三数之和.故仍然是解。 例2用11.13.15.17.19.21.23.25.27编制成一个三阶幻方。 分析与解：给出的九个数形成一个等差数列.对照例1.1～9也是一个等差数列。不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数.即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数.即13.17.21.25.而且对角 两数的和相等.即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）。 与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中.使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同.这样填好后的图称为三阶反幻方。 例3将前9个自然数填入右图的9个方格中.使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同.并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。 分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。经试验有下图所示的三种情况：

巧填数阵图

巧填数阵图 数学乐园 晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子.一个雪精灵告诉她们：“你们只要能够把1～7这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了.”你能帮她们填一填吗?. 小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一 个数，可不是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！ 基础篇 使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能 重复出现. 拓展练习 (1)填数，使横行、竖行的三个数相加都得11. (2)填数，使每条线上的三个数之和 都得15. 在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18. 要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18，下面每个方框里应填

什么数？ 拓展练习 在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15. 把1，2，3，4，5，6六个数，分别填入○内，使每条线上3个数的和相等. 提高篇 把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15. 拓展练习 把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于1 2. 把1，2，3，4，5，7分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13. 把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为12. 拓展练习 把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈

一上奥数数阵填数填符搭配路线排队

1.数阵图类型 发射型： 封闭型 2.突破方法： ①找数字出现最多的线，用加减法去算 ②头中尾，填中间，大小大小手拉手 3.数阵图歌 数阵图，真有趣，每条线，和相等 数越多，先找他，头中尾，中间填 1.在图中空格里填上一个数，使得横行、竖行的三个数的和等于10. 2.在图中空格里填上一个数，使得横行、竖行的三个数的和等于9. 3.在图中空格里填上一个数，使得横行、竖行的三个数的和等于9. 4.把4、5、7、8四个数填在四个空格里，使得横行、竖行三个数相加等于18. 5.在圆圈里填上合适的数，使每条线上三个数的和都等于10. 6.在正方形中填上合适的数，使横行、竖行、斜行上的三个数相加都等于18. 7.把数字1、2、3、4、6、7、8、9分别填入下面八个圆圈中，使每条线上的三个数字的和等于15. 8.把1、2、3、4、5这五个数填入图中的方格中，使横行、竖行三个数的和都相等. 9.把1、2、3、4、5这五个数填入图中的方格中，使横行、竖行三个数的和都等于9. 10.把1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下面的圆中，使每条线上的三个数相加都相等. 11.把1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下面的圆中，使每条线上的三个数相加和都等于14. 12.把2、3、4、5、6、7、8这七个数填入下面的圆中，使每条线上的三个数和都等于15. 13.把4、6、9、11这四个数分别填入下图的圆圈中，使每条线上及大圆圈上的各数相加和都相等. 8简单数阵 知识点： 课堂共同学习

14.把5、5、7、7、9、9分别填在下面的圆圈里，使每条边上都有5、7、9. 1.填数，使横行、竖行的三个数相加都得11. (2)填数，使每条线上的三个数之和都得15. 2.在圆圈里填上合适的数，使每条线上三个数的和都等于8. 3.要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18，下面每个方框里应填什么数？ 4.在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于1 5. 5.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是12. 6.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15. 7.把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于1 2. 8.把3，4，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为 20. 9.把4、6、9、11这四个数分别填入下图的圆圈中，使每条线上及大圆圈上的各数相加和都相等. 10.在每个方格内，只能填1、2、3三个数字，使横行、竖行的三个数相加都相等，但每一横行、竖行的三个数字互不相同. 5 4、6 3 4和8,5和7随便填 1.相邻数加法和减法的特征： ①加法特征：大小、大小和相等，是横式变形的根本. ②减法特征：相邻两数相减，差永远是1.（减法相等的依据） 课后自我提升 9横式填数 知识点：

小学一年级奥数 简单的数阵图

简单的数阵图 课前活动套tào 圈quān 游yóu 戏 xì 仔zǐ细xì观guān 察chá，聪cōng 明míng 的de 小xiǎo 朋péng 友yǒu ，你nǐ知zhī道dào 小xiǎo 象xiàng 套tào 中zhōng 了le 哪nǎ几jǐ个gè数shù吗ma ？请qǐng 将jiāng 套tào 中zhōng 的de 这zhè几jǐ个gè数shù填tián 在zài 下xià面mian 左zuǒ图tú中zhōng 的de 圆yuán 圈quān 里lǐ，使shǐ每měi 行háng 、每měi 列liè的de 三sān 个gè数shù相xiāng 加jiā的de 和hé都dōu 等děng 于yú15，你nǐ能néng 做zuò到dào 吗ma ？ 【例1】(★★) 请qǐng 你nǐ用yòng 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9填tián 空kòng ，使shǐ得dé每měi 一yí道dào 题tí中zhōng ， 同tóng 一yī个gè数shù字zì不bù能néng 重chóng 复fù出chū现xiàn 。 【例2】(★★★) 将jiāng 1～16这zhè十shí六liù个gè数shù分fēn 别bié填tián 入rù下xià面mian 方fāng 框kuàng 中zhōng ，使shǐ横héng 行xíng 、竖shù行háng 、斜xié行háng 的de 和hé都dōu 相xiāng 等děng 。【例3】(★★★) 请qǐng 把bǎ2，3，4，5，6这zhè五wǔ个gè数shù分fēn 别bié填tián 入rù下xià面mian 的de 空kòng 格gé中zhōng ， 使shǐ每měi 条tiáo 线xiàn 上shàng 三sān 个gè数shù相xiāng 加jiā的de 和hé都dōu 等děng 于yú 12。

四年级数学上册数阵图(三)讲解

四年级数学上册数阵图（三）讲解 数阵问题是多种多样的，解题方法也是多种多样的，这就需要我们根据题目条件灵活解题. 例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等. 分析与解：由上图看出，三组数都包括左.右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等.20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有 5＋19＝7＋17＝11＋13， 于是得到下图的填法.

例2在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行.每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4. 分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b 处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图.

例3将1～8填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内. 分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻，而2～7中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填1和8.2只能填在与1不相邻的○内，7只能填在与8不相邻的○内.其余数的填法见右上图. 例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等.

分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10.10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法. 例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除.

小学奥数16数阵图

1.10.5数阵图 1.10.5.1基础知识 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。 数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。 它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。 解数阵问题的一般思路是： 1.求出条件中若干已知数字的和。 2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。 3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。 1.10.5.2辐射型数阵 例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。 解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15 题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。 例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。

解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，则a被重复使用了2次。即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。 （28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3 其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三数。 当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。同理可求得a＝4、a＝7两端应填入的数。 例3将从1开始的连续自然数填入各○中，使每条线上的数字和相等。 解：图中共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，a被重复使用了两次，即：1＋2＋3＋……＋10＋2a＝55＋2a，55＋2a应能被3整除。（55＋2a）÷3＝55÷3＋2a÷3 其中，55÷3＝18余1，所以2a÷3应余2。由此，可推知a只能在1、4、7中挑选。在a ＝1时，55＋2a＝57，57÷3＝19，即中心数若填1，各条线上的数字和应为19。但是除掉中心数1，在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：9＋7＋2＝18，8＋6＋4＝18，7＋5＋3＝15所以，a不能填1。经试验，a＝7时，余下的数组合为12（19－7＝12），也不能满足条件。因此，确定a只能填4。 例4将1～9九个数字，填入下图各○中，使纵、横两条线上的数字和相等。

巧填数阵图

巧填数阵图 1．从1～13这十三个数中挑出十二个数，填入下图的小方格内，使每一横行的四个数的和相等，每一竖列的三个数的和也相等。 2．如图，“好、伙、伴、助、手、参、谋”这7个汉字分别代表1至7这7个数字，已知3条直线上的3个数相加、1个圆周上的3个数相加，所得的5个和相同，那么，“好”字代表多少？ 3．4个小三角形顶点处有6个圆圈。若这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，且每个小三角形顶点上的和相等，完成该数阵图。 4．下图中有大、小六个正方形，将1～9九个数分别填入圈内，使每个正方形角上的四个数的和都相等。

5．下图中四个圆相交分割成阴影部分以及A、B、C、D、E、F、G、H、I九个空白部分，将1～9九个数填入这九个部分，使每个圆内四个数字之和都等于24，并要求I部分填入的是偶数。 6．下图的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6，请你选9个连续自然数(包括6在内)填入圆圈内，使每条线上各数的和都等于23。 7．请在下图的7个小圆圈内各填入一个自然数，使得图中给出的每个数都是相邻两个圆圈中所填数的差(大数减小数)，并且所填的7个数之和是1997。

8．下图是奥林匹克的五环标志，其中a，b，c，d，e，f，g，h，i处分别填入整数1至9，如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少？ 9．有10个连续的自然数，9是其中第三大的数，现在把这10个数填到下图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个2×2的正方形中的4个数之和相等，那么，这个和数的最小值是多少？ 10．能否将数0，1，2，…，9分别填入下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等？ 11．如下图，大三角形被分成了9个小三角形，试将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等，问这5个数的和最大可能是多少？

一年级奥数巧填数阵图

第十二讲巧填数阵图 晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子?一个雪精灵告诉她们：“你们只要能够把1?7这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数 之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了? ”你能帮她们填一填吗 小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每个数，可不 是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法下面我们就一起来学习吧！ 基础篇 ,7, 8, 每边上的和为9 每边上的和为13

拓展练习 6 在每个方格中填入适当的数 18 拓展练习 15 ? 在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于 使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是 要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为 18，下面每个方框里应填什么数? 4**(1)填数，使横行、竖行的三个数相加都得 11. (2)填数，使每条线上的三个数之和都得 15 1 1 ■ 1 2 3 . n n 3 E □ — □ □ k J fj 5 2

13. A ........... ?F 把2, 3, 4, 5, 6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于 把1 , 2, 3, 4, 5, 6六个数，分别填入O 内，使每条线上 3个数的和相等 15 . 1 2.

7 拓展练习 O O 8 19 拓展：如果使两个正方形中四个数之和相等 等于15 21,又应该怎样填? 1?9这九个数字填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数之和都 把2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这七个数分别填入圆圈中，使两个正方形中四个数之和相等 练把 把1, 2, 3, 4, 5, 6, 7这七个数分别填入 O 里，使每条直线上的三个数相加的和都为 12

二年级奥数数阵图带答案

在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷．它就是数阵图．到底什么是数阵图呢？我们先观察下面两个图： 数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形．它一般分为辐射型(图1)和封闭型(2)两种．要把一些数字按一定的规则填入图形中，并不是一件容易的事，这需要我们多观察，找关系，仔细推理才能完成．下面我们就一起来找一找数阵图的秘密吧！

如图，在空格中填入2、3、4、5，使横行和竖行三个数的和都等于8。【解答】 如图，在空格中填入1、2、4、5，使横行和竖行三个数的和都等于9。【解答】 知识分类一：基础数阵图 1 1 3 3 25 3 4 1 24 5

如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和等于15。 【解答】 将2，4，6，7，8，10分别填入图中空格，使每一个横行、竖行、斜行的三个数的和等于18。 【解答】 8 1 8 7 9 3 5 7 2 6 10 4

把1、3、5、7、9、11、13七个数填入下图中的七个圆圈内，使每条直线上三个数的和都等于21。 【解答】这道题可以这样想：1+3+5+7+9+11+13=49,21+21+21=63，63-49=14，由于计算三条直线上三个数时，中间圆圈里的数多算了两次，就多出了14，正好7+7=14，说明中间圆圈里应该填“7”，21-7=14，把另外六个数两个两个分组，使每组两个数的和都等于14；1+13=3+11=5+9=14，也就是首尾配对。

把1、2、3、7、8、9这六个数分别填在下面图中的○里，使每条直线上三个数的和都相等。 【答案】 把1、2、3、4、5、6这六个数填入下图的圆内，使每个大圆的四个数的和都等于13。 【答案】 5 8 219 7 5 3 知识分类二：数阵图进阶

第十二讲 巧填数阵图 教师

第十二讲 巧填数阵图 数学乐园 晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子.一个雪精灵告诉她们：“你们只要能够把1～7这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了.”你能帮她们填一填吗?. 【教学思路】在开课的时候，老师可通过故事引入，激发学生对填数游戏的兴趣.让学生初步感知什么是数阵.因为填数阵有一定的难度，所以在这里我们不需要马上让孩子完成这个题，可以放在最后来解决这个问题. 小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不 是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！ 基础篇 使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现. 数阵图是小学奥数中比较重要的一个知识点，现在我们把它放在一年级开始学习似乎有 些过难.但这节课我们只是希望通过一些简单的填数字游戏，使学生初步感知到什么样的是 数阵，让学生用自己喜欢的方法来巧填数字，培养他们的思维能力.在鼓励学生去研究方法 的同时，教师引导学生去发现数阵的简单规律，以及填数阵的基本方法，通过找数阵中的关 键数来找到解题的钥匙.在今后的不断学习中，能把这种方法灵活应用到实际中去.

【教学思路】一般在解答这类填数问题时，把同一条边上出现两个数字的空格先填.之前我们已经有过这样的练习，学生有了一定的基础.这道题的答案不止一个，我们只要求学生能找到其中的一种就达到要求了. （1）右边两个圆的和应该是9，所以里可填（0，9）（2，7）（3，6）. （2）告诉我们中间的数字是2，剩下两边上两个数字的和应该是9-2=7.0+7=1+6=3+4，所以剩下两边上两个数可以填（0，7），（1，6），（3，4） （3）7+6=13，15-13=2，所以第2条线中间填2.左边第一条线：15-7=8，0+8=3+5，数字不重复共两种填法.第三条线15-6=9，0+9=4+5，数字不重复共两种填法 （4）6+4=10，13-10=3，所以第2条线最下是3，.左边第一条线：13-6=7，0+7=2+5，数字不重复共两种解法.第三条线：13-3=10，1+9=2+8，数字不重复共两种解法.

四年级数学思维训练导引(奥数)第04讲--数阵图初步

第四讲数阵图初步 1．在图4-1中的三个圆圈填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11. 2．请分别将1，2，4，6这四个数填在图4-2中的各空白区域，使得每个圆圈里四个数之和都等于15. 3．如图4-3所示，请在三个空白圆圈填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等． 4．把1至8分别填入图4-4的八个方格，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等．

5．把l至12分别填入图4-5的圆圈，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等． 6．在如图4-6所示的3×3方格表填入1、2、3这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等． 7．把1至6分别填入图4-7的六个圆圈，使得每个正方形四个顶点的数之和都为13. 8．把1至6分别填入图4-8的六个方格，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等．这个和最大是多少？最小是多少？

9．把1至7这七个数分别填入图4-9中各圆圈，使每条直线上三个圆圈所填数之和都相等．如果中心圆填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法． 10.在图4-10的6个圆圈分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下面那个数最小是几？ 1．将1至9分别填入图4-11中的圆圈，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都等于15.现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.

2．在图4-12中的八个圆圈分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等，现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整． 3．图4-13是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈．请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个自然数分别填入这些小圆圈，使得每个长方形上的四个数之和都相等． 4．在图4-14中的方格填入三个0、两个2、两个3、两个4，使得每个箭头所指的列中各方格数字之和都是6，并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是7．

小学四年级数学数阵图(三)

第18讲数阵图（三） 数阵问题是多种多样的，解题方法也是多种多样的，这就需要我们根据题目条件灵活解题。 例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。 分析与解：由上图看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等。20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有 5＋19＝7＋17＝11＋13， 于是得到下图的填法。 例2在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。 分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b 处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图。

例3将1～8填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内。 分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻，而2～7中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填1和8。2只能填在与1不相邻的○内，7只能填在与8不相邻的○内。其余数的填法见右上图。 例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。 分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10。10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法。 例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。 分析与解：设未被标出的数为a，则被标出的八个数之和为1＋2＋…＋9-a ＝45-a。由于每个顶点都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为 6k＝3×（45-a）， 2k＝45-a。

奥数一年级教案第十二讲巧填数阵图教师

巧填数阵图 数阵图是小学奥数中比较重要的一个知识点，现在我们把它放在一年级开始学习似乎有 些过难 . 但这节课我们只是希望通过一些简单的填数字游戏，使学生初步感知到什么样的是 数阵，让学生用自己喜欢的方法来巧填数字，培养他们的思维能力 . 在鼓励学生去研究方法 的同时，教师引导学生去发现数阵的简单规律，以及填数阵的基本方法，通过找数阵中的关 键数 来找到解题的钥匙 . 在今后的不断学习中，能把这种方法灵活应用到实际中去 . 晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子 . 一个雪精 灵告 诉她们：“你们只要能够把 1～7 这七个数填在雪花的七个花瓣上， 使每三个位于同一直线上的花瓣上的数 之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了 . ”你能帮她们填一填吗 ?. 【教学思路】 在开课的时候，老师可通过故事引入，激发学生对填数游戏的兴趣 . 让学生初步感知什么是 数阵. 因为填数阵有一定的难度，所以在这里我们不需要马上让孩子完成这个题，可以放在最后来解决这 个问题 . 是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法 面我们就一起来学习吧！ 小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每 个数，可不

使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现 【教学思路】一般在解答这类填数问题时，把同一条边上出现两个数字的空格先填. 之前我们已经有过这样的练习，学生有了一定的基础. 这道题的答案不止一个，我们只要求学生能找到其中的一种就达到要求了. 1）右边两个圆的和应该是9，所以里可填（0，9）（2，7）（3，6） （2）告诉我们中间的数字是2，剩下两边上两个数字的和应该是9-2=7.0+7=1+6=3+4 ，所以剩下两边上两个数可以填（0，7），（1，6），（3，4） （3）7+6=13，15-13=2，所以第2条线中间填2.左边第一条线：15-7=8 ，0+8=3+5，数字不重复共两种填法. 第三条线15-6=9 ，0+9=4+5，数字不重复共两种填法 4）6+4=10，13-10=3 ，所以第2条线最下是3，.左边第一条线：13-6=7 ，0+7=2+5，数字不重复共两种

一年级奥数巧填数阵图

一年级奥数巧填数阵图 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第十二讲巧填数阵图 数学乐园 晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子.一个雪精灵告诉她们：“你们只要能够把1～7这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了.”你能帮她们填一填吗. 小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗要想准确的填出图中的每一个数，可不是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！ 基础篇 使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现. 拓展练习 (1)填数，使横行、竖行的三个数相加都得11. (2)填数，使每条线上的三个数之和都得15. 在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.

要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18，下面每个方框里应填什么数 拓展练习 在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15. 把1，2，3，4，5，6六个数，分别填入○内，使每条线上3个数的和相等. 提高篇 把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15. 拓展练习 把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于1 2. 把1，2，3，4，5，7分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13. 把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为12.

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第十二讲巧填数阵图芈 肃数学乐园 蒄 蒁晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子 . 一个雪精灵告诉她 们：“你们只要能够把 1～ 7 这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之 和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了. ”你能帮她们填一填吗?. 蚇 螃小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法. 下面我们就一起来学习吧！ 芁 薀基础篇 膆使用数字0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7， 8， 9 做加法 . 在每一道题中，同一个数字不能重复出现.

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羄 膁要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18，下面每个方框里应填什么数？ 腿 虿拓展练习 螄在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15. 芃 薁把 1， 2， 3，4， 5， 6 六个数，分别填入○内，使每条线上 3 个数的和相等. 膈

蒅肀 提高篇 把 3， 4， 5， 6， 7 这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15. 蚀 薇拓展练习 芅把 2， 3， 4， 5， 6 这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于 1 2. 肁 螈把 1， 2， 3， 4， 5， 7 分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13. 羇

四年级数学上册数阵图(三)讲解

四年级数学上册数阵图［三］讲解 数阵问题是多种多样的，解题方法也是多种多样的，这就需要我们根据题目条件灵活解题。 例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。 分析与解：由上图看出，三组数都包括左.右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等。20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有 5＋19＝7＋17＝11＋13， 于是得到下图的填法。 例2在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行.每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。 分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b 处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图。

例3将1～8填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内。 分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻，而2～7中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填1和8。2只能填在与1不相邻的○内，7只能填在与8不相邻的○内。其余数的填法见右上图。 例4在右图的六个○内各填入一个质数［可取相同的质数］，使它们的和等于20，而且每个三角形［共5个］顶点上的数字之和都相等。 分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10。10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法。 例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。 分析与解：设未被标出的数为a，则被标出的八个数之和为1＋2＋…＋9-a＝45-a。由于每个顶点都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为 6k＝3×［45-a］，

四年级奥数第4讲数阵图

第4讲数阵图 一、知识要点 在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化。 那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图： 左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，是不是很奇妙！ 上面两个图就是数阵图。一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只介绍两种数阵图，即开放型数阵图和封闭型数阵图。 二、精讲精练 例1：把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。 解析：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以 (1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右图)。

练习1： 1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10。 2、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。 例2：把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。 解析：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于 [(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。 因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。在剩下的四个数1，2，3，4中， 只有1+4=2+ 3=5。故有右图的填法。 练习2： 1、将 10～20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。