一个与勾股定理相关的公式

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一个与勾股定理相关的公式

数学课上，老师写出几对常用的勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；经观察、分析、我发现几对勾股数有一个规律，以3，4，5这对为例，由勾股定理可

得32+42=52，且有32

=4+5，及2231314,5

-+==，根据这些条件，不难得出：2

3+2

a +分析 ∵28852－242

符合222a 1()a 2+-的形式； 232+2642

符合222a 1()a 2-+的形式；

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例3 如图，在△ABC 中，∠B=90°，D 是AC 上一点，且DA=BA ，若BC=a ，2a 1AB 2

-=，求DC 的长。

解 ∵ ∠B=90°，BC=a ， ∵AD=AB

勾股定理(一)

第十八章勾股定理 18．1 勾股定理（一） 一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。 三、例题的意图分析 例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、 ∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸， A B

常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边 a 、 b 、 c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝ ４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++() y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()122 1++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1 221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（4 1〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）． 四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) . 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）. 2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2 ）（其中m>n 且是互质的奇数）. 3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）. 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145

勾股定理与面积计算

勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗？你能得出什么结论吗？ 2.如图（2）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 3. 如图（3）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以R t ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 5、如图14.1.3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E 的面积为81cm 2，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方 形1的面积为64cm 2，则正形7的边长为 。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边 为a ，较长直角边为b ，求（a+b ）= 。 8. 有一块土地的形状如图， ∠B=∠D=90°，AB=20m ，BC=15m ，CD=7m ，请计算这块土地面积。 （2） （3） (4) 1242334图14.1.4B 8题图

勾股定理总结

勾股定理总结 _________________________ 勾股定理做题方法总结 一、求边长类题目。 1、牢记勾股定理公式，并记住几组够股数，知道够股数同时乘以或者除以一个数，够股数仍然成立，填 空选择题可以直接通过这个定理写出答案。 2、当遇到跟“底、高”有关的题目时，联想到三角形面积公式：（低×高）÷2 3、选题题、填空题要求求第三条边时，一定要看清楚已知的两条边是不是直角边，若题目中没有说明， 一定要考虑多种可能性。 4、学会画简图，并且能够准确的在图上标出已知数据。 5、做辅助线的时候，切记不要将已知的直角分割，尽量保留已知角。 6、题目中出现30度、60度角时马上联想到30度角对应的直角边等于斜边的一半。 7、遇到45度角的时候，马上想到两条直角边相等 二、求面积、周长类题目。 1、知道两条直角边相乘再÷2就可以求出RT三角形的面积。 2、牢记圆的面积公式和周长公式。 3、在做比较难的题目时，一定要将题目中所有已知数据的关系式列出来（经常用到勾股定理公式、面积 公式、周长公式……） 4、了解等边三角形、等腰三角形的一些特性，比如角平分线同时也是高，同时也是底边中线。 5、要学会设x，因为x除了表示自身外还要用来表示其他边，所以x设的越简练越容易计算越好。 6、看到正方形对角线，就要想到对角线把正方形分割成两个等腰三角形，从而获得两个相同的直角边。 三、判断类题目。 1、考虑周全每一种情况。 2、必要的时候可以带入具体数字尝试计算验证。 3、一定要自己读题，判断类题目很喜欢玩文字游戏。 4、判断类题目实际上就是求边长、求面积、应用题还有一些公式、理论的综合应用问题。 四、应用类题目。 1、学会分析题目，多思考，学会画出草图并且标出已知量。 2、牢记一些常见题目的草图应该怎么画，比如航海方向问题，比如数断裂问题，比如梯子（杆子）斜靠 在墙上的问题等等。 3、应用题实际上就是求边长、面积、周长的题目加上了一些语言上的修饰，所以说要学会提炼出对自己 有用的信息，变成数学语言会简单很多。 几组常见的勾股数 若 a b c为勾股数则 an bn cn 同为勾股数（n＞0） 其他常用公式 （a+b）2= （a-b）2= （a+b）(a-b)= 圆的面积公式= 圆的周长公式= 三角形面积公式= 路程= 学子成托管辅导学校专业一对一辅导

三角形勾股定理公式

三角形勾股定理公式 勾股定理，又称商高定理，西方称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（英文：Pythagorean theorem或Pythagoras's theorem）是一个基本的几何定理，相传由古希腊的毕达哥拉斯首先证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，相传于商代就由商高发现，记载在一本名为《周髀算经》的古书中。而三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。 在平面一个直角三角形上用直线a的平方+直线B的平方=斜线C的平方 这就是勾股定理 经典证明方法细讲 方法一： 作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC 的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴∠EGF = ∠BED， ∵∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴∠BED + ∠GEF = 90°， ∴∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴∠ABC = ∠EBD. ∴∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90°

又∵∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 , ∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2 方法二 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°,

勾股定理及两点间距离公式B(学生版)

学科教师辅导讲义

2． 已知直角三角形的两边长分别是8cm 和6cm ，求它的面积. 题型三： 【例9】如下图，字母B 所代表的正方形的面积是 ； 【例10】如图，在一块用边长为cm 20的正方形的地砖铺设的广场上，一只飞来的鸽子落在A 点处，，鸽子吃完小朋友洒在B 、C 处的鸟食，最少需要走多远？ 【例11】欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？ B 169 25 C B A

【例12】如图，有一个高是1.5米、半径是1米的圆柱形油桶，在上地面靠边的地方有一小孔，从孔中插入一根铁棒，已知铁棒在油桶外的部分最短是0.5米，这根铁棒有多长？ 【例13】中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。你能结合这幅“勾股圆方图”证明勾股定理吗？ 【借题发挥】 1．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩的头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？ 2．如图，每个小方格都是边长为1的正方形， C

（1）求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。 （2）求∠ADC 的度数。 6．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长 为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这个芦苇的长度各为多少？ 题型四：两点间距离公式 【例14】求下列两点间的距离： （1）()2,8A -和()3,4B - （2）( ) 2,1C 和() 2,3D - （3）( ) 3,2P -和()23,1Q （4）( )5,2M -和() 2,5N

勾股定理及两点间的距离公式

模块一：勾股定理的证明及应用 知识精讲 1、勾股定理： （1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的； （2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形， 可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因 此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想． 例题解析 【例1】（1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________； （2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________． 【例2】（1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________； （2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________． 【例3】（1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________； （2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________； （3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________． 【例4】（1）若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是____________； （2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．

【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周 长． 【例6】 如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的 长． 【例7】 已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积． 【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一 栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）． A B C D A B C M M N B C D

《周髀算经》中勾股定理的公式与证明

《周髀算经》中勾股定理的公式与证明 首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二） 而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一[2] —— 昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？” 商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。” 周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。 “数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。 “故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个勾三（圆周率三）、股四（四方）的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。 “②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三个正方形。 “两矩共长③二十有五，是谓积矩。”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是大正方形减去右上、左下两个长方形面积后为勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出四个三角形面积等于右上、左下

勾股定理

勾股定理 勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解決几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。 在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。 在任何一个的直角三角形（Rt△）中，两条直角角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相減与最短边的平方相等）。 性质 1、直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那a2+b2=c2 2、勾股数，勾股数的推算公式 ①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853） 任取两个正整数m和n(m>n)，那么m2-n2，2mn，m2+n2是一组勾股数． 勾股数通式和常见勾股素数，若m和n是互质，而且m和n至少有一个是偶数，计算出来的a，b，c就是素勾股数（若m和n都是奇数，a，b，c就会全是偶数，不符合互质）。 所有素勾股数（不是所有勾股数）都可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。 ②如果k是大于1的奇数，那么k，（k2+1）/2，（k2-1）/2是一组勾股数． （3，4，5）, （5，12，13），（7，24，25）…… ③如果k是大于2的偶数，那么k，k2/4+1, k2/4-1是一组勾股数． （6，8，10）（8，15，17）（10，24，26）,…… ④如果a，b，c是勾股数，那么na nb，nc(n是正整数)也是勾股数． ⑤另一种通式: 2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1（n是正整数），（3，4，5）, （5，12，13），（7，24，25）（9，40，41）… 例1.四边形ABCD中∠DAB＝60 ，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2 求对角线AC的长 解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30 ∴CE＝2CD＝4， 在Rt△ABE中 设AB为x，则AE＝2x 根据勾股定理x2+52=(2x)2，…… 例2.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A 求证：AB2－BC2＝AB×BC 证明：作∠B的平分线交AC于D， 则∠A＝∠ABD， ∠BDC＝2∠A＝∠C ∴AD＝BD＝BC 作BM⊥AC于M，则CM＝DM AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）

勾股定理典型例题【含答案】免费

勾股定理复习 一、知识要点： 1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。 勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+ 中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。 4、最短距离问题： 主要运用的依据是两点之间线段最短。 二、知识结构： 三、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积

求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆． 2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边 例如图2，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对 【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长 为． 2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch） 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、如图1所示，等腰中，， 是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 例、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，

等腰三角形勾股定理

一、选择题 1.下列说法中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，在△ 中， 是角平分线，∠ ∠ 36°， 则图中有等腰三角形（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 3.如图，已知∠∠ 15°， ∥ ， ⊥ ， 若 ，则 A.4 B.3 C.2 D.1 4.如图，一圆柱高8 cm ，底面半径为 π6 cm ，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ）cm. A.6 B.8 C.10 D.12 5. 6.

二、填空题 9已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ． 10若△ABC 的三条边长分别为7cm 、24cm 、25cm ，则S △ABC = _______cm 2 ． 11、如图，从电线杆离地面6 m 处向地面拉一条长10 m 的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有 m ． 12、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为_________． 13、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于___________． 11 12 13 14如图，数轴上A 、B 两点表示的数分别为1 ，点B 关于点A 的 对称点为C ，则点C 所表示的数为 15.在△ 中， cm ， cm ， ⊥ 于点 ，则 _______. 16.在△ 中，若三边长分别为9、12、15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积 为________. 17.如图所示，点为∠内一点，分别作出点关于 、 的对称点，，连接 交 于点，交 于点，已知，则△ 的周长为_______. A B C 200m 520m A B E D C A B C D E F G 第9题图

勾股定理和乘法公式的结合

勾股定理和乘法公式的结合 学习目标：通过勾股定理和乘法公式及变形公式的结合，增强学生应用数学的意识， 提高分析问题，解决问题的能力。 学习重点：勾股定理和乘法公式的结合专题和“整体思想”的解题。 学习难点：能结合图形，分析题意，把握解题方法。 学习过程： 一、知识准备：(复习：常用公式及变形公式) 1.勾股定理：在Rt△ABC中，a、b、c分别表示△ABC中∠A、∠B、∠C 的对边的长，则a2+b2=c2. 2.乘法公式：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2. (2)(a-b)2=a2-2ab+b2. 3.乘法公式的几种变形： (1)a2+b2=(a+b)2-2ab. (2)a2+b2=(a-b)2+2ab. (3)(a+b)2=(a-b)2+4ab. 二、典例剖析： 引例.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,a、b、c分别表示∠A、∠B、∠C的对边， 已知a+b=14，S △ABC =24，求(1) ab； (2) c； (3) a-b. 变式:在Rt△ABC中,∠C=90°，a、b、c分别表示∠A、∠B、∠C的对边, 已知a-b =8,c=6，求（1）a2+b2； (2) S△ABC； (3) a+b. 总结：1.设a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边，S ? 为面积，于是有： 222 ()2 a b a ab b +=++，222 a b c +=， 1 244 2 ab ab S ? =?=，所以22 ()4 a b c S ? +=+. 2.在a+b、a-b、a2+b2、ab四个量中，已知其中两个量，可求另两个量.

例2. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，求（1）a-b= ；（2）求直角三角形的周长. 三、变式练习： 1.如图，在Rt△ABC中,∠C=90°, a、b、c分别表示∠A、∠B、∠C的对边，已知a-b=7， c=13,求(1)a2+b2； (2)求S △ABC . 2.在Rt△ABC中,∠C=90°，a、b、c分别表示∠A、∠B、∠C的对边,已知a+b=23cm，S△ABC=60cm2,则斜边的长c= . 3.下图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方 形，正方形的边长为7，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形 的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49， ④x+y=9．其中说法正确的是（）. A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 4.如图，在长方形ABCD中（BC>AB），BE⊥AC于点E，已知BE＝24 5 ，矩形ABCD的 面积为48.求：（1）求BC2+AB2的值；（2）求BC与AB的长. A B C D E

常见的勾股数组公式

常见的公法股数公式20161003整理 ＜一＞、22n m a -=,mn b 2=,22n m c +=,)1(≥n m 证明：略 1）这是我见到的勾股数组公式中最全面的一组，但我不知道它是不是包含了所有的 勾股数组；（估计是包含了） 2）这组勾股数组经过一定的变换便可得到许多变式的勾股数组的公式； 3）此组中有不少是三个数有公约数的； 4)三个数中要么两奇数一偶数，要么三个都是偶数；（至少有一个偶数）

＜二＞、当第一组中的n=1时，有12-=m a ,m b 2=,12+=m c ,)1( m ，这说明它与第一组是特殊与一般的关系。 m a=m 2-1 b=2m c=m 2+1 23453861041581752410266351237748145086316659801882109920101111202212212143241451316826170141952819715224302261625532257172883429018323363251936038362203994040121440424422248344485235284653024575485772562450626266755267727728547302878356785298405884230 89960 901 勾股数组公式2 1）这组勾股数的b 是连续偶数； 2）b-a=2,即第三个数比第一个数大2； 3）此组中有不少是三个数有公约数的； 4）这组只是第一组中的n=1部分；它不包含第一组中的n=2、3、4、5……; 5) 如果我们对这一组再进行一些变形代换，还可以得到不同的勾股数组；

数学勾股定理的公式总结

数学勾股定理的公式总结 在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理(Pythagoras Theorem)。数学公式中常写作 a^2+b^2=c^2 在任何一个直角三角形(Rt△)中(等腰直角三角形也算在内)，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，这就叫做勾股定理。即勾的长度的平方加股的长度的平方等于弦的长度的平方。 如果用a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a+b=c;. 这个定理在中国又称为“商高定理”(相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题)，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。(毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”)。 他们发现勾股定理的时间都比中国晚(中国是最早发现这一几何宝藏的国家)。目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。 勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么

a^2+b^2=c^2。 直角三角形(等腰直角三角形也算在内)两直角边(即“勾”“股”短的为勾，长的为股)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。 也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a+b=c。 勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。 1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。 2.勾股定理是余弦定理的特殊情况。 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为C，那么a^2+b^2=c^2。 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。 勾股定理是余弦定理的一个特例。是我们解题的好方法。

常见的勾股数及公式

武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理 我们知道，如果/ C=90°, a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得 a 2+ b 2= c 2;反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，则该三角形是直角三角形, 股数，记为（a , b , c ）.勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种: 一、三数为连续整数的勾股数 （3, 4, 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有 第二组或更多组呢? 设三数为连续整数的勾股数组为（X -1, X , X +1）,则由勾股数的定义，得 （X+1） 2 +x 2 二（X+1） 2 ,解得x =4或x=0（舍去），故三数为连续整数的勾股数只 有一组（3,4,5）;类似有3n,4n,5n （n 是正整数）都是勾股数。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：(5, 12, 13),(9,40,41),(113, 6 3 3 8, 6385),… 都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什 么呢? a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2 +2n+1 （其特点是斜边与其中一股的差为 1）. 分别取n =1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5) ,(5,12,13) ,(7, ,25),- 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道(2 0,2 1,2 9 ) ,(119,120,169) ,( 4 0 5 9,4 0 ,5 7 4 1 ）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为: c 为斜边.与此相类似，如果三个正整数 a 、 b 、 c 满足 a 2+b 2=c 2 ，则称 a 、b 、c 为勾 (X , X +

常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理 我们知道，如果/ C=90°, a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a2+b2=c2;反之，若三角形的三边 a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形，c为斜边.与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2, 则称a、b、c为勾股数，记为(a, b, c).勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 (3, 4, 5 )是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为( X—1, x, x+1 )，则由勾股数的定义，得(x+1) 2+x2= (x+1) 2,解得x= 4或x =0(舍去)，故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5) ;类似有3n,4n,5n (n是正整数)都是勾股 数。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：(5,12,13) , ( 9,4 0,4 1 ) ,( 1 1 3,6 3 3 8,6 3 8 5 ) ，…，都是勾股数，如此许许 多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ 2 2 a=2n+1,b=2n +2n,c=2n +2n+1 (其特点是斜边与其中一股的差为1). 分别取n= 1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5 ) , ( 5,1 2,1 3 ) , ( 7,2 4,2 5 )，… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道(2 0,2 1,2 9 ) , (119,120,169) ,(4059,4060,5741)…，这些都是 前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：(x, x+1, 2x22x 1 ) (x为正整数)。 设前两数为连续整数的勾股数组为( x, x+1, y), y= . 2x22x1则x2亠〔X ? 1 ? = y2(*) 整理，得2x2+2x +1 = y2，化为(2x +1 2_2y2= —1，即(2x + 1 + J2y )(2x + 1 _V2y = —1, 又12^2 =—1,「. 12 2" 1 1 一... 2 " 1= —1(n - N), 故取2x 1 + <2y = 1+^2$ ,(2x+1-j2y =(1-塔2), 解之，得x= 1〔1「.2201+ 1「22n1—2〕，y=^〔1 ,22n1- - .J2"1〕， 4 4 故前两数为连续整数的勾股数组是( 1〔 1 ..22n1+ 1「22n1—2〕，1〔1,22n l ^...22n1- 4 4 2〕+1, 2〔 1 .显対1—1-..22n1〕). 4 四、后两数为连续奇数的勾股数 2 2 如(8 , 15, 17), (12 , 35, 37)…其公式为：4(n+1),4(n+1) -1,4(n+1) +1(n 是正整数). 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m2—1,c=m2+1 (m大于1 的整数). 2.a= 1(mi—n2) ,b=mn,c= —(吊+n2)(其中m>n且是互质的奇数). 2 2 3.a=2m,b=m —n ,c=m + n (m>n,互质且一奇一偶的任意正整数) 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 3 4 5 ; 5 12 13 ;6 8 10 ; 7 24 25 ;8 15 17 ;9 12 15 ;9 40 41 ;10 24 26 ;11 60 61 ;12 16 20 ; 12 35 37; 13 84 85; 14 48 50; 15 20 25;15 36 39;15 112 113; 16 30 34 ; 16 63 65 17 144 145; 18 24 30; 18 80 82; 19 180181 ;20 21 29; 20 48 52 ; 20 99 101; 21 28 35 21 72 75; 21 220 221 ; 22 120 122 ; 23 264 265 ;24 32 40;24 45 51 ; 24 70 74 ; 24 143 145

勾股定理和初中几何所有的公式

1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全

等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

勾股定理

《勾股定理》教学设计 刘猴中学：邓勤权 教材分析： 本节课为人教版八年级数学下册第十八章第一节，勾股定理是几何中几个重要定理之一，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是对直角三角形性质的进一步学习和深入，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，在实际生活中用途很大。它不仅在数学领域而且在其他自然科学领域中也被广泛地应用，而说明数学是一门基础学科，是人们生活的基本工具。 学生接受勾股定理的内容“在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方”这一事实从学习的角度不难，包括对它的应用也不成问题。但对勾股定理的论证，教材中介绍的面积证法即：依据图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变。学生接受起来有障碍（是第一次接触面积法），因此从面积的“分割”“补全”两种方法进行演示同时学生动手亲自拼接图形构成“赵爽弦图”并亲自验证三个正方形之间的面积关系得到勾股定理的证明。有利的让学生经历了“感知、猜想、验证、概括、证明”的认知过程，感触知识的产生、发展、形成以提高学生学习习惯和能力。 学情分析： 八年级学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。 教学目标： 知识与技能目标：能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用. 过程与方法目标：参与探索勾股定理的过程,发展合情推理的能力,欣赏数形结合和由到一般的数学思想. 情感态度与价值观目标：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理