高三数学培优补差辅导专题讲座-不等式单元易错题分析与练习p

不等式单元易错题练习

1、不等式的性质：

（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-）

，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若

0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则

a b

c d

>）

；

（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n

n

a b >或

>；（4）若

0,ab a b >>，则

11a b <；若0,ab a b <>，则11

a b

>.如（1） （2）已知11,13x y x y -≤+≤≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；

（3）已知a b c >>，且0a b c ++=则

c a 的取值范围是______（答：12,2?

?-- ??

?）

2. 不等式大小比较的常用方法：

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法 ；（8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 如 （1）设01,0a a t >≠>且，比较11

log log 22

a a

t t +和的大小 答：当1a >时，1

1log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11

log log 22

a a t t +≥（1t =时取等号））；

（2）设2421

2,,22

a a a p a q a -+->=+

=-，2a >，试比较,p q 的大小（答：p q >）

； （3）比较1log 3x +与()2log 201x x x >≠且的大小. 答：当01x <<或43x >

时，1log 32log 2x x +>；当413x <<时，1log 32log 2x x +<；当4

3

x =时，1log 32log 2x x +=

3. 利用重要不等式求函数最值时，有：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。

如（1）下列命题中正确的是

A 、1

y x

x =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2

C 、()4

230y x x x =--

>的最大值是2-

D 、()4

230y x x x

=-->的最小值是2-C ）；

（2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______

（答：； （3）正数,x y 满足21x y +=，则11

x y

+的最小值为______

（答：3+； 4.常用不等式有：

（1

2

112a b a b

+≥≥

+ (根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）2

2

2

,,,a b c R a b c ab bc ca ∈++≥++，（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则

b b m

a a m

+<

+（糖水的浓度问题）。 如：如果正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是____（答：[)9,+∞）

5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、

配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。). 常用的放缩技巧有：

()()211111111111n n n n n n n n n

-=<<=-++--

11121k k k k k k k k k

+=

<<=-++-+

如（1）已知a b c >>，求证：2

2

2

2

2

2

a b b c c a ab bc ca ++>++ ； （2） 已知,,a b c R ∈，求证：()22

22

2

2

a b b c c a abc a b c ++>++；

（3）已知*

,,,a b x y R ∈，且

11

,x y a b

>>，求证：

x y x a y b >++； （4）若,,a b c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222

a b b c c a a b c +++++>++ （5）若*

n N ∈

()1n n +<；

（7）已知a b ≠，求证：

a b a b a b

a b

-+≤-+；

（8）求证：222111

1223n

+

+++< 。 6.简单的一元高次不等式的解法：

标根法：其步骤是：

（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

（2）将每个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； （3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

如（1）解不等式()()2

120x x -+≥。（答：{}|12x x x ≥=-或）；

（2）不等式(20x -的解集是____（答：{}|31x x x ≥=-或）；

（3）设函数()()f x x ，g 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<，

()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x ?>的解集为______（答：()[),12,-∞+∞ ；

（4）要使满足关于x 的不等式2

290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式

2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是______.（答：817,8??

????

）

7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式

2

5123

x

x x -<---（答：()()1,12,3- ）； （2）关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞，则关于x 的不等式02

ax b

x +>-的解集为____________（答：()(),12,-∞-+∞ ）. 8.绝对值不等式的解法：

（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式31

2242

x x -

≥-+（答：x R ∈）

； （2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式13x x +->（答：()(),12,-∞-+∞ ） （4）两边平方：如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。（答：43??????

） 9、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完

之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。

注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如（1）若()2log 3a

x a R >∈，则a 的取值范围是__________（答：1a >或2

03

a <<）

； （2）解不等式

()21ax x a R ax >∈-（答：0a =时，{}|0x x <；0a >时，1|0x x x a ??

>

<<

或 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；

（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。 如关于x 的不等式0ax b ->的解集为(),1-∞，则不等式

2

0x ax b

->+的解集为__________（答：

（－1,2））

10.含绝对值不等式的性质：

,a b 同号?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；,a b 异号?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.

如设()2

13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()()

21f x f a a -<+

11.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和

“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题

若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

如（1）设实数,x y 满足()2

2

11x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______（答：)

21,+∞）；

（2）不等式43x x a -+->对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____（答：1a <）； （3）若不等式(

)

2

211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，则x 的取值范围_____（答

：

31+??

）

； （4）若不等式()

()1

112n n

a n

+--<+

对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____（答：

32,2??-???

?）； （5）若不等式2

2210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.（答：1

2

m >-

） 2). 能成立问题

若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.

如已知不等式43x x a -+-<在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______（答：1a >） 3). 恰成立问题

若不等式()f x A >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()f x A >的解集为D ； 若不等式()f x B <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()f x B <的解集为D . 例题选讲：

例题1 对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①2

2

,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,2

2

；

③2

2,0b ab a b a >><<则若；④b

a b a 11,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦b

c b

a c a

b a

c ->

->>>则若,0； ⑧11

,

a b a b

>>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）

； 例题2、已知二次函数2

()(0)f x ax bx a =+≠满足1(1)2f ≤-≤，2(1)5f ≤≤，求(3)f -的取值范围。

错解：(1)f a b -=- ，(1)f a b =+，

{

12

25

a b a b ≤-≤≤+≤∴37

22

13

22

a b ≤≤≤≤???? 又(3)93f a b -=-

9(3)30f ∴≤-≤

正解：设(3)(1)(1)f mf nf -=-+，则有93()()a b m a b n a b -=-++，即

{

{

96

3

3m n m m n n +==-==? (3)6(1)3(1)f f f ∴-=-+

又 1(1)2f ≤-≤， 2(1)5f ≤≤， 12(3)27

f ∴≤-≤ 剖析：在多次应用不等式样性质的时候，若等号不能同时成立时，会使所求范围扩大，因此在解不等式范围的题时务必要检查等号能否成立。 例题3、已知703

x <<

，求2

()(73)f x x x =-的最大值。 错解：2

311273343(73)2(73)()22354

x x x x x x x x ++--=-≤=

343()54

f x ∴≤

，即()f x 的最大值为343

54。 正解1：2431372337232

394)37(232394)37()(3

2=??

???

?

??-++≤-???=-=x x x x x x x x x f 因此，当且仅当

3147329x x x =-?=时，()f x 的最大值为

1372

243

。 正解2：（用导数知识解） 2

2

3

()(73)73f x x x x x =-=-，

∴2

()149f x x x

'=-，令()0f x '=，得2

14900x x x -=?=或14

9

x =

又703x <<

，且当14(0,)9x ∈时，()0f x '>；当147

(,)93x ∈时，()0f x '< ∴

当149x =时，()f x 的最大值为1372243

。

剖析：在应用均值不等式解题时，忽视了均值不等式中等号成立的条件：“一正、二定、三相等”中的第

三个条件，因为无论x 在7

03

x <<

中取何值，等式273x x x ==-都不成立。 例题4、已知0a >且1a ≠，关于x 的不等式1x

a >的解集是{

}

0x x >，解关于x 的不等式1

log ()0

a x x

-<的解集。

错解：21111log ()011022

a x x x x x x x -

正解：因为关于x 的不等式1x a >的解集是{

}

0x x >，所以1a >，故

1011

11log ()012x x

a x x x x x ->-

??

或1x <<

∴ 原不等式的解集是1515(1,(1,)22+- 。

剖析：其一、忽视了所给条件的应用和对数的真数大于0，其二、忽视了分式不等式正确解法。 例题5、已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+

，1

b b β=+，求αβ+的最小值。 错解： a 、b 都是正数，

∴21

21,212

1=?≥+==?

≥+=b

b b b a a a

a βα ∴ 11

224a b a b

αβ+=+++≥+=，即αβ+的最小值为4。

正解： a 、b 都是正数，且1a b +=，∴2

11

()424a b ab ab

+≤=?≥

∴ 1111()()1a b a b a b a b a b ab αβ++=+++=+++=+1

15ab

=+≥

∴ 当且仅当12

a b ==时，αβ+的最小值为5。

剖析：21

21=?≥+

=a

a a a α中等号成立的条件是当且仅当1a =，而 21

21=?

≥+=b

b b

b β中等号成立的条件是当且仅当1b =。这与1a b +=矛盾， 因此解题中忽视了条件1a b +=，从而造成错误。 例题6 解不等式(

10x -≥.

错解一：原不等式可化为?

??≥--≥-.02,

012x x x ， 解得x≥2．∴原不等式的解集是{x|x≥2}.

错解二：在不等式f(x)·)(x g ≥0中，按f(x)的取值情况分类，

有?????≥>0)(,0)(x g x f ，或??

???≥=0)(,0)(x g x f ．

当x – 1 > 0，即x > 1时，原不等式等价于x 2

– x – 2 ≥ 0，解得x ≥ 2； 当x – 1 = 0，即x = 1时，显然)(x g 无意义，其解集为Φ．

综上所述，原不等式的解集为{x|x ≥ 2}．

错因：错解一中，当x = - 1时，原不等式也成立，漏掉了x = - 1这个解．原因是忽略了不等式中

“≥”具有相等与不相等的双重性．事实上， 不等式f(x)·)(x g ≥0与??

?>≥0

)(,

0)(x g x f 或g(x) = 0同解.

错解二中分类不全，有遗漏，应补充第三种情况?

?

?=<.0)(,

0)(x g x f

即当x – l < 0，且x 2

– x – 2 = 0时也合乎条件，即补上x = - 1．

故原不等式的解集为{x|x≥2，或x = - 1}．

分析一：符号“≥”是由符号“>”“ = ”合成的，故不等式f(x)·)(x g ≥ 0可转化为

f(x)·)(x g > 0或f(x)·)(x g = 0．

正解一：原不等式可化为(I)(x-1)22--x x > 0，或(Ⅱ)(x - 1)02

--x x = O ． (I)中,由??

?>-->-.

02,

012

x x x 得x > 2； (Ⅱ)中，由x 2

– x – 2 = 0，或x – 1 = O ，

且x 2

– x - 2有意义，得x = 1，或x = 2． ∴原不等式的解集为{x|≥2，或x = - 1}． 分析二：在不等式f(x)·)(x g ≥0中，按g(x)的取值情况分类，有两种情况：

(1)g(x) > 0时,等式等价于?????>≥,

0)(,

0)(x g x f (2)g(x) = 0时'只须f(x)有意义即可.

正解二：分两种情况讨论．

(1)当x 2

– x – 2 > 0，即x > 2，或x < - 1时，原不等式等价于?

??>--≥-02,

012x x x ．解得x > 2．

(2)当x 2

– x – 2 = 0，即x = 2，或x = - 1时，显然有意义，是原不等式的解．

综上所述．原不等式的解集是{x|x≥2，或x = - 1}． 例题7 设函数(

)f x ax =

，其中0a >，解不等式()1f x ≤．

错解：∵不等式f(x)≤1，∴12

+x ≤1 + ax．两边平方，得x 2 + 1≤(1 + ax)2

,

即x·[(a 2

- 1)x + 2a]≥0．∵a > 0，∴当a > 1时，x ≥ 0，或x ≤-1

22-a a

； 当0 < a < 1时，0 ≤ x ≤

2

12a

a

-．

错因：未能从已知条件中挖掘出隐含条件：“1 + ax ≥ 1”，即“ax≥0”，进而由a > 0可得x≥0． 正解：不等式f (x)≤1，即12

+x ≤1 + ax． 由此得1≤1 + ax，即ax≥O，其中a > 0．

∴原不等式等价于不等式组???≥+≤+.0,)1(122x ax x 即???≥≥+-.

0,0]2)1[(2x a x a x

∴当0 < a <1时，原不等式的解集为{x|0≤x≤

2

12a

a

-};当a≥1时,原不等式的解集为{x|x≥O}． 小结：解不等式常见的思维误区有：

（1）概念模糊。变形不同解.常见于解分式不等式、对数不等式、无理不等式、指数不等式、含绝对值不

等式、含排列数或组合数的不等式等等.

（2）以偏概全，未分类或分类不全，对某些含有参数的不等式，未进行分类讨论，片面认为是某种情况.

如例题6.

（3）忽视隐含条件，信息不能被全部挖掘出来.如例题7. 例题8 不等式证明的错解的成因及分析策略

不等式的证明方法有很多,如:基本不等式法、比较法、综合法、分析法、反证法、判别 式法、换元法、数学归纳法、放缩法、导数法、公式法(向量公式、方差公式、斜率公式等)、数形结合法等等.不等式的证明过程,是常规的证明方法及构造性思维在新的领域中的移植和运用,以及局部的创新.但在实际教学活动中我们发现,学生对于不等式证明上存在着一定的思维障碍,并仍有不少学生沉醉于“题海战术”之中,阻碍着创造性思维能力的发展.

一、用新教材中新增知识点证明不等式这一思考方法很不适应

例1 (2003年江苏新课程高考试题)已知0a >,n 为整数.(Ⅰ)设()n

y x a =-,证明:1

()

n y n x a -'=- ;

(Ⅱ)设()()n n n f x x x a =--,对任意n ≥a ,证明:1(1)(1)()n n f n n f n +''+>+ .

分析 这是一道江苏考生错误率较高的一道考题,考生对导数法证明不等式这一思考方法很不适应,以致于丢分现象极其严重,这反映学生未能真正把握新教材的思想内涵,不能做到学以致用,融会贯通,这一现象值得注意.

证明 (Ⅰ)∵ 0

()()n

n

k n k k n

k x a C

a x -=-=

-∑ ,

∴1

11

111

1

()

()()n

n

k n k

k k n k k n n

n k k y kC

a x

nC a x n x a -------=='=

-=-=-∑∑ . (Ⅱ)对函数()()n n n f x x x a =--求导数,得

1111()()[()]n n n n n f x nx n x a n x x a ----'=--=-- ,所以11()[()]n n n f n n n n a --'=-- .当x ≥a >0时, ()0n f n '> .

故当x ≥a 时,()()n n

n f x x x a =--是关于x 的增函数,因此,当x ≥a 时,

1(1)(1)[(1)(1)](1)[()]

n n n n n f n n n n a n n n a +'+=++-+->+--

1(1)[()](1)()n n n n n n n a n f n -'>+--=+ .即对任意n ≥a , 1(1)(1)()n n f n n f n +''+>+ .

评述 导数及其它向量、方差等知识点的引入,使相应的数学方法、教学工具和数学语言更加丰富,应用形

式更加灵活多样,新课程卷将导数与传统的不等式有机结合在一起设问,这是一种新颖的命题模式,它

体现了导数作为工具分析和解决一些性质问题的方法,应予以重视. 二、忽视向量不等式等号成立条件,造成范围失真

向量不等式||||||p q p q +≥± 等号成立的条件为,当向量p ∥q 且p 与q

方向相同时“+”不等式取等号; 当向量p ∥q 且p 与q

方向相反时“-”不等式取等号.

例≥

错解 设(,4),(4,6)p a q a ==- ,由||||||p q p q +≥- ||||p q =+

|||(,4)(4,6)||(4,2)|p q a a ≥-=--=-==

.≥成因分析 向量不等式||||||p q p q +≥- 等号成立的条件是 p ∥q ,且向量p 与q 方向相反,而当p

∥

q 时,得8a =-,此时(8,4),(12,6)p q =-=-

方向相同,故等号不成立,使不等式范围缩小了.

正解 设(,4),(4,6)p a q a ==- ,由 ||||||p q p q +≥+

,得

2

2

16(4)36a a +-+||||p q =+ ||p q ≥+

|(,4)(4,6)||(4,10)|16100229a a =+-==+= . 当p ∥q 即8

5

a =时,,p q 方向相同,故等号成立.

评述 向量作为新教材中的另一个新增知识点,利用数量积不等式||||||p q p q ?≤?

与

和差不等式||||||||||||p q p q p q -≤±≤+

证明不等式,有着其它方法所不能比拟的优越性,应适当推广及应用.

三、多元不等式的元认知障碍

当不等式含有好几个元(变量)时,需将这些元分别虚拟定位为“常量”、“参元”、“变元”等.若定位点不到位,解题时思路常会在原地徘徊不前或进入繁杂的运算程序,从而形成元认知障碍. 例3 设a 、b 、c ∈[0,2] , 证明 22

4a b c abc +++≥222ab bc ca ++.

分析 此不等式有三个元,且每项次数不全相同,学生常因元太多不易定位,而陷入误区,实际上原等式中

a 、

b 、

c 三个元中只有a 是一次的,故可将a 视作变元,其余b 、c 视作常量即可解决问题. 证明 设2

2

2

2

()4(222)(422)2f a a b c abc ab bc ca bc b c a b c bc =+++-++=+--++- .

则()f a 为关于元a 的一次函数,且a 、b 、c ∈[0,2] .要证()f a ≥0,即要证(0)f ≥0,且(2)f ≥0 . 而2

(0)()f b c =-≥0 ,且2

2

(2)2(422)2f bc b c b c bc =+--++-2

2

(2)(2)b c =-+-≥0 .

∴当a 、b 、c ∈[0,2]时, ()f a ≥0 .即2

2

4a b c abc +++≥222ab bc ca ++ .

评述 元的定位问题往往不是绝对的,定位切入点不同,解题的途径也不同,处理好元的定位问题,不但可以开辟问题解决的新途径,给解题带来极大的简便,而且能培养学生的分析问题的思维能力. 四、忽视题设条件或隐含条件

有些题设条件看似平淡,但在解题中就会显示出其隐蔽性,学生往往由于忽视了隐含条件,或对隐含条件的挖掘只浮于表面,而未能展示其真正的面目,从而在解题过程中误入陷阱.

例4 设0a b +>,n 为偶数,证明 11n n n n b a a b --+≥11

a b + .

错解 11n n n n b a a b

--+1111()()

()n n n n n

a b a b a b ab ------= . ∵n 为偶数, ∴()0n

ab >,又n n a b -与1

1n n a

b ---同号 ,

∴11n n n n b a a b --+110a b

--> ,故11n n n n b a a b --+11

a b >+ .

成因分析 实际上,n 为偶数时, n

n

a b -与1

1n n a

b ---不一定同号,忽略了题设条件0a b +>,在没有明确

字母的具体值情况下,要考虑分类讨论,即需分0,0a b >>和,a b 有一个负值的两种情况加以分类讨论.

正解 11n n n n b a a b

--+1111()()

()n n n n n a b a b a b ab ------= .

①当0,0a b >>时, ()0n

ab >,(n

n

a b -1

1)()n n a

b ---≥0 ,

∴11()()()n n n n n a b a b ab ----≥0 ,故11n n n n b a a b --+≥11

a b

+ ;

②当,a b 有一个负值时,不妨设0,0a b ><,且0a b +>,即||a b > . ∵n 为偶数时,∴(n

n

a b -1

1)()n n a

b ---≥0 ,且()0n ab >

∴11()()()n n n n n a b a b ab ----≥0 ,故11n n n n b a a b --+≥11

a b

+ .

综合①②可知,原不等式成立 .

五、分式不等式分母较复杂时,不能灵活变形而形成思维障碍

证明分式不等式需要去分母,去分母的方法有很多,如轮换法、添加分母法、添加分式法、添加和积式法等等,在添加代数式时需考虑均值不等式等号成立条件,并最终利用均值不等式去掉分式或部分分母,但学生对于这一灵活的变形常常无法领悟,觉得在解题时处处均可下手,但又无从下手,从而形成分式变形障碍. 例5已知,,0,1a b c abc >=,证明

333

111()()()a b c b c a c a b +++++≥3

2

. 分析 这是一道技巧性较强的分式不等式证明题,其分子与分母差别太大,学生往往不能注意其整体联系,

而想省事处理,想一步到位地消去所有分式,从而进入了繁忙的运算程序中,最后不得结果,反而觉得此题处处都是切入点,又处处陷于被动.实际上,由

3322111

11

()()()abc bc a b c a b c a b c a b c

===?

++++ .

可添加分式11()k b c

+,使得

2

1111()11k a b c b c

?+++

≥ , 由1a b c ===时,不等式取等号,得14k = .故可考虑添加分式111

()4b c

+来解决问题. 证明 ∵

31111()()4a b c b c +++≥1a ;31111()()4b c a c a +++≥1b ;31111()

()4c a b a b +++≥1

b

. ∴

31()a b c ++31()b c a ++31()c a b +≥12(1a +1b +1

b

)

≥1322= . 评述 在证明分式不等式时,要看准所要消的分式结构特征与整个式子的完整性,分清是“和”式还是“积”

式、含有几个字母、各字母的次数,然后应用均值不等式等号成立条件确定待添加式的系数,然后从整体上消去分母.

六、忽视一般化与特殊化之间的转化障碍

一般化与特殊化的思维方向正好相反,它们相辅相成,是变更问题的两种基本原则. 例6 证明 2003

1002

2003!> .

分析 直接通过计算或用对数来比较不等式两边的大小,是难以办到的,也是证明中的障碍体现.如注意到

20031

10022

+=

,则可技巧性地将问题转化为如下一个一般化命题:“设n 是大于1的正整数,证明不等式1!2n

n n +??> ???

”.而原命题仅是此命题的一个特殊化的结论.

证明 由

11232n n n

++++???+=

123!n

n n n ????????=∴1!2n

n n +??> ???

. 令2003n = ,即得200310022003!> . 评述 某些特殊化的结论,其中往往蕴藏着一般化结论的线索,而由一般化的结论得出某些特殊化的结论是

非常自然的.由特殊化联想到一般化是此类问题解决的一个突破口,教学中要加强这方面的训练,这有助于培养学生联想及变通的数学直觉意识能力. 七、不能由此及彼的想象探究,揭示不等式间的内在联系

如果说由特殊到一般是纵向引申,解决深度问题,那么由此及彼则是横向推广,解决广度问题. 例7 求证 ： 2221111

1223n n

+

+++???+<-

分析 此题可用数学归纳法加以证明,但新教材中部分省市已将之删去,学生面对此题,常不能对已有表象

进行加工改造,创造出新的形象,对此不等式的递推感到无能为力,其原因主要在于不能由此及彼地

探究此不等式与数列通项递推关系,形成障碍.其实,若令1

2k a k

=-

,则1211111(1)k k a a k k k k k

--=

-=>--(k>2), 可用迭加法来证明.

证明 令1

2k a k

=-

,则1211111(1)k k a a k k k k k --=-=>-- (k>2) .

令3,4,,k n =???,可得2n -个同向不等式,把这2n -个同向不等式相加,并整理得

2222

11134n a a n ->

++???+ .∵21111(2)(2)22n a a n n -=---=- , ∴222221*********

112234224n n n n ++++???+<++-=-<- .故原不等式成立 .

评述 利用迭加法来证明数列型不等式,把不等式的一端设为k a ,若经过1k k a a --化简、变形、放缩能化成该数列的通项,便可用此法证明,这一证明技巧也简洁地替代了数学归纳法的应用.

另外,在不等式证明的教学中部分教师在处理教学内容时,过分强调了数学解题的技巧,学生没有理解仅靠“模仿”的训练,这也是不等式证明错误产生的一个主要原因.因此在学习中必需从实际出发,注重基础知识和基本技能的教学,突破障碍.在不等式证明的学习中可思考以下几点: ①降低起点,减小坡度,将不等式人为设置出由浅入深的梯度来;

②对有从属关系的不等式系列题,可采取分散和集中相结合法,切实地使学生既接受得了,又不失系统性和规律性;

③培养联想能力,学会从已有感知入手,剖析不等式新旧信息源的联系与异同,寻找其内在因素和从属关系,领悟到“数”与“式”之间发展更替的规律及必然,并逐步地学会在新旧知识的对比中去联想、猜想和想象;

④在不等式证明障碍点和学生的不足之处,应进行必要的循环和反复,并注重对一些重要方法的浓缩,掌握重点,突破难点,克服不足;

⑤在学习的过程中,要精心选择数学题,使双基中见综合,综合中见双基,将双基训练与数学能力的培养有机地结合起来,以帮助切实掌握不等式证明的基础知识和基本技能,熟悉其中的数学基本思想和常用方法,在解题实践中提高逻辑思维、形象思维和灵感思维的能力,发展思维的灵活性和创造性.同时通过证明不等式,培养良好的思想品质和数学素养,树立辩证唯物主义基本观点,养成勤奋刻苦、严格认真、踏踏实实的学习习惯,勇于去攀登数学高峰.

课后练习题

1．设()lg ,f x x =若0f(b)>f(c),则下列结论中正确的是

A (a-1)(c-1)>0

B ac>1

C ac=1

D ac>1

错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数()lg f x x =的图象,由图可得出选D. 2．设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是

A 1x y +≥

B 11

22

x y >

>或 C 1x ≥ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。

3．不等式(0x -的解集是

A {|1}x x >

B {|1}x x ≥

C {|21}x x x ≥-≠且

D {|21}x x x =-≥或

错解：选B ，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。正确答案为D 。

4．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x,则

A 2a b x +=

B 2a b x +≤

C 2a b x +>

D 2

a b

x +≥ 错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。正确答案为B 。 5．已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是

A 1317(,)22-

B 711(,)22-

C 713(,)22-

D 913(,)22

-

错解：对条件“1324a b a b -<+<<-<且”不是等价转化，解出a,b 的范围，再求2a+3b 的范围，扩

大了范围。正解：用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)1

2

-(a-b),求出结果为D 。

6．若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ）

A a ≤-

21或a ≥21 B a ＜21 C -21≤a ≤21 D a ≥ 2

1

正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。 7．已知函数y =㏒2

1(3x )52

+-ax 在[-1，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围（ ）

A a ≤-6

B -60＜a ＜-6

C -8＜a ≤-6 D

－8≤a ≤-6

正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。 8．已知实数x 、y 、z 满足x+y+z=0,xy z ＞0记T=

x

1＋y 1＋z 1

,则（ ） A T ＞0 B T=0 C T ＜0 D 以上都非

正确答案： C 错因：学生对已知条件不能综合考虑，判断T 的符号改为判定 xyz(x 1＋y 1＋z

1

)的符号。 9．下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（ ）

A ． 甲 a ＞b ，乙

a 1 ＜b

1

B 甲 ab ＜0，乙 ∣a+b ∣＜∣a －b ∣

C 甲 a=b ，乙 a ＋b=2ab

D 甲 ??

?<<<<1010b a ，乙 ???<-<-<+<2

12

0b a b a

正确答案： D 错因：学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。

10．f(x)=︱2x

—1｜，当a ＜b ＜c 时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（ ） A a ＜0,b ＜0,c ＜0 B a ＜0,b ＞0,c ＞0 C 2

a

-＜2c D 22+a c

＜2

正确答案：D 错因：不能应用数形结合的思想方法解题。

11．a,b ∈R ，且a>b ，则下列不等式中恒成立的是（ ）

A.a 2>b 2

B.(

21) a <(2

1)b

C.lg(a －b)>0

D.

b

a

>1 正确答案：B 。错误原因：容易忽视不等式成立的条件。

12．x 为实数，不等式|x －3|－|x －1|>m 恒成立，则m 的取值范围是（ ）

A.m>2

B.m<2

C.m>－2

D.m<－2

正确答案：D 。错误原因：容易忽视绝对值的几何意义，用常规解法又容易出错。 13．已知实数x 、y 满足x 2+y 2=1，则(1－xy)(1+xy)( )

A.有最小值2

1

，也有最大值1 B.有最小值

4

3

，也有最大值1 C.有最小值

4

3

，但无最大值

D.有最大值1，但无最小值

正确答案：B 。错误原因：容易忽视x 、y 本身的范围。 14．若a>b>0，且

m b m a ++>b

a

，则m 的取值范围是（ ） A. m ∈R B. m>0 C. m<0 D. –b

15．已知R y R x ∈∈,，则1,1<

log 3

log 2

1

2

1π

π

≥-

x 那么x sin 的取值范围是（ ）

A 、??????-

21,21 B 、??????-1,21 C 、??? ?????????-1,2121,21 D 、??

? ??????????-1,2323,21 正确答案：B

错因：利用真数大于零得x 不等于60度，从而正弦值就不等于

2

3

，于是就选了D.其实x 等于120度时可取得该值。故选B 。

17．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．

的是 （ ） A ．4)1

1)((≥++b

a b a B ．2332ab b a ≥+ C ．b a b a

22222

+≥++ D ．b a b a -≥-||王新敞

正确答案：B

18．如果不等式x a x ≥+（a>0）的解集为{x|m ≤x ≤n}，且|m-n|=2a ，则a 的值等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4正确答案：B 19．若实数m ，n ，x ，y 满足m 2+n 2=a ，x 2+y 2=b （a ≠b ），则mx+ny 的最大值为（ ）

A 、2b a +

B 、ab

C 、222b a +

D 、b

a a

b +

答案：B 点评：易误选A ，忽略运用基本不等式“=”成立的条件。

20．数列{a n }的通项式90

2+=n n

a n ，则数列{a n }中的最大项是（ ）

A 、第9项

B 、第8项和第9项

C 、第10项

D 、第9项和第10项 答案：D

点评：易误选A ，运用基本不等式，求n

n a n 901+

=

，忽略定义域N*。

21．.若不等式21--+x x ＞a 在R x ∈上有解,则a 的取值范围是 （ ） A ． ()3,3- B . (]3,3- C ． ()3,∞- D ．()3,-∞- 错解：D 错因：选D 恒成立。正解：C

22．已知21,x x 是方程)(0)53()2(22R k k k x k x ∈=+++--的两个实根，则2

221x x +的最大值为（ ） A 、18 B 、19 C 、9

5

5

D 、不存在 答案：A 错选：B 错因：2

22

1x x +化简后是关于k 的二次函数，它的最值依赖于0>?所得的k 的范围。 23．实数m,n,x,y 满足m 2+n 2=a , x 2+y 2=a , 则mx+ny 的最大值是 。

A 、2

b a + B 、ab C 、222b a + D 、2

2b a +答案：B 错解：A

错因：忽视基本不等式使用的条件，而用2

222222b

a y n x m ny mx +=+++≤+得出错解。 24．如果方程（x-1）(x 2-2x ＋m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数m 的取值范围是 （ ） A 、0≤m ≤1 B 、

43＜m ≤1 C 、43≤m ≤1 D 、m ≥4

3

正确答案：（B ）错误原因：不能充分挖掘题中隐含条件。

25、设2

20,0,12

b a b a ≥≥+=，则21a b -的最大值为 错解：有消元意识，但没注意到元的范围。正解：由220,0,12b a b a ≥≥+=得：22

12b a =-，且2

01b ≤≤，原式2242

13(1)(1)1222

b b b b --=

-+，求出最大值为1。 26、若,,x y R x y a x y +

∈≤+且a 的最小值是

错解：不能灵活运用平均数的关系，正解：由

2222,222m n m n m n

++≥≤+，即

≤a 。

27、已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=1

1

()()x y x y

++

的最小值为 。 错解一、因为对a>0,恒有1

2a a

+

≥,从而z=11()()x y x y ++≥4,所以z 的最小值是4。

错解二、22222()2x y xy z xy xy xy +-=

=+-≥21)-=，所以z 的最小值是

1)。

错解分析：解一等号成立的条件是11

,11,1x y x y x y x y

=

===+=且即且与相矛盾。解二等号成立的

条件是

2,xy xy xy ==即1

04

xy <≤相矛盾。 正解：z=11()()x y x y ++=1y x

xy xy x y

+++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++

=+-，令t=xy, 则210(

)24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4?? ???上单调递减,故当t=14时 2

()f t t t

=+有最小值

334,所以当12x y ==时z 有最小值25

4

。 28、若对于任意x ∈R ，都有(m －2)x 2－2(m －2)x －4<0恒成立，则实数m 的取值范围

是 。正确答案：(－2,2) 。错误原因：容易忽视m ＝2。 29、不等式ax 2

+ bx + c ＞0 ，解集区间（-

2

1

，2），对于系数a 、b 、c ，则有如下结论： ①a ＞0 ②b ＞0 ③ c ＞0 ④a + b + c ＞0 ⑤a – b + c ＞0，其中正确的结论的序号是________________________________.

正确答案 2 、3、 4错因：一元二次函数的理解

30、不等式(x －2)x 2－2x －3 ≥0的解集是 ．正确答案：{}

13x x x =-≥或 31、不等式1x a x 22+>+的解集为（-∞，0），则实数a 的取值范围是______。

正确答案：{-1，1}

32、若α，β，γ为奇函数f(x)的自变量，又f(x)是在（-∞，0）上的减函数，且有α+β>0，α+γ>0，β+γ>0，则f(α)+f(β)与f(-γ)的大小关系是：f(α)+f(β) ______________f(-γ)。正确答案：< 33、不等式|x+1|(2x －1)≥0的解集为____________

答案：}1{),21[-?+∞点评：误填),2

1

[+∞而忽略x=－1。

34、设x>1，则y=x+1

2

-x 的最小值为___________

答案：122+点评：误填：4，错因：12-+

=x x y ≥122-x x ，当且仅当1

2-=x x 即x=2时等号成

立，忽略了运用基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”的条件。

35、设实数a,b,x,y 满足a 2+b 2=1,x 2+y 2=3, 则ax+by 的取值范围为_______________. 错解：)2,(-∞

错因：22

222

2222222=+++=+++≤

+y b x a y b x a by ax ，当且仅当y b x a ==,时等号成立，而此

时2

222y x b a +=+与已知条件矛盾。 正解：[－3,3] 36、－4＜k ＜o 是函数y=kx 2－kx －1恒为负值的___________条件

错解：充要条件 错因：忽视0=k 时1-=y 符合题意。正解：充分非必要条件

37、函数y=

4

52

2++x x 的最小值为_______________

错解：2，错因：可化得24

1

422≥++

+=

x x y ，而些时等号不能成立。正解：25

38、已知a,b R ∈，且满足a+3b=1，则ab 的最大值为___________________.

错解：6

1错因：由,1)3(2

=+b a 得19622=++b ab a ，191622≤--=b a ab ， 等号成立的条件是0==b a 与已知矛盾。正解：12

1

39、设函数862++-=

k x k y 的定义域为R ，则k 的取值范围是 。

A 、91-≤≥k k 或

B 、1≥k

C 、19≤≤-k

D 、10≤

错因：对二次函数图象与判别式的关系认识不清，误用0≥?。 40、不等式(x-2)2 (3-x) (x-4)3 (x-1) 0≥的解集为 。

答案：}4321{≤≤=≤x x x x 或或 错解：}431{≤≤≤x x x 或 错因：忽视x=2时不等式成立。

41、已知实数x,y 满足

y x y

x

-=，则x 的取值范围是 。 答案：}40{≥

∈R y x ,，且2x+8y-xy=0则x+y 的范围是 。

答案：)18[∞+由原方程可得

18108

16

882,08,0,0,2)8(≥+-+-=+-=

∴>-∴>>=-x x y x x x y x y x x x y 则 错解：),18[]2,(+∞?-∞设x t y t y x -==+设代入原方程使用判别式。 错因：忽视隐含条件，原方程可得y (x-8)=2x ，则x>8则x+y>8 43、已知实数,x y 满足

x

x y y

=-，则x 的取值范围是 。正确答案：40≥

2

-=y y x 时易忽视0≠y 这一条件。

44、已知两个正变量m y

x y x y x ≥+

=+4

1

,4,则使不等式满足恒成立的实数m 的取值范围是 。正确答案：4

9≤m 错误原因：条件x+y ＝4不知如何使用。 45、已知函数①()04

≠+

=x x x y ②()0cos 4cos π x x x y +=③9

132++=x x y ④()()()1

0tan 41cot 1π x x x y ++=

，其中以4为最小值的函数个数是 。

正确答案：0

错误原因：对使用算术平均数和几何平均数的条件意识性不强。

46、已知()x f 是定义在()+∞,0的等调递增函数，()()(),y f x f xy f +=且()12=f ，则不等式

()()23≤-+x f x f 的解集为 。正确答案：{}43|≤

错误原因：不能正确转化为不等式组。

47、已知a 2+b 2+c 2=1, x 2+y 2+z 2=9, 则ax+by+cz 的最大值为 正确答案：3

错误原因：忽视使用基本不等式时等号成立的条件，易填成5。应使用如下做法：

9a 2+x 2≥6ax, 9b 2+y 2 ≥6by ，9c 2+z 2≥6cz ，

∴6(ax+by+cz)≤9（a 2+b 2+c 2）+9(x 2+y 2+z 2) = 18, ∴ax+by+cz ≤3 48、设f x ax bx ()=+2

，且112214≤-≤≤≤f f ()()，，求f ()-2的取值范围。 解：令f mf nf ()()()-=-+211，则42a b m a b n a b -=-++()() ∴-=+--42a b m n a m n b

()()，比较系数有

m n m n +=-=?????42

，

?

??==∴13

n m

10)1()1(354)1(22)1(1)1()1(3)2(≤+-≤∴≤≤<-≤+-=-∴f f f f f f f ，，，

即5210≤-≤f ()

说明：此题极易由已知二不等式求出a b 、的范围，然后再求42a b -即f ()-2的范围，这种解法错

在已知二不等式中的等号成立的条件不一定相同，它们表示的区域也不一定相同，用待定系数法则

容易避免上述错误。

49、求函数y x x

=--123

的极大值或极小值。 解：当x >0时，y x x x x =--=-+≤-123123126()，当且仅当23

x x

=

即x =

3

2

时，y max =-126，

当x <0时，621)3

()2(21)3()2(1+=-?-+≥-+-+=x

x x x y

当且仅当-=-

23

x x

，即x =-32时，y min =+126

说明：此题容易漏掉对x <0的讨论，注意不等式a b ab +≥2成立的前提是a b >>00，。 50、解不等式：2222||x x

+≥。 解：当x ≥0时，原不等式为22x

≥

，∴≥

x 1

2

当x <0时，原不等式为2

222-+≥x x ，

12212201222)2(2+≥-≤∴≥+?-∴x x x x 或 又x <0)12(log 122122-≤∴-≤∴<∴x x x

∴原不等式的解为x x ≥

≤-1

2

212或log () 说明：此题易在x <0时221x

≥

+处出错，忽略了x <0的前提。注意分段求解的结果要考虑分段的前

提。

51、方程x k x k 2

250+-+-=()的两根都大于2，求实数k 的取值范围。 解：设方程的两根为x x 12，，则必有

450

4)2(2)5(04)2(0)5(4)2(0)2)(2(0)2()2(0

22121-≤<-∴??

???>+-+->---≥---∴???

??>-->-+-≥?k k k k k k x x x x

说明：此题易犯这样的错误：4222121>+∴>>x x x x ， ，且x x 124>和判别式?≥0联立即得k 的

范围，原因是x x 1222>>和只是x x 124+>的充分条件， 即x x 124+>不能保证x x 1222>>和同时成立.