《认识制作小杆秤》戴柯柯

认识制作小杆秤

一、微课实录

（一）微课导入

动态呈现微课课题《认识、制作小杆秤》，帮助学生了解学习内容，进入学习状态。（二）认识杆秤

教师：同学们，你们知道这些人在用的称量工具是什么吗？对了，这就是我国传统的度量衡三大件之——杆秤。

教师：杆秤的前身是天平。早在7000多年前。古埃及人就已经

开始使用天平进行称量。而我国则最早出现在距今2600多年前的春

秋中晚期。但是天平在使用过程中，一边多重的货物一边也要多重

的砝码，不方便携带和流通。之后在战国时期出现了不等臂天平。

又过了数百年南北朝演变出了提系杆秤。

教师：杆秤主要由提绳、秤盘、秤砣3部分组成。杆秤运用了杠杆的知识。提绳相当于支点，秤盘相当于阻力点，秤砣相当于用力点。支点离用力点的距

离比支点到阻力点的距离越短，用力点就越费力；支点离用力点的

距离比支点到阻力点的距离越长，用力点就越省力。运用这个原理，

杆秤才能测出物体的重量。

教师：千百年的传承，杆秤的摸样并没有多大变化。但是到了

20世纪90年代。杆秤在人们生活中的地位逐渐被电子所取代，凝聚

了千百年智慧的杆秤行将消失。

教师：传统的杆秤一般选用上好的檀木、楠木进行制作。这样的材料木质坚硬，不易变形。过去制作一把杆秤需要100多道工序。现在的制作工序简化了，

但依旧保留了刨杆、定刀口、安铜帽、定盘星、定刻度、钉星花等

主要工序。

教师：其中的每个步骤都有讲究，有深刻的文化内涵。比如说

钉星花一定要用白色或黄色的铜丝，不能用黑色。因为做生意不能

黑心骗人。又比如在我国度量衡改革之前1市斤相当于16两。秤杆

上的16个星花分别代表了北斗七星、南斗六星和福禄寿三星。要是做生意的缺一两，那就暗示少寿；缺二两，那就暗示少禄；缺三两就少福……依次类推。用这种方式，我们的祖先告诫着后人做生意要诚信经营，不可缺斤少两。

教师：在了解了这么多关于杆秤的历史之后，你想不想也来制作一把小杆秤呢？那就让

我们动动手，跟着视频一起来制作一把小杆秤吧。

（三）制作杆秤

教师：同学们，我们这次要用到的制作小杆秤的材料有：1根

小木棒、1个塑料小盆、1团棉线、剪刀、一些大小不一样的螺帽、

记号笔、砝码、尺子。材料准备就绪，接下来就让我们来看看具体

的制作步骤吧。

教师：用剪刀剪几段细线，系在塑料小盆上。再固定在用木棒做成的秤杆上。注意塑料小盆要保持平衡。这样秤盘就做好了。

教师：再取一段细线作为提绳，系在靠近秤盘的位置。用手提提绳。如果秤盘一端没有下沉。我们可以用小螺帽来给秤盘一端增加重量，让秤盘这端下沉。这样支点就确定好了。

教师：用细线串一个螺帽做成秤砣，挂在秤杆上。手提提绳，移动秤砣，找到使杆秤平衡的位置，做上标记“0”。我们再把秤砣挂到“0”刻度。我们的杆秤平衡了吗？这就说明我们的“0”刻度找对了。

教师：在秤盘中先放1个5g的砝码，然后调节秤砣平衡之后做好标记。再放上10g砝码，调节秤砣之后再做标记，依次类推。我们这把杆秤最多可以称量重量为20g的物体。最后用刻度尺把刻度平均分一下，就可以找到每1g的位置。

教师：同学们，我们的小杆秤制作完成了，你学会了吗？用我

们的小杆秤来称一称周围的小物品有多重吧。

二、微课评析

（一）背景介绍

小杆秤是一种凝聚了千百年智慧的度量衡的工具。但是随着科

技的进步，这种传统的称量工具行将消失，非常可惜。杆秤的测量原理其实是对杠杆知识的应用。而《杠杆的科学》正好又是浙教版《科学》六年级上册第一单元中的学习内容。

在查阅相关资料后发现，现有的资料只有单纯地对小杆秤或对小杆秤的制作分别进行介绍，并没有将两者结合起来。因此从保护传统文化和学以致用角度出发，我制作了本微课。（二）重难点突破

本节课的重难点就是怎样制作简易小杆秤。

但是学生对于小杆秤是非常陌生的，为了解决这个问题，本微课增加了对杆秤发展历史的介绍，并结合学生已有的杠杆知识，让学生能够对杆秤从发展历程到组成部分有一个全方位的认识，减少陌生感，为后续的制作打下基础。

当然，本节课最需要解决的一个问题就是如何制作小杆秤。为此，我将制作简易小杆秤的步骤划分为4个分步骤，每个步骤开始之前都用精炼的语句进行介绍，之后并配以详细的视频介绍，做到以最直观的的方式让学生掌握制作小杆秤的技巧，帮助他们完成小杆秤的制作。

（三）思维导图

（四）微课应用

本微课主要包括认识杆秤和制作杆秤这两部分内容。因此既可以作为六年级学生课前自学或者课后巩固拓展时使用，也可以应用于对五年级学生提前渗透时使用。当然，在学生学习《杠杆的科学》之后再来使用效果更佳。

宁波市镇海区炼化小学戴柯柯

中值定理证明

中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

柯西不等式的应用(整理篇)

柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： ()2 2211n n b a b a b a +++Λ()()2 222122221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,,=∈ 等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ =()()() 2 222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120n n a a a +++≥Q L ()()() 0442 2221222212 2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ 即()()() 22221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12 12n n a a a b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ( )()()()2 2 22 22222212 1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2 22 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22 221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立 设A=22221k a a a +++Λ B=2 2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L 2 C AB ≥∴

柯西中值定理

§2 柯西中值定理和不等式极限 一柯西中值定理 定理(6.5) 设、满足 (i) 在区间上连续， (ii) 在内可导 (iii) 不同时为零; (iv) 则至少存在一点使得 柯西中值定理的几何意义 曲线由参数方程 给出，除端点外处处有不垂直于轴的切线， 则上存在一点 P处的切线平行于割线.。 注意曲线 AB在点处的切线的斜率为

， 而弦的斜率为 . 受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下： 由于， 类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数 容易验证满足罗尔定理的条件且 根据罗尔定理，至少有一点使得，即

由此得 注2：在柯西中值定理中，取，则公式（3）可写成 这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令，则 . 这恰恰是罗尔定理. 注3:设在区间I上连续，则在区间I上为常数，. 三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性 1、利用其几何意义 要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。 可以用这种几何解释进行思考解题： 例1：设在（a ，b）可导，且在 [a，b] 上严格递增，若，则对一切 有。 证明：记A（），，对任意的x，记C（），作弦线AB，BC，应用拉格 朗日中值定理，使得分别等于AC，BC弦的斜率，但因严格递增，所以

＜，从而 ＜ 注意到，移项即得＜， 2、利用其有限增量公式 要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式 进行思考解题： 例2：设上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在使得 证：上式左端 作辅助函数 则上式 =， =

，其中 3、作为函数的变形 要点：若在[a，b]上连续，（a，b）内可微，则在[a，b]上 （介于与 之间） 此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。 例3 设在上可导，，并设有实数A＞0，使得 ≤在上 成立，试证 证明：在[0，]上连续，故存在] 使得 ==M 于是 M=≤A≤≤ 。 故 M=0，在[0，] 上恒为0。用数学归纳法，可证在一切[]（ i=1,2,…）上恒有 =0, 所以=0, 。

柯西不等式的应用技巧修订稿

柯西不等式的应用技巧 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-

柯西不等式的应用技巧及练习 柯西不等式的一般形式是：设12 12,,,R n n a a a b b b ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 当且仅当1212n n a a a b b b ===或120n b b b ====时等号成立． 其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中 作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代 换等，方法灵活，技巧性强． 一、巧配数组 观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中 每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因 此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b 和，便是应用柯西不等式的一个主要技巧． 例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值． 例２ 设 ,,R x y z ∈ ，求证：22 -≤≤． 二、巧拆常数 运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到 时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧． 例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等， 求证：c b a a c c b b a ++>+++++9222 . 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子 的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的． 例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21, 求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++

一般形式的柯西不等式 教案

澜沧拉祜族自治县第一中学教案 【一般形式的柯西不等式】 学科：数学 年级：高三 班级：202、203 主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清 一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础。本节课的核心内容是柯西不等式一般形式的推导及其简单应用。 二、教学目标： 1、知识与技能：.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2、过程与方法：通过柯西不等式与其它基本不等式的关系，感悟柯西不等式的美; 3、情感、态度与价值观：在运用柯西不等式分析、解决问题的过程中，体会柯西不等式的应用方法. 三、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法． 四、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式． 五、教学准备 1、课时安排：1课时 2、学情分析：学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处. 3、教具选择：多媒体 实物展台 六、教学方法：启发引导、讲练结合法 七、教学过程 1、自主导学：一、创设问题情境，检查课后学习情况： 问题1：你知道二维形式的柯西不等式吗？有几种形式？ 定理1：（二维柯西不等式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++， 等号当且仅当bc ad =时成立． 定理2：（向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则αβαβ? ≥，其中等号当且仅 当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立． 定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则： 231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 问题2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？ （１）222a b ab +≥ （２）2221()2 a b a b ++≥ 解析： (1)2222222222))()(2),)(2)a b a b ab ab ab a b ab +++=+∵((≥∴(≥

中值定理的应用方法与技巧

中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对

柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑

浙江大学礼仪队美女白裙飘飘走红网络

浙江大学礼仪队美女白裙飘飘走红网络 2013年12月21日 最近，浙江大学礼仪队一张照片在微博上转得很火，10位女生穿着白色镶蓝边的礼服，站成一排，双手叠放在身前，笑得很灿烂。 我们想办法联系到了学校礼仪队的负责老师蒋老师，希望能采访礼仪队的同学。傍晚5：40，在浙江大学紫金港校区见到了礼仪队的四位女生。 这张照片是10月份拍的 到学校时，四位女生已经在小剧场的休闲吧里等着了，见到我们，忙着泡茶招呼，很热情。她们刚下课赶过来，还没来得及吃饭。说起网上大家在转她们的照片，几位姑娘都还不太清楚。 穿粉色大衣的是梁思姝，礼仪队队长，今年大三，读农业资源与环境专业。她扎着马尾辫，刘海全都往后梳，谈吐老练。梁思姝说，网上的定妆照是今年十月份拍的，那会儿刚招了一些新队员，形体培训结束，

说到这里，她介绍起同来的几位队员。几位姑娘都是素颜，但个个皮肤白皙，个子高挑。穿藏青色大衣、戴黑框眼镜的是副队长万辛夷，今年大二，读生物医学工程；穿驼色大衣、笑起来有两个小酒窝的是崔琼尹，她是礼仪队的宣传部长，今年也上大二，读工业设计专业；还有围着大红围巾的巩智利，她是礼仪队人力资源部部长，今年上大三，学的是建筑学。梁思姝说，礼仪队的女生中，大部分都是学理工科的。 礼仪队的女生 有学霸也有特长生 巩智利老家是辽宁本溪，当年是保送到浙江大学的，高中获得过全国高中学生化学竞赛辽宁省第七名。现在除了在读的建筑学，还辅修德语。她说，德国的建筑在全球都有名，本科毕业后想去德国深造，所以先在语言方面做点准备。 万辛夷家在温州，毕业于瑞安中学，当年的高考分数是理科670多分。在礼仪队同学眼里，她属于“学霸”类型。一位同学说，她平时话不多，但学习很用功，成绩很好。 队长梁思姝毕业于安吉高级中学，被浙江大学应用生物科技提前批录取。梁思姝对生物很感兴趣，高中时参加过浙江省生物竞赛，获得过初赛一等奖。从小到大，梁思姝都是班长，还当过学习委员。 崔琼尹的专业很出色，她小学开始学国画，画了六七年，后面就一直坚持下来。高中上的是杭七中，也一直坚持美术专业，高三那年被清华大学、中国美术学院、浙江大学的美术校考录取。现在，崔琼尹还在拍摄一部电影，具体名字她暂时不透露。 服装是队员自己挑选和老师一起设计的 很多网友看了定妆照后，都夸姑娘们的礼服好看。这礼服以白色蕾丝为主，领口、袖口和腰间都用了蓝色的细线条点缀，看上去端庄大方。 梁思姝说，去年礼仪队穿的还是一套红白相间的缎面礼服，那套礼服已经穿了五年了，老师和同学估计有些审美疲劳，所以今年想换一套。但是，请专门的设计师设计费用太高，于是就自己想，收上来十几个方案，最后大家选了这一套。最后，和指导老师颜老师一起完成了最终的设计。 一站就是几小时 脚经常磨出水泡 礼仪队的选拔要求会不会很高？ 梁思姝想了想说，其实就两个要求：一是要一米六五以上，二是气质要好，主要表现在形态和站姿上。今年招新队员时，有130多位同学报名，最后录取了20多人。 刚进礼仪队，新队员要上两节形体培训课，每节课两个小时，由专门的老师来上。这两节课主要是训练基本的站立姿势、走路姿势，然后还有化妆课，这些课程结束后，基本上就可以参加典礼了。 但很多刚进礼仪队的新生要面对一个难题：刚走出高中校门，面对七八厘米高的高跟鞋，刚开始不太适

柯西中值定理的证明及应用

柯西中值定理的证明及应用 马玉莲 （西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃，兰州，730070） 摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式. 关键词：柯西中值定理; 证明; 应用

1.引言 微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下： 柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足 (1) 在[,]a b 上都连续; (2) 在(,)a b 内都可导; (3) '()f x 和'()g x 不同时为零; (4) ()()g a g b ≠, 则存在(,)a b ξ∈，使得 ()()() ()()() f f b f a g g b g a ξξ''-=- . （1） 本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用. 2.柯西中值定理的证明 2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理 罗尔定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，且 ()()f a f b =则至少存在一点,(,)a b ξ∈ , 使得 因为()0g ξ'≠（若()g ξ'为0则()f ξ'同时为0, 不符条件）故可将（2）式改写为(1)式. 便得所证.

柯西不等式的证明及其应用

柯西不等式的证明及其应用 赵增林 （青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007） 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并 给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式 定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则 2222222 11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*） 当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。 若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是 12 12n n a a a b b b ===……。 我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明： 一）两个实数的柯西不等式的证明： 对于实数1212,,,a a b b ，恒有22222 11221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当 12210a b a b -=时等号成立。如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是12 12 a a b b =。 证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有 2222 22121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++。 当且仅当12210a b a b -=时等号成立。 不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有 异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式 得：|OP |=，|OQ |=

一般形式的柯西不等式全面版

课 题：§3.2一般形式的柯西不等式 教学目标：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并 应用其解决一些不等式的问题.. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程： 一、复习引入： 1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？ 答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 思考：如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？四维呢？ 答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++。。。。。。 二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式： ① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ?≤ ，如何得到空间向量的三维形式的柯西不等式及代数形式？ ② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈ ，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 讨论：什么时候取等号？ 联想：设1122n n B a b a b a b =+++，222 12n A a a a =++ ，22212n C b b b =+++ ，则有 20B AC -≥，可联想到一些什么？ ③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类） 要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++???++++???+（）（222 12()n b b b +++???+ ，则 22 21122 ()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++???+≥+（. 又222120n a a a ++???+>，从而结合二次函数的图像可知， []2 2221122122()4()n n n a b a b a b a a a ?=+++-++? 22212()n b b b +++ ≤0 即有要证明的结论成立. ④分析什么时候等号成立？ 二次函数f x （）有唯一零点时，判别式0?=，这时不等式取等号； 00i i a x b ?=?+=0i b ?=或i i a kb =（1,2,,i n = ） 定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则： 21 1 2 1 2)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a ，当且仅当0=i b （=i 1，2，…，n ）或存在 一个数k ，使得i i a kb =（1,2,,i n = ）时等号成立。 ⑤探究：一般形式的三角不等式是怎样的？（可以让学生课后去探究） 利用一般形式的柯西不等式，容易推导出一般形式的三角不等式： (,,1,2,,)i i x y R i n ∈= 具体证法为：展开2 ，然后由柯西不等式推出展开式中的，进而完成全部证明。教学中可由学生探究具体证明过程，以加强其对一般形式柯西不等式与一般形式三角不等式之间联系的认识。 ⑤ 变式：222212121()n n a a a a a a n ++≥++???+ . （讨论如何证明） 2. 柯西不等式的应用：

总结拉格朗日中值定理的应用

总结拉格朗日中值定 理的应用

总结拉格朗日中值定理的应用 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！ 拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。 凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式， 凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1. 常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通 常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分

作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3. 倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。

柯西不等式及排序不等式及其应用经典例题透析

经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值1．求函数 的最大值．思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不 等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。 解析：法一：∵且， ∴函数的定义域为，且， 当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为法二：∵且， ∴函数的定义域为 由， 得 即，解得∴时函数取最大值，最大值 为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键． 举一反三： 【变式1】（2011，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。 （I）证明：-3≤f（x）≤3； （II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。 【答案】 (Ⅰ) 当时，． 所以．…………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为． 综上，不等式的解集为．……10分 【变式2】已知，，求的最值. 【答案】法一： 由柯西不等式 于 是的最大值为，最小值为. 法二： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值． 【答案】 根据柯西不等式 ， 故。 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立， 此时，评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑． 类型二：利用柯西不等式证明不等式

利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。 （1）巧拆常数：2．设、、为正数且各不相等，求证： 思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证： 而，又，故可利用柯西不等式证明之。 证明： 又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。 （2）重新安排某些项的次序：3．、为非负数，+=1，，求证： 思路点拨：不等号左边为两个二项式积， ，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 证明：∵+=1 ∴ 即（3）改变结构：4、若>>，求证： 思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。 ，，∴，∴所证结论改为证

我要看美女

我要看美女 李胖有个毛病,那就是见到美女就跟丢了魂儿一样,几年前,他就因为回头看美眉,失足掉入下水道。后来,李胖娶了个爱吃醋的老婆,叫小莲,在小莲的“严打”之下,李胖好歹有所收敛,但是小莲一时心软,还是给老公留了个活口:电视里如果出现美女,可以允许李胖多看几眼。 最近几天,电视里直播模特大赛,从预赛、复赛直到决赛,时间长着呢。这可美坏了李胖,天天端坐在电视机前,跟个木头一样一动不动,尤其是泳装表演时,他更是两眼一眨不眨,“哈喇子”都流到了脚面上。 小莲早就打翻了醋坛子,有心跟李胖大吵大闹、寻死觅活一番,但又有约在先,不能言而无信啊。这可怎么办?这天晚上,李胖正坐在电视机前大饱眼福,小莲忽然凑了过来,紧挨着他坐下。李胖一惊说:“老婆,怎么,你也爱看模特大赛啊?” 小莲两眼直勾勾地看着前方,嘴里说:“是啊,老公。”李胖很受感动,眼圈都红了:“老婆,你真好,不但不反对我看,而且还陪着我一起看。”小莲却话锋一转:“我可跟你不一样,你看的是人,我看的是衣服,这些模特身上穿的衣服,肯定代表流行款式!哎,老公你看,这个模特穿的裙子怎么样,我明天就去商场,买条一模一样的回来。” 李胖是个出了名的“抠抠族”,一说花钱比割他的肉还难受,小莲这话一出口,李胖顿时变了脸色:“老婆呀,咱不能跟人家模特比啊!” 小莲恼了:“怎么不能比?哦,我明白了,你是嫌我的体形不如人家模特的好看,是吧?嗯,老公,你说得太对了,我明天就去买减肥茶、减肥药、塑身内衣,我就不信我瘦不下来!” 得,一句话又把老婆要减肥的想法勾出来了!李胖悔得直想咬自己的舌头。这时,电视里出现了“汽车秀”,模特们在一辆辆崭新的汽车旁边搔首弄姿,小莲兴奋地叫了起来:“哇!老公,你瞧这辆敞篷车怎么样?要是你开着带我去兜风,一定酷毙了!我得上网去查查,现在这种车多少钱一辆?”说着,起身就要走。 啪!李胖忽然狠狠地关了电视机,接着,他一屁股跌到地上哀嚎起来:“娘哎,饶了我吧,我再也不看美女了!”

柯西不等式的应用技巧

柯西不等式的应用技巧及练习 柯西不等式的一般形式是：设1212,,,R n n a a a b b b ∈L L ，则 当且仅当1212n n a a a b b b ===L 或120n b b b ====L 时等号成立． 其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强． 一、巧配数组 观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b L L 和，便是应用柯西不等式的一个主要技巧． 例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值． 例２ 设,,R x y z ∈ ，求证：≤≤ 二、巧拆常数 运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧． 例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等， 求证：c b a a c c b b a ++>+++++9222 . 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的． 例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21, 求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ 例７ 设,1 21+>>>>n n a a a a K 求证：

练习题 1. (2009年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数z y x ,,满足,12=++z y x 设.2222z y x t ++= (1) 求t 的最小值； (2) 当21 =t 时，求z 的取值范围 2 (2010年浙江省第二次五校联考)已知,,a b c R +∈，1a b c ++=。 (1) 求()222149a b c +++的最小值； (2) 2≥ 3 (2010年杭二中高三年级第三次月考)已知正数,,a b c 满足：1=++ca bc ab ，求 的最大值． 4 (浙江省镇海中学高考模拟试题) 已知,,x y z 是正数，且12 1,x y += 求221 2 2x x y y +++的最小值； 5 (金华十校2009年高考模拟考试)若+∈R c b a ,, ， 求证：1222≥+++++b a c a c b c b a 6 (2010年宁波市高三模拟测试卷)已知,,a b c 为正实数，且3a b c ++=． 证明：222 2()()()4 ()3a c b a c b a c a b c ---++≥-，并求等号成立时,,a b c 的值． 7 (浙江省镇海中学高考模拟试题) 若0,,1,x y z <<且1xy yz zx ++= ≥ 8(2010年金华十校高考模拟考试) 设正数x ，y ，z 满足1543=++z y x 求x z z y y x +++++1 1 1 值．

柯西不等式的几何意义

柯西不等式的几何意义和推广 3. 柯西不等式的几何意义 柯西不等式的代数形式十分简单，但却非常重要。数学当中没有巧遇，凡是重要的结果都应该有一个解释，一旦掌握了它，就使这个结果变得不言而喻了。而一个代数结果最简单的解释，通常驻要借助于几何背景。现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出几何解释。 （1）二维形式 2222()()()a b c d a c b d ++ ≥+ y x Q (c ,d ) P (a ,b ) O 图3-1 如图，可知线段OP ，OQ 及PQ 的长度分别由下面的式子给出： OP OQ PQ ===θ表示OP 与OQ 的夹角。由余弦定理，我们有 2 2 2 2cos PQ OP OQ OP OQ θ=+-? 将OP ，OQ ，PQ 的值代入，化简得到cos θ= 而2 0cos 1θ≤≤，故有2 2 2222 ()cos 1()() ac bd a b c d θ+=≤++ 于是 2222()()()a b c d a c b d ++≥ + 这就是柯西不等式的二维形式。 我们可以看到当且仅当2cos 1θ=，即当且仅当θ是零或平角，亦即当且仅当

,,O P Q 在同一条直线上是时等号成立。在这种情形，斜率之间必定存在一个等 式；换句话说，除非0c d ==，我们们总有 a b c d =. （2）三维形式 2222 22 12312311 2233()()()a a a b b b a b a b a b ++++ ≥++ 对于三维情形，设123123(,,),(,,)P a a a Q b b b 是不同于原点(0,0,0)O 的两个点，则OP 与OQ 之间的夹角θ的余弦有 2 3c o s θ= 又由2cos 1θ≤，得到柯西不等式的三维形式： 2222 2 2 12312311 2233()()()a a a b b b a b a b a b +++ + ≥++ 当且仅当,,O P Q 三点共线时，等号成立；此时只要这里的123,,b b b 都不是零，就有 3 12123 a a a b b b == 4. 柯西不等式的推广 前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的，在复数范围内同样也有柯西不等式成立。 定理：若12(,,)n a a a a =???和12(,,,)n b b b b =???是两个复数序列，则有 2 2 2 1 1 1 ()()n n n k k k k k k k a b a b ===≤∑∑∑， 当且仅当数列a 和b 成比例时等式成立。 证明：设λ是复数，有恒等式 2 22 2 1 1 1 1 1 ()()2Re()n n n n n k k k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b λλλλ λ=====-=--=+-∑∑∑∑∑ 若12 1n k k k n k k a b b λ=== ∑∑（其中0b ≠），则有 22 2 1 2 1 1 1 0n k k n n k k k k n k k k k a b a b a b λ====-=- ≥∑∑∑∑ 由此推出了复数形式的柯西不等式。

柯西不等式各种形式的证明及其应用培训资料

柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角 度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==??==???= ?=?????当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 2 22 111n n n k k k k k k k a b a b ===??≥ ??? ∑∑∑

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2015年备受青睐的十大女性APP排行榜 智能手机在不断更新换代，五花八门的APP也层出不穷，广大的女性用户也成为使用APP的强力军。那什么样的APP备受女性青睐和推崇呢?下面小编就为你推荐十大女性APP。 TOP1: 美丽说 开发商：美丽说(北京)网络科技有限公司 运营平台：iOS&Android 产品简介：美丽说-女性时尚购物电子商务平台，精选上千家优质卖家，提供女装、女鞋、女包、配饰、美妆等优质时尚商品。 小编说：为年轻时尚爱美的女性用户提供最流行的时尚购物体验，用户年龄集中在18岁到35岁，物品款款流行，件件低价。 TOP2: 蘑菇街 开发商：杭州卷瓜网络有限公司 运营平台：iOS&Android 产品简介：蘑菇街是专注于时尚女性消费者的电子商务网站，为爱美的姑娘们提供衣服、鞋子、箱包、配饰和美妆等等领域适合年轻女性的商品，蘑菇街APP 也成为时尚女性购买和互相分享的必备APP。 小编说：新版中新增每日特价，亲可以买到最便宜的海购正品；新增商品分类可以更方便的挑选商品；增加商品和品牌分类可以帮你更快找到心仪大牌。 TOP3：穿穿 开发商：深圳市铁木鱼科技开发有限公司 运营平台：iOS&Android 产品简介：“穿穿”是一款能够提供时装量身定制和免费搭配咨询服务的APP。为用户提供衣型识别、搭配展示、原创设计师一对一设计和自有化的线下量身定制服装与生产等服务，让用户享受极致完美的在线服装消费体验。 小编说：18岁～40岁的都市人群提供衣型识别、搭配展示、原创设计师一对一设计和自有化的线下量身定制服装与生产等服务，让用户享受极致完美的在线服装消费体验。

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