总复习:锐角三角函数
1、在Rt △ABC 中,∠C =900,若4
3
tan =
A ,则sinA =( A 、34
B 、43
C 、35
D 、5
3
2、已知cos α<0.5,那么锐角α的取值范围是(
A 、600<α<900
B 、00<α<600
C 、300<α<900
D 、00<α<300 3、若110tan(30=+α,则锐角α的度数是(
A 、200
B 、300
C 、400
D 、500 4、在Rt △ABC 中,∠C =900,3
1
tan =
A ,AC =6,则BC 的长为( A 、6
B 、5
C 、4
D 、2 5、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米,则他上升的最大高度为(
A 、
βsin 100米 B 、βsin 100米 C 、β
cos 100
米 D 、βcos 100米 6.如图,小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE 为5m ,AB 为1.5m (即小颖的眼睛距地面的距离,那么这棵树高是( A .
2m B .
(32m C .
m D .4m B '
第3题图 O
B
(第6题 (第7题 (第8题
7、如图,梯子AB 靠在墙上,梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米,梯子的顶端
B 到地面
的距离为7米。现将梯子的底端A 向外移动到A ',使梯子的底端A '到墙根O 的距离等于3米,同时梯子的顶端B 下降到B ',那么B B '(
A 、等于1米
B 、大于1米
C 、小于1米
D 、不能确定 8、如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C =90o ,AC =6,D 是AC 上一点,若tan ∠DBA =5
1
,则AD 的长为(
A 、2
B 、3
C 、2
D 、1
9.如图,矩形ABCD 中,AB
>AD ,AB =a ,AN 平分∠DAB ,DM ⊥AN 于点M ,CN ⊥AN 于点N .则DM
+CN 的值为(用含a 的代数式表示(
A .a
B .
a 5
4
C .a 22
D . a 23
(第10题 (第11题
10.如图,△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上,则A ∠tan 的值是( A . 5
6
B .
6
5 C .
3
10
2 D .
10
10
3 11.河堤横断面如图所示,堤高BC =5米,迎水坡AB 的坡比1
高度BC 与水平宽度AC 之比,则AC 的长是
12.如图,正方形ABCD 的边长为4,点M 在边DC 上,M 、N 两点关于对角线AC 对称,若DM =1,则tan ∠ADN = .
60°
30°
D C
B
A
(第13题 (第14题 13.如图,1∠的正切值等于。
14.如图,已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =30°,∠C =60°,AD =4,AB
=BC 的长为 __________.
15.如图,在正方形ABCD 中,O 是CD 边上一点,以O 为圆心,OD 为半径的半圆恰好与以B 为圆心,BC 为半径的扇形的弧外切,则∠OBC 的正弦值为 .
(第17题
16.如图,已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上,则sin α= .
A B
C
D α
A (第16题
1l 3l 2l
4
l
第15题
A
B C
D O
A
(第12题
B
D
M N
C
·
·
D
17.将一副三角尺如图所示叠放在一起,若AB=14cm ,则阴影部分的面积是_________cm 2
。 18、计算:
(1
104cos30sin60(22008-??+-- (2 3-
1+(2π-10-
3
3
tan30°-tan45°
19、已知等腰梯形ABCD 中,AD +BC =18cm ,sin ∠ABC =
35
2
,AC 与BD 相交于点O ,∠BOC =1200,试求AB 的长。
20.如图,已知Rt △ABC 和Rt △EBC ,90B ∠=°。以边AC 上的点O 为圆心、OA 为半径的⊙O 与EC 相切,D 为切点,AD//BC 。 (1用尺规确定并标出圆心O ;(不写做法和证明,保留作图痕迹 (2求证:E ACB ∠=∠
(3若AD=1
,tan DAC ∠=
,求BC 的长。
21、如图,甲船在港口P 的北偏西60 方向,距港口80海里的A 处,沿AP 方向以12海里/时的速度驶向港口P .乙船从港口P 出发,沿北偏东45 方向匀速驶离港口P ,现两船同时出发,2小时后乙船在甲船的正东方向.求乙船的航行速度.(精确到0.1海里/时,参考
1.41
1.73
22.如图,在一个坡角为20°的斜坡上方有一棵树,高为AB ,当太阳光线与水平线成52°角时,测得该树在斜坡上的树影BC 的长为10cm ,求树高AB (精确到0.1m.
(已知:sin20°≈0.342, cos20°≈0.940, tan20°≈0.364, sin52°≈0.788, cos52°≈0.616, tan52°≈1.280.供选用
23.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD=60°,坡长AB=203m,为加强水坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F=45 ,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据:2≈1.414,
3 ≈1.732
A
P
东
北
45
60
24.某过街天桥的截面图为梯形,如图7所示,其中天桥斜面CD 的坡度为
3:1(3:1==i i 是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比,CD 的长为10m ,天桥另一斜面AB 的坡角 45=∠ABC
(1写出过街天桥斜面AB 的坡度;
(2求DE 的长;
(3若决定对该过街天桥进行改建,使AB 斜面的坡度变缓,将其45°坡角改为30°,方便过路群众,改建后斜面为AF ,试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到0.01
25.已知:在△ABC 中AB =AC ,点D 为BC 边的中点,点F 是AB 边上一点,点E 在线段DF 的延长线上,∠BAE =∠BDF ,点M 在线段DF 上,∠ABE =∠DBM . (1如图1,当∠ABC =45°时,求证:AE =2MD ;
(2如图2,当∠ABC =60°时,则线段AE 、MD 之间的数量关系为: 。 (3在(2的条件下延长BM 到P ,使MP =BM ,连接CP ,若AB =7,AE =72, 求tan ∠ACP 的值.
作业
1、已知,在Rt △ABC 中,∠C =900,2 5
tan =
B ,那么cosA ( A 、
25 B 、35 C 、5
5
2 D 、32
2、在△ABC 中,∠C =900,AC =BC =1,则tanA 的值是( A 、2 B 、
2
2
C 、1
D 、21
3、在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高线,已知∠ACD 的正弦值是32,则AB
AC 的值是( A 、
52 B 、53 C 、2
5
D 、32 4、王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地,再从B 地向正南方向走200m 到C 地,此时王英同学离A 地 ( (A 350m
(B 100 m
(C 150m
(D 3100m
5、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40o的方向行驶40海里到达B 地,再由B 地向北偏西20o的方向行驶40海里到达C 地,则A 、C 两地相距( . (A 30海里 (B 40海里 (C 50海里 (D 60海里
6、一次数学活动中,小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD .已知她的眼睛与地面的距离为1.6米,小迪在B 处测量时,测角器中的60AOP ∠=°(量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角,如图;然后她向小山走50米到达点F 处(点B F D ,,在同一直线上,这时测角器中的45EO P ''∠=°,那么小山的高度CD 约为( A.68米 B.70米 C.121米 D.123米
1.732 1.414≈供计算时选用
(第6题
(第5题
7.如图,在梯形ABCD 中,?=∠=∠90B A ,=AB 25,点E 在AB 上,
?=∠45AED ,6=DE ,7=CE .求:AE 的长及BCE ∠sin 的值.
8.如图,四边形ABCD 是平行四边形,以AB 为直径的⊙O 经过点D ,E 是⊙O 一点,且
∠AED=45
(1试判断CD 与⊙的位置关系,并说明理由;
(2若⊙O 的半径为3cm ,AE=5cm ,求∠ADE 的正弦值。
9.海中有一个小岛P ,它的周围18海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上,航行12海里到达B 点,这时测得小岛P 在北偏东45°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险?请说明理由.
西东
10.如图,某飞机于空中探测某座山的高度,此时飞机的飞行高度是AF =37千米,从飞机上观测山顶目标C 的俯角是30°,飞机继续以相同的高度飞行30千米到B 处,此时观测目标C 的俯角是60°,求此山的高度CD 。(精确到1千米 (参考数据: 2
≈1.414, 3 ≈1.732
11.小明想知道湖中两个小亭A 、B 之间的距离,他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道l 上某一观测点M 处,测得亭A 在点M 的北偏东30°, 亭B 在点M 的北偏东60°,当小明由点M 沿小道l 向东走60米时,到达点N 处,此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向,继续向东走30米时到达点Q 处,此时亭B 恰好位于点Q 的正北方向,根据以上测量数据,请你帮助小明计算湖中两个小亭A 、B 之间的距离.
A
D F
12.如图,某堤坝的横截面是梯形ABCD,背水坡AD的坡度i(即tanα为1︰1.2,坝高为5米。现为了提高堤坝的防洪抗洪能力,市防汛指挥部决定加固堤坝,要求坝顶CD加宽1米,形成新的背水坡EF,其坡度为1︰1.4。已知堤坝总长度为4000米。
(1求完成该工程需要多少土方?
(2该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成,按原计划需要20天。准备开工前接到上级通知,汛期可能提前,要求两个工程队提高工作效率。甲队工作效率提高
30%,乙队工作效率提高40%,结果提前5天完成。问这两个工程队原计划每天各完成多少土方?
总复习:锐角三角函数答案
1、D
2、A
3、A
4、D
5、B 6.A 7、C 8、A 9、C 10、A 11、
12、
4
3
13、 14、10 15.
53 16
17、2
49
18(13/2 (20
19、解:如图,作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ,则四边形ACED 是平行四边形。∴AD =CE ,DE =AC ,易证△ABC ≌△DCB
∴AC =DB ,BD =DE ∴△DBE 为等腰三角形 BE =BC +AD =18cm 分别过A 、D 作AG ⊥BC 于G ,DF ⊥BC 于F
∵∠BDE =∠BOC =1200,∴∠BDF =600
∴BF =2
1
BE =9cm ,AG =DF =33cm
在Rt △ABG 中,sin ∠ABG =
AB AG
∴AB =
2
1535
233sin ==∠ABG AG (cm 答:AB 的长是
2
15
cm 。 20、(1(提示:O 即为AD 中垂线与AC 的交点或过D 点作EC 的垂线与AC 的交点等. (2证明:连结OD .∵AD ∥BC , ∠B=90°,∴∠EAD=90°.
∴∠E+∠EDA=90°,即∠E=90°-∠EDA . 又圆O 与EC 相切于D 点,∴OD ⊥EC . ∴∠EDA+∠ODA=90°,即∠ODA=90°-∠EDA .
∴∠E=∠ODA
又OD=OA ,∴∠DAC=∠ODA ,∴∠DAC=∠E .∵AD
∥BC ,∴∠DAC=∠ACB ,∴∠E=∠ACB . (3Rt △DEA 中,tan ∠E=
EA DA ,又tan ∠E=tan ∠DAC=2
2
,∵AD=1∴EA=2. 21.依题意,设乙船速度为x 海里/时,2小时后甲船在点B 处,乙船在点C 处,作PQ BC ⊥于Q ,则8021256BP =-?=海里,2PC x =海里.
在Rt PQB △中,60BPQ ∠= ,
1
cos 6056282
PQ BP ∴==?=
.在Rt PQC △中,45QPC ∠= ,
cos 452PQ PC x ∴==
=
28=
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB ,
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案 一、选择题 1.如图,点O 为△ABC 边 AC 的中点,连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ,若BD=12,AC=8,∠AOD =120°,则四边形ABCD 的面积为( ) A .23 B .22 C .10 D .243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线,垂足分别为M 、N ,通过题意可求出AM 、CN 的长度,可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积,相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解:分别过点A 、C 作BD 的垂线,垂足分别为M 、N , ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点,AC=8, ∴AO=CO=4, ∵∠AOD =120°, ∴∠AOB=60°,∠COD=60°, ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠, 342 CN CN sin COD CO ===∠, ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ?===g △ 12231232BD CN S ?===g △BCD , ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选:D. 【点睛】
本题考查了三角函数的内容,熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2.如图,为了加快开凿隧道的施工进度,要在小山的两端同时施工.在AC 上找一点B ,取145ABD ∠=o ,500BD m =,55D ∠=o ,要使A ,C ,E 成一直线,那么开挖点E 离点D 的距离是( ) A .500sin55m o B .500cos55m o C .500tan55m o D .500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可. 【详解】 在Rt △BDE 中,cosD= DE BD , ∴DE=BD ?cosD=500cos55°. 故选B . 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用,正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键. 3.如图,在ABC ?中,4AC =,60ABC ∠=?,45C ∠=?,AD BC ⊥,垂足为D ,ABC ∠的平分线交AD 于点E ,则AE 的长为( ) A .22 B .223 C .23 D .322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中,利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度,在Rt △ADB 中,由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度,在Rt △EBD 中,由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度,再利用AE=AD?D E 即可求出AE 的长度. 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90?
23、锐角三角函数 要点一:锐角三角函数的基本概念 一、选择题 1.(2009·漳州中考)三角形在方格纸中的位置如图所示,则tan α的值是( ) A . 3 5 B . 43 C .4 D .4 5 【解析】选C. tan α4 3 == 角的邻边角的对边αα. 2.(2008·威海中考)在△ABC 中,∠C =90°,tan A = 1 3 ,则sin B =( ) A B .23 C . 3 4 D . 【解析】选D. 3 1 tan == AB BC A ,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得 ,10)3(2222k k k BC AC AB =+=+=sin 10 AC B AB = = 3.(2009·齐齐哈尔中考)如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为 3 2 ,2AC =,则sin B 的值是( ) A . 23 B .32 C .34 D .43 【解析】选A.连接CD,由O ⊙的半径为 32.得AD=3. sin B =.3 2 sin ==AD AC D
4.(2009·湖州中考)如图,在Rt ABC △中,ACB ∠=Rt ∠,1BC =,2AB =,则下列结论正确的是( ) A .sin A = B .1 tan 2 A = C .cos B = D .tan B = 【解析】选D 在直角三角形ABC 中,1BC =,2AB =, 所以AC ;所以1 sin 2 A = ,cos 2A ,tan 3A = ;sin 2B =,1cos 2 B = ,tan B =; 5.(2008·温州中考)如图,在Rt ABC △中,CD 是斜边AB 上的中线,已知2CD =, 3AC =,则sin B 的值是( ) A . 23 B . 32 C . 34 D . 43 【解析】选C.由CD 是Rt ABC △斜边AB 上的中线,得AB=2CD=4.∴sin B 4 3 == AB AC 6.(2007·泰安中考)如图,在ABC △中,90ACB ∠=,CD AB ⊥于D ,若AC = AB =tan BCD ∠的值为( ) (A (B (C (D 答案:B A C B D
第28章锐角三角函数 同步学习检测(二) 一、选择题 1.(2009年广西钦州)sin30°的值为( ) A B C . 12 D 2.(2009年湖州)如图,在Rt ABC △中,ACB ∠=Rt ∠,1BC =,2AB =,则下列结论正确的是( ) A . sin 2A = B .1 tan 2A = C .cos 2 B = D .tan B =3.(2009年漳州)三角形在方格纸中的位置如图所示,则tan α的值是( ) A . 3 4 B . 43 C .35 D .4 5 4.(2009年兰州)如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m .如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4m ,那么相邻两树间的坡面距离为( ) A .5m B .6m C .7m D .8m 5.(2009年长春).菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示, 45AOC OC ∠==°, ) A . B . C .11), D .1) 6.(2009年宁德市)如图,直线AB 与⊙O 相切于点A ,⊙O 的半径为2,若∠OBA = 30°, 则OB 的长为( ) A . B .4 C ..2 7.(2009年河北)图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB .CD 分别表示一楼.二楼地面的水平线,∠ABC =150°,BC 的长是8 m ,则乘电梯从点B 到点C 上升的 高度h 是( ) A m B .4 m C . m D .8 m
8.(2009年潍坊)如图,小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离,在A 点测得 30BAD ∠=°,在C 点测得60BCD ∠=°,又测得50AC =米,则小岛B 到公路l 的距离 为( )米. A .25 B . C D .25+9.(2009年齐齐哈尔市)如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的 半径为 3 2,2AC =,则sin B 的值是( ) A .23 B .32 C .34 D . 4 3 10.(2009年吉林省)将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状,那么折痕PQ 的长是( ) A .cm D .2cm 11.(2009年深圳市)如图,在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E ,∠EDC ∶∠EDA=1∶3,且AC=10,则DE 的长度是( ) A .3 B .5 C .25 D .2 25 12.(2009丽水市)如图,已知△ABC 中,∠ABC =90°,AB =BC ,三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1,l 2,l 3上,且l 1,l 2之间的距离为2 , l 2,l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是( ) A .172 B .52 C .24 D .7 13.(2009湖南怀化)如图4,在Rt ABC △中, 90=∠ACB ,86AC BC ==,,将ABC △绕AC 所在的直线旋转一周得到一个旋转体,则该旋转体的侧面积为( ) A .30π B .40π C .50π D .60π
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
锐角三角函数 中考主要考查点: 1. 锐角三角函数定义;特殊角的三角函数值; 2. 解直角三角形;解直角三角形的应用; 3. 直角三角形的边角关系的应用 ? 知识点1. 直角三角形中边与角的关系 中,∠C=90° (1)边的关系: (2)角的关系: (3)边与角的关系: sinA = cosA= tanA= cotA= sinA =cosB = a c , cosA =sinB = b c ,tanA ==a b , tanB =b a , cotA=b a ? 知识点2. 特殊角的三角函数值 特殊角30°,45°,60°的三角函数值列表如下: α sinα cosα tanα 30° 1 2 33 45° 22 22 1 60° 1 2 斜边 的对边 A ∠斜边 的邻边A ∠邻边的对边A ∠ 对边的邻边A ∠2 3 233
? 知识点3. 三角函数的增减性 已知∠A 为锐角,sinA 随着角度的增大而 增大 ,tanA 随着角度的增大而 增大 , cosA 随着角度的增大而 减小 。 例1. 已知∠A 为锐角,且cosA≤ 2 1 ,那么( ) (A ) 0°<A≤60°(B )60°≤A <90°(C )0°<A≤30°(D )30°≤A <90° ? 知识点4. 同角三角函数与互为余角的三角函数之间的关系。 1. 同角三角函数的关系 1cos sin 22=+A A A A A cos sin tan = 1cot tan =?A A 2. 互为余角的三角函数之间的关系90=+B A B A B A sin cos cos sin == ?=47cos 43sin ο 1tan tan =?B A ? 知识点5. 直角三角形的解法 直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据,因此,解直角三角形的关键是 正确选择直角三角形的边角关系式,使两个已知元素(其中至少有一个元素是边). 重要类型: 1.已知一边一角求其它。 2.已知两边求其它。 例2. 在中,∠C=90°,,∠A -∠B=30°,试求的值。 A C B
锐角三角函数 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中,两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说:“来吧,你也该工作了。可是我有点担心,你走完三千两百万次以后,恐怕会吃不消的。” “天哪!三千两百万次。”小钟吃惊不已,“要我做这么大的事?办不到,办不到!”另一支旧钟说:“别 听他胡说八道,不用害怕,你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情?”小钟将信将疑,“如果这样,我就试试吧。”小钟很轻松地每秒滴答摆一 下,不知不觉中,一年过去了,它摆了三千两百万次。 成功就是这样,把简单的事做到极致,就能成功。 例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,则cosB的值是() A.B.C.D. 例2.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CD⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD=,BC=4,则AC的长为() A.1 B.C.3 D.
例3.cos 60°的值等于( ) A . B . C . D . 例4.如图,在半径为1的⊙O 中,∠AOB =45°,则sinC 的值为( ) A . B . C . D . 练习一 锐角三角函数 1.已知sinA= 2 1 (∠A 为锐角),则∠A=_________,cosA_______,tanA=__________. 2.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,1a =,2b =,则cosA=________,tanA=_________. 3.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,AB=5,BC=3,则sinA=________, tanA=_________. 4.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,∠A=30o,4b =,则a =__________,c =__________. 5.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,若sinA= 5 3 ,则cosB=_________. 6.已知cosA= 2 3 ,且∠B=90o-∠A ,则sinB=__________. 7.若∠A 是锐角,且cosA=sinA ,则∠A 的度数是( ) A 、30o B 、45o C 、60o D 、不能确定 8.如图,电线杆AB 的中点C 处有一标志物,在地面D 点处测得标志物的仰角为45°,若点D 到电线杆底部点B 的距离为 a ,则电线杆AB 的长可表示为 A .a B .2a C .3 2a D .52 a D C B A
如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( )
初中数学:锐角三角函数定义大全 锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。 正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c 余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c 正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b 余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a 正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系: sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系: tanα·cotα=1
sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosα tan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα
sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα
2019春初三数学中考专题复习锐角三角函数 一、单选题 1.在中,,,,那么的值是() A. B. C. D. 2.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,则tanA的值为() A. 2 B. C. D. 3.sin30°的值等于() A. B. C. D. 1 4.cos30°=() A. B. C. D. 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,则cosB的值是() A. B. C. D. 6.在正方形网格中,∠α的位置如图所示,则tanα的值是()
A. B. C. D. 2 7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,sinA= ,则AB的长为() A. B. 6 C. 12 D. 8 8.如图,铁路路基横断面为一个等腰梯形,若腰的坡度为i=3:2,顶宽是7米,路基高是6米,则路基的下底宽是() A. 7米 B. 11 米 C. 15 米 D. 17米 9.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则sinα的值是() A. B. C. D. 10.在三角形ABC中,∠C为直角,sinA=,则tanB的值为() A. B. C. D. 11.游客上歌乐山山有两种方式:一种是如图,先从A沿登山步道走到B,再沿索道乘座缆车到C,另一种是沿着盘山公路开车上山到C,已知在A处观铡到C,得仰角∠CAD=3l°,且A、B的水平距离AE=430米,A、B的竖直距离BE=210米,索道BC的坡度i=1:1.5,CD⊥AD于D,BF⊥CD于F,则山篙CD为()米;(参考数据:tan31°≈0.6.cos3l°≈0.9)
A. 680 B. 690 C. 686 D. 693 12.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果∠A=α,BC=a,那么AC等于() A. a·tanα B. a·cotα C. D. 13.化简等于() A. sin28°﹣cos28° B. 0 C. cos28°﹣ si n28° D. 以上都不对 14.如图,钓鱼竿AC长6m,露在水面上的鱼线BC长3m,某钓者想看看鱼钓上的情况,把鱼竿AC 转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B′C′为3m,则鱼竿转过的角度是() A. 60° B. 45° C. 15° D. 90° 15.如图在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA=,则BC等于() A. 45 B. 5 C. D. 二、填空题 16.如图1,是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运.根据经验,木板与地面的夹角为20°(即图2中∠ACB=20°)时最为合适,已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m,木板超出车厢部分AD=0.5m,则木板CD的长度为________.(参考数据:sin20°≈0.3420,cos20°≈0.9397,精确到0.1m).