2018年九年级数学上册专题突破讲练三招教你求阴影面积试题新版青岛版

三招教你求阴影面积

在近年的中考或各类数学竞赛中，频频出现求阴影面积的题目，而其阴影部分图形大多又是不规则的，部分同学乍遇这类题目则显得不知所措．求不规则图形面积主要是通过转化，将不规则图形转化为规则的图形，再进行计算． 以下三招可以助你一臂之力！

第一招：直接法

将不规则图形直接转化为规则的图形的求和或求差，先求出涉及适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．这是求面积的常用方法．不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，其中： 1. 扇形的定义：如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形．

2. 扇形面积公式：若设⊙O 半径为R ，则圆心角为n°的扇形的面积公式为：2

360

n R S π=扇形 又因为n °的圆心角所对的弧长为：180n R π，所以21

=3602

n R S lR π=

扇形． 说明：公式中n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；

例如：如图，扇形AOB 的圆心角为直角，若OA ＝4cm ，以AB 为直径作半圆，求阴影部分的面积．

解析：图中阴影部分面积为：以AB 为直径的半圆面积减去弓形AmB 面积；而弓形面积等于扇形AOB 面积减去△AOB 面积．

解：∵OA ＝4cm ，∠O＝90°，OB ＝4cm ，∴ππ4360

490S 2

AOB

=?=扇形（cm 2），

又)cm (24AB =，所以)cm (42

22S 22

ππ=?=

）

（半圆，

而22A O B cm )84(S ),cm (8S -==?π弓形所以， 故28cm 8)4(4S S S =--=-=ππ弓形半圆阴．

第二招：割补法

1. 把阴影部分的图形通过割补，拼成规则图形，然后再求面积． 例如：如图（1），在以AB 为直径的半圆上，过点B 做半圆的切线BC ，已知AB=BC=a ， 连结AC ，交半圆于D ，则阴影部分图形的面积是______．

解析：图中两块阴影部分图形都是不规则图形，但因AD DB S S =弓形弓形，所以可进行割补转化．

解：连接DB ，因为AB=BC ， BD AC ⊥，如图（2），所以 AD=DB=DC ，所以AD DB S S =弓形弓形 把弓形AD 割补到弓形DB 处，则图（1）中阴影部分图形的面积等于图（2）中Rt△BDC 的面积． 因此2111

224

S a a a =

?=阴． 2. 当阴影部分图形为分散的个体时，可针对其结构特征，视各阴影部分图形为一个整体，

然后利用相关图形的面积公式整体求出．

例如：如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E 相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是多少？

解析：由题意知，五个扇形（阴影部分）的半径都是1，是等圆，可把五个扇形割补到同一个圆中．

解：因为，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5-2）×180°=540°

所以254013

3602

S ππ??=

=阴．

第三招：等积变形

把所求阴影部分的图形适当进行等积变形，即是找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分图形的面积．例如：

如图，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，点B 是切点，弦BC∥OA，连结AC ，求图中阴影部分的面积．

解析：图中阴影部分可看作弓形BC 面积与三角形ABC 面积的和，而△ABC 不是Rt△，所以考虑借助OA∥BC 将△ABC 移形，连接OC 、OB ，则S △OCB ＝S △ACB ．则阴影部分面积为扇形AOB 面积．

解：连接OB 、OC ，如图，

因为BC∥OA，所以△ABC 与△OBC 在BC 上的高相等，所以OBC ABC S S ??=，

所以扇形阴S S =，又∵AB 是⊙O 的切线，所以OB⊥AB，而OB ＝2，OA ＝4，所以∠AOB ＝60°，由BC∥OA 得∠OBC＝60°，所以△OBC 为等边三角形，∠BOC＝60°，

S BOC

扇形×=2=60360232ππ

．

例题 如图，AB 、CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点O 1、O 2、O 3、O 4分别OA 、OB 、OC 、OD 的中点，若⊙O 的半径是2，则阴影部分的面积为（ ）

A. 8

B. 4

C. 4π+4

D. 4π－4

解析：如图将AD、DB、BC、CA、OE、O3E连接起来，得到一个对角线为4的正方形，由割补法：将每个小圆外面两个弓形图形放进正方形空白处，阴影面积正好是正方形面积．

解：连接AD，DB，BC，CA，

1

=448

2

ABCD

S S=??=

阴影面积

．故选A．

答案：A

点拨：求解一些几何图形的面积，特别是不规则几何图形的面积时，常可通过变换等，把不规则图形转化为规则的图形，使复杂问题简单化，这种解题方法也体现了整体思想、转化思想．割补法是转化法的一种．

求旋转问题中的阴影面积

满分训练（江苏中考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝2cm，将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A1B1C的位置，则线段AB扫过区域（图中阴影部分）的面积为 cm2．

解析：阴影部分的图形是不规则的图形，求面积时应想到利用图形的割补或利用特殊图形的面积的和或差来求．