《分式方程》教案
15．3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
【出示目标】
1．理解分式方程的意义．
2．了解分式方程的基本思路和解法．
3．理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根的方法．
【预习导学】
自学指导：阅读教材P149－151，完成下列问题．
1．填空：
(1)分母中__不含有__未知数的方程叫做整式方程
(2)分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．判断下列说法是否正确：
①2x ＋32＝5是分式方程；②34－4x ＝4x ＋3
是分式方程； ③x 2x ＝1是分式方程；④1x ＋1＝1y －1
是分式方程． 解：①不是分式方程，因为分母中不含有未知数．②是分式方程．因为分母中含有未知数．③是分式方程．因为分母中含有未知数．④是分式方程．因为分母中含有未知数．
【自学反馈】
1．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
①x －22＝x 3；②4x ＋3y
＝7； ③1x －2＝3x
；④x （x －1）x ＝－1； ⑤3－x π＝x 2；⑥2x ＋x －15
＝10； ⑦x －1x ＝2；⑧2x ＋1x
＋3x ＝1. 解：①⑤⑥是整式方程，因为分母中没有未知数．
②③④⑦⑧是分式方程，因为分母中含有未知数．
【教师点拨】判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数．
2．解分式方程的一般步骤是：(1)__去分母__；(2)__解整式方程__；(3)__验根__；(4)__小结__．
【合作探究】
活动1 小组讨论
【例1】 解方程：2x －3＝3x
. 解：方程两边乘x (x －3)，得2x ＝3(x －3)．
解得x ＝9.
检验：当x ＝9时，x (x －3)≠0.
所以，原分式方程的解为x ＝9.
【例2】 解方程：x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）
. 解：方程两边乘(x －1)(x ＋2)，得x (x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3.
解得x ＝1.
检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0.
所以x ＝1不是原方程的解．所以，原方程无解．
活动2 跟踪训练
1．解方程：
(1)12x ＝2x ＋3； (2)x x ＋1＝2x 3x ＋3
＋1； (3)2x －1＝4x 2－1； (4)5x 2＋x －1x 2－x
＝0. 解：(1)方程两边乘2x (x ＋3)，得x ＋3＝4x .去分母：x ＋3＝4x .化简得：3x ＝3.解得x ＝1. 检验：将x ＝1代入2x (x ＋3)≠0.所以x ＝1是方程的解．
(2)方程两边乘3(x ＋1)，得3x ＝2x ＋3x ＋3.解得x ＝－32
. 检验：将x ＝－32
代入(3x ＋3)≠0. 所以x ＝－32
是方程的解． (3)方程两边乘x 2－1，得2(x ＋1)＝4.解得x ＝1.
检验：将x ＝1代入x 2－1＝0，所以x ＝1不是方程的解．所以，原方程无解．
(4)方程两边乘x (x ＋1)(x －1)，得5(x －1)－(x ＋1)＝0.解得x ＝32
. 检验：将x ＝32
代入x (x ＋1)(x －1)≠0. 所以x ＝32
是原方程的解． 【教师点拨】方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母．
2．解分式方程：(1)x x －1＝32x －2
－2； (2)x －3x －2＋1＝32－x
； (3)2x 2x －1＝1－2x ＋2
. 解：(1)方程两边乘2x －2，得2x ＝3－2(2x －2)．解得x ＝76
. 检验：当x ＝76时，2x －2≠0.所以x ＝76
是原方程的解． (2)方程两边乘x －2，得x －3＋x －2＝－3.
解得x ＝1.
检验：当x ＝1时，x －2≠0.所以，x ＝1是原方程的解．
(3)方程两边乘(2x －1)(x ＋2)，得2x (x ＋2)＝(2x －1)(x ＋2)－2(2x －1)．
解得x ＝0.
检验：当x ＝0时，(2x －1)(x ＋2)≠0.所以，x ＝0是原方程的解．
【课堂小结】
解分式方程的思路是： 分式方程――→去分母两边都乘以最简公分母一化二解三检验整式方程―→验根
【随堂训练】
教学至此，敬请使用学案随堂训练部分．
第2课时 分式方程的应用
【出示目标】
能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结．
【预习导学】
自学指导：阅读教材P152－153，完成下列问题．
1．列方程解应用题的一般步骤是：
(1)____审题设未知数__．
(2)____找等量关系列方程__．
(3)____解方程__．
(4)____验根是否符合实际意义__．
(5)____答题__．
2．类比一般方程，列分式方程解应用题的一般步骤是：
(1)____审题设未知数__．
(2)____找等量关系列方程__．
(3)____去分母化分式方程为整式方程__．
(4)____解整式方程__．
(5)____验根是否符合实际意义__．
(6)____答题__．
【自学反馈】
重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半．后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半．乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖__12÷4＝18
__，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x 天，那么一天挖__1x __；两台挖土机一天共挖__18＋1x
__；两台一天完成另一半．所以方程为：__18＋1x ＝1,2)__；解得x ＝__83__，即乙单独挖需__83
__天． 【教师点拨】认真分析题意．根据等量关系列方程．
【合作探究】
1．甲乙两人分别从相距36千米的A ，B 两地相向而行，甲从A 出发到1千米时发现有东西遗忘在A 地，立即返回，取过东西后又立即从A 向B 行进，这样两人恰好在AB 中点处相遇．已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？
分析：
等量关系：t 甲＝t 乙．
解：设乙的速度为x 千米/小时，则甲的速度为(x ＋0.5)千米/小时．
根据题意，列方程得
18＋1×2x ＋0.5
＝18x . 解得x ＝4.5.
检验：当x ＝4.5时，x (x ＋0.5)≠0.所以，x ＝4.5是原方程的解．则x ＋0.5＝5.
答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时．
【教师点拨】等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米．
2．A 、B 两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A 地开往B 地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟．已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度．
解：设大汽车的速度为2x 千米/小时，小汽车的速度为5x 千米/小时．
根据题意，列方程得135－2x ×52x ＝135－12×5x 5x
. 解得x ＝9.
检验：当x ＝9时，10x ≠0.所以，x ＝9是原方程的解．
则2x ＝18，5x ＝45.
答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时．
【教师点拨】等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间．
3．一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
解：设规定日期是x 天，则甲队独做需x 天，乙队独做需(x ＋3)天，根据题意，列方程得 2x
＋错误!＝1.解得x ＝6. 检验：当x ＝6时，x (x ＋3)≠0.所以，x ＝6是原方程的解．
答：规定日期是6天．
【课堂小结】
1．列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤．
2．列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可间接设)的前提下找出等量关系．
3．解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系．
4．注意不要遗漏检验和写答案．
【随堂训练】
教学至此，敬请使用学案随堂训练部分．
《分式方程》第三课时参考教案
3.4.3 分式方程（三） ●教学目标 （一）教学知识点 1.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题. 2.用分式方程来解决现实情境中的问题. （二）能力训练要求 1.经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解 决问题的能力. 2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型. （三）情感与价值观要求 1.经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣. 2.培养学生的创新精神，从中获得成功的体验. ●教学重点 1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型. 2.根据实际意义检验解的合理性. ●教学难点 寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法. ●教具准备 实物投影仪 投影片三张 第一张：做一做，（记作§3.4.3 A） 第二张：例3，（记作§3.4.3 B） 第三张：随堂练习，（记作§3.4.3 C） ●教学过程 Ⅰ.提出问题，引入新课 ［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程. 接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题.
Ⅱ.讲授新课 出示投影片（§3.4.3 A ） ［生］第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元. （1） ［生］还有一个等量关系： 第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数. ［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要. 同学们尽管提出符合情境的问题. ［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？ ［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？ ［师］下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？ ［师生共析］解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为x 96000元，第二年每间房屋的租金为x 102000元，根据题意，得 x 102000=x 96000+500 解这个方程，得x=12 经检验x=12是原方程的解，也符合题意. 所以每年各有12间房屋出租. ［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？ ［生］根据第一问的答案可计算，得： 第一年每间房屋的租金为 1296000=8000（元）， 第二年每间房屋的租金为12 102000=8500（元）.
分式方程教学设计
《分式方程》教学设计 泰来县江桥镇中心学校潘艳梅 一、教学目标： （一）、知识与技能： 1、理解分式方程的意义； 2、了解解分式方程的基本思路和解法； 3、理解解分式方程时可能产生增根的原因。 （二）、过程与方法：经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。 （三）、情感态度：在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。 二、教学重、难点： 重点：分式方程的概念和解分式方程的基本步骤； 难点：理解解分式方程时可能产生增根的原因。 三、教学过程设计： （一）回顾旧知 师生在和谐的气氛之下共同回忆以下内容： （1）大家还记得我们以前学过什么方程吗？ （2）你会解一元一次方程吗？ 例如：3x+7=2 0.5x-0.7=6.5-1.3x （3）解二元一次方程组的主要思想是什么？
设计意图：通过以上三个问题让学生投入到方程的世界，也为学生能够自己通过知识的迁移突破本节课的重点做一个铺垫. （二）、创设情景、导入新课 出示问题情境：小明与小亮进行百米赛跑。当小明到达终点时，小亮离终点还有5m ，如果小明比小亮每秒多跑0.35m ，你知道小明百米跑的平均速度是多少吗？ (1)设小明百米跑的平均速度为x m/s,那么，小亮百米跑的平均速度是__________m/s （2）小明跑100m 用的时间等于小亮跑_____________m 所用时间。 师： 同学们，你能解决这个问题吗？ （二）激发兴趣，初次探究 （学生交流、讨论，板演所列方程）： 解：设小亮的速度是 x 米∕秒,由题意得：x 5100- = x +35.0100 师：这种类型的方程，我们以前接触过吗？那我们以前曾学过哪几类方程？你能举出几个例子吗？ 生1：我们学过一元一次方程； 如：1653=+x x ， 13 2253-=+x x ，等。 生2：还有二元一次方程；如：402=+y x ，214332=+n m ，等。 师：仔细观察，这些方程的两边都是怎样的式子？ 生齐答：是整式。 师：我们把这些方程都叫做整式方程。那么，我们刚才所列的方程 x 5100- = x +35.0100与这些整式方程有什么区别？ 生1：这个方程的未知数在分母里。 生2：这个方程的分母中含有未知数。
初二分式练习题及答案
分式练习题 1、（1）当x 为何值时，分式2 122---x x x 有意义？ （2）当x 为何值时，分式2 122---x x x 的值为零？ 2、计算： （1）()212242-?-÷+-a a a a （2）222---x x x （3）x x x x x x 2421212-+÷?? ? ??-+-+ （4）x y x y x x y x y x x -÷????? ???? ??--++-3232（5）4214121111x x x x ++++++- 3、计算（1）已知211222-=-x x ，求?? ? ??+-÷??? ??+--x x x x x 111112的值。 （2）当()00130sin 4--=x 、060tan =y 时，求y x y xy x y x x 3322122++-÷??? ? ??+-222y x xy x -++的值。 （3）已知02322=-+y xy x （x ≠0，y ≠0），求xy y x x y y x 2 2+--的值。 （4）已知0132 =+-a a ，求142 +a a 的值。 4、已知a 、b 、c 为实数，且满足()()02)3(432222=---+-+-c b c b a ，求c b b a -+-11的值。 5、解下列分式方程： （1）x x x x --=-+222；（2）41)1(31122=+++++x x x x （3）1131222=?? ? ??+-??? ??+x x x x （4）3124122=---x x x x 6、解方程组：???????==-92113111y x y x 7、已知方程1 1122-+=---x x x m x x ，是否存在m 的值使得方程无解？若存在，求出满足条件的m 的值；若不存在，请说明理由。 8、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒 按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售 价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 9、某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本， 并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批 发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按
9.3《分式方程》典型例题精析
9.3 分式方程 1．了解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般步骤．了解解分式方程验根的必要性． 2．能熟练地解可化为一元一次方程的分式方程，并验根． 3．掌握列分式方程解应用题的基本步骤． 4．能熟练地应用分式方程的数学模型来解决现实情境中的问题．
1．分式方程的概念 (1)分母中含有未知数的方程叫做分式方程． (2)分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含有未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数．例如x ＋1x ＝2，5y ＝7y －2，1x －2＝x 2 2－x 等都是分式方程，而x 2－2x ＋1＝0，2x ＋33＝x －12，x ＋a b －x －b a ＝2(x 是未知数)等都是整式方程，而不是分式方程． 【例1】下列方程中，分式方程有( )． (1)x ＋1π＝3；(2)1x ＝2； (3)2x ＋54＋x 3＝12；(4)2x －2＝1x ＋1 . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：对于方程(1)，因为π是常数，所以该方程不是分式方程，是整式方程；方程(3)中的分母不含字母，所以不是分式方程．方程 (2)(4)符合分式方程的概念，都是分式方程． 答案：B 2．分式方程的解法 (1)把分式方程转化为整式方程，然后通过解整式方程，进一步求得分式方程的解，这是解分式方程的关键．本章中，解分式方程都是把分式方程转化为一元一次方程，通过解一元一次方程求解分式方程．分式方程的解题思路如下图：
(2)解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤是： ①去分母，即在方程的两边乘以最简公分母，把原方程化为整式方程． ②解这个整式方程． ③验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去． (1)增根能使最简公分母等 于0；(2)增根是去分母后所得的整式方程的根． 以上步骤可简记为“一去(去分母)、二解(解整式方程)、三检验(检查求出的根是否是增根)”． 【例2】解分式方程：(1)x x －2＋6x ＋2 ＝1； (2)7x 2＋x －3x －x 2＝6x 2－1 . 分析：(1)中方程的最简公分母是(x －2)(x ＋2)；(2)中方程的最
分式方程教学设计
分式方程教学设计 一、教学内容分析：本节“分式方程”是人教版八年级下册第16章第3节的内容，是继一元一次方程，二元一次方程组之后，初中阶段所讲授的又能一种方程的解法。本节课是在继分式的内容及分式的四则混合运算之后所讲述的一个内容，其实际上就是分式与方程的综合。因此本节课可以看作是一个综合课，同时分式方程的解法也是初中阶段的一个重点内容，要求学生必须掌握。 二、学情分析：在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程(一元一次方程、二元一次方程组)，他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路(使方程逐步化为x=a 的形式)已经比较熟悉，而分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，需通过转化思想，化分式方程为整式方程。 三、教学目标： 1、明确什么是分式方程?会区分整式方程与分式方程。 2、会解可化为一元一次方程的分式方程。 3、知道分式方程产生增根的原因，并学会如何验根。 四、教学重点：分式方程的解法。 教学难点：理解分式方程可能产生增根的原因。 五、教学流程 1、忆一忆
(1)什么叫方程?什么叫方程的解? (2)什么叫分式? (3)结合具体例子说出解一元一次方程的步骤。 设计意图：让学生由旧知识的回忆自然引出新知识便于学生理解接受。 2x-(x-1)/3=6 3x/4+(2x+1)/3=0 2、猜一猜 板书课题“分式方程”，让学生猜一猜其概念，结合分式和方程的特点学生易得出：分母中含有未知数的方程叫分式方程。 设计意图：采用这种形式引入今天的话题，让学生觉得不是在上数学，而象是在拉家常，让学生没有负担，另外，学生在前面的回忆的基础上很容易猜出来分式方程的概念。这样使学生感受到数学的简单，从而树立学好数学的信心。 3、辨一辨 判断下列方程是不是分式方程，并说出为什么? 1/(x-2)=3/x x(x-1)/x=-1 (3-x)/=x/2 2x+(x-1)/5=10 3/x=2/(x-3) (2x+1)/x+3x=1 指出：分式方程与整式方程的区别(分母中含不含未知数) 设计意图：学生说出来了分式方程的概念还远远不够，通过这道题使学生更进一步的巩固分式方程的概念。
八年级分式基础训练
启点教育八年级下分式基础训练题 命题：turbo22 一选择题（每小题3分，共15分） 1.代数式的家中来了四位客人①x 2 ② 5y x + ③a -21 ④1 -πx ，其中属于分式家族成员的有（ ） A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④ 2.若分式1-x x 无意义，则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1± 3.小名把分式xy y x -中的x 、y 的值都扩大2倍，却搞不清分式的值有什么变化，请帮他选出正确的答案（ ） A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小一半 4计算1 111-++x x 的正确结果是（ ） A ．0 B ．212x x - C ．212x - D ．122-x x 5.一件工作，甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，则甲、乙两人合作完成需要（ ）小时。 A ．b a 11 + B ．ab 1 C ．b a +1 D ．b a a b + 二填空题（每小题3分，共15分） 6. (－2)－2= 。 7. 当x 时，分式3 213+-x x 有意义 8. 在冬春季节是禽流感病的高发时期，禽流感病毒一般为球形，直径大约为0.000000102米，用科学记数法表示为 。 9. 方程x x 527=-的解是 。
10．我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和 习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置。经测算， 原来a 天用水m 吨，现在这些水可多用5天，现在每天比原来少用水 吨。 三化简（每小题5分，共20分） 11. 423 2234.23b a d c cd ab 12. xy y x x xy -÷-)(2 13. x x x 26196312+---- 14. x x x x x x x x 4)4 4122(22-÷+---++ 四解方程（每小题7分，共14分） 17. 22122=-+-x x x x 18. x x x 38741836---=- 五先化简，后求值（每小题8分，共16分） 19. 22441y x y x y x +÷-+，其中8=x ，11=y 20.a a a a a a 12222+-+-- ，其中100=a 六应用题（每小题10分，共20分） 21.A 同学4小时清点完一批图示的一半，B 同学加入清点另一半图书的清点工作，两人合作一小时清点完另一半图书。如果B 同学单独清点这批图书，需要多少个小时？ 22．甲，乙两人分别从距离目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲乙的速度？
分析解分式方程教学的案例论文
分析解分式方程教学的案例论文 波利亚曾说过：“解决问题的成功要靠正确的转化，化归思想是指在解决问题的过程中，将那些有待解决或难以解决的问题转化为已经解决或容易解决的问题的一种数学思想 方法。”本课例解分式方程的基本思想是通过“转化”，尝试用问题设问的形式，驱动学 生思考，在问题的解决过程中，引导学生理解解分式方程的一般步骤。学会将分式方程转 化为整式方程，在解决问题的过程中体验增根产生的原因及如何检验增根。 一、预习导学，呈现问题导入新课 思考：你能正确识别分式方程吗？ 下列关于x的方程，其中是分式方程的有______。（填序号） 问题1 什么是分式方程？ 问题2 为什么方程（4）不是分式方程？它是什么方程？如何看待其分母中的字母？ 引导学生思考并归纳总结，分式方程的特点是：①含分母；②分母中含有未知数，分 母中是否含有未知数是区别分式方程与整式方程的标志。本例中的（4）是关于x的方程，其他字母皆为字母系数，通过本例辨析分式方程与含有字母已知数方程的区别。 设计意图在设疑解惑中引导学生关注分式方程形式上的定义，不是简单让学生重复 概念，而是展示一组方程让学生识别，在答疑辨析中调动学生对分式方程概念的理解，加 深理解分式方程概念的关键点——分母中含有未知数，设计的方程（3）（4）（6）用意 深刻，是对学生思考提出的发展性目标。 二、合作探究，问在知识发生处，点拨释疑 ·你会解分式方程吗？ 教师出示问题，学生动手解题，探究体验： 比较方程（1）（2）的结果有差异吗？为什么？ ·为什么x=2不是原方程（2）的根？ ·产生x=2不是原方程（2）的根的原因是什么？你能用数学语言说明吗？ 解（2）：方程两边同乘以3（x—2），得3（5x—4）=4x+10—3（x—2），x=2。检验：把x=2代入最简公分母3（x—2）中，3（x—2）=0，x=2称为原方程的增根。 ·引导学生进一步思考：
分式及分式方程精典练习题分析
分式及分式方程精典练习题 一、填空题： ⒈当x 时，分式1 223+-x x 有意义；当x 时，分式x x --112的值等于零. ⒉分式ab c 32、bc a 3、ac b 25的最简公分母是 ； ⒊化简：2 42--x x ＝ . ⒋当x 、y 满足关系式________时， )(2)(5y x x y --=－25 ⒌化简=-+-a b b b a a . ⒍分式方程3 13-=+-x m x x 有增根，则m ＝ . ⒎若121-x 与)4(3 1+x 互为倒数，则x= . ⒏某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树口棵。实际每小时植树的棵数是原计划的1．2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务 9、已知关于x 的方程32 2=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为_____________． 二、选择题： ⒈下列约分正确的是( ) A 、326x x x = B 、0=++y x y x C 、x xy x y x 12=++ D 、2 14222=y x xy ⒉用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= ⒊下列分式中，计算正确的是( ) A 、32)(3)(2+=+++a c b a c b B 、b a b a b a +=++122 C 、1)()(22 -=+-b a b a D 、x y y x xy y x -=---1222 ⒋下列各式中，从左到右的变形正确的是( ) A 、y x y x y x y x ---=--+- B 、y x y x y x y x +-=--+-
初中数学《分式方程》教案
初中数学《分式方程》教案 3．4分式方程(第1 课时) 教学目标 1．经历分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用． 2.经历实际问题－分式方程方程模型的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想人体，培养学生的应用意识。 3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值. 教学重点： 将实际问题中的等量关系用分式方程表示 教学难点： 找实际问题中的等量关系 教学过程： 情境导入： 有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 kg和15000 kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000 kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。你能找出这一问题中的所有等量关系吗？(分组交流) 如果设第一块试验田每公顷的产量为kg，那么第二块试验田每公顷
的产量是________kg。 根据题意，可得方程___________________ 二、讲授新课 从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600 km的普通公路，另一条是全长480 km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45 km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。 这一问题中有哪些等量关系？ 如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为h，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为_________h。 根据题意，可得方程_ _____________________。 学生分组探讨、交流，列出方程. 三.做一做： 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第一次捐款人数为人，那么满足怎样的方程？ 四.议一议： 上面所得到的方程有什么共同特点？ 分母中含有未知数的方程叫做分式方程
分式练习题及答案
分式方程练习题 增根（extraneous root ），在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列式子是分式的是（ ） A ．2x B ．x 2 C ．π x D ．2y x + 2．下列各式计算正确的是（ ） A ．11--=b a b a B ．ab b a b 2 = C ．()0,≠=a ma na m n D ．a m a n m n ++= 3．下列各分式中，最简分式是（ ） A ．()()y x y x +-73 B ．n m n m +-22 C ．2222ab b a b a +- D ．222 22y xy x y x +-- 4．化简2 293m m m --的结果是（ ） A.3+m m B.3 +-m m C.3-m m D.m m -3 5．若把分式 xy y x +中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．扩大2倍 B ．不变 C ．缩小2倍 D ．缩小4倍 6．若分式方程x a x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．—1 D ．—2 7．已知432c b a ==，则c b a +的值是（ ）
A ．54 B. 47 C.1 D. 45 8．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ） A ．x x -=+306030100 B ．30 6030100-=+x x C ． x x +=-306030100 D ．306030100+=-x x 9．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20% ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。设原计划行军的速度为xkm/h ，，则可列方程（ ） A ．1%206060++=x x B. 1%206060-+=x x C. 1%2016060++=）（x x D. 1%2016060-+=）（x x 10.已知 k b a c c a b c b a =+=+=+，则直线2y kx k =+一定经过（ ） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．计算2323()a b a b --÷= 12．用科学记数法表示—0.000 000 0314= 13．计算22142 a a a -=-- 14．方程 3470x x =-的解是 15．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据9162536,,,,5122132 L L 中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门。请你尝试用含你n 的式子表示巴尔末公式
《分式方程第3课时》 示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】
5.4《分式方程》教学设计 第3课时 一、教学目标 1.经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识． 2.会用分式方程解决简单的实际问题． 二、教学重点及难点 重点：分式方程的应用． 难点：将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结果． 三、教学用具 多媒体课件 四、教学过程 【问题导入】 教师提出问题：列方程的步骤是什么？ 引导学生归纳列方程的基本步骤： 一审：审清题意，弄清已知量与未知量之间的数量关系和相等关系． 二设：设未知数． 三列：列代数式，列方程． 【探究新知】 某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元． （1）你能找出这一情境中的等量关系吗? （2）根据这一情境你能提出哪些问题? （3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗? 答案：（1）等量关系包括：第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500；第一年出租房 屋的间数=第二年出租房屋的间数；出租房屋的间数=所有出租房屋的租金 ．每间房屋的租金 （2）求出租房屋的总间数；分别求出两年每间房屋的租金． （3）解：设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年每间房屋的租金为(x＋500)元． 由题意得96000102000 500 x x = + ．
方程两边乘x (x ＋500)，得 96(x ＋500)＝102x ． 解这个方程，得x =8000． 经检验x =8000是原方程的根，所以x ＋500=8500． 因此第一年每间房屋的租金为8000元，则第二年每间房屋的租金为8500元． 设计意图：引导学生从不同角度寻求等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识． 【典例精讲】 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨3 1，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格． 分析：此题的主要等量关系是： 小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量=5 m 3． 所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出． 解：设该市去年居民用水的价格为x 元/m 3．则今年的水价为11+3x ? ? ??? 元/m 3，根据题意，得 30155113x x -=??+ ??? ． 解这个方程，得32x =． 经检验32 x =是所列方程的根． 311223???+= ??? （元/m 3）． 所以该市今年居民用水的价格为2元/m 3． 首先，老师询问学生家中的每月用水情况，要求学生能关心家庭生活，又得到了节约用水的教育．学生根据一个月的总水费等于每一吨水费乘以一个月的用水的总吨数，再根据“小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米”这一条件，列出等量关系式，从而列出分式方程，有了前面的基础，学生能很快和老师一起完成上述过程． 设计意图：引导学生一起完成“设未知数——分析等量关系——列代数式——列出方程——解
分式方程教案
§3.4 分式方程（2） 教学目标 1．经历探索分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性; 2.经历“求解－解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识。 3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。 教学重点：分式方程的解法. 教学难点：解分式方程要验根 教学目标 一. 复习旧知 1、分式方程的概念 2、辨别下列方程是什么方程622213--=-x x 和452600480=-x x 二.讲授新知 你能设法求出分式方程 622213--=-x x 的解吗？ 解方程6 22213--=-x x 解：方程两边都乘以6，得 6*)622(6*213--=-x x 3（3x-1）=12-(x-2) 解这个方程，得x=1017 三. 例题教学
仿上例完成 1.解方程： 452600480=-x x 解：方程两边都乘以2x ，得x x x x 2*452)2600480(=- 960－600=90 x 解这个方程，得x = 4 检验：将x=4代入原方程，得 左边=45=右边 所以，x=4是原方程的根。 例2. 解方程 22121--=--x x x (解略)解得：x = 2 检验：将x = 2代入原方程中分母为0，那怎么办？带 着问题看 .议一议：P81 在这里，x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根。产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式。因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。 五.想一想: 解分式方程一般需要经过哪几个步骤？ 六.随堂练习 1. 解方程：（1） 132x x =- （2）341x x =- （3）542332x x x +=-- （4）x x x x 215.111 22-=++-
初中数学-分式练习题
初中数学-分式练习题 整式与整式的加减乘除 1、如果的取值是和是同类项，则与n m y x y x m m n 31253-- （ C ） A.3和-2 B.-3和2 C.3和2 D.-3和-2 2.下列运算正确的是( ) A.x 10÷x 5=x 2 B.x -4·x=x -3 C.x 3·x 2=x 6 D.(2x -2)-3=-8x 6 3．下列运算正确的是（ ）． A ．6a ÷2a ＝3a B ．22532a a a -= C ．235()a a a -?= D ．527a b ab += 4．下列运算正确的是（ ）． A ．23a a a += B ．22(3)6a a = C ．623a a a ÷= D ．34a a a =· 整式的计算: 1．101()(2 π--+-( ) (A)－1 (B)－3 (C)1 (D)0 2．101()2)3 ---4cos30°+ 3．43)85(4 1)1(12+?--÷ --． 4．若a 、b 为实数，且满足|a －2|0，则b －a 的值为( ) (A)2 (B)0 (C)－2 (D)以上都不对
分式有意义： 分式的值为零: 1.已知分式11 2+-x x 的值为零，则=x 。 2.若分式224 2x x x ---的值为零,则x 的值是( ) A.2或-2 B.2 C.-2 D.4 3. x=____________时，分式21| 52|x x +-的值为零. 4. 若已知分式961 |2|2+---x x x 的值为0，则x －2的值为 A.91 或－1 B. 91 或1 C.－1 D.1 分式化简（求值）: 1.下列分式中，计算正确的是 A.)(3)(2c b a c b +++=32+a B.b a b a b a +=++ 2 22 C.22 )()(b a b a +- =－1 D.x y y x xy y x -=---1222 2.化简a b a b a b --+等于( ) A.22 22a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.2 22()a b a b +- 3.不改变分式52223x y x y -+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( )
9.3较复杂的分式方程解法
9.3较复杂的分式方程解法教学设计 一、教学目标 （一）、知识与能力目标 1．使学生了解较复杂的分式方程的特点，熟悉两种技巧解法---通分法、拆项法。 2．分式方程的解法及化归思想。 3、理解分式方程必须验根的原因。 （二）、 过程与方法目标 通过合作探究，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号感，通过类比分数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题。 （三）情感与价值目标 培养学生严谨的思维能力。 在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。 二、教学重点 分式方程的技巧解法---通分法、拆项法。 三、教学难点 准确认识较复杂的分式的特征，灵活运用通分法和拆项法。 四、教学方法:分组讨论。 五、教学方法 启发式设问和同学分组讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握较复杂的分式方程解法。 六、教学过程 方法指导 对于较简单的分式方程，常用去分母的解法，对于较复杂的分式方程用常用的解法很麻烦,若能针对题目特点，打破常规，另觅路，往往会化难为易, 化繁为简。 这节课来学习较复杂的分式方程的两种解法：通分法和拆项法。 注意：不论采用何种方法，解分式方程都有一步不可缺少的步骤 —— 检验。 一、通分法 误解： 解得：x=0 经检验x=0是原方程的根。 ∴次方程无解 注意：解方程时，如果等式两边含有未知数的相同因式，那么这些因式不能约去，否则将会产生失根。 例1：解方程 2 2 1122+- =-x x x ()() 1222-=+x x x x x x x x -=+222422 122+= -x x x x 21122+= -x x 1 242-=+x x
初中数学分式方程典型例题讲解
a c=ac,b a c= a p a0=1形如 A 【例1】下列代数式中：x1 x-y ，是分式的有：.π2 x-y,a+b , x+y , （1）x-4 x+4 （2） x2+2 （3） x2-1 （4）|x|-3 （5） a=“ ± . a±ac=bc±da(a≠0,c≠0); 第十六章分式知识点和典型例习题 3.分式的乘法与除法:b ? d bd a÷ c d= b d bd ? ac 【知识网络】 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m●a n=a m+n;a m÷a n=a m－n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=a m b n,(a m) n= 7.负指数幂:a-p=1 a mn 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:b c b±c(a≠0) a a 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： B(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 1 a-b x2-y2x+y , 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x有何值时，下列分式有意义 3x26-x1 x-1 x 2.异分母加减法则:b d bc c=ac± da ac题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义
分式方程教案
课题：分式方程(一) 学习目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习过程： 一、预习新知： 1、前面我们已经学习了哪些方程？是怎样的方程？如何求解？ （1）前面我们已经学过了 方程。 （2）一元一次方程是 方程。 （3）一元一次方程解法 步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 如解方程： 16 3 242=--+x x 2、探究新知：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流100千米所用时间，及以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系， 得到方程： v v -=+2060 20100. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程。 分式方程及整式方程的区别在哪里？通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母上。未知数在分母的方程是分式方程。未知数不在分母的方程是整式方程。前面我们学过一元一次方程的解法，但是分式方程中分母
含有未知数，我们又将如何解？ 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体的方法是去分母，即方程两边同乘以最简公分母。 如解方程： v +20100=v -2060 …………………… ① 去分母：方程两边同乘以最简公分母（20+v ）（20-v ），得 100（20-v ）=60（20+v ）……………………② 解得 v=5 观察方程①、②中的v 的取值范围相同吗？ ① 由于是分式方程v ≠±20,而②是整式方程v 可取任何实数。 这说明，对于方程①来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后得到的整式方程②则没有这个要求。如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为0，也就是说，使变形时所乘的整式的值为0，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根。因此，解分式方程必须验根。 如何验根：将整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为0.如果为0即为增根。 如解方程： 51-x =25 10 2-x 。 分析：为去分母，在方程两边同乘最简公分母()()55x x -+， 得整式方程 510x += 解得 5x = 将5x =代入原方程的最简公分母检验，发现这时分母5x -和225x -的值都是0，相应的分式无意义。因此，5x =虽是整式方程的解，但不是原分式方程的解。实际上，这个方程无解。 二、课堂展示 解方程： () 5312 22x x x x -=-- [分析]找对最简公分母x(x-2),方程两边同乘x(x-2),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解必须验根
分式练习计算练习题(超全)
分式练习题 一 填空题 1.下列有理式中是分式的有 (1)－3x ；(2)y x ；(3)2 2732xy y x -；(4)－x 8 1；(5) 35+y ； (6)112--x x ； (7)－π-12m ； (8)5 .02 3+m ； 2.（1）当a 时，分式321 +-a a 有意义；（2）当_____时,分式4 312-+x x 无意义； （3）当______时,分式 68-x x 有意义；（4）当_______时,分式5 34-+x x 的值为1； （5）当______时,分式51 +-x 的值为正；（6）当______时分式1 42+-x 的值为负. （7）分式36 122--x x 有意义，则x (8)当x = 3时，分式b x a x +-无意义，则b ______ 3．（1）若分式 0) 1x )(3x (1 |x |=-+-，则x 的值为_________________； （2）若分式 3 3 x x --的值为零，则x = ； （3）如果 7 5 )13(7)13(5=++a a 成立,则a 的取值范围是__________； （4）若)0(54≠=y y x ,则2 2 2y y x -的值等于________； （5）分式3 9 2--x x 当x __________时分式的值为零； （6）当x __________时分式 x x 2121-+有意义； （7）当ｘ=＿＿＿时，分式229 43 x x x --+的值为0； （8）当x______时,分式 1 1 x x +-有意义； （10）当a=_______时,分式 2 2 32 a a a -++ 的值为零； （11）当分式4 4 x x --=-1时,则x__________；
初中数学分式方程典型例题讲解
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?= ,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义