3-3-1 几何概型

一、选择题

1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )

A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性

B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关

C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个

D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 [答案] A

[解析] 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型．几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个．

2．(2012～2013·江苏连云港模拟)如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1)，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，则应选择的游戏盘是( )

[答案] A [解析] P (A )＝38， P (B )＝26＝13， P (C )＝1－π4

1＝1－π

4， P (D )＝1π.

则P (A )最大，故选A.

3．(2012～2013·广东模拟)一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )

A.18

B.1

16 C.127 D.2764

[答案] A

[解析] 根据几何概型知识，概率为体积之比，即P ＝(4－2)343＝1

8，选A.

4．如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )

A.14

B.24

C.13

D.13

[答案] B

[解析] 设事件A ＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A 的几何区域为内切圆的面积S ＝R 2(2R 为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P (A )＝

πR 2

(2R )

＝π4，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为π4.

5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取点则该点落在三棱锥A 1

－ABC 内的概率是( )

A.13

B.16

C.12

D.14

[答案] B

[解析] 体积型几何概型问题． P ＝VA 1－ABC VABCD －A 1B 1C 1D 1

＝1

6.

6．如图，在一个边长为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为了a 3与a

2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )

A.112

B.14

C.512

D.712

[答案] C [解析] S 矩形＝ab .

S 梯形＝12? ??

??13a ＋12a b ＝512ab . 故所投的点落在梯形内部的概率为 P ＝S 梯形S 矩形

＝5

12ab

ab ＝512.

7．(2012～2013·山东济南模拟)在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是( )

A.π4

B.π10

C.π20

D.π40

[答案] A

[解析] 设在[0,1]内取出的数为a ，b ，若a 2＋b 2也在[0,1]内，则有0≤a 2＋b 2≤

1.

如上图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a 2＋b 2在[0,1]内的点在1

4单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为1

4π1＝π4.

8．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为24

25，则河宽为

人教版高中数学必修三导学案 3.3.1几何概型

3．3几何概型 3．3.1几何概型 1．问题导航 (1)当试验的所有可能结果是无穷多的情况，还能用古典概型来计算事件发生的概率吗？ (2)什么叫几何概率模型？其求解方法是什么？ (3)几何概型有几种模型？ 2．例题导读 通过例1的学习，学会如何求解长度型的几何概型的概率． 1．几何概型的定义与特点 (1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． (2)特点：①可能出现的结果有无限多个；②每个结果发生的可能性相等． 2．几何概型中事件A的概率的计算公式 P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） ． 1．下列概率模型都是几何概型吗？(对的打“√”，错的打“×”) (1)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到1的概率；() (2)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；() (3)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到大于1且小于2的数的概率；() (4)向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离正方形的中心不超过1 cm的概率．() 解析：(1)不是几何概型；(2)(3)(4)是几何概型，满足无限性，且等可能性．

答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为( ) A.13 B.12 C.14 D.23 解析：选D.由|x |≤1，得－1≤x ≤1，所以|x |≤1的概率为P (|x |≤1)＝2 3. 3．如图，假设你在如图所示的图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________． 解析：设圆的半径为R ，则圆的面积为S ＝πR 2，阴影的面积S 阴＝ 12·2R ·R ＝R 2 ，故所求概率P ＝S 阴S ＝R 2πR 2＝1π . 答案：1 π 4．古典概型与几何概型有何区别？ 解：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的． 1．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值． 2．如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型． 3．几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积．

概率论基础讲义全

概率论基础知识 第一章随机事件及其概率 一随机事件 §1几个概念 1、随机实验:1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。 例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件常记为A，B，C……例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。 3、必然事件与不可能事件：记为Ω。每次试验都不 记为Φ。 例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是

不可能事件,以后 4、基本事件： 例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。 例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间：从集合观点看，常记为e. 例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。 例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。 例如， 在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6} 在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在E3中，Ω={0，1，2，……}

概率论与数理统计第四版第二章习题答案

概率论与数理统计 第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为

（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 于是其分布律为 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ??

常州市西夏墅中学高二数学教学案几何概型1

几何概型1 一、学习目标 （1）能识别实际问题中概率模型是否为几何概型； （2）会利用几何概型公式对简单的几何概型问题进行计算。 二．过程导航 二、认识事物的特征 1.材料：有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌面上，现从中任意抽取一张,可能出现的每一个基本结果称为基本事件。 （1）请你说说这些基本事件的特征。 （2）你能求出抽到的牌为红心的概率吗？ 三、如何计算下列问题中的概率： 问题1：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑 色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”． 奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ，（运动员在70m 外射．假设 射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的）那么射中黄心的概率有多大？ （1）试验中的基本事件是什么？ （2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ （ 3）随机事件"射中黄心 "的取点区域有多大? 问题2:取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？ 问题：能用古典概型计算该事件 的概率吗？为什么？ （1）试验中的基本事件是什么？ （2）每个基本事件的发生是等可 能的吗？ （3）随机事件"剪得两段的长都不小于1m"的取点区域在哪里? 问题3：在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？ 3m

问题：能用古典概型计算该事件的概率吗？为什么？ （1）试验中的基本事件是什么？ （2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ （3）随机事件"在2ml 水中发现草履虫"的取点区域有多大？ 三.理解几何概型的模型及其概率的算法 1.我们知道，在上述的三个问题中，基本事件都是在某个几何区域D 内随机的取点。 2.这个几何区域D 可以是哪些？ 3.上述的随机事件均是从某个几何区域D 内随机的取点。 随机事件A 的发生则理解为恰好取到几何区域D 内的某个指定区域d 中的点.这时，随机事件A 发生的概率与d 的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d 的形状和位置无关。我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型. 4. 几何概型的概率计算公式： 事件A 发生的概率 P （A ）= 的测度 的测度D d (d 、D 可表示长度，面积，体积) 四.尝试用几何概型解决问题 例题1： 如图所示,在等腰直角三角形ABC 中,在斜边AB 上随机地取一点M,求AM 小于AC 的概率. 1）这是什么概型，为什么？ 2）在斜边AB 上任取一点M 的区域有多大？ 3）满足AM 小于AC 的M 的区域有多大？ 例2：在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机 取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？ 例3.取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率. 五.小结与延伸 问题一:几种概率模型怎样构建? 问题二:今天我们所学的几何概型的计算公式是什么? 课后作业 一、填空题

高中数学 必修三 导学案：3.3

§3.3 几何概型 课前预习案 教材助读 预习教材P135-P136，完成以下问题。 几何概型的两个特点：（1）________________性，（2）_________________性. 课内探究案 一、新课导学 1.模拟方法：通常借助____________来估计某些随机事件发生的概率。用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验，对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值。 2.几何概型： （1）向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在的概率与G1的成正比，而与G的、无关，即P(点M落在G1) = ,则称这种模型为几何概型。 （2）几何概型中G也可以是或的有限区域，相应的概率是或 。 二、合作探究 探究1：飞镖游戏：如图所示，规定射中红色区域表示中奖。 问题1：各个圆盘的中奖概率各是多少？ 问题2：在区间[0，9]上任取一个整数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？ 问题3：在区间[0，9]上任取一个实数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？ 新知1：几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______________，____________或______________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。几何概型的两个特点：（1）_______________性，（2）_________________性. 几何概型概率计算公式：

P(A)=____________________________________ ※ 典型例题 例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 例2 如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则图1、图2落到阴影部分的概率分别为 ___________，__________. 例2、（选讲）在区间[-1,1]上任取两个数，则 （1）求这两个数的平方和不大于1的概率； （2）求这两个数的差的绝对值不大于1的概率。 例3 取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都大于1米的概率是_______. 三、当堂检测 1、平面上画了一些彼此相距a 2的平行线，把一枚半径为)(a r r 的硬币任意掷在这平面上

2019-2020学年高中数学 3.3《几何概型》导学案(2) 苏教版必修3.doc

2019-2020学年高中数学 3.3《几何概型》导学案（2）苏教版必修3 学习目标： （１）能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想； （２）增强几何概型在解决实际问题中的应用意识． 学习重点、难点： 将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题． 学习过程： 一、课前热身 【复习回顾】 1.几何概型的特点： ⑴、有一个可度量的几何图形S； ⑵、试验E看成在S中随机地投掷一点； ⑶、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中． 2.几何概型的概率公式. 3.古典概型与几何概型的区别. 相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个. 4.几何概型问题的概率的求解. （1）某公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的,求乘客等车不超过3分钟的概率. （2）如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率. (3)某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会. 如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）。甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？ 二、数学运用

例1 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率．（＂测度＂为长度） 【分析】点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 为区域D ．当点M 位于图335--中线段'AC 内时，AM AC <，故线段'AC 即为区域d ． 例2、抛阶砖游戏 “抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手 上的“金币”（设“金币”的直径为 r ）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶 砖（边长为a 的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠）， 便可获奖.问：参加者获奖的概率有多大？ 练习 ：有一个半径为5的圆，现在将一枚半径为1硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，试求硬币完全落入圆内的概率． 例 3.甲、乙二人约定在 12 点到 17点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响．求二人能会面的概率.

湖南省株洲四中高一数学 331几何概型 导学案(必修3)

预习书本内容 135P -----138P 页 1、 几何概型的概念 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会_________；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型． 几何概率模型：_________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 2、几何概型的基本特点及其计算公式 二、导练 3、取一个边长为2a 的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率． 4、在1L 高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？ 5、某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）。

三、导议 6、（P137页例2） 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少． 四、评价 1、取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长 都不小于1 m 的概率是. A.21 B.31 C.4 1 D.不确定 2、已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上 车的概率是 A.101 B.91 C.111 D.8 1 3、两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2 m 的概率是________. 4、在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ， AM 的长小于AC 的长的概率_____ 5、一海豚在水池中游玩，水池长30米，宽为20米的长方形，求此海豚嘴离岸边不超过2米的概率。 6＊、（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．求两人会面的概率. （ 提示答案： 59 ）

高考一轮总复习-082.古典概型与几何概型(基础)-知识讲解

高考总复习：古典概型与几何概型 【考点梳理】 知识点一、古典概型 1. 定义 具有如下两个特点的概率模型称为古典概型： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。 2. 古典概型的基本特征 （1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。 （2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。 3.古典概型的概率计算公式 由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是 1n 。如果某个事件A 包含m 个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和，即n m A P =)(。 所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为： 试验的基本事件总数 包含的基本事件数事件A A P =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤： （1）算出基本事件的总个数n ； （2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ； （3）应用公式()m P A n =求值。 5．古典概型中求基本事件数的方法： （1）穷举法； （2）树形图； （3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。 知识点二、几何概型

1. 定义： 事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 2.几何概型的两个特点： （1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的； （2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3.几何概型的概率计算公式： 随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。 所以几何概型计算事件A 的概率计算公式为：Ω=μμA A P )( 其中μΩ表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，A μ表示构成事件A 的区域的几何度量。 要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法. 【典型例题】 类型一、古典概型 例1(2014 四川高考)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取 错误!未找到引用源。 次，每次抽取 错误!未找到引用源。 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。． (1) 求“抽取的卡片上的数字满足 错误!未找到引用源。 ”的概率； (2) 求“抽取的卡片上的数字 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 不完全相同”的概率． 【解析】 (1) 由题意，错误!未找到引用源。 的所有可能为 共 错误!未找到引用源。 种．

2019届一轮复习全国通用版 第59讲几何概型 学案

第59讲 几何概型 1．几何概型 如果事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度(面积或体积)__成比例，而与A 的形状和位置无关则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个特点 一是__无限性__，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是__ 等可能性__，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的__图形面积(体积、长度)__”与“试验的基本事件所占的__总面积(总体积、总长度)__”之比来表示． 3．在几何概型中，事件A 的概率的计算公式 P (A )＝__构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)__. 4．几种常见的几何概型 (1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关． (2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题； (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题． 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的．( × ) (3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ ) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ )

几何概型--教学大赛一等奖教案

几何概型 教学双向细目表 教案设计 一、教学目的： 1、了解几何概型的基本特征，掌握几何概型的计算方法； 2、培养学生把实际问题转化为数学模型的能力； 3、体验类比学习法在数学学习中的作用； 4、体会实际生活与数学的联系，学着用科学的态度评价身边的随机现象。

二、教学重难点 1、 教学重点：掌握几何概型的基本特征及如何求解几何概型的概率---几何测度法； 2、 教学难点：如何判断一个概型是否是几何概型，实际背景如何转化为几何度量。 三、教学方法 引导为主的问题教学法,对比教学法。 四、过程设计 1、 复习：复习古典概型的基本特征、定义和计算公式。 设计目的：回顾已学知识，为后面的对比学习做准备。 2、 引入：通过以下3个问题，判断是否为古典概型，并思考其概率的计算方法。 问题1、某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位，问此人在7：00-7：10到达单位的概率？ 问题2、下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面半径为10cm,黄心半径为1cm.现一人随机射箭 ，假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的, 请问某一次射击射中黄心的概率是多少? 问题3、500ml 水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml 水样放在显微镜下观察，问发现草履虫的概率？ 设计目的：通过3个实例引入几何概型，过程中和古典概型做比较，初步体会实际问题和数学模型的转化。 3、 新知讲解 通过以上三个事例，类比古典概型，总结几何概型的定义和基本特征，并得出计算公式。 （1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积和体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 （2）几何概型的特点:(1)基本事件有无限多个;(2)基本事件发生是等可能的. （3）计算公式：构成事件的区域长度（面积或体积） （A ）=全部结果所构成的区域长度（面积或体积） A P 设计目的:通过实例的展示，总结提炼本节重点内容，板书出以上内容，一是突出重点，二是让学生有时间记忆消化。 4、例题分析 例1：（1）x 的取值是区间[1,4]中的整数，任取一个x 的值，求 “取得值大于2”的概率； （2）x 的取值是区间[1,4]中的实数，任取一个x 的值，求 “取得值大于2”的概率。 例2．（1）x 和y 取值都是区间[1,4]中的整数，任取一个x 的值和一个y 的值，求1x y -≥的概率。 （2）x 和y 取值都是区间[1,4]中的实数，任取一个x 的值和一个y 的值，求1x y -≥的概率。 设计目的：两个例题中，一个古典概型，一个几何概型，对比学习，进一步理解几何概型，掌握与长度和面积有关的几何概型的概率计算方法。 例3、 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. []2004()2,5,5,()0例、函数那么任取一点使的概率是多少？ f x x x x x f x =--∈-≤ 设计目的：用几何概型解决实际问题，从不同的几何角度来解决概率问题，培养学生多

古典概型与几何概型基础复习习题练习

课题：古典概型与几何概率 考纲要求： ① 理解古典概型及其概率计算公式；② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件 发生的概率；③了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；④了解几何概型的意义. 教材复习 1.古典概型：把同时具有： “()1每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的，每次试验只出现其中一个结果；()2每一个结果出现的可能性相同”的两个特征的随机试验的数 学模型称为古典概型： 基本步骤：①计算一次试验中基本事件的总数n ；②事件A 包含的基本事件的个数m ； ③由公式n m A P = )(计算. 注：必须在解题过程中指出等可能的.. 2.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成事件的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 特性：每一次试验中所有可能出现的结果都是无限的，每一个结果出现的可能性都是相等的. 基本步骤：（1）构设变量（2）集合表示（3）作出区域（4）计算求解. 几何概型的计算：()P A = 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A 3.随机数：是在一定范围内随机产生的数，并且在这个范围内得到每一个数的机会相等. 随机数的一个重要应用就是用计算机产生随机数来模拟设计实验. 模拟是利用模型来研究某些现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力、物力. 典例分析： 考点一 古典概型的概念 问题1．判断下列命题正确与否： ()1 掷两枚硬币，可能出现“两个正面” ，“两个反面”，“一正一反”3种结果；()2某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能行相同；()3从4,3,2,1,0,1,2----中任取一数，取到的数小于0和不小于0的可能性相同； ()4分别从3名男同学，4名女同学中各选一名做代表，那么每个同学当选的可能性相同； ()55人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某中奖签的可能性肯定不同.

苏教版数学高一必修3导学案 3.3《几何概型》(2)

3.3 几何概型(2) 教学目标 （１）能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想； （２）增强几何概型在解决实际问题中的应用意识． 教学重点、难点 将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题． 教学过程 一、课前热身 【复习回顾】 1.几何概型的特点： ⑴、有一个可度量的几何图形S； ⑵、试验E看成在S中随机地投掷一点； ⑶、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中． 2.几何概型的概率公式. 3.古典概型与几何概型的区别. 相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个. 4.几何概型问题的概率的求解. （1）某公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可 能的,求乘客等车不超过3分钟的概率。 3 5 p （2）如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率。

11P π= 238P = (3)某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会. 如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）。甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？ 1720p = 2120p = 3110p = 415 p = 二、数学运用 例1 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率．（＂测度＂为长度） 【分析】点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 为区域D ．当点M 位于图335--中线段'AC 内时，AM AC <，故线段' AC 即为区域d ． 【解】在AB 上截取'AC AC =．于是'()()P AM AC P AM AC <=< 'AC AB =AC AB =22=。 答：AM 小于AC 的概率为 22 例2、抛阶砖游戏

人教版高中数学必修三 第三章 概率概率导学案3.3 几何概型

概率导学案3 3.3几何概型 课时目标 1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型.2.掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率． 1．几何概型的定义 设D是一个________的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)．每个基本事件可以视为从________内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点，这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、________、________等)成正比，与d的形状和位置________．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．在几何概型中，事件A的概率计算公式为P(A)＝____________________. 一、填空题 1．用力将一个长为3米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为________． 2．如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是 ________． 3．在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，则含有麦锈病种子的概率是________． 4．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________． 5．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2<1”，则P(A)＝ ______________________________________________________________. 6．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为________．(填序号) 7．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看到的是绿灯的概率是________． 8．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________． 9．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________． 二、解答题 10．过等腰Rt△ABC的直角顶点C在∠ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D，求AD

几何概型_基础学案

几何概型 【学习目标】 1.了解几何概型的概念及基本特点; 2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式; 3.会进行简单的几何概率计算; 4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想 【要点梳理】 要点一：几何概型 1.几何概型的概念: 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则 理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平 面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型 2.几何概型的基本特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.几何概型的概率: 般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件"该点落在其内部一个区域 d内"为事件A，贝y事件A发生的概率P(A) = D的测度. 说明: (1)D的测度不为0 ； ⑵ 其中"测度"的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的"测度"分别是长度，面积和体积

(3)区域为＂开区域＂； (4)区域 D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在 任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关 要点诠释： 几种常见的几何概型 (1)设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若落在线段l上的点 数与线段l的长度成正比，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为: P=的长度/L的长度 (2)设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区 域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关, 则点落在区域g上概率为: P=g的面积/G的面积 (3)设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在 区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无 关，则点落在区域v上的概率为: P=v的体积N的体积 要点二:均匀随机数的产生 1.随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用 2.随机数的产生方法 (1) 实例法. 包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等.

331—332几何概型及均匀随机数的产生

3.3几何概型 331 —3.3.2几何概型及均匀随机数的产生 一、教学目标： 1、知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念; （2）掌握几何概型的概率公式： 构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成__的区域长度（面积或体__积） （3 ）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型； （4）了解均匀随机数的概念； （5 ）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. 2、过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数 学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。 二、重点与难点： 1、几何概型的概念、公式及应用； 2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中. 三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法， 掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学. 四、教学设想： 1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果 的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8 00至9: 00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中 的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。 2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2 ）几何概型的概率公式： 构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等. 3、例题分析： 课本例题略 例1判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，

人教版高中数学【必修三】[知识点整理及重点题型梳理]_几何概型_基础

人教版高中数学必修三 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 几何概型 【学习目标】 1.了解几何概型的概念及基本特点； 2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式； 3.会进行简单的几何概率计算； 4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想. 【要点梳理】 要点一：几何概型 1.几何概型的概念： 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型. 2.几何概型的基本特点： (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.几何概型的概率： 一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D 的测度的测度 . 说明： (1)D 的测度不为0； (2)其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积. (3)区域为＂开区域＂； (4)区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关. 要点诠释： 几种常见的几何概型 (1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，若落在线段l 上的点数与线段l 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为： P=l 的长度/L 的长度 (2)设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上概率为： P=g 的面积/G 的面积 (3)设空间区域上v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点，若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比，而与区域v 在区域V 上的相对位置无关，则点落在区域v 上的概率为： P=v 的体积/V 的体积

高中数学《几何概型》导学案

几何概型 学习目标 1、能举例说明什么是几何概型 2、会求简单的几何概型的概率 学习重点 几何概型的定义及求解 学习探究 一、问题设计 1、一只口袋内装有大小相同的10只球，其中7只白球，3只红球，从中摸出一只球,摸出的球是红球算中奖，问中奖的的概率是多少？这一问题是什么概型？它是怎么定义的？ 2、取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率有多大？这一问题是什么概型？它是怎么定义的？ 3、如图，有一个由红绿蓝三色构成的彩色圆盘，向圆盘内随机抛掷一粒小纽 扣（落在圆盘外的不算）.你猜想小纽扣落在红色区域内的概率是多少？这一 问题是什么概型？它是怎么定义的？ 想一想：上述三个问题有何异同？ 二、学习探究 1、几何概型的定义 想一想：试类比古典概型的特征归纳总结几何概型的特征，并比较它们的异同. 猜一猜：问题2、3的概率各是多少？ 2、几何概型概率 三、典例解析 例1：（1）x的取值是区间[1,4]中的整数，任取一个x的值，求“取得值大于2”的概率。（2）x的取值是区间[1,4]中的实数，任取一个x的值，求“取得值大于2”的概率。 例2、取一个长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆 子，求豆子落入圆内的概率。 变式1已知在一个边长为2的正方形中有一个椭圆（如图），随机向 正方形内丢一粒豆子，若落入椭圆的概率为0.3,求椭圆的面积．

变式2有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它停在任意一 点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，蚂蚁停在圆形内的概率 为0.1，求图中五角星的面积.(结果保留π） 变式3一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m ，宽为20m 的长方形,求此海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率. 四、巩固练习 1、在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数a >7的概率为 ; 2、在一个5000km 2的海域里有面积达40 km 2的大陆架蕴藏着石油，在这个海域里随意选定一点钻探，钻出石油的概率为 3、有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,则取出水中含有这个细菌的概率为___＿. 五、学习小结 1.几何概型的特征 2.几何概型的定义 3.几何概型的概率计算公式 4.几何概型与古典概型的异同 六、课后作业 2 A

《概率论与数理统计》第三版--课后习题标准答案

习题一： 1.1 写出下列随机实验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数。 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和。 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数。 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品。 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格。 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2)。 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温。考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 216,T y x T y x ≤≤=Ω ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离。 解：}{ 207 x x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2 (1) A 与B 都发生, 但C 不发生。 C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生。)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生。 C B A ??；