最小二乘法及其应用..-共13页

最小二乘法及其应用

1． 引言

最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。

2. 最小二乘法

所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为：

21022)()(m in

i i i i i

x b b Y Y Y e

--=-=∑∑∑∧

为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例.

i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程）

由于总体回归方程不能进行参数估计，我们只能对样本回归函数来估计即：

i i i e x b b Y ++=10)...2,1(n i =

从上面的公式可以看出：残差i e 是i Y 的真实值与估计值之差，估计总体回归函数最优方法是，选择10,B B 的估计量10,b b ，使得残差i e 尽可能的小.

总之，最小二乘原理就是选择样本回归函数使得所有Y 的估计值与真实值差的平方和为最小，这种确定10,b b 的方法叫做最小二乘法。

最小二乘法是回归分析中的最基本的方法。回归方程一般分为2类，线性回归方程和非线性回归方程。

2.1 线性回归最小二乘法

最小二乘法是由实验或调查的数据，建立线性型公式的一种常用方法. 在建立线性型公式中，虽然有很多种不同的方法来求样本回归函数（即真实总体回归函数的估计值），但是在回归分析中最广泛应用的方法是最小二乘法.

如果变量y x 和有精确的线性关系比如说b ax y +=,那么∧

=i i y y 即观测值与回归值是相等的.事实上现实世界中的诸多变量的关系未必都是如此，由于受诸多随机因数的干扰使得物与物之间没有那种很明确的对应关系.比如说人的身高和体重就是一个对应，我们都知道长的高的人不一定就重，同理长的矮的人也不一定就轻.但身高和体重的确存在着一定的关系,而这种关系并非是b ax y +=所能确定的.那么我们要寻求身高和体重之间的关系就需要通过数学的方法.首先调查统计得出数据;其次把数据描绘出来；然后拟合一条跟已有的图象最接近的曲线,这样就可以相对地将身高和体重之间的关系表示出来.在处理类似的事情中常常用到最小二乘法.

2.2 非线性回归最小二乘法

非线性回归的种类很多，常用的有抛物线方程（2Y a bX cX =++）、指数方程（x Y ab =）等。

设已知列表函数()(0,1,...,)i i y f x i m ==，并且我们想用一个通常的

()n m <次多项式

()01...n n n p x a a x a x =+++ （1）

去近似它。问题是应该如何选择01...n a a a ，，

， 使()n p x 能较好地近似列表函数()f x 。按最小二乘法，应该选择01...n a a a ，，

，使得 ()()()()

2

010

...m

n i

n

i

i S a a a f x p x ==-∑，，，

（2）

取最小。注意到S 是非负的，且是01...n a a a ，，

，的2次多项式，它必有最小值。求S 对01...n a a a ，，

， 的偏导数，并令其等于零，得到 ()0

10

...0m

n k i

i n i i i y a

a x a x x =----=∑ (0,1,...,)k n =

进一步，可以将它们写成

1

01...m

m m

m

k

k

k k n i i

i i

n i i o

i o

i o

i o

y x

a x a x a x ++=====+++∑∑∑∑ (0,1,...

,k n = 引进记号

m

m

k

k k i k i i i o

i o

s x u y x ====∑∑和

则上述方程组为

0011

0102111

01

12,,n n n n n n n n n s a s a s a u s a s a s a u s a s a s a u +++++=??+++=????+++=? (3)

它的系数行列式是

0112111

2.n n n n

n n

s s s s s s s s s X +++=

由(0,1,

,2)i i n s = 的定义及行列式性质，可以断言

()()2

1011

,,,.

(1)!

n n X W n ξξξ+=

+∑ (4) 此处符号W 表Vandermonde 行列式，而∑是对所有可能的(0,1,,)i i n ξ= 求

和（每个i ξ 可以取值01,,

,,m x x x 并且当i j ≠时i j ξξ≠。由（4）式及

Vandermonde 行列式的性质可知，当01,,

,m x x x 互异时，

()01

22

201

0101111

0.,,

,n

n n n

n

n n W ξξξξξξξξξξξξ=≠ 从而，()100n X +≠>方程组(3)有唯一解01,,

,n a a a ,且它们使(2)取极

小值如此，我们应用最小二乘法找到了()f x 的近似多项式()n x p .

在利用最小二乘法组成和式(2)时，所有点i x 都起到了同样的作用，但是有时依据某种理由认为∑中的某些项的作用大些，而另外一些作用小些（例如，一些i y 是由精度较高的仪器或操作上比较熟练的人员获得的，自然应该予以较大的信任），这在数学上表现为用和

()()()2

0m

i i n i i f x p x ρ=-∑ （5）

替代和(2)取最小值.0i ρ>，且1

1n

i i ρ==∑,i ρ通常称之为权；而(5)为加权和.

用多项式()01n n n x a a x a x p =++

+去近似一个给定的列表函数

（即给出的一组观测值()i i y f x =时。需要确定的参数是01,,,n a a a ;而()n x p 可以看

成是01,,

,n a a a 的线性函数.但是有时在利用观测或实验数据去确定一个经

验公式时，往往要确定的函数和待定参数之间不具有线性形式的关系.这样问题就变得有些复杂.然而，常常可以通过变量替换使其线性化.

最小二乘法原理是用来求解线性方程组的,非线性方程经线性化后方可应用该原理. 通常在测量中遇到的问题不一定都是线性问题, 必须先把非线性问题线性化, 然后求解. 例如：

（i ）有时，我们希望用如下类型的函数：

q s pt = (6) 去近似一个由一组观测数据（列表）所描绘的函数，其中p 和q 是待定的两个参数.显然s 已非p 和q 的线性函数.怎样线性化呢？为此，我们在(6)式两端取对数，得到

Ins Inp qInt =+

记01,,,,Ins y Inp a a q x Int ====则 (6)式变成

01y a a x =+ .

这是一个一次多项式，它的系数0a 和1a 可以用最小二乘法求得.

(ii) 我们经常希望用函数

Ct S Ae = (7) 去近似一个以给定的列表函数，其中A 、C 是待定的参数.这时，我们可以(7)的两端取对数：

InS InA Ct =+

记011,,,InS y InA a C a x t ====，则(1.7)式变成

01y a a x =+

这样仍可用最小二乘法定出01,a a （从而也就定出了A ,C ），得到近似函数

Ct S Ae = .

下面列出几种常用的线性处理方法，利用最小二乘法的原理对直线型、抛物线型和指数曲线型的方程的参数估计方法，介绍如下： （1）直线型

直线方程的一般形式为

Y a bX =+

令22()()Y C a bX C -=+-∑∑为最小值，分别为a 和b 求偏导数，并令导数等于0，得到联立方程组。解方程组，即可得到参数的计算公式 。

22

()a Y bX n X Y X Y b n X X ?=-?

?-??

=?-?

∑∑∑∑∑ （2）抛物线型

抛物线方程的一般形式为

2Y a bX cX =++

令22()()Y C a bX C -=+-∑∑为最小值，分别为 a 、b 、c 求偏导数,并令导数等于0,得到联立方程组解方程组,即可得到参数的计算公式。

2223

2234

00Y na b X c X Y X a X b X c X Y X a X b X c X ?---=???---=??---=??

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （3)指数曲线型 指数曲线的一般形式为

X Y ab =

取对数，将指数曲线转化成对数直线形式

lg lg lg Y a X b =+

用最小二乘法估计参数a,b,可有如下方程组

2

lg lg lg (lg )lg lg Y n a b X

X Y a X b X

?=+????=?+???∑∑∑∑∑ 解此方程组，可得参数的对数值，查其反对数，即可得参数值。

3．最小二乘法原理的应用

3.1最小二乘法原理在线性回归中应用

例1.已知2009年3月到2019年4月居民收入与物价信心的满意指数如下

t=[1 2 3 4 5 6];

x=[29.50 28.20 25.90 21.70 21.90 13.80]; plot(t,x,'o');

polyfit(t,x,1) ans =

-2.9029 33.6600

则所得到的近似方程为

y=-2.9029+33.6600x.

3.2 最小二乘法原理在非线性回归中的应用

例2 设已知函数f (x )的表列值为

试按最小二乘法构造f (x )的二次近似多项式.

解：下面用Matlab 程序来求参数01,a a 和2a . 程序如下： x=[0.2 0.5 0.7 0.85 1];

y=[1.221 1.649 2.014 2.340 2.718];

plot(x,y,'o');

polyfit(x,y,2) ans =

0.9248 0.7553 1.0346

即所求0a =0.9248，1a =0.7553，2a =1.0346. 所求的近似多项式为

2()0.92480.7553 1.0346f x x x =++.

例3、在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y 与时间t 的拟合曲线。

解：实验程序如下：

t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55];

y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51

4.58 4.02

4.64];

plot(t,y,'o');

p=polyfit(t,y,2) p =

-0.0024 0.2037 0.2305 综上，y 与t 的拟合曲线是

y=-0.0024+0.2037t+0.0.23052t 。

例2 设已知如下一组实验数据： t =2.2 2.7 3.5 4.1 S =65 60 53 50

试求一个Ct S Ae 型的函数去近似它.

解: 计算以紧凑的形式表示如下：

01014 1.93077.0144,

1.93070.9748 3.3671.

a a a a +=??

+=? 解之得011.963,91.9,0.434a Inp p q a =====-从而

0.43491.9S t -=。

4.小结

应用最小二乘法的几个问题：

最小二乘法虽然在数据处理方面具有显著的效果,但如果使用不当会导致很大的误差,甚至错误的结果。因此,在应用时必须注意以下几个问题:

(1) 慎重选择拟合关系式。在实际问题中,适当选择拟合关系式是一项十分谨慎的工作,它将直接影响计算的工作量和结论。

(2) 自变量的选择。在实际工作中,对一组实验()11,x y 数据按不同的拟合形式,结果会不一样。特别注意当两个变量都有一定误差时,应当使用双变量最小二乘法进行处理,否则可以使用单变量最小二乘法。

(3) 加权最小二乘法。此法是应用于实验测量值1y 非等精度的情况下的拟合方法。它不同程度的消除误差因素,结果更准确可靠。

设拟合函数为()y f x =,当x 值取1x 时y 的实测值为1y ,取()111y f x σ-。加权偏差平方和()()2

211

1

m

m

i

i i i i i s w w y f x σ====-∑∑,式中i w 为第i 个实验点的权

重因子。选取合适的权重因子i w 可获得高精度的拟合参数。

（4）最小二乘原理在很多领域有着广泛应用，利用MATLAB 求解非常方便，但一定要组要问题的类型，尤其是数据大且复杂时，来更好的突出Matlab 计算出线性参数的最佳估计值，提高了效率和精度。

（5）非线性参数的最小二乘法处理程序可归结为：首先根据具体问题将非线性问题线性化，列出误差方程；再按最小二乘法原理，利用求极值的方法将误差方程转化为正规方程；然后求解正规方程，得到待求的估计量；最后给出精度估计。上面例题利用程序求解组合测量问题，用Matlab 进行曲线的拟合。

致谢：

长江之滨，青山湖畔，是我美丽的校园。转眼间，我已经在美丽的湖师度过了四个年头。四年，这是我人生中非常重要的四年，我有幸能够接触到这些不仅传授我知识、学问，而且从更高层次指导我的人生与价值追求的良师。他们使我坚定了人生的方向，获得了追求的动力，留下了大学生活的美好回忆。在此，我真诚地向我尊敬的老师们和母校表达我深深的谢意！

这篇论文是在我的导师胡宏昌教授的多次指导下完成的。从论文的选题到结构安排，从内容到文字润饰，都凝聚了他大量的心血。在这篇论文的写作过程中，胡老师不辞辛劳，不惜在百忙的工作学习中抽出时间多次与我就论文中许多核心问题作深入细致地探讨，给我提出切实可行的指导性建议，无论是论文的整体机构，还是论文的文字、排版还是一个标点符号，胡老师都是认真的帮我查看并细心全面地帮我修改。更重要的是胡老师在指导我的论文的过程中，不顾自己由于长时间在电脑前工作的颈椎的疼痛还依然在我每次过去找他帮我修改论文时，细心的在电脑前为我指出排版的错误，甚至一个标点符号。胡老师这种一丝不苟的负责精神，使我深受感动。在此，请允许我向尊敬的胡宏昌老师表示真挚的谢意！

最小二乘法及其应用..

最小二乘法及其应用 1． 引言 最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。 2. 最小二乘法 所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为： 21022)()(m in i i i i i x b b Y Y Y e --=-=∑∑∑∧ 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例. i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程）

最小二乘法及其应用

最小二乘法及其应用 最小二乘法是一个比较古老的方法，早在十八世纪，就由高斯首先创立并成功地应用于天文观测和大地的测量工作中。此后，近三百年来，它已被广泛应用于科学实验与工程技术中。随着现代电子计算机的普及与发展，这个古老的方法更加显示出其强大的生命力。 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可以用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。 最小二乘法拟合曲线的基本原理是：成对等精度地测得一组数据x，只(i=l，2，…，n)，试找出一条最佳的拟合曲线，使得这条拟合曲线上的各点的值与测量值的差的平方和在所有拟合曲线中最小。所谓“拟合”，即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点，只要求所得的曲线能反映数据的基本趋势。曲线拟合的几何解释是：求一条曲线，使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处。 用最小二乘法拟合的曲线较为精确，接近于实际曲线。因而，最小二乘法拟合曲线在实际生活和科学研究中有着重要的意义，并渗透到各个领域，在物理、气象、化学、医学等方面有着广泛的应用。例如，在物理方面，我们通常通过实验测得数据，然后根据这些实验数据拟合曲线，从而总结出某种现象的规律或者变化趋势，进而采取相应的措施避免或加强其变化程度。这对于指导我们了解物理现象，并深刻理解物理知识是非常有帮助的。又如，在气象方面，在温室效应的研究中，科学家们通过对1860年到1980年的11个地球平均温度增加值的分析,利用最小二乘法进行曲线拟合,通过精确计算,建立了地球平均温度增加值与时间之间的函数关系。从而得出在2080年左右,地球的平均温度会比1980年上升约6℃,从而会引起诸如冰川后退、海平面上升等一系列严重的环境问题。到时极地冰盖就会融化,从而引起大量的洪水泛滥和大片的陆地被淹没,这一认识对进行环境质量评价和提出保护地球的措施具有重要的理论意义。

最小二乘法的原理及其应用

最小二乘法的原理及其应用 一、研究背景 在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。 其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。 二、最小二乘法的原理 人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型 , q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。 通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。一般情况下，观测值远多于所选择的参数。 其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。 确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。用函数表示为：

最小二乘法原理

最小二乘法原理 1. 概念 最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m 个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。 2. 原理 给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m 。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi 处的偏差δi= φ(xi)-yi ，i=1,2,...,m 。 常见的曲线拟合方法： 1. 是偏差绝对值最小 11min (x )y m m i i i i i φδφ===-∑∑ 2. 是最大的偏差绝对值最小 min max (x )y i i i i φδ?=- 3. 是偏差平方和最小 2211min ((x )y )m m i i i i i φδ?===-∑∑ 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 推导过程： 1. 设拟合多项式为： 01...k k y a a x a x =+++ 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 2 2 011(...)m k i i k i i R y a a x a x =??=-+++??∑ 3. 为了求得符合条件的a 值，对等式右边求ak 偏导数，因而我们得到了： 011 2(...)0m k i k i i y a a x a x =??--+++=??∑ 011 2(...)0m k i k i i y a a x a x x =??--+++=??∑

…….. 0112( 0 k k i k i i y a a x a x x =??--+++=??∑ 4. 将等式简化一下，得到下面的式子 01111...n n n k i k i i i i i a n a x a x y ===+++=∑∑∑ 2 1011111...n n n n k i i k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ …… 12011111...n n n n k k k k i i k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ 5. 把这些等式表示成矩阵形式，就可以得到下面的矩阵： 11102111111121111.........n n n k i i i i i i n n n n k i i i i i i i i i n n n n k k k k k i i i i i i i i i n x x y a a x x x x y a x x x x y ===+====+====??????????????????????=?????????????????????? ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 6. 将这个范德蒙矩阵化简后得到： 0111122 21...1...1...k k k k n n n a y x x a y x x a y x x ??????????????????=????????????????????

最小二乘法原理及应用【文献综述】

毕业论文文献综述 信息与计算科学 最小二乘法的原理及应用 一、国内外状况 国际统计学会第56届大会于2007年8月22-29日在美丽的大西洋海滨城市、葡萄牙首都里斯本如期召开。应大会组委会的邀请，以会长李德水为团长的中国统计学会代表团一行29人注册参加了这次大会。北京市统计学会、山东省统计学会，分别组团参加了这次大会。中国统计界（不含港澳台地区）共有58名代表参加了这次盛会。本届大会的特邀论文会议共涉及94个主题，每个主题一般至少有3-5位代表做学术演讲和讨论。通过对大会论文按研究内容进行归纳，特邀论文大致可以分为四类：即数理统计，经济、社会统计和官方统计，统计教育和统计应用。 数理统计方面。数理统计作为统计科学的一个重要部分，特别是随机过程和回归分析依然展现着古老理论的活力，一直受到统计界的重视并吸引着众多的研究者。本届大会也不例外。 二、进展情况 数理统计学19世纪的数理统计学史, 就是最小二乘法向各个应用领域拓展的历史席卷了统计大部分应用的几个分支——相关回归分析, 方差分析和线性模型理论等, 其灵魂都在于最小二乘法; 不少近代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来, 作为其进一步发展或纠正其不足之处而采取的对策, 这包括回归分析中一系列修正最小二乘法而导致的估计方法。 数理统计学的发展大致可分 3 个时期。① 20 世纪以前。这个时期又可分成两段，大致上可以把高斯和勒让德关于最小二乘法用于观测数据的误差分析的工作作为分界线，前段属萌芽时期，基本上没有超出描述性统计量的范围。后一阶段可算作是数理统计学的幼年阶段。首先，强调了推断的地位，而摆脱了单纯描述的性质。由于高斯等的工作揭示了最小二乘法的重要性，学者们普遍认为，在实际问题中遇见的几乎所有的连续变量，都可以满意地用最小二乘法来刻画。这种观点使关于最小二乘法得到了深入的发展，②20世纪初到第二次世界大战结束。这是数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期。许多重要的基本观点和方法，以及数理统计学的主要分支学科，都是在这个时期建立和发展起来的。这个时期的成就，包含了至今仍在广泛使用的大多数统计方法。在其发展中，以英国统计学家、生物学家费希尔为代表的英国学派起了主导作用。③战后时期。这一时期中，数理统计学在应用和理论两方面继续获得很大的进展。

普通最小二乘法(OLS)

普通最小二乘法（OLS ） 普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。 在已经获得样本观测值i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下 （见图中的散点），假如模型（）的参数估计量已经求得到， 为^0β和^ 1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见 图中的直线） i i x y ^ 1^0^ββ+= i=1,2,…,n 应该能够最 好地拟合样本数据。其中^i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。 ),()(1022101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()()),(min ????1021 10212?,?1100ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== 为什么用平方和因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。 由于 2 1 ^1^012 ^ ))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝ 是^0β、^1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。根据罗彼塔法则，当Q 对^0β、^ 1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。即

0011001100?,?1 ?,?0 =??=??====ββββββββββQ Q 容易推得特征方程： ()0)??(0?)??(1011 10==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i i n i i i i i i n i i e x x y x e y y x y ββββ 解得： ∑∑∑∑∑+=+=2^ 1^0^1^0i i i i i i x x x y x n y ββββ （） 所以有：???? ?????-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i 10121 21121111??)())(()()()(?βββ （） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。 为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。记 ∑=-i x n x 1 ∑=-i y n y 1 y y y x x x i i i i -=-= （）的参数估计量可以写成

最小二乘法的本原理和多项式拟合

第一节 最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一 最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值i m i r ≤≤0max ，即误差 向量 T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=m i i r 0 ，即误差向量r 的1— 范数；三是误差平方和∑=m i i r 02 的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=m i i r 02 来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整 体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即 ∑=m i i r 0 2 =[]∑==-m i i i y x p 0 2 min )( 从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最 小的曲线)(x p y =（图6-1）。函数)(x p 称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法. 6—1 二 多项式拟合 假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一 Φ ∈=∑=n k k k n x a x p 0 )(,使得 [] min )(0 02 02 =??? ??-=-=∑∑∑===m i m i n k i k i k i i n y x a y x p I (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘 拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。

最小二乘法原理及其简单应用_邹乐强

科技信息 SCIENCE &TECHNOLOGY INFORMATION 2010年第23期y (%) 1.000.90.90.810.60.560.35x (%) 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 最小二乘法原理及其简单应用 邹乐强 （河南工程技术学校河南 焦作 454000） 【摘要】最小二乘法是从误差拟合角度对回归模型进行参数估计或系统辨识，并在参数估计、系统辨识以及预测、预报等众多领域中得到极为广泛的应用。然而，最小二乘法因其抽象、难懂常常被大家所忽视。本文就最小二乘法的引入，原理的证明，简单的应用进行归纳和总结，使读者对最小二乘法有更为清晰、系统、全面地认识。 【关键词】最小二乘法；回归模型；参数估计；系统辨识最小二乘法作为一种传统的参数估计方法，早已经被大家所了解。然而大多同学对最小二乘法的认识都比较模糊，仅仅把最小二乘法理解为简单的线性参数估计。事实上，最小二乘法在参数估计、系统辨识以及预测、预报等众多领域都有着广泛的应用。本文就最小二乘法的引入、最小二乘法原理的简单证明、最小二乘法在线性参数估计、欧氏空间、多项式拟合以及经济领域的模型参数估计等应用方面进行具体的阐释。本文的一些理论建立在学习过高等代数、数值分析及了解简单的经济计量学的基础上。本文的理论简明易懂，仅对现实中常见的问题用最小二乘法理论结合阐释。 1问题的引入 例 已知某种材料在生产过程中的废品率y 与某种化学成分x 有关。下列表中记载了某工厂生产中y 与相应的x 的几次数值： 我们想找出y 对x 的一个近似公式。 解把表中数值划出图来看，发现它的变化趋势近于一条直线。因此我们决定选取x 的一次式ax+b 来表达。当然最好能选到适当的a ，b 使下面的等式 3.6a+b -1.00=03.7a+b -0.9=03.8a+b -0.9=03.9a+b -0.81=0 4.0a+b -0.60=04.1a+b -0.56=04.2a+b -0.35=0 都成立。实际上是不可能的，任何a ，b 代入上面各式都会发生误差。于是想找a ，b 使上面各式的误差的平方和最小，即找到a ，b 使 (3.6a+b -1.00)2+(3.7a+b -0.9)2+(3.8a+b -0.9)2+(3.9a+b -0.81)2+(4.0a+b -0.60)2+(4.1a+b -0.56)2+(4.2a+b -0.35)2 最小。这里讨论的是误差的平方即二乘方，故称为最小二乘法。现在转向为一般的最小二乘法问题： 实系数线性方程组 a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n - b 1=0 a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n - b 2=0………… a m 1x 1 +a m 2x 2+…+a mn x n -b m = 1.1 可能无解。即任何一组实数x 1,x 2,……,x s 都可能使 m i =1 Σ(a i 1x 1+a i 2x 2+…+a in x n -b i )2 （*） 不等于零。 我们设法找到实数组x 0 1,x 0 2,…,x 0 s 使最小，这样的x 0 1,x 0 2,…,x 0 s 称为方程组的最小二乘解。这样问题就叫最小二乘法问题。 [1] 2 最小二乘法原理的证明 2.1 最小二乘法原理的初等证明 定理：X =(x 1,x 2,……x n )T 是矛盾方程组（1.1）的最小二乘解的充要条件是X 是方程组 (m i =1Σa 2 i 1)x 1+ m i =1Σa i 1a i 211x 2+…+ m i =j Σa i 1a in 11x n =m i =1 Σa i 1b i m i =1Σa i 2a i 1 1 1x 1+ m i =1Σa 2 i 2 11x 2+…+m i =1Σa i 2a in 11x n = m i =1Σa i 2b i m i =1 Σa in a i 11 1x 1+m i =1Σa in a i 211x 2+…+ m i =1 Σa 2 in 11x n = m i =1 Σa in b i 2.2 的解[2] 证明：设Y = m i =1Σ b i -n k =1 Σa ik x k 11 2 2.3 把Y 整理为关于x j (1≦j ≦n)的二次函数得 Y = m i =1 Σa 2ij 1 1x 2 j +2m i =1 Σ(a j (a i 1x 1+…+a i ,j -1x j -1+a i ,j +1x j +1+…+a 1n x n b j ))x j +m i =1 Σ(a i 1x 1+…+a i ,j -1x j -1+a i ,j +1x j +1+…+a in x n -b j )2 j=1,2,3,……,n 必要性：设X =(x 1,x 2,……,x n )T 是方程组⑴的最小二乘解，由定义1知⑴式中Y 有最小值，且X 是最小值点。由二次函数的性质得知二次函数 m i =1 Σa 2ij 〉0（j=1,2,……,n ），故a ij 不全部为零（与A 列满秩的假设一 致），且X 满足： X = m i =1 Σ[a ij (a i 1x 1 +…+a i ,j -1x i,j -1 +a i ,j +1x i,j +1+…+a in x n -b n )] m i =1 Σa ij (j=1,2,……,n) 2.4 化简得： m i =1 Σa ij a i 111x 1+m i =1Σa ij a i 211x 2+…+ m i =1Σa ij a i,j-111x j -1+ m i =1 Σa 2 ij 11x j + m i =1Σa ij a i,j+111x j +1+…+m i =1Σa ij a in 1 1x n =m i =1 Σa ij b i (j=1,2,…n) 这就是方程组⑵。不难看出方程组⑵的系数矩阵为A T A （A T 表示A 的转置矩阵），由A 列满秩知|A T A |≠0，故⑵有唯一解。必要性得证。 充分性：设X 是方程组（2）2.2的解，由x j (j =1,2,...,n )满足方程组2.2，也就是满足⑷式，再由于A 列满秩，a ij (i =1，2，...，m )不全为零，故⑶中二次项系数 m i =1 Σa 2 ij ＞0，因此，⑷中式Y 有最小值且最小值点为X =(x 1 ， x 2，...，x n )，所以X 是方程组⑴的最小二乘解。 2.2利用欧氏空间证明最小二乘法下面我们利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法，并给出最小二乘解所满足的代数条件。令 A ＝ a 11a 12…a 1n a 21a 22 …a 2n … ……… a m 1 a m 2… a mn ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠B = b 1b 2… b m ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠ X = x 1x 2… x m ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠ Y =n j =1Σa 1j x 1n j =1Σa 2j x 2n j =1 Σa mj x m ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠ ≠ ≠≠≠≠ ≠ ≠≠≠≠≠ ≠≠ ≠ =AX 2.5 ○职校论坛○ 282

最小二乘法在误差分析中的应用

误差理论综述与最小二乘法讨论 摘要：本文对误差理论和有关数据处理的方法进行综述。并且针对最小二乘法（LS）的创立、发展、思想方法等相关方面进行了研究和总结。同时，将近年发展起来的全面最小二乘法(TLS)同传统最小二乘法进行了对比。 1.误差的有关概念 对科学而言，各种物理量都需要经过测量才能得出结果。许多物理量的发现，物理常数的确定，都是通过精密测量得到的。任何测试结果，都含有误差，因此，必须研究，估计和判断测量结果是否可靠，给出正确评定。对测量结果的分析、研究、判断，必须采用误差理论，它是我们客观分析的有力工具 测量基本概念 一个物理量的测量值应由数值和单位两部分组成。按实验数据处理的方式，测量可分为直接测量、间接测量和组合测量。 直接测量:可以用测量仪表直接读出测量值的测量。 间接测量:有些物理量无法直接测得，需要依据待测物理量与若干直接测量量的函数关系求出。 组合测量:如有若干个待求量，把这些待求量用不同方法组合起来进行测量，并把测量结果与待求量之间的函数关系列成方程组，用最小二乘法求出这个待求量的数值，即为组合测量。 误差基本概念 误差是评定测量精度的尺度，误差越小表示精度越高。若某物理量的测量值为y，真值为Y，则测量误差dy=y-Y。虽然真值是客观存在的，但实际应用时它一般无从得知。按照误差的性质，可分为随机误差，系统误差和粗大误差三类。 随机误差:是同一测量条件下，重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。 系统误差:是同一测量条件下，重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。 粗大误差:指超出在规定条件下预期的误差。 等精度测量的随机误差 当对同一量值进行多次等精度的重复测量，得到一系列的测量值，每个测量

最小二乘法原理

最小二乘法 最小二乘法是一种在误差估计、不确定度、系统辨识及预测、预报等数据处理诸多学科领域得到广泛应用的数学工具。最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法公式： 设拟合直线的公式为 , 其中：拟合直线的斜率为： ；计算出斜率后，根据 和已经确定的斜率k，利用待定系数法求出截距b。

在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y 直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)²〕最小为“优化判据”。 令: φ= ∑(Yi - Y计)² (式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ= ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) 亦即 m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)

(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于0 越好。 R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) * 在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一最小二乘法 从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求与之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的个数

最小二乘法的原理和应用【开题报告】

毕业论文开题报告 数学与应用数学 最小二乘法的原理和应用 一、选题的意义 最小二乘法在很多领域都的到了广泛的应用。在研究两个变量之间的关系时，可以用回归分析的方法进行分析。当确定了描述两个变量之间的回归模型后，就可以使用最小二乘法估计模型中的参数，进而建立经验方程。简单的说，最小二乘法思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小。这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近，“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小。从计算角度看，最小二乘法与插值法类似，都是处理数据的算法。但从创设的思想看，二者却有本质的不同，前者寻求一条曲线，使其与观测数据“最接近”，目的是代表观测数据的趋势；后者则是使曲线严格通过给定的观测数据，其目的是通过来自函数模型的数据来接近近似刻画函数。在观测数据带有测量误差的情况下，就会使得这些观测数据偏离函数曲线，结果使得观测数据保持一致的插值法不如最小二乘法得到的曲线更符合客观实际。 最小二乘法能在统计学中得到应用，也是因为测量误差的存在。事实上，在高斯等人创立了测量误差理论，对最小二乘法进行了分析后，这种方法才在统计界获得了合法地位，正式成为了一张统计方法。最小二乘法逐步渗入到统计数据分析领域，对统计学的发展产生了重大影响。 二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点） 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。用最小二乘法估计参数时，要求观测值的偏差的加权平方和为最小。由于直线参数的估计值是根据由误差的观测数据点计算出来的，他们不可避免地存在着偏差。 三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路） 研究（工作）步骤： 1．2010.12.15－2010.12.31 根据选题，广泛查阅资料，填写任务书有关事项，明确任务要求，初步形成研究方向。 2．2011.1.1－2011.3.6利用课余时间、假期仔细研读参考文献，初步拟定论文提纲，收集所要翻译的外文资料，完成两篇外文翻译，以及撰写开题报告和文献综述。 3．2011.3.6－2011.3.12修改开题报告、文献综述和外文翻译，进一步整理论文大纲。 4．2011.3.13－2011.3.16根据论文大纲翻阅相关详细资料。 5．2011.3.17－2011.3.26整理收集的相关材料，开始写论文工作。 6．2011.3.27－2011.4.10撰写论文初稿，上交论文、译文、开题报告、指导记录、中期检查表。 7．2011.4.11－2011.4.25修改论文，上交所有相关材料。 8．2011.4.26－2011.5.18补充必要的内容，论文打印、定稿。 9. 2011.5.19－2011.5.28准备毕业论文答辩。 方法及措施：主要采用举例分析、探讨的方法。 四、毕业论文（设计）提纲 1. 最小二乘法的引入 1.1最小二乘法及其证明 1.2最小二乘法的简单运用

浅谈最小二乘法的原理及其应用【开题报告】

开题报告 信息与计算科学 浅谈最小二乘法的原理及其应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义 最小二乘法（Least Square Method ）是提供“观测组合”主要工具之一, 它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式. 如已知两变量为线性关系y a bx =+, 对其进行(2)n n >次观测而获得n 对数据. 若将这n 对数据代入方程求解,a b 的值则无确定解, 而最小二乘法提供了一个求解方法, 其基本思想是寻找“最接近”这n 个观测点的直线. 最小二乘法创立与十九世纪初, 是当时最重要的统计方法, 在长期的发展中, 人们一直处于不断的研究中, 在传统最小二乘法的基础上, 出现了许多更为科学先进的方法, 如移动最小二乘法、加权最小二乘法、偏最小二乘法、模糊最小二乘法和全最小二乘法等, 使得最小二乘法在参数估计、系统辨识以及预测、预报等纵多领域都有着广泛的应用. 相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础, 所以最小二乘法被称之为数理统计学的灵魂. 正如美国统计学家斯蒂格勒（S. M. Stigler ）所说, “最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”. 因此对最小二乘法的研究就显得意义重大. 国内外的学者们一直在对传统最小二乘法做进一步的研究. 勒让德（A. M. Legender ）于1805年发表了论著《计算彗星轨道的新方法》, 在书中勒让德描述了最小二乘法的思想、具体做法及其优点, 他认为: 赋予误差的平方和为极小, 则意味着在这些误差间建立了一种均衡性, 它阻止了极端情形所施加的过分影响. 1809年高斯（C. F. Gauss ）在著作《天体沿圆锥截面围绕太阳运动的理论》中发表有关最小二乘法的理论, 随后在1826年的著作中阐述了最小二乘法的全部内容. 统计学者对最小二乘法做了进一步的研究探讨, 1970年, 由霍尔（A. E. Horel ）和肯纳德（R. W. Kennard ）提出 的岭估计（Ridge Estimate ）, 用()()11?n i i i k S kI x y β -==+∑取代?β, 有效的降低了原方法的病态性.

最小二乘法在经济预测中的应用

编号（学号）：12914008 优化理论课程论文 （ 08 级 1班） 题目：最小二乘法在经济预测中的应用 学院：理学院 专业：信息与计算科学 姓名：刘天政 指导教师：张永祥 完成日期： 2011 年 12 月 18 日

最小二乘法在经济预测中的应用 摘要:由于经济发展呈现一种鹏飞的状态及其可能的动荡会引起严重的后果,使得经济预测成为了一个必然产物,预测会使人们在将来经济上可能出现的波动有所准备降低损失或增加收益.本文选择了经济预测中的其中一种方法最小二乘法的基本原理,并且利用了线性回归预测模型.同时对相关系数和标准偏差进行检验.最后给出了利用最小二乘法进行经济预测的实例.实现对产品生产的预测让各方面对产品的产量有个简单的了解. 关键词：最小二乘法;线性回归;产品生产预测 一.引言 随着改革开放的步伐带动各地的经济发展状态呈现一片大好的形势,由于地域人文不同各地经济特色也各显风骚.本文以某县为例,该县是全国经济百强县之一,全县大都以染料、纺织和布匹等生产加工为主.笔者了解到支撑该县经济支柱的大部分是以生产加工上述产品的中小企业甚至家庭型企业.由于他们规模不是很大,因此相应的各技术部门没有很好的配备,所以进行生产管理的方式没有像大型企业那样规范,他们产品的年产量往往根据企业主近几年摸爬滚打中积累起来对市场的判断来制订的,而没有进行科学的经济预测，这常常导致大量产品销售不够或大量产品积压在家,给企业带来严重影响. 经济预测是进行经济决策活动的一个重要组成部分.在实际经济活动中,预测的结果可以揭示经济现象在未来时期发展变化的情况和发现经济发展过程中存在的问题,从而为进行决策、制订计划、提高经济管理水平以及获取较好的经济效益提供了科学依据.运用定量预测模型进行预测的方法有很多,依据笔者对许多家庭型企业的了解及对企业主知识层次的分析,本文介绍的最小二乘法在经济预测中的应用方法简单明了,比较适合这些企业在进行预测产品产量时参考,从而能够避免盲目的生产和经营,尽可能地为企业获得最大利润.

最小二乘法基本原理

该方程的参数估计步骤如下： 取n 组观测值n i x x x y ki i i i ,,2,1),,,,(211 =代入上式中可得下列形式： ?????????++??+++=++??+++=++??+++=m mk k m m m k k k k u x x x y u x x x y u x x x y ββββββββββββ2211022222211021 112211101 （2） (2)的矩阵表达形式为： U B X y += （3） 对于模型（3），如果模型的参数估计值已经得到，则有： ^^B X y = （4） 那么，被解释变量的观测值与估计值之差的平方和为： ∑∑==--==-==n i i i n i i B X Y B X Y e e y y e Q 1 ^ '^'2^12)()()( （5） 根据最小二乘法原理，参数估计值应该是下列方程： 0)()(^' ^^=--??B X Y B X Y B （6） 的解。于是，参数的最小二乘估计值为： Y X X X B '1'^)(-= （ 7）

多变量预测模型是以多元线性回归方程为基础，其一般形式为： i ki k i i i u x x x y +++++=ββββ 22110 （8） 其中：k n i ;,,2,1 =为解释变量的数目；k x x x ,,,21 为解释变量，)1(+k 为解释变量的数目；k βββ ,,21为待估参数；u 为随机干扰项；i 为观测值下标。 统计检验是依据统计理论来检验模型参数估计值的可靠性。主要包括方程显著性检验（F 检验）和变量显著性检验（F 检验）。前者计算出F 统计量的数值；给定一个显著性水平α，查F 分布表，得到一个临界值),1,(--k n k F α当)1,(-->k n k F F α时，通过F 检验。后者计算出t 统计量的数值；给定一个显著性水平α，查t 分布表，得到一个临界值)1(2/--k n t α，当)1(||2/-->k n t t α时，通过t 检验。

【文献综述】最小二乘法原理及应用

文献综述 信息与计算科学 最小二乘法的原理及应用 一、国内外状况 国际统计学会第56届大会于2007年8月22-29日在美丽的大西洋海滨城市、葡萄牙首都里斯本如期召开。应大会组委会的邀请，以会长李德水为团长的中国统计学会代表团一行29人注册参加了这次大会。北京市统计学会、山东省统计学会，分别组团参加了这次大会。中国统计界（不含港澳台地区）共有58名代表参加了这次盛会。本届大会的特邀论文会议共涉及94个主题，每个主题一般至少有3-5位代表做学术演讲和讨论。通过对大会论文按研究内容进行归纳，特邀论文大致可以分为四类：即数理统计，经济、社会统计和官方统计，统计教育和统计应用。 数理统计方面。数理统计作为统计科学的一个重要部分，特别是随机过程和回归分析依然展现着古老理论的活力，一直受到统计界的重视并吸引着众多的研究者。本届大会也不例外。 二、进展情况 数理统计学19世纪的数理统计学史, 就是最小二乘法向各个应用领域拓展的历史席卷了统计大部分应用的几个分支——相关回归分析, 方差分析和线性模型理论等, 其灵魂都在于最小二乘法; 不少近代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来, 作为其进一步发展或纠正其不足之处而采取的对策, 这包括回归分析中一系列修正最小二乘法而导致的估计方法。 数理统计学的发展大致可分 3 个时期。① 20 世纪以前。这个时期又可分成两段，大致上可以把高斯和勒让德关于最小二乘法用于观测数据的误差分析的工作作为分界线，前段属萌芽时期，基本上没有超出描述性统计量的范围。后一阶段可算作是数理统计学的幼年阶段。首先，强调了推断的地位，而摆脱了单纯描述的性质。由于高斯等的工作揭示了最小二乘法的重要性，学者们普遍认为，在实际问题中遇见的几乎所有的连续变量，都可以满意地用最小二乘法来刻画。这种观点使关于最小二乘法得到了深入的发展，②20世纪初到第二次世界大战结束。这是数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期。许多重要的基本观点和方法，以及数理统计学的主要分支学科，都是在这个时期建立和发展起来的。这个时期的成就，包含了至今仍在广泛使用的大多数统计方法。在其发展中，以英国统计学家、生物学家费希尔为代表的英国学派起了主导作用。③战后时期。这一时期中，数理统计学在应用和理论两方面继续获得很大的进展。

最小二乘法应用实例

系统辨识作业： 用LS解决一个实际问题 根据实测数据判断模型结构并辨识参数。 已知在不同的温度T下，测定铜棒的长度l如下表所示： i12345678 T/℃1015202530354045 i l/cm2000.362000.502000.722000.802001.072001.252001.482001.60 i %Matlab利用原始数据画折线图 clc,clear; T=[1015202530354045]; L=[2000.362000.502000.722000.802001.072001.252001.482001.60]; plot(T,L,'m'); grid on; xlabel('T/℃'); ylabel('L/cm'); title('T-L Line chart'); legend('T-L'); 图1T-L Line Chart =+，用最小二乘法给出参数由折线图可知，铜棒的长度l随温度T呈线性变化,设l aT b a和b的最小二乘估计值。 %Matlab实现最小二乘参数估计

LN=[2000.362000.502000.722000.802001.072001.252001.482001.60]';TN=[10,1;15,1;20,1;25,1;30,1;35,1;40,1;45,1]；ab=inv(TN'*TN)*TN'*LN ；%最小二乘计算 x=10:1:45；plot(x,y,'b',T,L,'m');grid on;xlabel('T/℃');ylabel('L /cm');title('T-L Line chart');legend('L=aT+b','T-L');a=ab(1)%a 的最小二乘估计值 a a =0.0368 b=ab(2)%b 的最小二乘估计值 b b = 2.0000e+003 %原始数据折线图与l aT b =+函数图形对比： 图2折线图与直线图对比 所以铜棒的长度l 与温度T 的线性关系式为：0.03682000l T =+

【开题报告】最小二乘法的原理和应用

开题报告 数学与应用数学 最小二乘法的原理和应用 一、选题的意义 最小二乘法在很多领域都的到了广泛的应用。在研究两个变量之间的关系时，可以用回归分析的方法进行分析。当确定了描述两个变量之间的回归模型后，就可以使用最小二乘法估计模型中的参数，进而建立经验方程。简单的说，最小二乘法思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小。这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近，“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小。从计算角度看，最小二乘法与插值法类似，都是处理数据的算法。但从创设的思想看，二者却有本质的不同，前者寻求一条曲线，使其与观测数据“最接近”，目的是代表观测数据的趋势；后者则是使曲线严格通过给定的观测数据，其目的是通过来自函数模型的数据来接近近似刻画函数。在观测数据带有测量误差的情况下，就会使得这些观测数据偏离函数曲线，结果使得观测数据保持一致的插值法不如最小二乘法得到的曲线更符合客观实际。 最小二乘法能在统计学中得到应用，也是因为测量误差的存在。事实上，在高斯等人创立了测量误差理论，对最小二乘法进行了分析后，这种方法才在统计界获得了合法地位，正式成为了一张统计方法。最小二乘法逐步渗入到统计数据分析领域，对统计学的发展产生了重大影响。 二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点） 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最

小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。用最小二乘法估计参数时，要求观测值的偏差的加权平方和为最小。由于直线参数的估计值是根据由误差的观测数据点计算出来的，他们不可避免地存在着偏差。 三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路） 研究（工作）步骤： 1．2010.12.15－2010.12.31 根据选题，广泛查阅资料，填写任务书有关事项，明确任务要求，初步形成研究方向。 2．2011.1.1－2011.3.6利用课余时间、假期仔细研读参考文献，初步拟定论文提纲，收集所要翻译的外文资料，完成两篇外文翻译，以及撰写开题报告和文献综述。 3．2011.3.6－2011.3.12修改开题报告、文献综述和外文翻译，进一步整理论文大纲。 4．2011.3.13－2011.3.16根据论文大纲翻阅相关详细资料。 5．2011.3.17－2011.3.26整理收集的相关材料，开始写论文工作。 6．2011.3.27－2011.4.10撰写论文初稿，上交论文、译文、开题报告、指导记录、中期检查表。 7．2011.4.11－2011.4.25修改论文，上交所有相关材料。 8．2011.4.26－2011.5.18补充必要的内容，论文打印、定稿。 9. 2011.5.19－2011.5.28准备毕业论文答辩。 方法及措施：主要采用举例分析、探讨的方法。 四、毕业论文（设计）提纲 1. 最小二乘法的引入 1.1最小二乘法及其证明 1.2最小二乘法的简单运用