巧填幻方

巧填幻方

一、什么叫幻方？

（通俗点说）把一些有规律的数填在纵横格数都相等的正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等。这样的方阵图叫做幻方。

幻方又分为奇数阶幻方和偶数阶幻方。奇数阶幻方是指横行、竖列都是单数（即3、5、7、9……）的方阵图。偶数阶幻方是指横行、竖列都是双数（即4、6、8、10……）的方阵图。

二、奇数阶幻方

在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。

(1) 将1放在第一行中间一列；

(2) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：

按 45°方向向右上方行走，每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1

(3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。

例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1；

(4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。

例：3阶幻方

例：5阶幻方

三、偶阶幻方

1、双偶阶幻方:四阶幻方，八阶幻方,....,4m 阶幻方， 采用对称元素交换法。

将幻方等分成m ×m 个4

阶幻方，将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n 阶(n=4×m)幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。

首先把数1到n ×n 按从上至下，从左到右顺序填入矩阵，然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换，即a(i,j)与a(n-1-i,n-1-j)交换，所有其它位置上的数不变。 (或者将对角线不变，其它位置对称交换也可) 1) 把自然数依次排成方阵

2) 把幻方划成4*4的小区,每个小区划对角线,

3) 把这些对角线所划到的数,保持不动,

4) 把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称的方式,进行对调。 例：4阶幻方

第一步，先把1放在4阶幻方4个角的任意一个角格，按同一个方向按顺序依次填写其余数。如下所示：

第二步，进行对称交换（有两种对称交换的方法）。

方法一：以中心点对称交换对角线上的数（即1-16、4-13、6-11、

34。

方法二：以中心点对称交换非对角线上的数（即2-15、3-14、5-12

、34。

例：8阶幻方

第一步，将8阶幻方等分成2×2=4

个4阶幻方。如下所示：

第二步，进行对称交换（有两种对称交换的方法）。

方法一：以中心点对称交换对角线上的数，完成幻方，幻和值260。

方法二：以中心点对称交换非对角线上的数，完成幻方，幻和值260。

2、单偶阶幻方:六阶幻方，十阶幻方,....,4K+2阶幻方，

将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。

A C

D B

Ａ用1至(2m+1)2填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至

2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2

填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；

例：6阶幻方

将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。

A C

D B

A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成

2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用

3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；

【注：(2m+1)2是(2m+1)的平方，以下同】

另一侧对角线格即可），也就是说在A中间一行取包括中心格在内的m个小格，其他行左侧边缘取m个小格，将其与D相应方格内交换；B与C任取m-1列相互交换。

6阶幻方就是4*1+2，那么m就是1。在A中间一行取中心格1个小格，其他行左侧边缘取1个小格，将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互

交换（6阶幻方m-1=0，则不用互换）。

例：10阶幻方

将n 阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。

将其等分为四分，成为如下图所示A 、B

C 、

D 四个2m+1阶奇数幻方。 A C D B

10阶单偶幻方表示为（4*2+2）阶幻方，那么m 就是2。A 、B 、C 、D 四个5阶奇数幻方。

A 用1至(2m+1)2填写成2m+1阶幻方【注：(2m+1)2是(2m+1)的平方，以下同】；

B 用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；

C 用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；

D 用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方。

也就是A 用1至25填写成5阶幻方；B 用26至50填写成5阶幻方；C 用51至75填写成5阶幻方；D 用76至100填写成5阶幻方。

在A每行取m个小格（中心格及一侧对角线格为必换格，其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可），简单地说，就是说在A中间一行取包括中心格在内的m个小格，其他行左侧边缘取m个小格，将其与D相应方格内交换；B与C任取m-1列相互交换。10阶幻方就是4*2+2，那么m就是2。在A中间一行取包括中心格在内的2个小格，其他行左侧边缘取2个小格，将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧1列相互交换。

同心方阵法

1) 把幻方分成两个区,一是边框一圈,二是里面一个双偶数方阵,

2) 把(3+8 m)到(16 m ^2+8 m +2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵,

3) 把余下的数,在边上试填,调整到符合为止.

例：6阶幻方

先构造n-2阶幻方，之后将其中的数字全部加上2n-2，放于n阶幻方中间，再用本方法将边缘数字填写完毕。

先用1-16构造n-2=4阶幻方，之后将其中的数字全部加上2n-2=10（11-26），放于n阶幻方中间，再用本方法将边缘数字填写完毕。完成的6阶幻方堪称完

美布局，

中间的是有11-26组成的一个4阶幻方，幻和值

=74。

外围行、列及对角线上的对称的2个数字和=37。1-36，2-35，……，9-26，10-27。组成的6阶幻方，幻和值=111。

幻方填入规律

n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 2、双偶阶幻方

方阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 (2) 每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。 单偶阶幻方 n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……) 这是三种里面最复杂的幻方。 以n=10为例。这时，k=2 (1) 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

幻方最优填法

如何填幻方 幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。 数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 2、双偶阶幻方 n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。 也可以保留对角线上的数字不动，而将其它的数换为与它互补的数。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k2个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 1 63 6 2 4 5 59 58 8 56 10 11 53 52 14 15 49 48 18 19 45 44 22 23 41 25 39 38 28 29 35 34 32 33 31 30 36 37 27 26 40 24 42 43 21 20 46 47 17 16 50 51 13 12 54 55 9 57 7 6 60 61 3 2 64

幻方之填法(自我学习总结)

幻方的填写技巧 一、N阶幻方的分类： 1、奇数阶幻方：当时，称为奇数阶幻方。 2、偶数阶幻方： （1）双偶数幻方：当时，称为双偶数数阶幻方。 （2）单偶数幻方：当）时，称为单偶数阶幻方。 二、幻方的填写方法： 1、奇数阶幻方：可按照如下方法操作： Merzirac法，有人也叫楼梯法，我管它叫斜步法，即走X+Y斜步（数字按右上方顺序填入），-Y跳步（如果右上方已有数字或出了对角线，则向下移一格继续填写）。 其实斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。 对于X+Y斜步相应的跳步可以为-X，-Y。【记住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相反方向即可。如右上方向斜步，跳步就为向左（或向下）一步；左下方向斜步，跳步就为向右（或向上）一步；等等等等】 （2）杨辉“阳动阴静”法 南宋杨辉不仅精通数学，而且精通易学，在他1275年所著的《续古摘奇算法》中，就对河图和洛书的数学问题进行了详尽的研究。其中对3阶幻方的排列，找出了一种奇妙的规律：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，清代，

2、双偶数阶幻方：可按照如下方法操作： （一）四阶幻方： （1） 对角线上的数字一律不动； （2） 对角线以外的数字关于对角线交点作中心对称对换位置即可。 （3） 完成后的四阶幻方如下：

（1）对角线上的数字一律不动； （2）对角线以外的数字关于对角线交点作中心对称对换位置即可。 （3） 3、 （按奇数阶幻方填法按区域填写）

（二）十阶幻方：

时光如梦，梦里梦外总是有许多憧憬美好，执着这份美好，烟火的生活在平淡中闻到花香，茶香和米香。 静坐时光，把喧嚣关在窗外，悠然恬淡。一缕缕柔风也会温润流年，一轮明月也会涌出丝丝柔情。 岁月静好，与君语；细水长流，与君同；时光如水，与君老。 相伴的时光，简单微笑着，从容平淡着。如若真心，那份灵犀，那份执意，那份默契，让一切俗世纷扰，也过得惬意悠然。 爱就一个懂，一份守，一个眼神就领会了眼眸里的含义，一个怀抱就温暖了整个身心。 光阴无言流淌，岁月无声的叩问着百味世事，彼此相视一笑，你在，我在，阳光还是那么明媚，日子还是那么温馨，你若安好，岁月无恙。 红尘陌上，择一方心灵的净土，种下文字的馨香，于文字中寻一份感悟，让心安暖；于岁月中守一份懂得，感恩生命。 朝霞暮露，四季更迭，花开花谢皆如画，月圆月缺皆如诗。当时光辗转着记忆的年轮，当清风摇曳起祝福的风铃，我在风中优雅的翩跹，回味携手的光阴，淡淡的犹如一朵茉莉花，洁白淡雅，清香宜人。 在素色光阴里，有古韵婉转的琴音入耳，有清幽淡然的花香入鼻，有真情实意的友情入心，有相处不厌的爱入魂，温柔地牵起时光的手，用善待一朵花开的温婉，来守望一生的幸福。人生会在知足中嫣然一笑，花香依旧。 凉风习习，花影阑珊，瓜果飘香，时光是多么轻盈、温柔和生动。 永远是多长，爱意有多浓，一切无足轻重，只想把此刻定格成温暖的笑靥。回味，感恩，彼此执手的岁月，是多么知足和无悔。

四年级下册数学竞赛试题-第七节 巧填幻方(A班)-全国通用(无答案)

第七节巧填幻方【知识要点】 将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个 横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图 称为“三阶幻方”，这个相等的和称为幻和。 在三阶幻方中有：中间数A=总和÷9=幻和÷3 D=（B＋C）÷2 【典型例题】 例1 请你把5，6，7，8，9，10，11，12，13这几个数字填入下面的方格中组成一个三阶幻方。 例2 找出九个连续的自然数，分别填入下图的空格内，构成一个幻和为120的三阶幻方。D B A C

例3 在下面空格中填入七个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和是60。 14 28 例4 在下图中的空格内填入不大于15且互不相同的自然数，使每一个横行、每一竖列及每条对角线上的三个数之和都等于30。 8

随堂小测 1．将2，4，6，8，10，12，14，16，18这九个数分别填入下面图中的方格内，使每行、每列和每条对角线上的和都相等。 2．用3～27这25个数排成一个五阶幻方。 3．请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。

4．请在下面的空格中填上适当的数，使其成为一个幻 和为27的幻方。 5．在下图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数， 使其成为幻和为30的幻方。 6．你能在下面3×3的方格表中每个格子里都填一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于1997吗？若能，请举出一个例，若不能请说明理由。 5 6 14

课后作业 1．请自编一个幻和为90的三阶幻方。 2．补充下面的幻方，使其幻和为33。 3．将图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。7 12 22 30 38 22 30 38 22 30 38

巧填幻方

巧填奇数阶幻方 月日姓名 【知识要点】 在3×3或4×4……的正方形，每行每列及每条对角线上的和都相等的填有数的数阵图叫做幻方。三阶幻方是最基本的幻方，构造这个幻方可以有很多种方法。我们在这里介绍其中最常用的一种：罗伯法： 法国人罗伯总结出了，到目前为止，构造3价连续自然数幻方的最简单易行的方法：“罗伯法”。这种方法还可以用于构造5阶、7阶……所有奇数阶幻方。 罗伯法的具体方法可以总结口诀如下： “1”坐边中间，斜着把数填。 出边填对面，遇数往下旋。 出角仅一次，转回下格间。 【典型例题】 例1：用1～9这九个数编排一个三阶幻方。使每行每列及对角上的数之和是15。 练习1：用3～11这九个数补全图中的三阶幻方，并求幻和。 例2：用1～25这25个数补全图1中的五阶幻方，并求幻和 图1 图2 大比拼：用1～49这49个数补全图2中的七阶幻方，并求幻和

例3. 如下图，右方格表中的每个方格中填入一个字母，使得方格表中 每行、每列及每条对角线上的四个方格中的字母都是A 、B 、C 、D （排列顺序不限），那么表中*处应填的字母是什么 作业：从1～100中找出25个连续数填入以下五阶幻方中， 使每一行、每一列及每条对角线上的数的和都相等。 相关习题 1．在下面空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于15。 第1题 第2题图 第3题图 2．把3到11这9个数字填入下图中，使每行、每列及每条对角线上三个数的和都相等。 3．把12到 36这25个数填入下图中，使每行、每列及每条对角线上5个数的和都相等。 4．使每行每列对角线上的字母都是ABCD 第4题 第5题 第6题 5．在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列两条对角线上的三个数的和都等于18。 6．如图，一个方格表内每行、每列及每对角线上的三个数的和都相等。那么x= 。 7．将图中的数重新排列，使每行、每列及每条对角线上的三个数的和都相等。 8 7 2 A B C C D * 21 23 30 × 24 7 2 5 2 2 2 5 5 5 8 8 8

n阶幻方的填法

n阶幻方的填法 Revised by Petrel at 2021

n阶幻方的填法(n≥3)幻方，亦称纵横图。台湾称为魔术方阵。将自然数1，2，3，……n2排列成一个n2方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于这样的方阵称为幻方。 幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国着名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。 816 357 492 n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……)(n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯方)。填写方法是这样：把1(或最

小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 2、双偶阶幻方 n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……)(n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义： 互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。将对角线上的数字，换成与它互补的数字。这里，n*n+1=4*4+1=17；把1换成17-1=16；把6换成17-6=11；把11换成17-11=6……换完后就是一个四阶幻方。

“幻方”的口诀

“幻方”的口诀 “幻方”的口诀 小学时，老师或者数学竞赛时经常会出现魔方的题目，记得金庸先生写的著名的 武侠小说《射雕英雄传》里面的瑛姑就是被一个三阶的幻方给困住了十几年，而黄蓉 不到一分钟就完成那个幻方，那么有没有什么诀窍呢？后来，在一些书上看到，对于 奇数阶的幻方，有如下的口诀： 一居首列正中央，依次斜填左上方； 左出框时向右写，上出框时往下放； 遇到重合无处填，退居原数右邻行。举例（3阶幻方）：注：*表示还没有填数字的空位置步骤（1）：即“一居首列正中央” * * *

* * * 步骤（2）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）” * * 2 1 * * * * * 步骤（3）：即“上出框时往下放（左一列最下一行）” * * 2 1 * * * 3 * 步骤（４）：即“遇到重合无处填”，（也就是左上方已经写有数字），“退居原数右邻行”， （将要填写的数字放到本行靠右一列） * * 2 1 * *

步骤（５）： * * 2 1 5 * * 3 4 步骤（６）： 6 * 2 1 5 * * 3 4 步骤（７）：注意：左上角位置的左上方位置是右下角，即６的左上方是已经填写了数据的４的位置， 根据口诀“遇到重合无处填”，此时 6 7 2 1 5 * * 3 4

步骤（８）：即“上出框时往下放（左一列最下一行）” 6 7 2 1 5 * 8 3 4 步骤（９）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）” 6 7 2 1 5 9 8 3 4 只要是奇数阶魔方，都可根据此“口诀”构造。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ －－－－－－－－－－－双偶阶幻方 n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义： 互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。先看看4阶幻方的填法：将数字从

趣味数学之幻方小诀窍

趣味数学之幻方小诀窍 在趣味数学的探讨中，重要的题材之一是魔方阵。魔术方阵是由西方的"Magic square"翻译过来的，当然，东方也有不同的别称。在中国我们称之为幻方，我国古代则有纵横图之称，而日本则称之为魔方阵。所谓n阶魔方阵，乃是将1到ｎ2个整数排成一个ｎXｎ阶方阵，使得下面2n+2个和相等： （1）每一列中ｎ个数之和，共得ｎ个和； （2）每一行中ｎ个数之和，共得ｎ个和； （3）每一对角在线ｎ个数之和，共得两个和。 此每一个和称为魔数= 2)1 (2 n n 。 （一）由计算机测试的结果知道，二阶幻方不存在，当阶数由三阶增至四阶时，幻方个数由8个增至7040个，可见幻方数目增加得十分快速。 (二)(1)奇数阶幻方的建构法，中西方都有不同的成就，最著名的有杨辉法和达拉卢庇法，以下依序说明： 杨辉法：以方阵的中间位置之下一格做为出发点，再向右下方依序填入数字。若右下格已有数字则往下退两格，再继续往下填数字，直到填完为止，若超出格子便 跳到方阵的另一头。 达拉卢庇法：以方阵中间一行最上方的一格为出发点，再向右上方依序填入数字，若右上格已有数字则往下退一格，再继续往下填数字，直到填完为止，若超出格子 便跳到方阵的另一头。 (2)由杨辉法与达拉卢庇法的推广可以得到两对正交的拉丁方阵(两个方阵之中的符号两两配对后，没有重复的配对，称为正交)，可以推出许多不同的幻方，但仍受制于对角线，若改以正交对角线拉丁方阵构做，应可产生更多种幻方。 （二）由四阶幻方造法推广得到偶数阶幻方的造法，因为偶数阶自然方阵中各行、各列之和成等差关系，由于n是偶数故可得一个左右对称的和（若以上下各数之和来讨论，也可以得到上下对称的结果），且两对角线的和恰等于魔数，所以可以利用行与行、列与列（对称于中心轴）的互换而造出幻方。 在我十来年的数学教育教学中，每当学生接触到幻方时，他们都对幻方近乎着迷，为大千数学世界中的这些毫不起眼的数字而折服。于是通过我自己的教学不断总结，下面对幻方的小诀窍予以说明。

教你如何填幻方[]

幻方实例 3阶： 4 9 2 3 5 7 8 1 6 4阶： 15 10 3 6 4 5 16 9 14 11 2 7 1 8 13 12 5阶： 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 6阶： 1 9 34 33 3 2 2 6 11 25 24 14 31 10 22 16 17 19 27 30 18 20 21 15 7 29 23 13 12 26 8 35 28 3 4 5 36 教你如何填幻方 幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。

数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 2、双偶阶幻方 n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。 也可以保留对角线上的数字不动，而将其它的数换为与它互补的数。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k2个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 1 63 6 2 4 5 59 58 8 56 10 11 53 52 14 15 49 48 18 19 45 44 22 23 41 25 39 38 28 29 35 34 32 33 31 30 36 37 27 26 40 24 42 43 21 20 46 47 17 16 50 51 13 12 54 55 9 57 7 6 60 61 3 2 64 3、单偶阶幻方 n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)这是三种里面最复杂的幻方。 以n=10为例。这时，k=2 (1) 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。 (2) 在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。

幻方填写技巧

幻方的填写技巧 摘要：发现了一种任意阶幻方的填法规律，只通过简单的计算就能很快地填出任意阶幻方。 关键词：幻方填法奇数阶幻方偶数阶幻方 幻方，古称“纵横图”，就是用自然数1、2、3、…、n2排成n 行，n列的“方阵”，如果每一行，每一列以及每一对角线上的n个数的和都相等（等于n(n2+1)/2），这个“方阵”就叫做n阶幻方。古今中外很多科学家都对幻方有过深入研究。介绍幻方的书很多，但大都只介绍了奇数阶幻方的填法，而对于偶数阶幻方的填法，都没有过多的介绍。我通过对幻方的深入研究，得到了一种n阶幻方的填法规律,利用这个规律,可以很快地填出任意阶幻方(已用V.B语言编成了程序,在计算机上只需要几秒钟就可以得到上千阶幻方)。现把n阶幻方的填法介绍给大家。 1、奇数阶幻方 奇数阶幻方的填法很多书上都有介绍，现选谭浩强著《QBASIC 语言教程》中方法，以5阶幻方为例说明填法（如图１）： 图１ ①先将“1”放在第一行当中一列；

②从“2”开始直到“n 2”为止，各数依次按下列规则放数：每一个数放的行比前一个数的行数减1，列数加1。如“6”放的第3行第2列，则“7”放在第2行第3列； ③如果上一个数的行数为1，则下一数的行数为n （最下一行）。如“8”放在第1行第4列，则“9”放在第5行第5列； ④如果上一个数的列数为n ，则下一个数的列数应为1，行数减1。如“3在第4行第5列，则“4”应放在第3行第1列； ⑤如下一个数应放的位置已被其它数占用，则下一个数放在上一个数的下面。如“5”的下一个数“6”应放在第1行第3列，但该位置已被“1”占用，故将“6”放在“5”的下面。 根据上述五点，可以填出所有的奇数阶幻方。 2、偶数阶幻方 分是否能被4整除两种情况而用不同的方法。 （1）、当n 能被4整除时，设n=4k(k ≥1)，最简单的4k 阶幻方为k ＝1时的4阶幻方，前人的填法为： ①先画一个4×4的格子，从小到大依次填入1至16各数（如 (同列对调) c (同行对调) 图2

幻方填写方法

没法，组合数学还考幻方构造。这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。 奇数阶幻方（罗伯法） 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是： 把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数： 1、每一个数放在前一个数的右上一格； 2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。 例，用该填法获得的5阶幻方： 双偶数阶幻方（对称交换法） 所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即 n×n＋1），我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。 双偶数阶幻方的对称交换解法： 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。

对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 以8阶幻方为例： (1) 先把数字按顺序填。然后，按4×4把它分割成4块（如图） (2) 单偶数阶幻方（象限对称交换法） 以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2 （1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

幻方解法归纳

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“”、“”，又叫“”。 1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方 n 为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 口诀： 1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样 图一 2、单偶数阶幻方 ()122＋＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ① 把()122＋ ＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D(如图二) 图二

（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋ m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入( ) 2 2 21a a ——＋、在C 中填入 ()2 2 312a a ——＋、在D 中填入( ) 2 2 413a a ——＋ 均构成幻方（2 n a ＝）(如图三) 图三 （因为12＋ m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的 数与D 中相应方格中的数字对调(如图四)： 图四 不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝ m ，所以本例中只取了一个数） ④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。 （如图五） 图五 3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例） ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方（如图六） 图六

小学奥数：幻方(一).专项练习及答案解析

1. 会用罗伯法填奇数阶幻方 2. 了解偶数阶幻方相关知识点 3. 深入学习三阶幻方 一、幻方起源 也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图： 98 76 54321 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 二、幻方定义 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33?的数阵称作三阶幻方，44?的数阵称作四阶幻方，55?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 87654 32 1 13 414151 612978 105113 2 16 知识点拨 教学目标 5-1-4-1.幻方（一）

填幻方教学文档

填幻方 初一《代数》第一册(上)第77页“想一想”：填幻方，要求把-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这9个数分别填入方阵的9个空格中，使得横、竖、对角线的所有3个数相加和为零。 怎样解这类题，其中规律是什么？ 按一定要求用数填的方阵，一般叫做幻方。在我国古代称为“纵横图”，又叫“九宫算图”。 如把1-9这9个数填入空格中，使它的横、竖、对角线的所有3个数之和都等于15。可得幻方图1，这个幻方只有三横行、三纵列，又叫做三阶幻方。(奇数阶幻方) 图1 图2 把1-16这16个数填入空格中，使它的横、竖、对角线的所有4个数之和都等于34。可得幻方图2，这个幻方有四横行、四纵列，又叫做四阶幻方。(偶数阶幻方)。 早在我国宋朝，大数学家杨辉在“续古摘奇算法”中就提出了三阶和四阶幻方的构造方法。 先把1-9这9个数排在如图3的斜直线三排上，然后像图4那样，上下对易，左右相更，便可得三阶幻方图1。 四阶幻方的构造方法是，先把1-16这16个数顺次直排成四列如图5，然后外正方形对角互换，内正方形对角也互换，便得四阶幻方图2。 图3 图4 图5

例如，把7，9，11，17，19，21，27，29，31填入三阶幻方空格中，使每行、每列、两对角线上的三数之和都相等。 解仿照上述三阶幻方的填法，由图6可得幻方图7。 图6 图7 对于奇数阶幻方，还有其他填法，现以上题为例介绍另一种填法： 解(1)先将这9个数按其大小顺次填入幻方图8； (2)以19为中心不动，将周围8个数按顺时针方向转1格，如图9； (3)再将数19的上、下两数7、31互换，左、右两数27、11互换，即得幻方图10。 图8 图9 图10 请同学们利用上面介绍奇数阶幻方的两种方法，做一做课本上的“想一想”，填幻方。 1.有一根40米长的绳子，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，像这样截下去，第六次后，还剩多少？ 2.一张纸厚0.1毫米，对折1次为2*0.1毫米，对折10次，有多厚？ 3.一个棱长为20的立方体，它的体积是多少？ 4.一个边长是5的正方形的面积是？ 5.有个孩子在放牛，有一只不听话的牛跑进来岔道，这个岔道有五个分叉口，每个分叉口又有2个岔道，问需要多少人一起找？（一个岔道一个人找） 6.将一张1毫米的纸对折多少次后，高达3米? 7.有一种细菌每一小时分裂一次，每次分裂成3个，问3小时后，一个细菌可繁殖几个？ 8.一个面积为100的正方形，它的边长是？ 9.一个体积是8的立方体，它的棱长为？ 10.一只兔子能生2只，生下的兔子也能生2只，假设生过的兔子不能再生，第10代兔子有多少？

幻方填入规律

幻方填入规律 幻方，亦称纵横图。台湾称为魔术方阵。将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2 * (n*n+1)，这样的方阵称为幻方。 例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。 n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。n*(n*n+1)/2为幻方的变幻常数。数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。 奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行（顶行）正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数： (1)、每一个数放在前一个数的右上一格； (2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯，亦称“楼梯法”。

2、双偶阶幻方 n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 将对角线上的数字，换成与它互补的数字。这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，和制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 下面是8阶幻方的作法：(1) 先把数字按顺序填。然后，按4*4把它分割成2*2个小方阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

教你如何填幻方

幻方实例

教你如何填幻方 幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。 数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 2、双偶阶幻方 n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。 也可以保留对角线上的数字不动，而将其它的数换为与它互补的数。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k2个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 1 63 6 2 4 5 59 58 8 56 10 11 53 52 14 15 49 48 18 19 45 44 22 23 41 25 39 38 28 29 35 34 32 33 31 30 36 37 27 26 40 24 42 43 21 20 46 47 17 16 50 51 13 12 54 55 9 57 7 6 60 61 3 2 64