§21指数概念的扩充

§2.1 指数概念的扩充

第七周第2课时 编写人: 王建恩 审核人： 审批人： 编写时间：2015-10-11 高一____班____组 姓名 组评_____ 师评______

使用说明：

1、认真阅读学习目标，课前充分预习，完成自主学习内容；

2、课上认真思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，争取当堂解决疑难问题；

3、当堂完成课堂检测题目；

4、本学案使用1个课时。

学习目标：

1、理解指数幂的含义，掌握幂指数扩充后指数幂所满足的条件。

2、掌握分数指数幂和根式的转化。

学习重点：从正整数指数幂到分数指数幂的扩展 学习难点：分数指数幂与根式关系的转化

学习过程： 一、自主学习 【课前预习】

1、分数指数幂概念

一般的，给定_____________a ，对于任意给定的_____________m 、n ，存在唯一的正实数b 、使得_____________，我们把b 叫做a 的n

m

次幂，记作_____________，它就是分数指数幂。

2、正分数指数幂与负分数指数幂与根式关系

（1）正分数指数幂的根式形式：n

m a =___________（0>a ） （2）负分数指数幂的定义：n

m a

-= __________（+∈>N n m a ,,0且1>n ）

（3）0的正分数指数幂等于__________，0的负分数指数幂__________。 【预习检测】 1、化简112

2

a

a

a 的结果为（ ）

A. 14

a B. 13

a C. 12

a D. a 2、下列等式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）

A ．（x ＞0） B.

C ．

D ．

二、合作探究

3、求下列各式的值：

（1）()3

4125- （2）4

1

412-

?

?? ?? （3）2

101.0- （4）2

5945??

?

??

4、将下列根式化成分数指数幂的形式。

（1） （2）

()

3

2

5

2

1x

x （3）()03

243

2

>???

? ??-

-b b

5、求值： （1）已知：，求的值；（2）若，求的值．

三、效果检测 6、计算[（

）2

]

的结果是（ ）

A ．5

B ．-5

C ．

D ．﹣

7.下列说法中，正确的个数为（ ） ①

② ③正数的n 次方根有两个

④a 的n 次方根就是

⑤

⑥

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 四、课后反思：

指数概念的扩充教案

课前预习学案 一． 预习目标 1. 通过自己预习进一步理解分数指数幂的概念 2. 能简单理解分数指数幂的性质及运算 二． 预习内容 １．正整数指数幂：一个非零实数的零次幂的意义是： ． 负整数指数幂的意义 是： ． ２．分数指数幂：正数的正分数指数幂的意义是： ． 正数的负分数指数幂的意义 是： ． ０的正分数指数幂的意义 是： ． ０的负分数指数幂的意义 是： ． ３．有理指数幂的运算性质：如果ａ＞０，ｂ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ，那么 r s a a ?＝ ； ) (a r s ＝ ； ) (ab r ＝ ．

４．根式的运算，可以先把根式化成分数指数幂，然后利用 的运算性质进行运算． 三．提出疑惑 通过自己的预习你还有哪些疑惑请写在下面的横线上 一．学习目标 1.理解分数指数幂的概念 2.掌握有理数指数幂的运算性质，并能初步运用性质进行化简或 求值 学习重点： （1）分数指数幂概念的理解. （2）掌握并运用分数指数幂的运算性质. （3）运用有理数指数幂性质进行化简求值. 学习难点： （1）分数指数幂概念的理解 （2）有理数指数幂性质的灵活应用. 二．学习过程 探究一 １．若0 a ，且,m n为整数，则下列各式中正确的是（）

A 、m m n n a a a ÷= B 、m n m n a a a =g g C 、()n m m n a a += D 、 01n n a a -÷= ２．c ＜0，下列不等式中正确的是 （ ） A c 2 B c C 2 D 2c c c c c c ．≥．＞．＜．＞()()()1 2 1 2 1 2 ３．若)214 3(x --有意义，则ｘ的取值范围是（ ） Ａ．ｘ∈Ｒ Ｂ．ｘ≠０．５ Ｃ．ｘ＞０．５ Ｄ．Ｘ＜０．５ 4．比较a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7三个数的大小关系是________． 探究二 例１：化简下列各式：（1 ） 2 ； （２）) 332 4 ()3(56 2 11 2 12 3 1b a b a b a -÷--- 例２：求值：（１）已知a x x =+-22（常数）求88x x -+的值；

3.2.1指数概念的扩充

2 指数扩充及其运算性质 2.1 正整数指数函数 教学目标： 1、知识与技能 ⑴理解分数指数幂和根式的概念； ⑵掌握分数指数幂和根式之间的互化； 2、过程与方法 通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质. 3、情感、态度与价值观 培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；让学生体验数学的简洁美和统一美。 重点难点 ⑴教学重点：分数指数幂和根式概念的理解 ⑵教学难点：分数指数幂及根式概念的理解 学法指导 讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 教学方法 探究交流 ，讲练结合 教学过程： 一、复习引入： 1．初中时的整数指数幂，运算性质？ ,n n a a a a a =????? ()n N +∈ 01(0)a a =≠ 00无意义 1 n n a a -= (0,)a n N +≠∈ 上一节中关于臭氧含量Q 与时间t 的函数关系0.9975t Q =，只讨论了

自变量是正整数的情况即 ()t N +∈，如果时间t 是半年即12t =，或3年零4个月即10 3 t =，此时 自变量不是一个整数，而是分数，那么此时情况又怎样呢？ 即把整数指数幂扩充到了分数指数幂 二、有理数指数幂 问题1：在正整数指数幂的运算n b a =中，已知正实数a 和正整数n ，如何求b ？ 例如：已知29x =，求x ？容易知道239=，即1 2 3= 已知5 32x =求x ？容易知道5 232=，即15232 = 一般地，给定正实数a ，对于任意给定的正整数n ，存在唯一的正实数 b ，使得n b a =，我们把b 叫作a 的1 n 次幂，记作1 n b a = 问题2：在n m b a =中，已知正实数a 和正整数m ，n ，如何求b ？ 一般地，给定正实数a ，对于任意给定的正整数m ，n ，存在唯一的正 实数b ，使得n m b a =，我们把b 叫作a 的m n 次幂，记作m n b a = 它就是正分数指数幂 例1：①325b =我们说b 叫作5的23 次幂 ②5425x =呢？③428x =呢？ 例2：把下列各式中的b 写成正分数指数幂的形式。 ①532b = ②453b = ③53n m b π=(,)m n N +∈ 例3：计算 ①13 27 ②324

2.1.2-1指数函数的概念

2. 1.2-1指数函数的概念教案 【教学目标】 1. 理解指数函数的概念, 能画出具体指数函数的图像； 2. 在理解指数函数概念、性质的基础上, 能应用所学知识解决简单的数学问题； 3. 通过类比, 回顾归纳从图象和解析式两个角度研究函数性质的方法； 4. 感受数学思想方法之美, 体会数学思想方法只重要 【教学重难点】 教学重点：指数函数概念、图象和性质 教学难点：对底数的分类, 如何由图象、解析式归纳指数函数的性质 【教学过程】 1、创设情境、提出问题 师：如果让1号同学准备2粒米, 2号同学准备4粒米, 3号同学准备6粒米, 4号同学准备8粒米, ……, 按这样的规律, 50号同学该准备多少粒米？ 学生：回答粒数 师：如果改成1号同学准备2粒米, 2号同学准备4粒米, 3号同学准备8粒米, 4号同学准备16粒米, ……, 按这样的规律, 51号同学该准备多少粒米？ 师：大家能否估计一下50好同学准备的米有多重吗？ 教师公布事先估算的数据：51号同学准备的大米约有1.2亿吨 师：1.2亿吨是什么概念？相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！ 以上两个问题中, 每位同学所需准备的米粒数用y 表示, 每位同学的座号数用x 表示, y 与x 之间的关系分别是什么？ 学生很容易得出y=2x 和y =2x （* x N ∈）学生可能漏掉x 的范围, 教师要引导学生思考具体问题中x 的取值范围。 2、新知探究 （1）指数函数的定义 师：在本章开头的问题中, 也有一个与y =2x 类似的关系式 1.073x y =（* x N ∈且x 20≤） 请思考以下问题①y =2x （* x N ∈）和 1.073x y =（* x N ∈且x 20≤）这两个解析式有 什么共同特征？②他们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是, 你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？引导学生观察, 两个函数中底数是常数, 指数是自变量. 师：把这两个函数归为一般形式就是我们今天要学习的函数, 我们把它称作指数函数. （2）让学生讨论并给出指数函数的的定义。对底数得分类, 可将问题分解为： ①若a<0,会有什么问题？ ②若a=0, 会有什么问题？ ③若a=1, 又会怎样？ 学生讨论教师适时点拨形成对问题的严谨认识 师：为了避免上述各种情况的发生, 所以规定a>0且a ≠1

(整理)3 指数函数的概念及图像和性质.

§3 指数函数的概念及图像和性质（共3课时） 一. 教学目标： 1．知识与技能 （1）理解指数函数的概念和意义； （2）2x y =与1()2 x y =的图象和性质； （3）理解和掌握指数函数的图象和性质； （4）指数函数底数a 对图象的影响； （5）底数a 对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小 （6）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观 （1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. （2）培养学生观察问题，分析问题的能力. 二．重、难点 重点： （1）指数函数的概念和性质及其应用. （2）指数函数底数a 对图象的影响； （3）利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小 难点： （1）利用函数单调性比较指数幂的大小 （2）指数函数性质的归纳，概括及其应用. 三、教法与教具： ①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体. 四、教学过程 第一课时 讲授新课 指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2 y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .

00 0,0x x a a x a ?>?=?≤??x 当时,等于若当时,无意义 若a ＜0，如1 (2),,8 x y x x =-= 1 先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的 形式才能称为指数函数，5 ,,3,31x x x a y x y y +===+1 x x 为常数,象y=2-3,y=2等等,不符 合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 先来研究a ＞1的情况 下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象 再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2 x y =的图象. x

2019-2020年高中数学 指数概念的扩充教案 北师大版必修1

2019-2020年高中数学指数概念的扩充教案北师大版必修1 一．教学目标： 1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念； （2）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （3）掌握分数指数幂的运算性质； （4）培养学生观察分析、抽象等的能力. 2．过程与方法： 通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质. 3．情态与价值 （1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想； （2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 二．重点、难点 1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解； （2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解 教学过程： 一、复习 1.零指数、负整数指数的概念，以及它们之间的关系. 2.浓缩后的3条法则是什么？怎样浓缩好？ 二、新课引入与讲解 在初中已学过，若是大于1的整数，是的整数倍，那么 若不是的整数倍，那么上式中右端的就是一个分数了(引入自然，合理)例如，当＝2，＝3时，，显然不能用正整数指数幂来解释,所以必须对的分数指数幂重新定义，为此规定，

在不是的整数倍时也适用，自然应把看成是根式的另一种记法，对于底为什么要使，须回忆应分几种情况： 1.零指数与负整数的底均不能为零. 2.正分数指数幂，当指数的分子，分母互质时，分母为奇数，底数可以为任意实数；分母为偶数时底数为非负实数. 3.负分数指数幂，当指数的分子与分母互质时，分母为奇数、底数不能为零，分母为偶数，底数为正实数.总之，当正实数为底时，指数可为任意实数. 以上这几点均可举例说明. 关于运算法则仍然成立，可以通过特殊值加以验证，克服心理障碍. 假如，设＝，＝验证第一条 ∵ ， ∴ 成立. 它不仅让学生从心理上承认在指数概念推广后，运算法则仍然有效，同时也能启发学生在解繁杂根式运算时，用幂的运算法则更为简便. 当时， (、∈，且为既约分数)； (、∈且为既约分数). 这样当指数推广到分数指数幂以后

教案《指数扩充及其运算性质》

§2 指数扩充及其运算性质 2.1指数概念的扩充 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的 概念． （2）能够理解引入分数指数概念后m a （0>a ）表示实数． 2、 能力与方法 （1）让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对 于数学知识的发展的重要意义． （2）随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展． 3、情感．态度与价值观： 使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义增强学习数学的积极性和自信心． 二、教学重点: 理解分数指数幂的概念及表示． 教学难点：分数指数的引入． 三、学法指导：学生思考、探究． 教学方法：探究交流，讲练结合。 四、教学过程： （一）新课导入 【教学互动】请同学们回顾复习整数指数幂的定义，并填写下面结果： a n = a 0= （a ≠0） a -n = （a ≠0，n ∈N +） 思考：某养牛场养的某头肉牛现在重量是20kg ，经过一年该肉牛体重可以增长50%， （1）写出该肉牛经过x ()5

这就给我们提出问题：2 123?? ? ??具有实际意义，那么指数是分数时指数幂意义是 什么？ （二）新知探究 1．a 的n 次幂: 一般地，给定正实数a ，对于给定的正整数n ，存在唯一的正实数b ，使得 n b a =，我们把b 叫做a 的1 n 次幂，记作1 n b a =． 2．分数指数幂: 一般地，给定正实数a ，对于任意给定的整数n m ，，存在唯一的正实数b ， 使得b n =a m ，我们把b 叫做a 的m n 次幂，记作m n b a =，它就是分数指数幂． 例如：32 b 7=，则23 b 7=；53 x 3=，则35 x 3=等． 注：我们也把m a 写成n m a ，即m a =n m a

指数函数知识点汇总

指数函数知识点汇总

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ) 1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 )1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自 变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a >1 0

指数函数的概念及其性质(含答案)

指数函数的概念及其性质 一、单选题(共11道，每道9分) 1.若函数满足，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算 2.若函数是指数函数，则的值为( ) A.2 B. C. D.-2 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算 3.函数的定义域是( ) A.(-∞，2] B.["0，2"] C.(-∞，2) D.(0，2] 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的定义域 4.函数的值域是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域 5.若，则函数的值域是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域 6.若函数的图象恒过定点(1，2)，则b的值

A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 7.不论a是何值，函数恒过一定点，这个定点坐标是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 8.若函数的图象在第一、三、四象限，则有

A.， B.， C.， D.， 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 9.函数在上是( ) A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用 10.函数在上的最小值为( ) A.-1 B.0 C.2 D.10 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用 11.已知函数，，若有，则b的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数综合题

指数概念的扩充数学教案

指数概念的扩充数学教案 指数概念的扩充数学教案 一、教学目标 1.经历由幂指数由整数逐步扩充到实数的过程，理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义. 2.掌握幂的运算性质. 3.理解随着指数概念的扩充，同时指数函数的概念也由正整数指数函数逐渐扩充到实数指数函数. 4.使学生感受数学推理的合理与严谨，体会充满在整个数学中的组织化，系统化的精神. 二、设计思路 以前的`数学学习中，已经经历过数的扩充过程.由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系.本 章也是按照这个思路来实现指数概念的扩充，依据两个原则：①数 学发展需要;②基本运算能无限制地进行.把指数科学地组织起来， 再一次体现充满在整个数学中的组织化，系统化的精神. 2.1整数指数幂 1.2.1节首先回忆初中学习的整数指数幂的概念和正整数指数幂 的运算性质，进而讨论这些运算性质能否推广到整数指数幂，为学 习指数概念的扩充作准备.2.运算性质的扩充是通过实例说明，不要 求证明，降低难度，符合高一学生的思维水平.3.当指数运算性质推 广到整数指数幂时，正整数指数幂的运算性质： 不过，这3条性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定.当指数的范围扩大到有理数集Q以至实数集R后.幂

的运算性质仍然是上述三条，当然这3条性质也要遵守负实数指数幂的底数不能等于0的规定. 4.本教材强调了整数指数幂满足不等性质，这些性质即常用又容易理解. 2.2分数指数幂 1.指数概念的扩充，依据两个原则：①数学发展需要;②基本运算能无限制地进行. 2.强调指数概念的扩充是由于需要.

指数概念的扩充

指数概念的扩充 指数概念的扩充 一、教学目标 1．经历由幂指数由整数逐步扩充到实数的过程，理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义． 2．掌握幂的运算性质． 3．理解随着指数概念的扩充，同时指数函数的概念也由正整数指数函数逐渐扩充到实数指数函数． 4．使学生感受数学推理的合理与严谨，体会充满在整个数学中的组织化，系统化的精神． 二、设计思路 以前的数学学习中，已经经历过“数”的扩充过程．由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系．本章也是按照这个思路来实现指数概念的扩充，依据两个原则：①数学发展需要；②基本运算能无限制地进行．把“指数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化，系统化的精神． 2.1整数指数幂 1．2.1节首先回忆初中学习的整数指数幂的概念和正整数指数幂的运算性质，进而讨论这些运算性质能否推广到整数指数幂，为学习指数概念的扩充作准备．2．运算性质的扩充是通过实例说明，不要求证明，降低难度，符合高一学生的思维水平．3．当指数运算性质推广到整数

指数幂时，正整数指数幂的运算性质： 不过，这3条性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定.当指数的范围扩大到有理数集Q以至实数集R后．幂的运算性质仍然是上述三条，当然这3条性质也要遵守负实数指数幂的底数不能等于0的规定． 4．本教材强调了整数指数幂满足不等性质，这些性质即常用又容易理解． 2.2分数指数幂 1．指数概念的扩充，依据两个原则：①数学发展需要；②基本运算能无限制地进行． 2．强调指数概念的扩充是由于需要． 3．整个§2，知识的发生发展都是先讲指数概念的扩充．指数概念的推广和指数函数定义域的扩充平行，随着指数概念的扩充，同时指数函数的概念也由正整数指数函数逐渐扩充．然后运算性质的扩充．4．本书绕开了根式，讲解分数指数幂的概念．分三步，首先说清楚正分数指数幂的意义，再说的意义，最后规定负分数指数幂的意义．通过实例，在幂的运算bn＝am，解决求b的问题中，导出分数指数幂的概念．导出过程中强调了b的存在与唯一．使学生感受数学推理的合理与严谨．5．例5、6、7为学生理解分数指数幂的概念而设计．6．分数指数幂与根式只是形式不同，为了方便学生阅读参考书，教材中给出“有时我们把正分数指数幂写成根式形式”，并在习题中让学生适

知识讲解_指数函数及其性质_基础

指数函数及其性质 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>? ?≤??x x 时，a 恒等于，时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）

① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1,a a a a ?-+=?>≠? 且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断； （2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ． 举一反三： 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？ （1）4x y =；（2）4 y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-； （5）1 (21)(1)2 x y a a a =-> ≠且；（6）4x y -=．

指数函数的概念及图像和性质

指数函数的概念及图像和性质 指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 先来研究a ＞1的情况 下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象 再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2 x y =的图象. x

从图中我们看出12()2 x x y y ==与的图象有什么关系? 通过图象看出12( )2 x x y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2x y =上的x ,y 点(-)x y x ,y y 1 与=()上点(-)关于轴对称.2 讨论：12()2 x x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？ ②利用电脑软件画出115,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图象. 问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 从图上看x y a =（a ＞1）与x y a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征. 问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 问题3：指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系. x

（1）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； x 例1 比较下列各题中两个数的大小： (1) 3 0.8 , 30.7 (2) 0.75-0.1, 0.750.1 例2 (1)求使4x>32成立的x 的集合； (2)已知a 4/5>a 2 , 求实数a 的取值范围.

指数函数知识点总结

指数函数 (一)指数与指数幕的运算 1根式的概念：一般地，如果 x n a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n > 1,且n € N 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 0，记作n .O 0。 当n 是奇数时，v a n a ，当n 是偶数时，即a n | a | 2 ?分数指数幕 正数的分数指数幕的意义，规定： m a n :a m (a 0, m, n * N ,n 1) m 1 a n m a n 4 (a a 0, m, n N *,n 1) 0的正分数指数幕等于 0, 0的负分数指数幕没有意义 3 ?实数指数幕的运算性质 (1) r r a ? a r s a (a 0, r,s R)； (2) (a r )s rs a (a 0,r,s R)； (3) (ab)r r s a a (a 0,r,s R) (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 y 数，其中x 是自变量，函数的定义域为 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1. 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： (1 )在［a , b ］上，f(x) a x (a 0且 a 1)值域是［f (a),f(b)］或 ［f(b),f(a)］ (2) 若x 0，则f(x) 1 ； f(x)取遍所有正数当且仅当 x R ； (3) 对于指数函数f(x) a x (a 0且a 1)，总有f (1) a ； 指数函数?例题解析 a (a 0) a (a 0) a x (a 0,且a 1)叫做指数函 R.

【例1】求下列函数的定义域与值域: x 2 x 1 (2)y = 2 1 (3)y = . 3 3 解 (1)定义域为x € R 且x 丰2 .值域y > 0且y 丰1 . (2) 由 2x+2- 1> 0,得定义域｛x|x >- 2｝，值域为 y >0. (3) 由 3-3x-1 > 0,得定义域是｛x|x < 2｝ ,T 0< 3- 3x — 1< 3, ???值域是 0w y < .3. — 2 练习：(1)y 2x4 ; (2) y (3)|x| ; (3) y 4x 2x 1 1 ; 则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是［ A. a < b < 1< c < d B. a < b < 1< d < c C. b < a < 1 < d < c D. c < d < 1< a < b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x , 则得 b < a < 1 < d < c . 练习：指数函数①-''②J_ ' 1 (1)y = 32 x 【例2］指数函数y = a x , y = b x , y = c x , y = d x 的图像如图 2. 6-2所示,

数学高一必修1 第三章2.2.1指数概念的扩充 训练案

[A.基础达标] 1．下列各式是分数指数幂的是( ) A ．a 0 B.????－2323 C ．( 1＋m 2)－ 2 D ．(1－m 2)1 3 解析：选B.A 、D 底数有限制条件，C 中( 1＋m 2)－2＝ 11＋m 2 ，排除A 、C 、D ；对B ， ????－2323＝??? ?232 3. 2.3 －8的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．8 D ．－8 解析：选B.因为(－2)3＝－8， 所以(－8)13 ＝－2，即 3 －8＝－2. 3．要使a － 3 4有意义，则a 可能取的值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－89 D.98 解析：选D.因为a －3 4＝ 14 a 3 的条件为a >0，所以选D. 4．把根式3（a －b ）－ 2(a >b )改写成分数指数幂的形式是( ) A ．(a －b )－ 2 3 B ．(a －b )－ 3 2 C ．a － 2 3－b － 23 D ．a － 3 2－b － 3 2 解析：选A.因为a >b ，所以a －b >0，故3 （a －b ）－2＝(a －b )－2 3 . 5．化简－a 3 a 的结果是( ) A.－a B.a C ．－－a D ．－a 解析：选C.因为a <0， 所以－a 3＝(－a )3 2， 所以－a 3a ＝（－a ） 3 2 －（－a ） ＝－(－a )12 ＝－ －a .

6．若a ＝5 b 3(a >0，b >0)，则b ＝________(用a 的分数指数幂表示)． 解析：由于a ＝5 b 3 ＝b 35 ，所以a 5＝b 3 ，因此b ＝a 53 . 答案：a 5 3 7．设α，β为方程2x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则??? ? 14α＋β ＝________. 解析：由题意得α＋β＝－32，所以????14α＋β＝(2－2)－32 ＝23＝8. 答案：8 8．在式子(3－2x )－ 1 2中，x 的取值范围是________． 解析：由于(3－2x )－1 2＝ 1 （3－2x ）12 ＝ 1 3－2x ， 因此应有3－2x >0，即x <3 2 . 答案：x <3 2 9．求值：(1)813 4；(2)0.008 1－1 4. 解：(1)因为813＝274，所以 8134 ＝27. (2)令 0.008 1－14＝b ， 所以????8110 000－1 ＝b 4， 即b 4＝10 00081，所以b ＝10 3 . 所以0.008 1－14＝10 3. 10．化简5＋26＋5－2 6. 解：原式＝ （2＋3）2＋ （2－3）2 ＝|2＋3|＋|2－3| ＝2＋3＋3－2 ＝2 3. [B.能力提升] 1．－ 3 35＋ 3952 等于( ) A ．2335 B ．－2335 C ．0 D ．1 解析：选C.原式＝－353 ＋ 3 35＝－353＋35 3＝0. 2．若(a 2)3＝π2，则a ＝( ) A ．π1 3 B ．－π13 C ．±π1 3 D ．π16 解析：选 C.(a 2)3＝(a 3)2＝π2，所以 a 3＝±π，所以 a ＝±π13 .

指数及指数函数知识点

指数函数 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： 43 421Λa n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()0 10a a =≠ ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作： n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±） ③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根； ④( )* ∈>=N n n n ,100Θ 0=； ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()102 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用，

指数函数的概念、图像与性质(一)

2016-2017学年度第一学期数学导学案 编号：014 班级： 姓名： 学习小组： 层级编码： 组内评价： 教师评价： 第一页 第二页 编制：叶平阳 审核： 年级主任： 使用时间：2016.10 指数函数的概念、图像与性质（一） 【学习目标】 1.由实例中的解析式概括出指数函数的概念； 2.会画指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图像； 3.画出x y 2=和x y )21(=，x y 3=和x y )3 1(=的图像，并能说出图像的几何特征； 4.根据四个图像的几何特征，能说出其数量特征，并能归纳出一般指数函数的性质； 5.会用指数函数的性质比较大小、解不等式； 6.通过对指数函数性质的探究进一步体会从特殊到一般、数形结合数学方法在研究数学问题中的应用． 【重点难点】 重点：由指数函数的图像归纳性质及性质应用． 难点：指数函数单调性的应用． 【学法指导】 一般来说，函数与图像紧密联系，图像反映函数的性质。研究指数函数图像与性质思路是：画出 图像，通过图像发现并归纳性质（定义域、值域、特殊点、单调性、奇偶性）． 【问题导学】 一、指数函数概念 1． （填一填） 问题1：细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个（即1 2），第2次由2个分裂成4个（即2 2）， 第3次由4个分裂成8个（即 ），如此下去，如果第x 次分裂得y 个细胞，那么细胞个数y 与 次数x 的函数关系式是 ． 问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x 次后，木 棰剩余量y 关于x 的函数关系式是 ． 分析问题1 和问题2所列的函数解析式,得出指数函数的概念 ． 思考：在函数 x y a =（a ＞0且a ≠1）中为什么规定a ＞0且a ≠1呢？ 2．（辨一辨） （1）下列函数是指数函数的序号为 ． ①x y ? ? ? ??=51 ②25x y =? ③2x y = ④23-=x y ⑤x y 4-= ⑥x y )14.3(-=π ⑦12-=x y ⑧(2)x y =- ⑼(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） （2）已知函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则=a 二、探究指数函数性质 1．（算一算）完成表格： 2．（画一画）在图1中画出x y 2=和x y )2(=的图像，在图2中画出x y 3=和x y )3 (=图像． 图1 图2 3．（比一比） 观察图1和图2中的4个函数的几何特征完成下表：

《指数概念的扩充》教学设计【高中数学必修1(北师大版)】

《指数概念的扩充》 我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。 【知识与能力目标】 1．在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念； 2．能够理解引入分数指数概念后m a（0 > a）表示实数。 【过程与方法目标】 1．让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义；2．随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展。 【情感态度价值观目标】 使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义增强学习数学的积极性和自信心。 【教学重点】 理解分数指数幂的概念及表示。 【教学难点】 分数指数的引入。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分 回顾初中学习的整数指数幂及其运算性质： () n a a a a n N + =????∈ ◆教学重难点 ◆ ◆课前准备 ◆ ◆教材分析 ◆教学过程 ◆教学目标

01(0)a a =≠ 1(0,)n n a a n N a -+=≠∈ 二、研探新知，建构概念 1．数指数幂： 一般地，给定正实数a ，对于任意给定的整数m,n ，存在唯一的正实数b ，使得n m b a =， 我们把b 叫做a 的m n 次幂，记作m n b a =，它就是分数指数幂。 例如：233253357,7;3,3b b x x ====则则等。 提出问题 （1） 观察以下式子，并总结出规律：a ＞0 1025a a === 842a a === 1234a a === 1052a a === （2） 利用上例你能表示出下面的式子吗？ x ＞0，a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1，） 正数的正分数指数幂的意义： 正数的正分数指数幂的意义是m n a =a ＞0，m ，n N +∈， 且n ＞1） 提出问题： 负分数指数幂的意义是怎样规定的？ 你能得到负分数指数幂的意义吗？ 你认为如何规定0的分数指数幂的意义？ 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定： 1n n a a -=（a ≠0，n N +∈ ），1m n m n a a -==a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1） 零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。

指数函数的图像及性质

指数函数的图像及性质教学设计

2、指数函数的图象及其性质 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为三节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。 二、学生学习况情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 三、设计思想 1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。 2.结合参加我校实际，在本课的教学中我努力实践以下两点： （1）.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 （2）.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 （3）.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 四、教学目标

指数函数知识点归纳总结(精华版)

指数函数知识点归纳总结 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： ()010a a =≠ ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ()*∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()*∈>N n n ,1 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ， 若o a <则0a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负 的n 次方根，记作：n a -；（例如：8的平方根228±=± 16 的4次方根2164±=±） ③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根； ④() *∈>=N n n n ,100Θ ∴0=； ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

∴n a =． （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()102 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂 的形式； 如果幂的运算性质()n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3223233a a a ???== ??? ，4 554544 a a a ???== ???， ∴ 2 3 a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指 数幂的形式。 规定： 正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； 正 数 的 负 分数 指数幂的意义是 )10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂 也同样适用 即()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()() ()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()() ()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；