导数综合练习题
导数综合练习题 Revised by Petrel at 2021
导数练习题（B ）
1．（本题满分12分）
已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．
（I ）求d c ,的值；
（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；
（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与
m x x f y ++'=
5)(3
1
的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分）
已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；
（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2
3
若函数
]2
)('[31)(23m
x f x x x g ++=
在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．
3．（本小题满分14分）
已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值．
（I ）求实数a 的取值范围；
（II ）若方程
9
)32()(2
+-
=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；
（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分）
已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分）
已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．
（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；
（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分）
已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；
（II ）求函数()f x 在]3,2
3[∈x 的最大值和最小值．
7．（本小题满分14分）
已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．（本小题满分12分）
已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．
单调性． （I ）求实数a 的取值范围；
（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2
2
()()6g x f x x '=+-
，试证明：对任意两个
不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27
g x g x x x ->-恒成立． 9．（本小题满分12分）
已知函数.1,ln )1(2
1)(2>-+-=a x a ax x x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；
（II ）证明：若.1)
()(,),,0(,,52
1212121->--≠+∞∈ 10．（本小题满分14分） 已知函数21()ln ,()(1),12 f x x a x g x a x a =+=+≠-． （I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同， 求实数a 的取值范围； （II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． 11．（本小题满分12分） 设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =???），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值； （II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 12．（本小题满分14分） 定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ， （I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域； （II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围； （III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >． 导数练习题（B ）答案 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与 m x x f y ++'= 5)(3 1 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 解：函数)(x f 的导函数为b a c bx ax x f 2323)(2'--++=…………（2分） （I ）由图可知函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f 得? ??==??? ?=--++=030 23233 c d b a c b a d …………（4分） （II ）依题意3)2('-=f 且5)2(=f 解得6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分） （III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三 个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点； 42381432--=+-='x x x x x g ， + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 ()m g m g --=-=??? ??164,27 6832．…………（10分） 当且仅当()0164027 68 32<--=>-= ??? ??m g m g 且时，有三个交点， 故而，27 6816<<-m 为所求．…………（12分） 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2 3 若函数 ]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 解：（I ）)0() 1()('>-= x x x a x f （2分） 当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a 当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞ （II ）32ln 2)(,223 43)4('-+-=-==- =x x x f a a f 得 2)4()(',2)22 (31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x m x x g （6分） ???><∴.0)3(',0)1('g g （8分）?? ?? ?>-<∴,319, 3m m （10分）)3,319 (--∈m （12分） 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=?=320)1(--=?='a b f 由3 3210)(+-==?='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值， 所以313 32-+-a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ； ……… …（4分） （ 依题意得：9 )32(272 - =+a ，解得：9-=a 所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-= ……… …（10分） （III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα 在区间[-2，2]有： 230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f 函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81， 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． ……… …（14分） 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞，…………（2分） ∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >．…………（4分） （II ）a x a x a x x g )22)(22(22)(-+ = -='，由0)(='x g ，得2 2a x = ，列表 当2 )2 22( a ，无极大值． …………（6分） 由（I ）a e a >，∵?? ???> >22a a e e a a ，∴22a e a >，∴2 2a e a > 01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分） （i ）当 12 2≤a