第七章习题答案
第七章习题解答
7-1已知下列时间函数c(t),设采样周期为T 秒，求它们的z 变
换。
(a) C(t) t 21(t)
(b) C(t) (t T)1(t) (c) C(t) (t T)1(t T) (d) C(t) 1(t)te at (e) c(t) 1(t)e at sin t
(f) C(t) 1(t)te at cos t
解:
(a) 根据z 域微分定理有
Z 1(t) z z 1
d z z 1 z Tz
Z t1(t)
Tz —
Tz
八2
dz z 1 (z 1)
(z 1)
Z 2
11(t)
d Tz Tz
2
Tz
T(z
2 2
1) 2Tz(z 1) T z(z 1)
…4
…3
2
I 厶
4
dz (z 1) (z 1) (z 1)
(f )根据复域位移定理有
(b )因为
(t T)1(t)
t1(t) T1(t)
所以
Z (t T)1(t) Z t1(t)
(C )根据时域位移定理有
Z (t T)1(t T) z
(d) 根据复域位移定理有
Z 1(t )te at
(e) 根据复域位移定理有
at
Z 1(t)e sin t
Z T1(t)
Z (t)1(t)
aT
Tze aT 2
(ze 1)
Tz (z
1)2
Tz 1
1
Tz (z 1)2
aT
Tze /
aT 、2
(z e )
z(2 z)
(z 1)2
T (z 1)2
aT ?
-j-
ze sin T
2
aT
2aT
z 2zcos Te e
1
at
Z 1(t)e cos t
z(z e aT cos T)
~2
- — aT 2aT
z 2zcos Te e
7-2已知c(t)的拉氏变换为下列函数， 它们的z 变换。 1 s 设米样周期为 T 秒，求
(a ) C(s)
(b) C(s) (C )
(e) C(s) s(s
a) a s 2 (s a)
1 (s
a)(s 1
1
C(s) C(s)
sT
a s 2(s 2 a 2)
c)
(f)
C(s)
1
解: (a )
Tz (z 1)2
(b)
Z s(s a)
Z 1(t)
at
1(t)
z(1 e T ) (z 1)(z e T )
(C )
Z — s (s a) Tz (z 1)2
as a(s 1
-1(t) a
a(z 1)
z a(z e T )
1
Tz (z 1)2
z(1 a(z 1)(z
1 e a
e 〉
e T ) at
1(t) (s a)(s b)(s c) Z
(b a)(c a)(s a)
(c b)(a b)(s b) (a c)(b c)(s c)
(e) (f)
aT
(b a)(c a)(z e )
1 2 2 a s
sT e
1 2/ 2
s (s sT 1 e
(c b)(a b)(z e bT ) (a 1 Tz 2
___ 1 a 2(s 2
a 2) 2 ,
a (z 1) cT
c)(b c)(z e )
1 ___ zsin aT a 3 z
2 2zcosaT 1
7-3求下列函数的z 反变换
解:
(b)
7-4已知k 0时，c(k) 0 , C(z)为如下所示的有理分式 g bz 1 b ?z 2 L
dz n
1 a 1z 1 a 2z
2 L a n z n
则有
c(0) b 0
以及
n
c(kT) b k
ac (k i)T
i 1
式中k n 时，b k 0。
(a) 试证明上面的结果。 (b )设
(a )
0.5z (b) (c)
(z 1)(z 0.4)
z 2T
(z e )(z e 2
z
(z 1)(z 2)2
0.5z Z
1
(z 1)(z 0.4)
5
z
6 z 0.4
n
(t nt)
Z 1 「 (z e )(z e
1
~T~
2T
z
2T T ~2T
e e z e
2T
e
nT
e
2nT
(t nT)
(c)
2z
(z 1)(z 2)2 (1)n1
(2)n (1
2n) (t nT)
2z 2 z 0.5
~3
2
z z 0.5z 1.5
解:
(a )设
式中k n 时，b k 0。上式即
n
c(kT) b k
ac (k i)T
i 1
k n 时，b k 0。证毕。
(b )设
应用关系式
k
c k
b k
c k i a i
i 1
有
c(0) 0 c(T) 2 ( 1) 0 2 c(2T) 1 ( 1) c(T) 0.5 0 3 c(3T) 0.5 ( 1) 3 0.5 2 (1.5) 0 1.5 c(4T)
0 ( 1) 1.5 (0.5)
3 ( 1.5)
2 0
0 3
c(5T) 0 ( 1) 3 0.5 1.5 ( 1.5) 3 0 2 0 0 6.75
7-5试用部分分式法、幕级数法和留数法，求下列函数的z 反 变换。
应用（a ）的结论求c （o ）、 c(T)、
c(2T)、 c(3T)、 c(4T)、 c(5T)。
C(z)
t 0
b]Z 1 pz 2
L b n z n
1
2 3
1
2
L
n
c 0
GZ c 2z
qz c 4z
1 az
a 2z
a n Z
显然有
C 0 b 0
以及
b 1
c °a 1
c a 0
b 2
q a 2
c 2a 0
M
k
k
k
b k
C k i 0
i4
c k a 0
C k
i 1
i a
c k
c k i
a
i 1
L
C(z)
C(z)
2z 2 z 0.5 z 3 z 2
0.5z 1.5
10z 1
1
(a) E(z)
(b) E(z)
(c)
E(z) (d)
E(z)
(z 1)(z 2)
3 z 1
1 2z 1 __P
z
(z 1)(3z 2 1)
z
(z
0.5)2
解: (a )
部分分式法
Z
1
10z (z 1)(z
幕级数法
10z 10z
2) 10 10 2n
z 2
10z (z 1)(z 2)
留数法
10z 1 1 3z 1 2z 10z 1 30z 2 70z 150z 4
e(nT) Res
(z 10z n 1)(z 2) Res
(z 10z n 1)(z 2)
10 10 2
(b)
E(z)
3 z 2z 1
3z 2 z 2 2z 1
3z 2 z
(z 1)2
部分分式法
Z 1 3z 2
z
2
(z 1)2 1
2z (z
3z z 1
2n
幕级数法
3z 2 z (z 1)2
留数法
3 2z 1 z 1 z 2
3z 0 5z
7z 2
e(nT) Res
3z 2 (z 1) 乎
(z 1)2
dz
3z 2 z n
(z 1)2 z
3(n
n
1)z n nz
3 2n
(c ) 部分分式法
(z ―z _____ z 1
2 J
1)(3z 1)
3 z 2 z
4 3z 2 1
1 3z
2 1 4 3z 2
4 3z 2
cosn n
sin
sin
30o
幕级数法
z 2
(z 1)(3z 1)
留数法
2
z
1 2
3 3z z
2
0.333z 2
0.333z
4 0.222z 4
5
6
0.222z 5
0.259Z 6L
e(nT) Res (z n
z
2
1)(3z 1)
Res
(z n
z
2
1)(3z 1)
Res
n
z 2
(z 1)(3z
1)
z j 、3
z
z n
n
j ”3
k 1
L 3
j .3 j .3 6j 3 j .3 1 6j .3
1 "3
cosn n
sin n
sin
30o
(d )
部分分式法
(z
0.5)2 幕级数法
2
(z 1)(z 0.5) 留数法
2n 3
z 0.5
2 z
3(z 0.5)2
2
z
1 0.75z 0.25z
2 4
5
z 0.75z
0.25z L
4
e(nT) Res
2 (z 1)(z 0.5)2
Res 2 (z 1)(z 0.5)2
z 0.5
(z
2
1)(z 0.5) d
2
z
n
(z 0.5)
2
z
dz
(z 1)(z 0.5)
z 0.5
nz n 1
n
z (z 1)2 n 2n
0.5 n 1
7-6用z 变换法求下面的差分方程
x(k 2) 3x(k 1) 2x(k)
0, x(0) 0,x(1) 1
并与用迭代法得到的结果
x(0)、x(1)、x(2)、x(3)、x ⑷相比较
解：差分方程两边z 变换得到
z 2X(z)
x(0)z 2
x(1)z 3zX(z) 3x(0) z 2X(z)
z z 2 3z 2
Z 1
2
z
z
Z 1
z
z
( 1)n ( 2)
z 1 z 2
3z 2
迭代法得到
x(2) 3x(1) 2x(0) 3 12 0 3 x(3)
3x(2) 2x(1) (3) (3) 2 1 7 x ⑷ 3x(3) 2x(2) ( 3) 7 2 ( 3)
15
X(z)
M
结果是相同的。
7-7求传递函数为
1 Ts
e
a
s s a 1 Ts
e
a
s s(s a)
(a) G(s) (b)
G(s)
的部件的脉冲传递函数
解: (a )