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历年高考理科数列真题汇编含答案解析

高考数列选择题部分

(20１6全国I ）(3)已知等差数列{}n a 前9项的和为2７，10=8a ，则100=a

(A)100 （B)99 (C)98 (D)9７

（2016上海）已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ,且S S n n =∞

→lim ．下列

条件中，使得()

∈

（A ）7.06.0,01<<>q a (B)6.07.0,01-<<-q a (D)7.08.0,01-<<-

(201６四川)5. 【题设】某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司201５年

全年投入研发资金1３0万元，在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过20０万元的年份是

(参考数据:l ｇ 1．１2≈0.05，lg 1．３≈０.１1，lg2≈０.30）（Ａ)２018年 (Ｂ）20１９年 (Ｃ）2020年（D)2021年

（2016天津)（５)设{a ｎ}是首项为正数的等比数列,公比为ｑ，则“q ＜0”是“对任意的正整

数ｎ,a 2n ?1＋a 2n ＜０”的( ）

(A ）充要条件 (Ｂ）充分而不必要条件（Ｃ）必要而不充分条件 (Ｄ）既不充分也不必要条件

(20１6浙江)6. 如图,点列｛Ａn ｝，｛B ｎ}分别在某锐角的两边上，且

，

，（).

若

A ．是等差数列

B ．是等差数列

C ．是等差数列

D ．是等差数列

1.【２0１5高考重庆,理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （）

A 、-１

B 、0

C 、1

D 、６

1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N P Q P Q ≠表示点与不重合1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△

的面积，则{}n S 2

{}n S {}n d 2{}n d

２．【2０１5高考福建,理８】若,a b 是函数()()2

0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不

同的零点,且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列,则

p q + 的值等于（）

A ．6

B ．７ C.8 D ．９

3.【20１5高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（）

A ．若120a a +>,则230a a +> B.若130a a +<,则120a a +<

C ．若120a a <<,则2a > Ｄ．若10a <,则()()21230a a a a --> 4．【2015高考浙江,理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零,前n 项和是n S ,若3a ,4a ，8a 成等比数列，则( ）

A.140,0a d dS >> Ｂ. 140,0a d dS << Ｃ． 140,0a d dS >< D.

140,0a d dS <>

１.【20１４年重庆卷（理０2）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ )

139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列

2.【2014年全国大纲卷（10)】等比数列{}n a 中，452,5a a ==,则数列{lg }n a 的前８项和等于（ )

?A ．6 Ｂ．5 C ．4 Ｄ．3

5.【２０１4年福建卷(理０3）】等差数列{a n }的前ｎ项和为S n ，若a 1=２,S 3＝12,则a ６等于（）

A .８? Ｂ．10? C .12 D .１4

高考数列填空题部分

(2016全国I ）(1５)设等比数列{}n a 错误!未定义书签。满足a １+ａ3=１0,a 2+a 4＝5,则a 1a 2 …a n 的最大值为．

(2016上海）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意

*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为_＿___＿__.

(2０16北京）12.已知为等差数列,为其前项和,若，，则_＿_＿___.．

(2０1６江苏）８．已知｛a n }是等差数列,Ｓｎ是其前n 项和.若a 1＋a 22=3,Ｓ５=10，则a

９

的值是 ▲ ．

(2０１6浙江)13.设数列｛ａn ｝的前n 项和为S n ．若Ｓ2=４,a n +１=２S n ＋１，n ∈N ＊,则a １

= ，Ｓ5= ．

5.【２０１5高考安徽,理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列,14239,8a a a a +==,则数列

{}n a 的前n 项和等于．

６．【2０15高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=,则n S =_____＿＿_．

7.【２01５高考广东，理１0】在等差数列{}n a 中,若2576543=++++a a a a a ,则82a a += ．

８.【2015高考陕西,理１3】中位数１０10的一组数构成等差数列，其末项为201５,则该数列的首项为 .

9.【201５江苏高考，1１】数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列}1

a 的前10项和为

３．【2014年广东卷(理13）】若等比数列的各项均为正数，且

，则。

4.【20１4年江苏卷（理07）】在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若12=a ，

2682a a a +=，{}n a n S n 16a =350a a +=6=

S -{}n a 512911102e a a a a =+1220ln ln ln a a a ++

则6a 的值是．

6.【20１4年天津卷（理１１)】设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和,若1S 、2S 、4S 成等比数列,则1a 的值为_＿__＿_____＿_.

７.【２014年北京卷(理12）】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<，则当n =____＿_＿＿时{}n a 的前n 项和最大．

高考数列简答题部分

(2０16全国II)17.(本题满分１2分)

为等差数列的前n 项和,且记 ,其中表示不超过

的最大整数，如.

（Ⅰ）求;

（Ⅱ)求数列的前1 000项和．

（２0１6全国ＩII ）(1７）（本小题满分１2分)

已知数列的前n 项和，其中. （Ｉ)证明是等比数列,并求其通项公式; （ＩI ）若，求. （2016北京)2０．(本小题１3分）

设数列A ：， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有＜

,则称是数列Ａ的一个“G 时刻”.记“是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.

（1)对数列A:-2，2，-1,1,3,写出的所有元素;

(2）证明:若数列A 中存在使得>,则；学.科网

[来源学§科§网]

(３）证明:若数列A 满足- ≤1（ｎ=２，３, …,N ）,则的元素个数不小于－

(2016四川）19. 【题设】(本小题满分1２分）

已知数列｛n a }的首项为1,n S 为数列{n a }的前ｎ项和，11n n S qS +=+ ，其中q ＞0，

*n N ∈ .

n S {}n a 17=128.a S =，[]=lg n n b a []x x [][]0.9=0lg99=1，111101b b b ，，{}n b {}n a 1n n S a λ=+0λ≠{}n a 531

S =

λ1a 2a N a N ≥n 2n N ≤≤k k a n a n )(A G )(A G n a n a 1a ?≠)(A G n a 1n a -)(A G N a 1a

(I ）若2322,,2a a a + 成等差数列,求a ｎ的通项公式;

(ｉi ）设双曲线22

21n y x a -= 的离心率为n e ，且25

3e = ,证明:121

433n n n n e e e --++???+>.

(20１６天津)(１８) 已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,公差为d ,对任意的,b n

n N ∈*是n a 和1n a +的等比中项．

(Ⅰ)设22*

1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列;

(Ⅱ）设

()

,1,n

n n k a d T b n N ===

-∈∑，求证：2111.2n

k k

T d =<∑

（２016山东)（18）(本小题满分12分)

已知数列的前n 项和S ｎ=3n 2+8n ,是等差数列,且

(Ⅰ）求数列的通项公式；

(Ⅱ)令求数列的前n 项和T n . (2016江苏)

20．（本小题满分16分）

记.对数列和的子集T ，若，定义;若

，定义．例如：时,

．现设是公比为3的等比数列,且当时，.

（1）求数列的通项公式;

（２）对任意正整数,若,求证:; (3）设,求证:.

(20１6浙江）2０.（本题满分15分）设数列满足,． {}n a {}n b 1.n n n a b b +=+{}n b 1

(1).(2)n n n n

n a c b ++=+{}n c {}1,2,100U =…，

{}()

*n a n N ∈U T =?0T S ={}12,,k T t t t =…，1

T t t t S a a a =++…{}=1,3,66T 1366+T S a a a =+{}()*n a n N ∈{}=2,4T =30T S {}n a ()1100k k ≤≤{}1,2,k T ?…，

1T k S a +<,,C D C U D U S S ??≥2C C

D S S S +≥{}n a 1

n n a a +-

≤n *∈N

（I ）证明:,；

(II ）若，,证明：,．

10.【20１５江苏高考，20】(本小题满分16分)

设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明:31242,2,2,2a a a a

依次成等比数列；

（2）是否存在1,a d ,使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列,并说明理由；

（３）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得k

n k n k n n a a a a 34

2321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.

11.【２0１５高考浙江，理20】已知数列{}n a 满足1a =12

且1n a +=n a -2

n a (n ∈*N ) （1）证明:11

n a a +≤

≤（n ∈*N ）

；（2）设数列{}

n a 的前n 项和为n S ，证明

2(2)2(1)

n S n n n ≤≤

++(n ∈*N ）. 1２.【２015高考山东，理１8】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+． (I)求{}n a 的通项公式;

(II)若数列{}n b 满足3log n n n a b a =,求{}n b 的前n 项和n T . 13. 【2０15高考安徽，理1８】设*n N ∈,n x 是曲线22

1n y x +=+在点(12)，处的切线与x

轴交点的横坐标.

(Ⅰ)求数列{}n x 的通项公式；

（Ⅱ）记22

213

21n n T x x x -=,证明1

4n T n

≥

．１4.【201５高考天津,理1８】(本小题满分1３分）已知数列{}n a 满足

212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，,且 233445,,a a a a a a 成等差数列.

()

1122n n a a -≥-n *

∈N 32n

n a ??≤ ???

n *∈N 2n a ≤n *

∈N

（Ｉ)求q 的值和{}n a 的通项公式； (I Ｉ)设*2221

log ,n

n n a b n N a -=

∈,求数列n b 的前n 项和. １５.【2015高考重庆，理2２】在数列{}n a 中，()2

1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈

(1)若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式; （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=

∈≥=-证明：010011

223121

k a k k ++

<<+++ 16.【２015高考四川，理1６】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列．

(1）求数列{}n a 的通项公式; (２)记数列1

{

a 的前n 项和n T ,求得1|1|1000n T -<

成立的ｎ的最小值． 17．【20１５高考湖北，理18】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =,22b =，q d =，10100S =. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式; （Ⅱ)当1d >时，记n

n n

a c

b =

，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18．【2015高考陕西，理21】(本小题满分1２分）设()n f x 是等比数列1,x ，2x ,???，n x 的各项和,其中0x >，n ∈N ,2n ≥．（I)证明:函数()()F 2n n x f x =-在1,12??

???

内有且仅有一个零点（记为n x ）

，且11122

n n n x x +=

+; （II)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ,比较()n f x

与()n g x 的大小,并加以证明．

19.【2015高考新课标１,理1７】n S 为数列{n a ｝的前n 项和.已知n a >0,2n n a a +=43n S +.

(Ⅰ）求{n a }的通项公式;

（Ⅱ）设1

n n n b a a +=

错误!未定义书签。 ,求数列{n b ｝的前n 项和. 20.【201５高考广东，理21】数列{}n a 满足()*

121

2242n n n a a na n N -+++=-

∈， (1) 求3a 的值；

(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ；

(3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -??

++++???+≥ ???

，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<.

【2015高考上海，理２2】已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-,n *∈N . (1)若35n b n =+,且11a =,求数列{}n a 的通项公式；

（2)设{}n a 的第0n 项是最大项,即0n n a a >（n *∈N ）,求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=(n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值

m ,且

()2,2m

∈-. 8.【２01４年湖南卷(理2０)】(本小题满分１3分)

已知数列}{n a 满足11=a ,n n n p a a =-+||1，*N n ∈. (1)若}{n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值； (２)若2

p ,且}{12-n a 是递增数列,是}{2n a 递减数列，求数列}{n a 的通项公式. 9.【２014年全国大纲卷(１８)】(本小题满分12分）

等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知110a =,2a 为整数,且4n S S ≤．（1)求{}n a 的通项公式；（2)设1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前ｎ项和n T ．

10.【２014年山东卷（理19）】(本小题满分１2分)

已知等差数列}{n a 的公差为２,前n 项和为n S ，且1S ,2S ，4S 成等比数列。 (Ｉ)求数列}{n a 的通项公式；

(I Ｉ)令n b ＝,4)1(1

1+--n n n a a n

求数列}{n b 的前n 项和n T 。

1１.【2０14年全国新课标Ⅰ（理17）】(本小题满分１2分)已知数列｛n a }的前n 项和为

n S ,1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-,其中λ为常数.

(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；

(Ⅱ)是否存在λ，使得{n a }为等差数列?并说明理由.

高考数列选择题部分

(20１6全国1）【答案】C 【解析】

试题分析:由已知,11

93627

,98a d a d +=??

+=?所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.

考点:等差数列及其运算

(2016上海)【答案】B

(201６四川）答案】B

（２016天津）【答案】C 【解析】

试题分析:由题意得，

22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+

故是必要不

充分条件，故选C.

(2016浙江）【答案】A

【解析】表示点到对面直线的距离（设为)乘以长度一半,即

，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离,那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么

,其中为两条线的夹角，即为定值,那么

,，作差后：

，都为定值,所以为定值.故选A ．

1.【２015高考重庆，理2】【答案】B

【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=，选B . ２.【2015高考福建,理8】【答案】Ｄ

【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>,当,,2a b -适当排序后成等比

数列时，2-必为等比中项,故4a b q ?==，4

b a

=.当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时,422a a =-,解得1a =，4b =；当4

是等差中项时,

2a a

=-,解得4a =，1b =，综上所述,5a b p +==，所以p q +9=,选D. 3.【2015高考北京,理6】【答案】C

【解析】先分析四个答案支，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-,120a a +>而230+a a ,B 错误,下面针对C 进行研究,{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公

差为d ，则0d >,数列各项均为正,由于2

2215111()(2)

a a a a d a a d -

=+-+22221111220a a d d a a d d =++--=>,则2113a a a

>1a ?>

选C.

4.【２０15高考浙江，理3】【答案】Ｂ.

n S n A n h 1n n B B +11

n n n n S h B B +=

1n n B B +n h 1A 1h 1,n A A 11tan n n n h h A A θ+=+?θ1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=+?111111

(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+?1111

(tan )2

n n n n n n S S A A B B θ+++-=?1n n S S +-