紧交换半群上概率测度卷积序列的极限性质

数列上下极限的不同定义方式及相关性质.

目录 数列上下极限的不同定义方式及相关性质 摘要 (01) 一、数列的上极限、下极限的定义 (01) 1. 用“数列的聚点”来定义 (01) 2. 用“数列的确界”来定义 (02) 3. 数列上、下极限定义的等价性 (02) 二、数列的上、下极限的性质及定理 (04) 参考文献 (14) 英文摘要 (15)

数列上下极限的不同定义方式及相关性质 摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数 一、数列的上极限、下极限的定义 关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义 定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列 {}n x 的一个聚点. 例1 数列{(1)}1 n n n -+有聚点1-与1； 数列{sin }4n π 有1,22 --和1五个聚点； 数列1 {}n 只有一个聚点0； 常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1. 定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作 lim n a →+∞ =大;lim n n a x →∞ =小. 例2 lim (1)11n n n n →+∞-=+(),lim 111 n n n →∞-=-+ lim sin 14n n π→+∞=,limsin 14 n n π→∞=- 11 lim lim 0n n n n →+∞→∞== 2. 用“数列的确界”来定义

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(A n+B n)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An ? Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n T+R的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义： 如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？￡> 0(不论它多么小)，总存在正数N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| v &都成立， 则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A. 根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明： ?/ limAn=A,二对任意正数 &存在正整数N?,使n > N?时恒有|An-A| v&①(极限定义)同理对同一正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-B| v 设N=max｛N ?,N?｝，由上可知当n > N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)| < |An-A|+|Bn-B| v & + & =2 &. 由于&是任意正数，所以2&也是任意正数. 即:对任意正数2 &存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 &. 由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B. 即:对任意正数C&存在正整数N,使n > N时恒有|C ? An-CA|v C&. 由极限定义可知，lim(C ? An)=C?A若C=0的话更好证) 法则2的证明： lim(A n-B n) =limA n+lim(-B n)(法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An ? Bn)=0. 证明：?/ limAn=0,二对任意正数 &存在正整数N?,使n>N?时恒有|An-0| v &③(极限定义)同理对同一

数学分析 数列极限

第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32 1，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛；

{}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对??? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε =10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11 n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a a n -＜ε，可用a n -替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．． 的，只要存在一个N ，就会存在无穷多

概率与测度学习

概率与测度学习 要学习概率论，首先先得了解各个基础的概念才行。 其实概率论，尤其是古典概型，并不难。 难度提升是在引入微积分之后。需要会解定积分双重积分。如果明白积分的意义，可以更好地理解概率论的研究。 之后还会分成不同的研究方向，比如说数理统计，又或者说随机过程。这都是一些专业课程的基础。 进入正题 一般来讲，一个学科都是从现象入手的。 这个现象成功引起了注意，于是人们就会进行试验。（就比如说重复扔硬币的试验） 具有这种特性的试验，我们称之为随机试验。在概率论中，我们要研究随机现象， 是通过大量的随机试验，来研究的。 性质二可能有人有些疑问。 举扔硬币的例子，每次试验，都有两个结果：‘正面’‘反面’ 预先知道了所有结果，而且结果数量有两个

对，没错，这个人扔了两万四千次 有试验就有试验结果。 我们把每种结果放在一个集合里面，称之为样本空间Ω【不是每个！是种！每个结果放在一个集合里面，那个集合叫做统计总体】 样本空间中的每一个元素称为样本点ω（也就是每种结果） Ω里的子集称为随机事件，简称事件，由ω组成 Ω全集称为必然事件 ?空集称为不可能事件 设A为事件。

可测空间(Ω，F)的定义。 【σ代数F是Ω的所有子集的集合（也就是幂集）的一个子集。】 F里面其实就放着Ω里的各个ω的各种组合，这么讲应该好理解一些。数学嘛！要严谨一点！ 这边注意一下：A1，A2...是互不相容，而不是互相独立（之后会碰到的） 因为F是个集合，定义在集合上的函数也叫做集函数。其实就是映射。 概率空间的定义（引自360百科） 第一项Ω是一个非空集合，有时称作"样本空间"。Ω 的集合元素称作"样本输出"，可写作ω。 第二项F是样本空间Ω的幂集的一个非空子集。F的集合元素称为事件Σ。事件Σ是样本空间Ω的子集。集合F必须是一个σ-代数:

函数极限的性质

第十三讲、函数极限的性质 定理13.1.（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则极限值唯一. 证明：我们使用反证法加以证明。假设0lim ()x x f x A →=及0lim ()x x f x B →=， A B <。 取()/2B A ε= ?，则存在δ>10，使得当010||x x δ20，使得当020||x x δ0，使得()f x 在邻域0(;)o U x δ内有界. 定理13.3. 若0lim ()x x f x A →=， 0 lim ()x x g x B →=且A B <，则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x <. 在上面的定理13.3中，取()0g x ≡，则有 推论13.1 .( 局部保号性). 若0 lim ()x x f x A →=且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()0f x >（()0f x <）. 推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x ≤且0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=，则A B ≤。

数列的极限及运算法则

学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向 于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思lim n n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近 于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况如，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 二、基本题目 1．判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

求数列极限方法总结归纳

求数列极限方法总结归纳 极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，

则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 与极限计算相关知识点包括： 连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限； 可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在； 渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)； 多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。 求数列极限可以归纳为以下三种形式。 1.抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除。此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。 2.求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： 利用单调有界必收敛准则求数列极限。首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性；其次,通过递推关系中取极限，解方程,从而得到数列的极限值。 利用函数极限求数列极限。如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解。

测度论

测度论与概率论 没有测度论和测度概率论,类比对微积分和(定义实数完备性)作为数学分析之间的主要区别。测度论是现代概率论的基础,这是严格定义很多事情的前提。深基础可以把房子建造很高,但建立一个更漂亮的房子是概率论自己的事情。 这些教训将包括古典概型和几何、常见分布,并不能证明大数定律和中心极限定律,马尔可夫链、泊松过程、条件期望和鞅,甚至一点点的布朗运动。随机分析和花哨的比例限制对方向的人来说,这些已经足够开始研究。但是这里很多东西我们无法确定:如连续变量的条件概率,如马尔可夫过程参与无限样本轨道的复发,如强大数定律a.s.和i.o ....测度论是填坑的背景。 再展开说一说：在没有测度论的前提下，一般可以开概率论和应用随机过程。这些课会包含古典/几何概型，常见分布，不证明的大数定律和中心极限定律，马氏链，泊松过程，条件期望和鞅，甚至一点点布朗运动。对不以随机分析和花式scaling limit为方向的人来说，这些已经足够开始科研了。但其实这里很多事情我们都说不清：比如连续变量的条件概率，比如马氏过程常返性中涉及的无穷样本轨道，比如强大数定律a.s.和i.o.……而测度论算是填上了这个背景里的坑。 但我们仍热心研究的可能性,因为有限的测量在概率论除了波莱尔代数有很大的概率直觉的一些概念,并且经常不需要测度论可以理解这些概念:使泛函分析的马尔可夫链,但被认为是马氏体半群/传递矩阵的离散空间力量,让他们研究停车时间…… 再比如zero大大说,极大地扩展了的独立性是鞅,每次使用的抽样定理感到惊人的结构，或布朗运动是定义Wiener测度连续函数,但几乎无处不在无处不在区间连续函数,分析我不知道有多少人,会感兴趣这样一个不友好的本质功能。概率,将有同样的原则重对数律。 事实上,正如人民大众不知道实数系统完整的专业数学定理仍然可以使用微积分,数学也不知道每天有多少人将使用这些。测度论在概率论是一回事,所以没有学习没有耐心,一旦学会了知道。 个人意见,事实上题主不需要嫉妒的整合理论类的概率。我非常感谢本科概率论老师教我,她开始告诉我们独特的概率的概念。她在概率论中期加入我们需要单调的耦合渗流模型认为额外的问题才能解决。还对利用概率母函数的不动点解决分支过程的灭绝概率。我还是偶尔会使用这些技能。

数列极限的运算法则

数列极限的运算法则 (上海教育出版社高中课本数学高二第一学期第二课时) 一．教学目标： 掌握数列极限的运算法则，并会利用这些法则求简单的数列的极限。 二．教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：无限个数列极限的运算 教学过程： 1. 引入： 今天的主角是古希腊著名的数学家、物理学家阿基米德。他提出了三次方程的几何解法，发现了以他的名字命名的螺线，他曾求出许多图形的面积和体积，极限的思想能够帮助我们解决很多几何图形面积体积的问题，今天我们也来做一次数学家，研究重现一下他这一贡献的过程。我们来看这个例子，要计算由抛物线2y x =、x 轴以及直线x=1所围成的区域的面积S ，这是一个曲边三角形，不能用三角形的面积公式来计算，阿基米德是如何计算的呢首先把区间[0，1]分为两部分，那么作出的这一个矩形的面积必然小于曲边三角形面积，之后我们再尝试继续一分为二，那么作出这三个矩形，其面积比我们刚才计算的要大，但仍小于曲边三角形的面积，继续采取这种方法，增大区间段，不妨设把区间[0，1]分成n 个小区间，即用x 轴上的分点0,1231,,,.....,,n n n n n n - 分隔;那么在每个小区间上作一个小矩形，使矩形的左上端点在抛物线上，这些矩形的高对应就是 222212310,(),(),(),.....,()n n n n n -，我们来考虑这些矩形面积的总和： 2222222332 1112111123...(1)(1)(21)(1)(21)0()()....()66n n n n n n n n S n n n n n n n n n n -++++-----=?+?+?+?===我们不妨考察n S 与S 之间有何关系，我们尝试使n 越来越大，也就使分的每段区间越来越小，那么矩形可以要多窄有多窄，我们是不是就可以把n S 近似看作S 了呢，n 无限增大，矩形面积的和就可以无限逼近曲边三角形的面积~这就是一种极限的思想，当n 无限增大时，矩形面积的总和n S 可以近似等于曲边三角形的面积，它们之间的差极其小。那么这个极限我们上节课已经学过了，结果是多少哇（1/3）非常好，这是大学中非常重要的一种积分的思想，我们看到了极限的重要性，那么大家更要认真学习，积极理解。那么我们就来回顾一下上节课介绍的常见的三种数列极限。（提问）不错，功课做的很足~我们上节课呢，介绍的f(n)/g(n)模型是常考点，但除此之外还有很多复杂的数列，他们的极限比较复杂，那么应该如何求呢我们学过实数的四则运算，今天我们就来探讨一下数列极限的四则运算性质： 揭示主题：数列极限的四则运算性质。 2. 概念详细讲解：

概率与测度论经典专著

概率与测度论;数理统计;随机过程微积分金融经典教材专著下面的当然不可能都看，Some books on the list of references might be to your taste. 每个方向认真看1,2本就行，其他的只是做参考，看看一些章节就行。 本书单中为什么要列出各种语言的书，只看中文书或者英文书行吗？（答：例如陈景润为了能直接阅读外国资料，掌握最新信息，在继续学习英语的同时，又攻读了俄语、德语、法语、日语、意大利语和西班牙语。） 非数学专业本科生 概率统计随机过程 概率论与数理统计(第4版) 盛骤考研必备 概率论与数理统计教程(第2版) 茆诗松 概率论与数理统计陈希孺 概率论基础教程(第8版) 罗斯、郑忠国译（已经出第9版，也是最后一版）第7版答案https://www.wendangku.net/doc/7a14979155.html,/p-109941348.html 概率论与数理统计(第3版改编版) 德格奥特、谢尔维斯 概率统计(英文版第4版）德格鲁特、舍维什 概率与统计(英文版)Ronald E.Walpole;Raymond H.Myers;Sharon L.Myers;Keying Ye 概率论(英文版) 皮特曼 应用随机过程:概率模型导论(第10版) 罗斯、龚光鲁译 概率、统计与随机过程(第4版)(英文版) 亨利斯塔克(Henry Stark)、 Schaum's Outlines - Probability, Random Variables And Random Processes Schaum's Easy Outline of Probability and Statistics. Schaum's Outline of Beginning Statistics, 2 Edition Schaum's Outlines - Elements of Statistics I - Descriptive Statistics and Probability Schaum's Outlines - Elements of Statistics II - Inferential Statistics Applied Multivariate Statistical Analysis (6th Ed)RICHARD A. JOHNSON Multivariate Data Analysis (7th Edition) Joseph F. Hair, William C. Black, Barry J. Babin, Rolph E. Anderson A Modern Introduction to Probability and Statistics_Understanding Why and How Dekking Chris Spatz, "Basic Statistics: Tales of Distributions (10th edition)" Basic Concepts of Probability and Statistics (Classics in Applied Mathematics) by J. L. Hodges Jr and E. L. Lehmann (Jan 11, 2005) Modern Mathematical Statistics with Applications (Springer Texts in Statistics) by Jay L. Devore and Kenneth N. Berk (8 Dec 2011) A Course in Mathematical Statistics, Third Edition, Third Edition by George G. Roussas (Feb 15, 2014) 辅导书 概率论与数理统计教程:习题与解答(第2版) 茆诗松 概率论与数理统计习题全解指南(浙大?第4版) 盛骤 Schaum's Outline of Theory and Problems of Probability and Statistics

按近似概率理论的极限状态设计法

第三章按近似概率理论的极限状态设计法 授课学时：4学时 学习目的和要求 1．了解建筑结构的功能要求，结构的极限状态和概率极限状态设计方法的基本概念，结构的可靠度和可靠指标。 2．理解作用和作用效应，结构重要性系数，荷载和材料的分项系数，荷载组合。 3．掌握承载能力极限状态和正常使用极限状态实用设计表达式，并掌握表达式中各个符号所代表的意义。 4．理解荷载分类及其代表值，钢筋和混凝土的强度标准值和设计值。 5．考虑到同学们还没有学过具体的截面计算和结构设计，因此建议在学完本书的主要内容后在重新学习本章以加深理解。 教学重点：结构的极限状态及其承载力表达式是本章的重点。 教学难点：是结构可靠度中有关概率方面的数学内容。 3．1 极限状态 3．1．1 结构上的作用 作用——是结构产生内力或变形的原因。 作用分为：1）直接作用：荷载。 2）间接作用：混凝土收缩、温度变化、基础沉降、地震等。 作用效应：结构上的作用使结构产生的内力、变形、裂缝等。 1、荷载的分类 永久荷载；可变荷载；偶然荷载。 2、荷载的标准值：荷载的基本代表值 荷载的不定性——随机变量统计——具有一定概率的最大荷载值——荷载的标准值

3.1.2 结构的功能要求 1．结构的安全等级 建筑物的重要程度、破坏时可能产生的后果严重与否，为三个安全等级。 2．结构的设计使用年限 计算结构可靠度所依据的年限称为结构的设计使用年限。结构的设计使用年限，是指设计规定的结构或结构构件不需进行大修即可按其预定目的使用的时期。一般建筑结构的设计使用年限可为50年。 3．建筑结构的功能 （1）安全性（2）适用性（3）耐久性 3．1．3 结构功能的极限状态 极限状态——整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计指定的某一功能要求，这一特定状态称为该功能的极限状态。极限状态是有效状态和失效状态的分界。是结构开始失效的界限。 极限状态分为： （1）承载能力极限状态 （2）正常使用极限状态 3．1．4 极限状态方程 结构的极限状态可以用极限状态函数来表达： Z＝R —S S——荷载效应，它代表由各种荷载分别产生的荷载效应的总和；

概率极限状态设计方法

概率极限状态设计方法 概念： 以概率为基础的极限状态设计方法，简称为概率极限状态设计法， 1功能函数、极限状态方程 结构构件完成预定功能的工作状态可以用作用效应S 和结构抗力R 的关系来描述，这种表达式称为结构功能函数，用Z 来表示 当 时，结构能够完成预定的功能，处于可靠状态；当 时，结构不能完成预定的功能，处于 失效状态；当 时，即 ，结构处于极限状态。 ，称为极限状态方程。 2结构可靠度、失效概率及可靠指标 结构在规定的时间内，在规定的条件下完成预定功能的概率，称为结构的可靠度 4结构的安全等级 建筑结构设计时，应根据结构破坏可能产生的后果（危及人的生命、造成经济损失、产生社会影响等）的严重性，采用不同的安全等级。建筑结构的安全等级划分见表 3.3 。 5目标可靠指标当有关变量的概率分布类型及参数已知时，就可按上述β值计算公式求得现有的各种结构构件的可靠指标。《统一标准》以我国长期工程经验的结构可靠度水平为校准点，考虑了各种荷载效应组合情况，选择若干有代表性的构件进行了大量的计算分析，规定结构构件承载能力极限状态的可靠指标，称为目标可靠指标β。结构构件属延性破坏时，目标可靠指标β取为 3.2 ；结构构件属脆性破坏时，目标可靠指标β取为 3.7 。 表3.3 建筑结构的安全等级

对应于直接作用按随时间的变异分类，结构上的荷载可分为三类：（ 1 ）永久荷载，如结构自重、土压力、预应力等；（ 2 ）可变荷载，如楼面活荷载、屋面活荷载、积灰荷载、吊车荷载、风荷载和雪荷载等；（ 3 ）偶然荷载，如爆炸力、撞击力等。荷载代表值是指设计中用以验算极限状态所采用的荷载量值。 建筑结构设计时，对不同荷载应采用不同的代表值。永久荷载采用标准值作为代表值；可变荷载应根据设计要求采用标准值、组合值或准永久值作为代表值；偶然荷载应按建筑结构使用的特点确定其代表值。 6 荷载标准值 荷载标准值是《荷载规范》规定的荷载基本代表值，为设计基准期内最大荷载统计分布的特征值（如均值、众值、中值或某个分位值）（如均值、众值、中值或某个分位值）。由于最大荷载值是随机变量，因此，原则上应由设计基准期（ 50 年）荷载最大值概率分布的某一分位数来确定。但是，有些荷载并不具备充分的统计参数，只能根据已有的工程经验确定。因此，实际上荷载标准值取值的分位数并不统一。 永久荷载标准值，对于结构或非承重构件的自重，由于其变异性不大，而且多为正态分布，一般以其分布的均值（分位数为 0.5 ）作为荷载的标准值，可由设计尺寸与材料单位体积的自重计算确定。 可变荷载标准值由《荷载规范》给出，设计时可直接查用。 7荷载准永久值 荷载准永久值是指可变荷载在设计基准期内，其超越的总时间约为设计基准一半的荷载值，为可变荷载标准值乘以荷载准永久值系数ψq 。荷载准永久值系数ψq 由《荷载规范》给出。如住宅楼面均布荷载标准为 2.0kN/m 2 ，荷载准永久值系数ψq 为 0.4 ，则活荷载准永久值为kN/m 2 。 8荷载组合值 荷载组合值是指对可变荷载，使组合后的荷载效应在设计基准内的超越概率，能与该荷载单独出现时的相应概率趋于一致的荷载值；或使组合后的结构具有统一规定的可靠指标的荷载值。荷载组合值为可变荷载标准值乘以荷载组合值系数ψ c 。荷载组合值系数ψ c 由《荷载规范》给出。如住宅，楼面均布荷载标准为 2.0kN/m 2 ， 荷载组合值系数ψ c 为 0.7 ，则活荷载组合值为kN/m 2 。 9 取值原则 材料强度标准值是结构设计时所采用的材料强度的基本代表值，也是生产中控制材料性能质量的主要指标，用于结构正常使用极限状态的验算。 钢筋和混凝土的材料强度标准值是按标准试验方法测得的具有不小于 95% 保证率的强度值，即 （ 3-7 ）

上、下极限的性质与应用

毕业论文 题目上、下极限的性质与应用 学生姓名王丹丹学号 1109014029 所在学院数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学数教1101班 指导教师洪洁 __ ____ _ 完成地点陕西理工学院 _ __ 2015年6月10日

上、下极限的性质与应用 王丹丹 （陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班,陕西 汉中 723000） 指导教师:洪洁 [摘要]本文总结上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质,举例阐 明了上、下极限在数列敛散性、极限运算以及级数论中的作用,并且具体论述了上、下极限在实变函数以及测度论中的应用. [关键词]上极限; 下极限; 数列;收敛性 1 引言 极限思想是数学分析中重要思想,极限思想方法贯穿于数学分析课程的始终.上、下极限的概念[1] 是极限概念的延伸,由于上、下极限的引入,对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路,例如,上、下极限在数列的敛散性的证明和数列运算问题上的作用;并且,上、下极限的引入能使极限问题的分析更加细致深入,对于正确地理解和认识数列、函数的上、下极限、更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的内部结构形态有非常重要的作用;另外,上、下极限的概念在数列与级数论以及许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用,例如:实变函数论[2],概率论[3],测度论[4]等学科都从不同角度应用到了上、下极限的概念.所以对上、下极限有个清楚的认识是非常必要的.为了使大学生和即将考研的学生能够全面的认识与理解上、下极限以及它的相关应用,本文将从上、下极限的性质、应用两个方面作深入细致的探讨. 2 上、下极限的概念 2.1 数列的上、下极限的概念 定义2.1.1[5] 若()a b 表示数列{}n x 的最大（小）聚点,则lim n n x a →∞ =(lim )n n x b →∞ =. 定义2.1.2[6] 设{}n x 是有界数列,若()a b 表示数列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者,则lim n n x a →∞ =(lim )n n x b →∞ =. 注 数列{}n x 的上极限lim n n x →∞ 的特征是 （1）?子列{}k n x 使得lim lim k n n n n x x →∞ →∞ =(1,2,3 )k =. （2）对于{}n x 的任一收敛子列{}k n x 恒有lim lim k n n n n x x →∞ →∞ ≤.

《数列极限的运算法则》教案(优质课)

《数列极限的运算法则》教案 【教学目标】：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。 【教学重点】：运用数列极限的运算法则求极限 【教学难点】：数列极限法则的运用 【教学过程】： 一、复习引入： 函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0 B x g A x f x x x x ==→→则[]= ±→)()(lim 0 x g x f x x ＿＿＿ []=→)().(lim 0 x g x f x x ＿＿＿＿，=→) () (lim x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课： 数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。例如，若{}n a ，{}n b ，{} n c 有极限，则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞ →∞ →∞ →lim .lim ).(lim 三、例题： 例1.已知,5lim =∞ →n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞ →

例2.求下列极限： （1）)45(lim n n +∞→； （2）2)11 (lim -∞→n n 例3.求下列有限： （1）1312lim ++∞→n n n （2）1 lim 2-∞→n n n 分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。 例4.求下列极限： （1） )1 1 2171513( lim 2222+++++++++∞ →n n n n n n （2）)39312421( lim 1 1 --∞→++++++++n n n

概率论与测度论之间联系的通俗解释

测度论是概率论的理论基础，所以概率中的一些概念抽象化就是对应的测度论中的概念。 概率是要度量“事件发生的可能性”的大小，事件的抽象化描述就是集合，需要考察“事件的全体”，对应到测度论就是“集合系”。“事件发生的可能性”是对事件的一种度量，对应到测度论就是“集合的测度”。 不是每个事件都可以定义其概率（发生的可能性的大小）的，对应的就是不是每个集合都可以定义测度，可以定义测度集合就是可测集。同时，事件必然要涉及到事件的组合运算（复杂事件是可由基本事件表示出来），对应的就是集合的交、并、差、余、极限的运算到复杂集合，所以又需要保证做可列次这些运算不能超出全体范围（即可测集的范围要足够大，以保证集合的可列次交、并、差、余、极限的运算，之后还在里面） 那么什么样的集合系，才能保证其中的集合是可测集（可以定义测度，又对那些运算封闭）呢？测度论中讲了，只要集合系是σ-代数（也叫σ-域）就可以了。σ-代数的基本定义是：1. 全集在里面；2. 里面每个集合的余集在里面；3. 里面任意可列个集合的并集在里面。有了这三条基本定义，就可以推出：空集、可列次交、并、差、上限集、下限集运算之后都能在里面。就满足需要了。 所以，集合X+该集合上的一个σ-代数F，（X，F）就是一个可测空间了，即可以定义测度的空间（F中任一集合都可以定义其测度（某种度量））。进一步再定义了测度μ，那么（X, F, μ）就是测度空间。 对应到概率论中，样本空间Ω，事件域F（是个σ-代数），概率测度P，放一起（Ω，F，P）就是概率测度空间。概率测度P是满足特殊要求的一种测度：P(Ω)=1. BorelFeild就是Borel σ-代数，表示实数轴上的σ-代数，可由实轴上的所有开集生成（的σ-代数），也可由实数轴上所有的(-∞,a]这样的区间生成（σ-代数），是相等的。按σ-代数前面说的，实数轴上开集、闭集的至多可列次交、并、差(余)、上限集、下限集、极限集的运算，都超不出该Borel σ-代数的范围。 Borel σ-代数（我用Br表示）有什么用？其实概率论中的随机变量，对应测度论中的可测函数，而可测函数就是从可测空间（X，F)到（R，Br）的可测映射：即Br中的任一集合在该映射下的原像都属于F（即都是X上的可测集）。 再说说随机变量，前面说了概率论中要用集合表示事件，但事件五花八门，怎么统一用一种简单的集合表示呢？这就用到映射的概念，建立一种从样本空间（基本事件的全体）到实数轴的映射（一一对应）就可以了，这种映射就是随机变量。有了它，基本事件映射到实数轴上就是的基本区间，基本事件经过运算生成的复杂事件，映射到实数轴上就是实数轴上Borel σ-代数中的集合。 因为有了这个对应关系，要度量“事件发生的可能性的大小”（即概率测度），只要度量“实数轴上Borel σ-代数中的集合”就可以了（前面说了Br因为是σ-代数是

容许应力法和概率(极限状态)设计法

容许应力法和概率(极限状态)设计法 在钢结构设计中的应用 中铁五局集团公司经营开发部肖炳忠 内容提要 本文简要介绍了容许应力法、破坏阶段法、极限状态法、概率（极限状态）设计法四个结构设计理论，并且列出了我们经常用的容许应力法和概率（极限状态）设计法的实用表达式和参数选用，通过对上述两种方法参数的比较，总结出我们在工程施工中临时结构设计的实用办法和注意事项，以期望提高广大现场施工技术人员的设计水平的目的。 1、前言 我们在钢结构设计中经常用到容许应力法和概率（极限状态）设计法，有些没有经验的技术人员在设计计算中经常将二者混淆，因此有必要将两种设计计算方法进行介绍和比较，供广大技术人员参考。 2、四种结构设计理论简述 2.1、容许应力法 容许应力法将材料视为理想弹性体，用线弹性理论方法，算出结构在标准荷载下的应力，要求任一点的应力，不超过材料的容许应力。材料的容许应力，是由材料的屈服强度，或极限强度除以安全系数而得。 容许应力法的特点是： 简洁实用，K值逐步减小； 对具有塑性性质的材料，无法考虑其塑性阶段继续承载的能力，设计偏于保守； 用K使构件强度有一定的安全储备，但K的取值是经验性的，且对不同材料，K值大并不一定说明安全度就高； 单一K可能还包含了对其它因素（如荷载）的考虑，但其形式不便于对不同的情况分别处理（如恒载、活载）。 2.2、破坏阶段法 设计原则是：结构构件达到破坏阶段时的设计承载力不低于标准荷载产生的构件内力乘以安全系数K。

破坏阶段法的特点是： 以截面内力（而不是应力）为考察对象，考虑了材料的塑性性质及其极限强度； 内力计算多数仍采用线弹性方法，少数采用弹性方法； 仍采用单一的、经验的安全系数。 2.3、极限状态法 极限状态法中将单一的安全系数转化成多个（一般为3个）系数，分别用于考虑荷载、荷载组合和材料等的不定性影响，还在设计参数的取值上引入概率和统计数学的方法（半概率方法）。 极限状态法的特点是： 在可靠度问题的处理上有质的变化。这表现在用多系数取代单一系数，从而避免了单一系数笼统含混的缺点。 继承了容许应力法和破坏阶段法的优点； 在结构分析方面，承载能力状态以塑性理论为基础；正常使用状态以弹性理论为基础； 对于结构可靠度的定义和计算方法还没法给予明确回答。 2.4、概率（极限状态）设计法 该方法的设计准则是：对于规定的极限状态，荷载引起的荷载效应（结构内力）大于抗力（结构承载力）的概率（失效概率）不应超过规定的限值。 概率（极限状态）设计法的特点是： 继承了极限状态设计的概念和方法，但进一步明确提出了结构的功能函数和极限状态方程式，及一套计算可靠指标和推导分项系数的理论和方法； 设计表达式仍可继续采用分项安全系数的形式，以便与以往的设计方法衔接，但其中的系数是以一类结构为对象，根据规定的可靠指标，经概率分析和优化确定的。 3、容许应力法和概率（极限状态）设计法的实用表达式 3.1、容许应力法的实用表达式及容许应力计算规定 1）容许应力法的实用表达式为： σ≤［σ］ 式中： σ——结构在标准荷载下的应力；

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则 的证明 https://www.wendangku.net/doc/7a14979155.html,work Information Technology Company.2020YEAR

数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(An+Bn)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An·Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义: 如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使 得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立, 则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A. 根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明: ∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-B|＜ε.② 设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε. 由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数. 即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε. 由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B. 为了证明法则2,先证明1个引理. 引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数) 证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) ①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε. 由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数. 即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε. 由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证) 法则2的证明: lim(An-Bn) =limAn+lim(-Bn) (法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理.