杨辉三角和概率

杨辉三角和概率

一、杨辉三角及其性质 杨辉三角，是二项式系数在三角形中

的一种几何排列。

1·每行端点与结尾的数为1.

2·每个数等于它上方两数之和。

3·每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

4·第n 行的数字有n 项。

5·第n 行数字和为12-n 。

6·第n 行的m 个数可表示为11--m n C ，即为

从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合

数。第n 行的第m 个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。

7·每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i 个数等于第n 行的第i-1个数和第i 个数之和，这也是组合数的性质之一。

即 11-++=i n i n i n C C C 。

8·n b a )(+的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

9·将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n 行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

10·将各行数字相排列，可得11的n-1（n 为行数）次方：1=011; 11=111; 121=2

11…当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n 行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。

显示杨辉三角实验报告

显示杨辉三角实验报告 姓名：许严班级：计122 学号：1213023050 1.问题描述 杨辉三角如图2.4.3所示，其特点是两个腰上数值是1，其他位置上的每一个整数都是它的上一行相邻两个整数之和。问题是：对于指定的最大行数rmax,要求从第一行到第rmax逐行显示杨辉三角形的所有元素。 2.基本要求 ⑴设计输出形式，尽量反映杨辉三角的特点。 ⑵设计计算杨辉三角形各行数值的方法。 ⑶输入：rmax从键盘输入。 ⑷输出：屏幕输出杨辉三角形. 3.实现提示 ⑴存储设计 计算杨辉三角形第i行时，如果在第i-1行两侧各添加一个0，则第i行的第j个元素等于第i-1行的第j-1个元素与第j个元素的和。计算如图2.4.4所示。第i行计算完，第i-1行的数据就没有用了，依据第i行数据可计算第i+1行的数据。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … 图2.4.3 杨辉三角形 从上述计算中不难看出，第i行的元素从左往右依次可被求得，求解过程中也是从左往右依次使用地i-1行的数据，显然，具有先入先出的特点。所以，可借助一个队列存放计算过程中所需的数据，如图2.4.5所示。 但随着航数的增加，队列会很长。所以，可以设置一循环队列，队长不少于rmax+2,边计算边出队。 （2）算法设计 计算各行元素的算法步骤如下。 Step1:队列初始化，0、1入队。队头ftont指向0处，队尾指向1后。 Step2:i从1到rmax,循环执行下列操作，求第i行数据。 2.1 0入队。 2.2 从队首起直到队尾，每出队两元素，求和后入队。 输出时注意0不输出。

数学上一些有趣的联系

数学课应该讲这些。人类知识体系是一个有机的开放复杂巨系统，数学是一个子系统，其中充满深刻联系，但今日的数学教育割裂了这些联系。必须把被割裂的部分连接起来，把被颠倒的历史颠倒回来。 数学（理论、应用、计算数学和随机性数学）/物理/计算科学/工程应该是统一的，并且朝着复杂性科学的方向进化。 括号里是参考书，我大都没看过。 以下问题都是开放的，有的问题可能能类比到其他联系或引发更深刻问题，欢迎讨论。 均非原创。 0。数学的主线，这个必须不断强调。比如，建模、解方程、分类、建立不同分支间的联系。 华罗庚同志回国后，在五六十年代写了几本科普书，《从杨辉三角谈起》（1956年6月）、《从祖冲之的圆周率谈起》（1962年4月）、《从孙子的神奇妙算谈起》（1963年2月）《谈谈与蜂房数学结构有关的数学问题》（1964年1月）。 《从杨辉三角谈起》涉及二项式定理，古人用它手算高次方根，牛顿用它算微积分。华老思路更广，垛积术->差分方程，无穷级数都谈到了。 《从祖冲之的圆周率谈起》涉及的线索有：历法中的计算-例如几年几闰->连分数展开->数论，天文中确定周期现象->用分数逼近实数（这可以帮助推导出开普勒定律，参见项武义）。在六七十年代，华老也用连分数解决一个工人师傅提出的数学问题：构造传动比接近圆周率的齿轮。 《从孙子的神奇妙算谈起》，当然从“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”和孙子的口诀开始，谈解同余方程。插值。 这些书的对象是中学生，知识并不艰深，其中涉及很多思想方法。同时这些问题也是本质的，在数学史上占有一席之地，和中国古代数学史、今日数学主流密切相关。 华老中国古代数学造诣很深，数学功底深厚，又结合实际，因此深入浅出写出以上科普佳作。 吴文俊老师后来接过了这一棒，从中国古代数学中挖掘出了数学机械化的思想。 1.复变函数、柯西-黎曼方程的流体力学和热学背景。黎曼映照定理的热学证明。（Mark L evi《The mathematical mechanic》，这本书用物理做数学，有很多有趣的证明。他认为，这些物理证明把物理当作数学的工具……） 电学背景。静电场无源无旋，柯西黎曼方程是二维真空麦克斯韦方程的特例，场和势的关系。偶极子，（《复分析：可视化方法》）向量场的指标，Poincare-Hopf定理。 2.卷积的代数背景。看成群代数中元素的乘积在无限群上的推广。（Shafalev ich《代数学基础》） 3.代数拓扑课，应从相交数和微分形式入手讲上同调乘积。（一般书上都有，但各讲各的，我们只需要把它们综合起来）

浅谈数学史在初中数学教育的体现

浅谈数学史在初中数学教育的体现 长期以来，数学学科在教学过程中的“缺人”现象一直存在.所谓的“缺人”现象就是对人文素养的缺失与忽视.而实际上，教学过程中适当的融入数学史的做法便是很好的人文渗透.以人文渗透的方式丰富数学学习的内容与形式，可以让学生喜欢数学、会学数学、进而学好数学.从数学史的内容分布来看，在数学教育中渗透数学史的元素可以从以下几个方面人手. 一、数学史之数学概念的发生、发展过程 数学概念是数学中最基本的元素之一，对数学概念的历史挖掘可以更好的让学生对概念的本质产生直观印象，从源头帮助学生学好知识，学透知识. 正数与负数的历史发展 正数与负数的产生是人类思维进化的大飞跃.在原始时期，人们没有数的概念，在计数的时候往往使用手指计数，当手指数量不够用

的时候，人们就会借助结绳、棍棒、石子的方式计数.随着社会的发展，尤其是经济的发展.对计数的要求就逐渐变高，于是就有了自然数的概念，分数的产生.而在生活中则有了比0度还低的温度……这些情景的出现就要求人类开始考虑数字的正反，多少两个层面的含义，于是就诞生了负数的概念.这种正负数产生的过程就可以让学生真切的感知负数诞生的历史背景和社会生态，有利于学生将正负数的知识迁移运用到生活当中. 二、数学史之定理的发现与证明过程 传统课堂中对定理的证明和介绍往往是将证明过程进行展示，学生对定理的来历和证明过程的原始记载并无掌握，不能很好的形成对所学知识的深刻印象.将定理证明的来源及其在不同国家的历史发展介绍给学生将有助于深化对定理的理解，学习伟大数学家对待证明的方法，并感悟数学思想的魅力. 勾股定理的证明

在中国，勾股定理的证明最早可以追溯到4000年前.在《周髀算经》的开头就有关于勾股定理的相关内容；而在西方有文字记载的最早给出勾股定理证明的则是毕达哥拉斯.相传是毕达哥拉斯在朋友家做客时，无意中看到朋友家地板的形状，于是便在大脑中出现了一系列的假设和猜想，并随后给予了论证.当毕达哥拉斯证明了勾股定理以后，欣喜若狂，于是杀牛百头以示祝贺.现在，数学家已经从不同的角度对勾股定理进行了证明，证明方法多达几十种. 三、数学史之数学历史中较为有名的难题解析 在数学的发展史中，有一些流传下来的被后人津津乐道的数学难题，这些题目的解答中往往蕴含着丰富的数学解题思想和独特的思维方式，同时也可以让学生感受到数学问题的奥秘并从中获得启示. 哥尼斯堡七桥问题

杨辉三角的规律以及推导公式

杨辉三角的规律以及定理 李博洋 摘要杨辉三角中的一些规律 关键词杨辉三角幂二项式 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所着的《详解九章算法》一书 中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现 在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。我们则来对“杨辉三角”的 规律进行探讨和研究。 内容 1二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。 由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为：121 则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数 为：1331但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。 展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为： 14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1(110) 11(111) 121(112) 1331(113)

14641(114) 15101051(115) 1615201561(116) 因此可得出二项式定理的公式为： (a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把带进了。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。 2杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1(1) 11(1+1=2) 121(1+2+1=4) 1331(1+3+3+1=8) 14641(1+4+6+4+1=16) 15101051(1+5+10+10+5+1=32) 1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64) …… 相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂 3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系 (1) 1(2)n=1 11(3)n=2 121(4)n=3 1331(5)n=4

杨辉三角与两数和的乘方优秀教案

《杨辉三角与两数和的乘方》教学设计 教学目标： 知识与技能： 1、探究并掌握杨辉三角与两数和的乘方的系数之间的联系，会利 用这种关系写出两数和的乘方的展开式。 2、探究杨辉三角的数字规律，并能运用这些规律写出杨辉三角， 解决简单的纵横路线图问题。 过程与方法： 1、引导学生观察，讨论，合作学习，让学生充分感受到知识的产 生和发展过程，让学生学会自主探究新事物。 2、通过研究杨辉三角的数字规律，培养学生由特殊到一般的猜想 a-的展开式让学生体会转化的数学归纳能力。通过计算()5b 思想方法。 3、通过求()62+a中4a项的系数，让学生学会数学中的赋值 法。 情感态度与价值观： 1、介绍杨辉三角的数学历史，增强学生民族自豪感。 2、采用小组讨论的方式探究杨辉三角的规律，培养学生合作意识， 同时激发学数学的兴趣和热情，增强自信心，引发自主学习的 内在动力。 3、通过象棋问题引入杨辉三角最后又运用杨辉三角解决象棋问题 让学生感受到数学源于生活又服务于生活，数学与现实生活密

切相关而不是割裂的，体会数学在生活中的应用价值，从而提高学习数学的积极性。 教学重点： 1、探究杨辉三角与两数和的乘方的系数之间的关系。 2、探究杨辉三角的数字排列规律。 教学难点： 1、利用杨辉三角与两数和的乘方的系数之间的关系计算 ()5b a-的展开式。 1+ 2、例2中将78看作()77 教材分析： （1）杨辉三角与两数和的乘方是浙教版七年级下册第三章的阅读材料，课程总目标对本节课的要求是通过教师在平时教学中渗透或通过学生课后阅读解杨辉三角的简史，掌握杨辉三角与两数和的乘方的系数关系及杨辉三角数字排列规律。 （2）本节课是以整式的乘除为基础，对整式的乘法进行拓展，为高中学习二项式的展开式奠定基础。通过本节课的探究既能构建完整的知识框架，又能培养学生的数学素养。 （3）近几年的中考试题中频频出现杨辉三角，对此本节内容既是对整式乘除的巩固与拓展也是对学生知识的补充。 学情分析： 七年级学生自主学习能力比较薄弱，还无法用数学语言归纳概括比较复杂的数字规律。但是只要教师给予适当的引导、点拨他们还是

杨辉三角考题赏析

杨辉三角考题赏析 “杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝．利用杨辉三角不仅讨论了二项展开式的一些性质，杨辉三角本身还包含着许多有趣的规律和性质．正因为如此，以“杨辉三角”为背景的试题在近年的高考或各地模拟题中频频出现，有力地考查了同学们对数据的整理、分析、概括、处理能力和创新思维能力．现采撷几例，与同学们共赏析． 例1 （2004年上海春季高考卷）如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_____行中从左到右第14与第15个数的比为2:3． 解析：由图1我们能发现，第1行中的数是0111C C ，；第2行中的数是 012222C C C ，，；第3行中的数是01233333C C C C ，，，； ；则第n 行中的数是 012n n n n n C C C C ，，，，设第 n 行中从左到右第14与第15个数的比为2:3，则 13142:3n n C C =·，解得34n =． 点评：本题是关于“杨辉三角”的一道高考题．杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，与排列、组合和概率的关系非常密切．因此，理解和掌握杨辉三角的一些性质，对发现某些数学规律是很有帮 助的． 例2 （2006届全国100所名校示范卷）如图2所示，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10， ，记 这个数列的前n 项的和为()S n ，则(16)S 等于（ ）．

A ．144 B ．146 C ．164 D ．461 解析：由图2知，数列中的首项是22C ，第2项是12C ，第3项是23C ，第4项 是13C ，，第15项是29C ，第16项是1 9C ． 因此得121 21211 1223399239(16)()S C C C C C C C C C =++++++=+++2 22239()C C C ++++ 21 123 2223 33923391010()()1164C C C C C C C C C =+++-++++==+-=．故选Ｃ． 点评：本题是杨辉三角与数列结合的一道考题．将数列的各项还原为各二项展开式的二项式系数，并依次应用杨辉三角中数的规律Ｃrn+1＝Ｃr-1n+Ｃrn （即组合数性质2），从而求得数列的和． 例3 （2004年江苏高考模拟卷）观察下列数表，问此表最后一个数是 什么，并说明理由． 解析：因为第一行有100个数，以后每一行都比前一行少一个数，因此共有100行． 通过观察可以得到： 第1行首尾两项之和为101； 第2行首尾两项之和为1012?； 第3行首尾两项之和为21012?， 第4行首尾两项之和为31012?，…… 第99行首尾两项之和为981012?． 因为从第2行开始每一个数字是它肩上两个数字之和，所以最后一个数字即第100行的数字是它肩上第99行首尾两个数字之和即为981012?． 点评：本题是一道以“杨辉三角”为背景的一道考题．通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．

高中数学论文：浅谈高中数学个性化课堂教学尝试

高中数学论文 让学生个性在数学课堂中张扬 ——浅谈高中数学个性化课堂教学尝试 【内容提要】学习是学生的个性化行为，作为教师，应当在课堂教学环境中创设一个有利于张扬学生个性的场所，因此高中数学要求学生积极、主动、健康地学习，充分发展其个性特长。这就需要我们教师在课堂教学中更加关注和努力尝试个性化教学，然而如何在课堂教学中实施有效的个性化教学就成了关键问题。本文以杨辉三角型数列问题为例，谈谈如何在日常教学中实施个性化课堂教学的问题。 【关键词】个性化课堂教学 数学学习是学生学习的个性化行为，在这个个性化过程中，让学生在数学课堂教学中展示个性化学习，让学生的个性得到充分的发展，做到教师个性化的教和学生个性化的学的统一。数学课程理念倡导：日常教学要使学生积极、主动、健康地学习，充分发展其个性特长。为了实现这一目标，教师在课堂教学时，要凭借良好的教学素质，创造性地处理教材，合理的创设课堂氛围，最优化地组合课堂结构，最大程度的发挥学生的主体作用，让课堂真正成为学生自己的舞台。充分发掘学生的聪明才智，调动学生的学习积极性，使课堂教学适应个体个性化的自然需要，从而有效的提高课堂效率。而以往受应试教育和教学设施的影响，高中实施个性化教育还只停留在“空想”阶段，随着新课程改革的不断深入和现代教育技术的应用，使得个性化课堂教学成为一种可能，更是一种必然.而教学实践中,教师对如何开展个性化课堂教学比较陌生，不知道如何有效地对学生进行个性化教学。这一问题成为了日常教学的焦点，也是一个难点。下面就结合《杨辉三角型数列问题》教学案例谈谈笔者在实施个性化课堂教学中的尝试。 高一学生在学习完数列内容后，开展了有关杨辉三角问题的研究性学习，初步熟悉了杨辉三角的概念及基本性质.为了进一步培养学生的能力，真正达到研究性学习的目的，借用学生熟悉的杨辉三角模型，设计了有关杨辉三角型数列问题的延续课。 一、知识积累阶段 例1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

杨辉三角与二项式系数的性质教学反思07

杨辉三角与二项式系数的性质 教学反思 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标基本符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.

不可不知的中国古代数学：从高斯算1 2 3 … 100谈起

不可不知的中国古代数学：从高斯算1 2 3 … 100谈起。。。 中国古代数学究竟有多牛逼 编者按：本报告基于林开亮博士参加由《知识就是力量》杂志社主办的2016年度“全国中学生数学/物理/化学科普竞赛”数学科普讲座的通俗报告《从杨辉三角到李善兰垛积术》和他在西北农林科技大学做的通俗报告《从高斯算 1+2+3+...+100 谈起》。感谢林老师授权【超级数学建模】发表。 高斯的故事 我们的故事从德国大数学家高斯（Gauss）讲起：传说中的高斯解法：利用对称性首尾相加求和 事实上，高斯用的是数学归纳法；他证明了一个更一般的结果阿基米德的故事 不过高斯并不是最早得到公式（1）的人，至少古希腊的阿基米德就知道了（1），事实上，阿基米德还得到了下述平方和求和公式阿基米德有一句名言流传至今：给我一个（地球外）支点，我可以翘起整个地球！ 你在开门时、用钳子夹核桃就已经应用了这个杠杆原理！ 阿基米德与高斯之间数学家：朱世杰 一个自然的问题是：历史上第一个给出这类问题解法的，是元代数学家朱世杰。特别地，对上述问题，他给出了答案：

这比欧洲最早得到这个公式的德国数学家莱布尼茨早了300多年。今年恰逢莱布尼茨（1646－1716）逝世300周年。朱世杰：我们的主人公朱世杰就是我要讲的故事的主人公，我们不仅仅要介绍他是如何得到立方求和公式（3）的，还要介绍他的方法（裂项求和）如何可以求出一般的前n个数的p次方的和，即如何得到这样的公式：朱世杰现在对大家来说也许只是个陌生的名字，但我希望报告结束后你会得到这样的认识，他位列古代最伟大数学家的行列。 朱世杰生活的大时代 世界 中世纪（Middle Ages，大约500--1400 ）的漫漫长夜长达近千年，代表事件分别是罗马帝国的灭亡与文艺复兴。中世纪的数学最辉煌的地域是中国（宋元四大家）、印度（婆罗摩笈多）、波斯（海亚姆）、意大利（斐波那契）。 翻译传播希腊与印度的数学和科学。 中国 宋元（960-1279-1368）四百年是中国古代数学的黄金时代，涌现出四位大数学家，人称“宋元四大家”： 南宋：李冶（1192-1279）、秦九韶（1202-1261）、杨辉（约1238 -1298）元：朱世杰（1249-1314）四人皆有著作，成就了中国古代数学的最高峰 评注1：美国著名科学史家萨顿(G. Sarton，1884－1956)

浅谈数学教学中的德育教育

浅谈数学教学中的德育教育 发表时间：2011-10-27T09:05:41.360Z 来源：《学习方法报●语数教研周刊》2011年第5期供稿作者：薛在敏 [导读] 德育在现代人素质结构中占居着核心地位，德育是素质教育的根本. 山东海阳市留格庄镇第二初级中学薛在敏 别林斯基说过：“有许多种教育与发展，而且每一种都具有自己的重要性，不过德育在它们中应该首屈一指”.德育在现代人素质结构中占居着核心地位，德育是素质教育的根本.寓德育教育于中学数学教学中，是素质教育、义务教育数学教学大纲的重要组成部分，数学教育要实施素质教育就应该在学科教学中有机地渗透德育，引导学生在学习数学的同时提高自身素质，完善自我. 一、立足教材，挖掘德育内容 德育渗透在数学中的内容是多方面的.大纲要求：“根据数学学科特点，对学生进行学习目的的教育，爱祖国、爱社会主义、爱科学教育，辩证唯物主义观点的启蒙教育——”.其中爱国主义教育是德育教育的灵魂和核心，缺乏或忽视它都是不健全、不完善的教育.在教材中有许多反映我国国情建设、科技资源、环境保护等内容，有意识、有计划地加以发挥是渗透德育的基本途径. 如教学“科学记数法”时，向学生讲解“我国的领土有960万平方公里，我国的第一大岛台湾的面积是135700平方米——”.通过讲解这些知识进行国情教育，使学生了解祖国的大好河山，心中有祖国，做爱国的中国人；同时明确认识到台湾是中国的一部分，香港、澳门的回归已成现实，我们盼望着祖国的完全统一. “近几年我国国内生产总值连续增长，2001年达到95933万亿元，2002年102398万亿元，2003年116694万亿元”.每一年的增长率是多少？通过完成这道应用题，学生们了解到了祖国在改革开放中各个方面取得的成就，瞩目祖国的不断强大，从而进一步激发学生们热爱祖国，拥护改革开放政策，为他们将来的学习和发展奠定坚实的思想基础. 中国上下五千年中，数学方面的发明创造是数学发展史中的光辉篇章.在进行圆周长、圆面积、扇形面积、圆柱（锥）体积等教学时，所用的圆周率，都不忘介绍祖冲之、刘徽为研究圆周率所作的巨大努力和杰出的贡献，用以激发学生们的民族自豪感，坚定学好数学的决心. 在教学完全平方公式时，也不失时机地讲解“杨辉三角”的辉煌业绩以及在高数中的重要地位，激发学生的求知欲望，为将来的发展而奋斗. 二、结合实际，丰富德育内涵 数学属于理科类，其思想往往是内隐和深藏的，有时就需要教师创造渗透德育教育的条件，如自编习题，这也是扩大教育的一种好方法. 现代的学生大部分是独生子女，在长辈们无微不至的关怀下，往往养成了以自我为中心不良习性，不懂得关心别人和尊敬长辈.有些家长向我反映，他们的孩子在家好吃好穿，不考虑别人，更有甚者，穿衣服要穿名牌，很少顾及到家长辛勤劳作的艰辛.于是我在教学时，经常自编了一些暗示题 编题时，我还结合学校“向灾区人民献爱心”活动，培养学生的社会责任感；结合植树节，渗透绿化环境、美化家园、爱我海阳核电的教育；结合“两弹一星”的丰功伟绩，激发学生爱科学、学科学、报效祖国的远大理想；还结合诸如节约用煤、粮食增产、降低利息、缴纳税款等资料，使学生在解题中受到全方位的思想教育，达到全面提高学生素质. 三、摆正态度，倡导德育评价 数学是一门基础性极强的学科，部分学生由于某一阶段或某一时期的学习态度、方法等因素导致了当前学习上的障碍和暂时落后，从而引起了同班同学的冷眼，致使他们有一种抬不起头的感觉，学习上很大程度上会出现畏难怕学的情绪，在这种情况下，我的态度十分鲜明，就是帮助他们，我尽可能地让他们感到班级、同学的温暖，给他们最好的位置， 四、改进教法，提高德育实效 随着现代社会的飞速发展，建设成就、科技发明可以说无一不是群体的力量.在实践中、竞争中团结合作，是每一个公民必须具备的素质，培养学生这些思想品质，也是实施德育教育的一项内容，数学学科十分有利于培养学生的这些意识.在教学过程中改变传统的“我讲你听”的方式，充分让学生主动的参与教学，设计“一帮一”、“一对红”，自由讨论、邻桌小议、分组讨论等形式，达到协作互助、共同进步.如教学“解直角三角形”知识后，课后让学生分小组结合，自由选择课题，设计问题，运用解直角三角形知识解决生活中的实际问题.于是有的小组测量旗杆高度、有的测量河宽，——学生们有的准备工具、有的测量数据、解答计算，最后带到课内评比交流，师生共同评价.这种方法使学生互相取长补短，学生间合作，小组间竞争，从中学做人，提高德育的实效性，把个人融于团队之中. 数学教学中对学生进行的德育渗透，可能只是点点滴滴，但只要长期坚持，学生定会耳濡目染，潜移默化，集腋成裘，学生的品德素质将随着数学学习同步提高，从而实现真正意义上的素质教育.

(完整版)教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)

1.3.2二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示：

表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？） 【提示】设这一数为r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： 1 1 01C C 02 C 12 C 2 2C 03 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 0 5C 1 5C 2 5C 35 C 4 5C 55 C

杨辉三角

杨辉三角 教学设计思想： 这节课是高三数学（选修II ）的研究性课题，是在高二学过的“二项式定理”的基础上，进一步探讨和研究杨辉三角的性质，实质上就是二项展开式的二项式系数即组合数的性质。 （1）让学生在教师设计的问题情境中，自己根据已经学过的知识去发现问题→提出问题→解决问题，即观察、猜想、归纳杨辉三角横行、竖向、斜向的数字各数之间的大小关系、组合关系及各数字之间的联系等规律。 （2）在学生自主探究知识的发生发展过程中从中体会到数学世界的神奇和有趣，激发他们对数学的热爱之情。培养他们的交流与协作的能力。 （3）通过向他们介绍杨辉三角的有关历史，让他们了解中国古代数学的伟大成就，增强他们的民族自豪感。 教学 目标： 1 使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，掌握杨辉三角的基本性质，并能认识到中国古代的数学的辉煌成就。 2 让学生在老师的启发下自己去探讨杨辉三角中行、列的数字的特点， 发现杨辉三角的有关的性质，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。 3通过讨论，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。在交流中培养学生的协作能力，形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神，为进一步学习作好准备。 教学过程： 一 引入 今天我们在高二学过的杨辉三角的基础上，进一步探索杨辉三角数字中横 向、竖向、斜向…中蕴含的有趣的数量关系。（幻灯片：出示杨辉三角的前3行，余下的让学生补充完整） 二 杨辉简介 杨辉，中国南宋时期杰出的数学家 和数学教育家。在13世纪中叶活动于 苏杭一带，其著作甚多。其中《详解九章算术》 中的“开方作法本源图”,曾被称为“杨辉三角”， 杨辉指明次系贾宪(约11世纪)所用. 三 探讨杨辉三角的性质 ? ??++++++=++++++=+++++=++++=+++=++=+=+6 43223245665 432234554 3223443 22332 221061520156)(510105)(464)(33)(2)()(1)(b ab b a b a b a b a a b a b ab b a b a b a a b a b ab b a b a a b a b ab b a a b a b ab a b a b a b a b a

斐波那契数列的启示

Xxxxxxxxxxx大学 课程论文（2013-2014学年春季学期） 论文题目： 课程名称： 任课教师： 班级： 学号： 姓名：

浅谈斐波那契数列 摘要： 斐波那契数列，又称作黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多?斐波那契（Leonardo Fibonacci）。本文主要就斐波那契数列的提出与特征进行简要分析，通过举例重点说明斐波那契数列在实际生活当中的表现与应用，进而得到启示。 关键词： 斐波那契数列; 特征; 应用 Research on Fibonacci sequence (Institute of Technology, China Agricultural University, FENG-Wei) Abstract: Fibonacci sequence, also known as the golden series, referring to such a sequence: 1,1,2,3,5,8,13,21…… this sequence beginning from the third term, each of which equal to the sum of the first two terms. The inventor of Fibonacci series was an Italian mathematician——Leonardo Fibonacci. This tractate focuses on the characteristics of Fibonacci sequence and has a brief analysis, as well as giving examples to analyze the performance and application of Fibonacci sequence in real life, and then get inspirations. Key words: Fibonacci sequence; Characteristics; Application

杨辉三角与二项式系数的性质(教案)

1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数 表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ，

高中数学知识点：杨辉三角问题解法(动画版)

高中数学知识点：杨辉三角问题解法(动画版) 在高中数学知识点中，杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形， 是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角 形。下面让我们更深入的了解一下高中数学知识点之杨辉三角的相关知识吧。 一、杨辉三角的性质前提：端点的数为1.1.每个数等于它上方两数之和。2. 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。3.第n行的数字有n项。4.第n行数 字和为2n-1。5.第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元 素中取m-1个元素的组合数。6.第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，为 组合数性质之一。7.每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质 写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个 数之和，这也是组合数的性质之一。即C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。8.(a+b)n的 展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。9.将第2n+1 行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这 些数的和是第4n+1个斐波那契数;将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第 4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。10.将 各行数字相排列，可得11的n-1(n为行数)次方：……当n>5时会不符合这一 条性质，此时应把第n行的最右面的数字”1”放在个位，然后把左面的一个数 字的个位对齐到十位......，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加 起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为： 1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为25937424601=1110。二、杨辉三角的解法1.解题法一 那幺怎样才能显示成金字塔形状呢？问题在于如何将每行前的空格数与行

杨辉三角

研究性课题：杨辉三角 ●教学目标 (一)教学知识点 1.理解杨辉三角的性质 2.掌握有关杨辉三角的基本性质1 1 1C C C ,C C +++-=+=r n r n r n r n n r n . (二)能力训练要求 会应用杨辉三角的基本性质证明杨辉三角新的性质. (三)德育渗透目标 1.培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题的能力.解决问题能力，让学生在探索过程体验数学活动，数学发现的成功的愉悦. 2.培养学生实际动手操作实践创新的能力，培养学生的创新精神，探索精神和应用能力，鼓励学生大胆猜想，相信科学. ●教学重点 杨辉三角新的性质的探索和发现是教学的重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，研究和探索杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是大有裨益的.对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的. ●教学难点 杨辉三角新的性质的探索和发现是本节课教学难点。 ●教学方法 由于杨辉三角中的许多有趣的数量关系不是轻易发现的，而简单的告诉和求证又显得十分枯燥无味，学生的发现、探索精神和能力的培养受到了一定的限制，所以学生主动探索，发现和证明(失败时总结经验，另寻他路，重新启动，走向成功)的全程的尝试是最为主要的，这样不是被动的接受，而是主动的建构，学生的认知结构得到了较好的发展和培养，他们不仅学会了知识而且还学会了如何面对困难、克服困难，走向成功的高峰的非智力因素的调节作用，要求同学们不仅是个体参与，而且是集体参与，智力参与. ●教具准备 实物投影仪(多媒体课件) ●教学过程 Ⅰ.课题导入 上节课我们学习了杨辉三角中的有关性质，杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一，它的发现远早于法国数学家帕斯卡，它和勾股定理，圆周率的计算等其他中国古代数学成就，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。今天我们继续探索研究杨辉三角的有关性质. Ⅱ.讲授新课 一般的杨辉三角如下表.

浅谈数学课堂教学中的数学文化的渗透

浅谈数学课堂教学中的数学文化的渗透 随着新课程改革的实施，数学教学的文化价值在课堂教学中显得越来越重要。本文先谈如何认识数学是一种文化，及其文化资源的内涵，然后试从数学知识发生发展的过程、联系数学史实、联系生活实际以及欣赏数学美四个方面论述了如何在数学课堂教学中渗透数学的文化价值，使学生从中受到潜移默化的教育。与此相应的要求教师自身的数学文化素养有所提高。 一、数学本身就是一种文化 文化的含义很复杂，如今关于文化的定义有几百种，难怪有人说，“文化是个框，什么都能装”。那数学文化究竟是什么，目前还没有统一的定义。而全日制义务教育数学课程标准指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”。普通高中数学课程标准（实验）解读中提到：“一般说来，数学文化表现为在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出的对于人类发展具有重大影响的方面。它既包括对于人的观念、思想和思维方式的一种潜移默化的作用，对于人的思维的训练功能和发展人的创造性思维的功能，也包括在人类认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取的精神和所能达到的崇高境界等”。可见数学文化对数学教育的影响。新时代的教师应思考如何将数学文化融入数学课堂，渗入到实际的教学活动中，使学生在学习数学的过程中得到数学文化的熏陶。 二、数学文化资源的内涵 人文精神的内涵是很丰富的，包括对高尚的道德、信念、人格的追求；对自由、平等、正义的渴望；对幸福、信仰、人生价值问题的反思；对知识、科学、真理的求索；对客观现实、自然规律的遵循。概括地说要养成健康的人格，形成人与人、人与社会、人与自然和谐、默契的关系。数学学科的内涵十分丰富，功能极其全面。大数学家克莱因认为：“数学是人类最高的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，可是数学能给予以上的一切”。

浅谈杨辉三角的奥秘及应用

浅谈杨辉三角的奥秘及应用 摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。 关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂 0 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。 1 杨辉三角与数字11的幂的关系 我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。 假设y=11n 当n=0时： y=1； 当n=1时： y=11； 当n=2时：y=121； 当n=3时：y=1331； 当n=4时：y=14641； 以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n≥5时的情况，如下： 当n=5时： 1 4 6 4 1 ? 1 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 当n=6时： 1 5 10 10 5 1 ? 1 1 1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

…… 由上可知：11的n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证 明还有待证明）即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图 形。如下图： 1 (110 ) 1 1 (111 ) 1 2 1 (112) 1 3 3 1 (113) 1 4 6 4 1 (114) 1 5 10 10 5 1 (115) 1 6 15 20 15 6 1 (116) …… 其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。我们知道初中时老师教 我们记11的幂时，有一句口诀：头尾不变(即为1)，左右相加放中间。其实是错位相加，而 扬辉三角中头尾为1，中间的数是其肩上的两数之和，也是错位相加得到的。 2 杨辉三角与2的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1= 2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) …… 我们知道相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5， 6，…次幂，即杨辉三角第n 行中n 个数之和等于2的n-1次幂。 刚好与高中时学的杨辉三角的性质相符合，归纳如下： 1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n 行就是二项式n b a )(+展开式的系数列 }{R N C 。 2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即 r n n r n c C -=。