1.3.1 单调性与最大(小)值(1)(教案)

§1.3 函数的基本性质

§1.3.1 单调性与最大（小）值（1）

【教学目标】

l.知识与技能

（1）建立增（减）函数的概念：通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义。掌握用定义证明函数单调性的步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

2. 过程与方法

（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。

3. 情感态度与价值观

使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感。

【教学重点】

函数的单调性及其几何意义。

【教学难点】

利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。

【教学方法】

从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。

【教学过程】

【导入新课】

思路：函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律。而函数的变化规律主要体现在函数的一些性质上，因此研究函数的性质，如函数在什么时候递增或递减，有没有最大值或最小值，函数图像有什么特征（对称、重复出现等特征）等，是非常重要的。由于函数图像能很好地反应上面所述的函数的这些性质，所以下面我们就从函数图像开始先来研究函数在什么时候递增或递减，即函数的单调性，再从函数的图像特征总结出增函数、减函数以及函数单调性的相关定义。

【推进新课】

【新知探究】

1、画出下列函数的图像：

（1）1y x =+；（2）2y x =-+；（3）2

23y x x =-+；

并思考：（1）从左向右看，函数图像的变化趋势是如何的？

（2）如何用图像上动点(),P x y 的横、纵坐标的变化情况来说明函数图像的这种变化趋势？

（3）能否借助“函数图像上动点(),

P x y的横、纵坐标的值的大小变化情况”来反应图像上动点(),

P x y的横、纵坐标的变化情况，即借助“函数图像上动点(),

P x y的横、纵坐标的值的大小变化情况”来说明函数图像的这种变化趋势？

2、通过以上三例，教师可以作如下总结：

（1）

从左向右看，函数1

y x

=+的整个函数图像逐渐上升?函数1

y x

=+图像上的动点()

,

P x y的

?对于定义域R内的任意

两个值

12

,x x．．．?此时称函数1

y x

=+在定义域R内

1

y x

=+在R

（2）从左向右看，函数1

y x

=-+的整个函数图像逐渐下降?函数1

y x

=-+图像上的动点()

,

P x y 的?对于定义域R内的任

意两个值

12

,x x，．．．?此时称函数1

y x

=-+在定义域R

1

y x

=+在R

（3）从左向右看，当(],1

x∈-∞时，函数223

y x x

=-+的图像逐渐下降?当(],1

x∈-∞时，函数223

y x x

=-+图像上的动点(),

P x y的纵坐标随着自变量的增大而减小（自变量与因变量的变化趋势相反）?对于(],1

-∞的任意两个值

12

,x x，．．．?此时称函数223

y x x

=-+也称函数223

y x x

=-+从左向右看，当[)

1,

x∈+∞时，函数223

y x x

=-+的图像逐渐上升?当[)

1,

x∈+∞时，函数223

y x x

=-+图像上的动点(),

P x y的纵坐标随着自变量的增大而增大（自变量与因变量的变化趋势相同）?对于[)

1,+∞的任意两个值

12

,x x，．．．?此时称函数223

y x x

=-+也称函数223

y x x

=-+

(1)(2)

因此，增函数（或减函数）可以如下定义： 【知识点1】

1、增函数（或减函数）的、单调性、单调区间定义：

（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ：

如果对于定义域．．．I 内某个区间．．．．．D 上的任意．．两个自变量的值12,

x x ，

恒成立．．．，那么就说函数()y f x =．．．（或严格单调递增）．．．．．．．．．（如下图（1））。 如果对于定义域．．．I 内某个区间．．．．．D 上的任意．．两个自变量的值

12,x x ，

恒成立．．．

．函数（或严格单调递减）（如下图（2））。

（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间D 上具

有（严格的）单调性。

（3）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数（或减函数），且函数()y f x =在区间D 两端点之外

紧挨着的区间是减函数或常函数（或增函数或常函数），则称区间D 为函数()y f x =的（单调递）增区间（或（单调递）减区间）。（单调递）增区间和（单调递）减区间统称为单调区间。

【注意】

（1）增（减）函数定义中的12,x x 有三个特征：

①任意性：即“任意取12,x x ”，不能取特定的值来代替；②有大小，通常规定12x x <；③属于同一 区间D 。以上三者缺一不可。

【例1】若函数()f x 的定义域为()0,+∞且满足()()()123f f f <<，则函数()f x 在()0,+∞上为（ ） .A 增函数 .B 减函数 .C 先增后减 .D 不能确定

（2）从左向右看，函数()y f x =的图像在区间D 上“逐渐上升”?对12,x x D ?∈成立?在区间D 上自变量的变化趋势与因变量的变化趋势相同?对

12,x x D ?∈，都有

()()

1212

0f x f x x x ->-恒成立?函数()y f x =在区间D 上是增函数。

x

从左向右看，函数()y f x =的图像在区间D 上“逐渐下降”?对12,x x D ?∈

成立?在区间D 上自变量的变化趋势与因变量的变化趋势相反?对12,x x D ?∈，都有

()()

1212

0f x f x x x -<-恒成立?函数()y f x =在区间D 上是减函数。

（3）函数的单调性是函数在定义域的某个区间上的性质，因此函数的单调性是函数的一个局部性质。对

于这个区间可以是整个定义域，如y x =在整个定义域(),-∞+∞上是增函数，y x =-在整个定义域

(),-∞+∞上是增函数；也可以是定义域的真子集，如2y x =在定义域(),-∞+∞上不具有单调性，

但在(],0-∞上是减函数，在[)0,+∞上是增函数。即：D I ?；同时区间D 是连续的，即区间D 中无间断点。

（4）有的函数不具有单调性。如函数R

1,Q

Q 0,x y x ∈?=?

∈?e，它的定义域为R ，但不具有单调性；在如1,Z y x x =+∈，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性。

【例2】课本29P 例1

【变式1】1、课本32P 练习2、3

2、已知函数1

y x x =+

的图像如图所示，根据图像写出函数的单调区间，并说明在每一个单

【总结】（1）单调区间端点的写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，

所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，习惯上， 若函数在区间端点有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以；但若函数在区间端点处 无定义，则必须写成开区间。 （2）若函数()f x 在其定义域内的两个区间,A B 上都是增（减）函数，但不能说()f x 在A B

上是增（减）函数。如()1

f x x

=

在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是减函数，但不能说 ()1

f x x

=

在定义域()(),00,-∞+∞ 上是减函数，事实上，取1211x x =-<=，有 ()()1211f x f x =-<=，不符合减函数的定义。因此，如果函数()f x 在其定义域内有多

个增（减）区间，这些区间之间不能用并集符号“ ”以及“或”这个词语连接，它们之间 只能用逗号“，”或者用“和“这个词语连接。

【例3】物理学中的玻意耳定律k

p V

=

（k 为常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V 减小时，压强p 增大。试用函数的单调性证明之。

【总结】利用单调性的定义证明（判断）函数的单调性的步骤： （1）取值：设12,x x 为给定区间内的任意两个值，且12x x <；

（2）作差变形：作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、通分、有理化因式等方法，将差

（3）定号：确定差的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （4）判断：根据定义作出结论。 【变式2】1、课本30P 探究题 课本32P 练习4 2、用单调性的定义证明：函数1

y x x

=+在[)1,0-上是减函数，在[)1,+∞上是增函数。

【总结】“双勾函数()0a

y x a x =+>”的图像和性质： ①图像：

②性质:（Ⅰ）单调性：在区间(

)

,,

-∞

+∞上是增函数；在区间)(

,??

上

是减函数。

（Ⅱ）最值及对应的自变量的取值：

若0x >

，则当x =

()min f x

=；

若0x <

，则当x =()max f x =-

【例4】（1）用单调性的定义证明：函数()f x =

（2）用单调性的定义证明：函数()3

f x x x =+在(),-∞+∞上是增函数。

【变式3】（1）用单调性的定义证明：函数()224f x x x =+在(],1-∞-上是减函数，在[)1,-+∞上是增

函数。

（2）用单调性的定义证明：函数()1

1

x f x x +=

-在(],1-∞和[)1,+∞上都是减函数。

【知识点2】

2、单调区间的求法： （1）定义法： 【例5】求函数()1x

f x x

=+的单调区间。

（2）图像法：

【例6】（1）函数()f x x =和()()2g x x x =-的递增区间依次是（ ）

(](].,0,,1A -∞-∞ (][).,0,1,B -∞+∞ [)(].0,,,1C +∞-∞ ()[).0,,1,D +∞+∞ （2）求函数()(]2

243,3,1f x x x x =--+∈-的单调区间。

（3）画出函数2

23y x x =-++的图像，并指出函数的单调区间。

【变式4】（1）下列函数中，在区间()0,2上为增函数的是（ ） .3A y x =- 2

:1B y x =+ 2.1

C y x =+ 2

.23D y x x =-+ （2）求()2f x x =-的单调区间。

（3）画出函数()33f x x x =-++的图像，并指出函数的单调区间。

（4）求函数()2

45f x x x =-++的单调区间。

【总结】

【说明】二次函数的单调性由二次项系数a 和对称轴2x a =-共同决定，并且对称轴2x a

=-是二次函 数的增区间和减区间分界的地方。

（3）口诀法：“同增异减”。 【例7】求函数y =

【变式5】求函数y =

【总结】1、增函数、减函数的性质：一般地，如果()(),f x g x 在给定区间上具有单调性，则： （1）当0c >时，()y cf x =与()y f x =单调性相同；

当0c <时，()y cf x =与()y f x =单调性相反；

（2）()

()()1

0y f x f x =

≡

/与()y f x =单调性相反； （3）())0y f x =

≥与()y f x =单调性相同；

（4）()(),f x g x 的单调性相同时，()()f x g x +的单调性不变；

（5）()(),f x g x 的单调性相反时，()()f x g x -的单调性与()f x 的单调性相同。

2、复合函数()y f g x =????的单调性的判断法则：

“同增异减”。 即：若三个函数()()(),,t g x y f t y f g x ===????中任意两个函数的单调性相同，则第三个 函数就为增函数；若三个函数()()(),,t g x y f t y f g x ===????中任意两个函数的单调性相

反，则第三个函数就为减函数。

【知识点3】

3、单调性的简单应用：

【例8】（1）已知函数()()21f x a x b =-+在R 上是严格单调减函数，则a 的取值范围为 。 （2）已知函数()2

2

21f x x ax a =-+-在(),1-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。

（2）已知函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，试比较34f ?? ???

与()2

1f a a -+的大小。

【变式5】（1）已知函数()2

43f x x x =--+在区间[)21,a -+∞上是减函数，求实数a 的取值范围。

（2）若函数()f x 在定义域()1,1-上是增函数，且()()121f a f a -<-，求实数a 的取值范围。

【知识点4】

4、抽象函数的单调性：

【例9】函数()y f x =对任意的,R a b ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时，总有

()1f x >。

（1）求证：()f x 是R 上的增函数。(2)若()34f =，解不等式()2

52f a a +-<。

【知能训练】

1、课本习题1.3A 组1、

2、3 B 组1；

2、点金训练 1.3.1 单调性与最大（小）值 点金测评 创新训练。

3、补充练习：

一、选择题

1．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( )

A ．y ＝x 2－2

B ．y ＝3

x C ．y ＝1＋2x D ．y ＝－(x ＋2)2

2. 定义在R 上的函数y ＝f (x ＋1)的图象如右图所示． 给出如下命题：①f (0)＝1；②f (－1)＝1；③若x >0， 则f (x )<0；④若x <0，则f (x )>0，其中正确的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③

3．函数f (x )＝x 2－4ax ＋1在区间[－2,4]上是单调函数时，a 的取值范围为( )

A ．(－∞，－1]

B ．[2，＋∞)

C ．[－1,2]

D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)

4．f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )

A ．至少有一个根

B ．至多有一个根

C ．无实根

D ．必有唯一的实根 5．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论 中不正确的是( )

A.．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0 B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0 C ．f (a )

f (x 1)－f (x 2)>0

6．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间为( )

A ．(－∞，－3]

B ．(－∞，－1]

C ．[1，＋∞)

D ．[－3，－1] 二、填空题

7．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________。

8．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________。 9．函数y ＝(k ＋2)x ＋1在实数集上R 是增函数，则k 的取值范围是________。 三、解答题

10．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间。

11．已知f (x )＝x 2－1，试判断f (x )在[1，＋∞)上的单调性，并证明。