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线性变换可对角化条件的一个新证明

作者：肖玉兰

作者单位：青海师范大学组织人事部,青海西宁,810008

刊名：

青海师范大学学报：自然科学版

英文刊名：Journal of Qinghai Normal University(Natural Science Edition)年，卷(期)：2012,28(2)

本文链接：https://www.wendangku.net/doc/7d15158596.html,/Periodical_qhsfdxxb-zrkx201202004.aspx

多元函数极值充分条件

定理10.2(函数取得极值的充分条件) 设函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的邻域内存在二阶连续偏导数，且00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =．记00(,)xx f x y A =， 00(,)xy f x y B =，00(,)yy f x y C =，则有 (1) 当20A C B ->时，00(,)x y 是极值点．且当0A >时，000(,)P x y 为极小值点；当0A <时，000(,)P x y 是极大值点． (2) 当20A C B -<时，000(,)P x y 不是极值点． (3) 当20A C B -=时，不能判定000(,)P x y 是否为极值点，需要另外讨论．证 (1) 利用二元函数的一阶泰勒公式，因 0000(,)(,)f x h y k f x y ++- 20000001(,)(,)(,)2x y f x y h f x y k h k f x h y k x y q q 轾抖犏=+++++犏抖臌， 01q << 由已知条件，00(,)0x f x y =,00(,)0y f x y =，故 20000001(,)(,)(,)2f x h y k f x y h k f x h y k x y q q 轾抖犏++-=+++犏抖臌 220000001(,)2(,)(,)2 xx xy yy f x h y k h f x h y k hk f x h y k k q q q q q q 轾=++++++++犏臌利用矩阵记号，记h r k 骣÷?÷?=÷?÷?÷桫，(,)r h k ￠=，0()A B Hf P B C 骣÷?÷?=÷?÷?÷桫，000(,)P r x h y k q q q +=++ 0000 0()()()()()xx xy xy yy f P r f P r Hf P r f P r f P r q q q q q 骣++÷?÷?+=÷?÷++÷?桫，可改写上式为 00()()f P r f P +-000 0()()1(,)()()2xx xy xy yy f P r f P r h h k k f P r f P r q q q q 骣骣++÷÷??÷÷??=÷÷??÷÷++?÷÷?桫桫01()2r Hf P r r q ￠=+ 01q << （1）进一步，又有 00()()f P r f P +-00011()[()()]22 r Hf P r r Hf P r Hf P r q ⅱ= ++- （2）当20A C B ->且0A >时，二次型0()r Hf P r ￠正定，因此对于任何00h r k 骣骣÷÷??÷÷??= ÷÷??÷÷?麋桫桫，0()0r Hf P r ￠>。特别地，在单位圆{22(,)1}Q x y x y +=上，连续函数0()Q Hf P Q ￠取得的最小值0m >。因此，对任何00h r k 骣骣÷÷??÷÷??= ÷÷??÷÷ ?麋桫桫，我们有 22 00()(())r r r Hf P r r Hf P r m r r ⅱⅱ = ￠另一方面，由于(,)f x y 二阶偏导数在点000(,)P x y 连续，对任何:02 m e e <<，总可取0d >，使得0r d ￠<<时，有 00()()xx xx f P f P r q e -+<，00()()xy xy f P f P r q e -+<，00()()yy yy f P f P r q e -+< 从而， 220000[()()][()()]2r Hf P r Hf P r r Hf P r Hf P r r r q q e ⅱ+-Ｗ+-? 于是，

第六章_线性变换_68180769

第六章线性变换映射：,X Y ≠?≠?，如果有一个法则σ，它使得X 中每个元素α，在Y 中有唯一确定的元素β与之对应，则称σ为X 到Y 的一个映射，记作:X Y σ→，()σαβ=，β称为α在σ下的象，α称为β在σ下的原象。注：()(),X στασατα=??∈=对。变换：一个集合到自身的映射。线性变换的定义与性质定义设V 是数域F 上的线性空间，σ是V 的一个变换，如果满足条件：（1）()()()βσασβασV,α,β+=+∈?；（2）()()k F,αV,k αk σασ?∈?∈=，则称σ是V 上的线性变换或线性算子。 (1), (2)等价于条件：,,,k l F V αβ?∈∈ ()()()σk αl βk σαl σβ+=+。例：设σ：n n R R →，定义为()c αασ=，c 为常数。-----数乘变换或位似变换。 c =0-----零变换，记为o 。 c =1-----恒等变换，记为ε。例：设σ是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转θ角的变换设()()(),,,T T x y x y ασα''==，则

cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ'=-??'=+? 记cos sin sin cos A θθθ θ-?? =??? ? ，则()A σαα=是一个线性变换。例：判断下列变换是否是线性变换 (1) ()()12323,,1,,T T a a a a a σ=; (2) ()()12323,,0,,T T a a a a a σ=; (3) ()()12312231,,2,,T T a a a a a a a a σ=-+; (4) ()()212312 3,,,,3T T a a a a a a σ=. 线性变换的基本性质（1）()θθσ=；（2）()()ασασ-=-；（3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若s s αk αk αk β+++=Λ2211，则1122s s βk αk αk ασσσσ=+++L ；若θ=+++s s αk αk αk Λ2211，则θσσσ=+++s s αk αk αk Λ2211。（4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。线性变换的运算 ()V L ----线性空间V 上所有线性变换的集合。

矩阵的可对角化及其应用

附件：分类号O15 商洛学院学士学位论文矩阵的可对角化及其应用作者单位数学与计算科学系指导老师刘晓民作者姓名陈毕专业﹑班级数学与应用数学专业07级1班提交时间二0一一年五月

矩阵的可对角化及其应用陈毕（数学与计算科学系2007级1班）指导老师刘晓民摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换 Matrix diagonolization and its application Chen Bi (Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science) Advisor:Lecturer Liu Xiao Min Abstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix

极值的第二充分条件

极值存在的第二充分条件是bai当一阶du导数等于0，而二阶导数大于0时，zhi为极小值点。当一阶导数等于dao0，而二阶导数小于0时，为极大值点。具体证明过程如下。证明：因为对于函数y=f(x)。设f(x)一阶可导，且y'=f'(x)，二阶可导，且y''=f''(x)。且当x=x0时，f'(x0)=0。那么当f''(x0)＞0时，而f''(x0)=lim(x→x0?)（f'(x)-f'(x0)）/(x-x0)=f''(x0)=lim(x→x0?)（f'(x)-f'(x0)）/(x-x0)＞0。当x→x0?时，x-x0＜0，那么f'(x)-f'(x0)＜0，即f'(x)＜0。当x→x0?时，x-x0＞0，那么f'(x)-f'(x0)＞0，即f'(x)＞0。那么可得x＞x0时，f'(x)＜0，则函数f(x)为减函数，x＜x0时，f'(x)＞0，则函数f(x)为增函数，所以可得f(x)在x=x0处取得极小值。同理可证明函数y=f(x)，当x=x0时，f'(x0)=0，f''(x0)＜0时，f(x)在x=x0处取得极大值。扩展资料： 1、二阶导数的性质

（1）判断函数极大值以及极小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。（2）函数凹凸性。设f(x)在[ab]上连续，在（ab)内具有一阶和二阶导数，那么，若在（ab)内f''(x)>0则f(x)在[ab]上的图形是凹的。若在（ab)内f’‘(x)<0则f(x)在[ab]上的图形是凸的。 2、二阶导数的几何意义如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

2。2线性变换的基本性质

§2.2线性变换的基本性质教学目标: 一、知识与技能：会证明定理1和定理2；理解矩阵变换把平面上的直线变成直线，即)(21βλαλ+A ＝ βλαλA A 21+ 二、方法与过程分析可逆的线性变换将直线变成直线，平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理1和定理 2的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。三、情感、态度与价值观感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。增强学生的符号意识，培养学生的逻辑推理能力。教学重点:定理的探究及证明教学难点：定理的探究教学过程一、复习引入： 1、基本概念（1）二阶矩阵：由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表??? ? ??d c b a 称为二阶矩阵。特别地，称二阶矩阵???? ??0000为零矩阵，简记为0。称二阶矩阵??? ? ??1001为二阶单位矩阵，记为2E 。（2）向量：向量（y x ,）是一对有序数对，y x ,叫做它的两个分量，且称??? ? ??y x 为列向量，（y x ,）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。 2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵（1）线性变换在平面直角坐标系中，把形如???+=+=dy cx y by ax x ``（其中a ，b ，c ，d 为常数）的几何变换叫做线性变换。（2）旋转变换

坐标公式为???+=-=α αααcos sin sin cos ``y x y y x x ，变换对应的矩阵为??? ? ??-αα αα cos sin sin cos （3）反射变换 ①关于x 的反射变换坐标公式为???-==y y x x ``对应的二阶矩阵为? ??? ??-1001； ②关于y 的反射变换坐标公式为???=-=y y x x ``对应的二阶矩阵为???? ??-1001； ③关于x y =的反射变换坐标公式为???==x y y x ``对应的二阶矩阵为? ?? ? ??0110；（4）伸缩变换坐标公式为???==y k y x k x 2`1`对应的二阶矩阵为??? ? ??21 0k k ；（5）投影变换 ①投影在x 上的变换坐标公式为???==0``y x x 对应的二阶矩阵为???? ??0001； ②投影在y 上的变换坐标公式为???==y y x ``0对应的二阶矩阵为???? ??1000 （6）切变变换 ①平行于x 轴的切变变换坐标公式为???=+=y y sy x x ``对应的二阶矩阵为???? ??101s ? ??? ??101s ②平行于y 轴的切变变换坐标公式为???+==y sx y x x ``对应的二阶矩阵为??? ? ??101s 二、新课讲解定理1 设A ＝??? ? ??d c b a ，???? ??=111y x X ，???? ??=222y x X ，t ，k 是实数。则以下公式成立：（1） A （t 1X ）＝t （A 1X ）（2） A 1X ＋A 2X ＝A （1X ＋2X ）（3） A （t 1X ＋k 2X ）＝t A 1X ＋k A 2X

矩阵可对角化的判定条件开题报告

矩阵可对角化的判定条件开题报告开题报告矩阵可对角化的判定条件选题的背景、意义矩阵最初是作为研究代数学的一种工具提出的,但是经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支?矩阵论。矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、计算机层析及 X 射线照相术等方面都有广泛的应用。随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。矩阵是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,在其他学科中也经常遇到。它在二十世纪得到飞速发展,成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支,现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多。但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结。因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论

进行应用和举例,给出算法。特别给出了解题时方法的选择。矩阵的应用在现代社会中是十分广泛的,本文围绕有限维线性空间上的线性变换对角化问题与矩阵可对角化相互转换进行研究.根据矩阵的多项式对矩阵对角化问题进行判断,这种方法不仅为探讨矩阵对角化提供了一个简便的工具,也把矩阵和有限维空间相结合.在现代科技中,很多问题都是运用此类方式。矩阵对角化问题只是矩阵理论中的一个小问题,但是一个基础问题,这样矩阵可对角化作为矩阵理论里的最基础的知识,就显得格外的重要.通过对《高等代数》,《科学计算方法》等有关资料的查阅和分析研究,为我们对判定矩阵的可对角化的条件提供了相关依据和理论. 文献[1]和[2]介绍了广义逆矩阵和一类特殊矩阵可对角化的判定条件,利用子空间关于矩阵的最小多项式研究了矩阵可广义对角化的充要条件,给出了一种更简单的判别仅有两个互异特征根的矩阵与对角阵相似以及求特征向量的方法。文献[3]总结了利用循回阵的性质找出一个矩阵可对角化的充要条件。任意阶矩阵可以对角化的充要条件是相似于一个阶循回阵, 形式最简单的矩阵是对角阵。矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题,但不是任何一个阶矩阵都可以对角化。文献[4]总结了对矩阵的计算中用到了对角化的性质。该文详细地分析了Doolittle LU分解过程,基于分解过程的特点,在MPI(Message-Passing interface)并行环境下,提出了按直角式循环对进程进行任务分配的并行求解方法。实验证明该方法可以有效地减少进程间数据通信量,从而加快计算速度。文献[5]?[7] 阐述了矩阵可对角化的条件以及对实对称矩阵的可对角化,

多元函数极值的充分条件

多元函数极值的充分条件马丽君（集宁师范学院数学系）我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。若 0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值点）对于多元函数() Y f X =，其中 12(,,,)n X x x x =，有与上面一元函数取得极值的充分条件相对应的结论。定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中 12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12 ,,,T n f f f x x x ????? ?????? 为()f X 的梯度，记作gradf 。引理设n 元函数()f X ，其中 12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则()f X 在点00 0012(,,,)n X x x x =取得极值的必要条件是： 0112(),, ,0T n n X X f f f gradf X x x x ?=?????== ?????? 证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶连续偏导数，00 0012(,, ,)n X x x x =是()f X 的驻点，现定义 ()f X 在点0X 处的矩阵为： 2220002 112122220002021 22222 0002 1 2 () ()()()() ()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ?? ????? ?????? ??? ???? ? =??????? ??? ? ?? ???? ???????? 由于各二阶偏导数连续，即 22(,1,2,,)i j j i f f i j n x x x x ??==????，所以0()f H X 为实对称矩阵。定理设n 元函数()f X ，其中 12(,,,)n X x x x =，具有对各自变量的二阶连续偏导数，00 0012(,, ,)n X x x x =是()f X 的驻点，则（1）当 0() f H X 正定时， 000012(,, ,)n X x x x =是()f X 的极小值点；（2）当 0() f H X 负定时， 000012(,, ,)n X x x x =是()f X 的极大值点；（3）当 0() f H X 不定时， 000012(,, ,)n X x x x =不是()f X 的极大值点证明：由()f X 在点0X 处的泰勒公式

矩阵可对角化的总结

矩阵可对角化的总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-

矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生 21041111 ［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～ B。矩阵P称为由A到B的相似变换矩阵。[]1[]2[]3[]4 2

3 定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。[]1[]2[]3[]4 定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。[]2 定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。[]1[]2[]3 一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的相关条件。定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。[]1[]2[]3[]4 证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P ，使 121n P AP λλλ-??????=??????即12n AP P λλλ??????=?????? 把矩阵P 按列分块，记每一列矩阵为 12,, ,n P P P 即

函数的极值和最值(讲解)

函数的极值和最值【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值函数的极值的定义一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连函数的极值和最值函数在闭区间上的最大值和最小值函数的极值函数极值的定义函数极值点条件求函数极值

续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '；（2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程；【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三：【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；

16-8.多元函数有极值的充分条件PPT

函数有极值的充分条件

定理（充分条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，有二阶连续偏导数，一、函数有极值的充分条件又 0),(00=y x f x , 0),(00=y x f y ，令 A y x f xx =),(00， B y x f xy =),(00， C y x f yy =),(00，则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：（1）02 >-B AC 时具有极值，当0A 时有极小值；（2）02 <-B AC 时没有极值；（3）02 =-B AC 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．

例题求由方程y x z y x 222 22+-++0104=--z 确定的函数),(y x f z =的极值将方程两边分别对y x ,求偏导 ? ??='-+'?+='--'?+0422204222y y x x z z z y z z z x 由函数取极值的必要条件知,驻点为)1,1(-P ,将上方程组再分别对y x ,求偏导数, 解

,21|,0|,21|z z C z B z z A P yy P xy P xx -=''==''=-=''= 故 )2(0) 2(122≠<--=-z z AC B ,函数在P 有极值.将)1,1(-P 代入原方程,有6,221=-=z z , 当21-=z 时，04 1>=A ,所以2)1,1(-=-=f z 为极小值；当62=z 时，04 1<-=A ,所以6)1,1(=-=f z 为极大值.