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如图,已知抛物线 .点A ,抛物线上的点P(x,y) ,过点B作直线AP的垂线,垂足为Q

如图，已知抛物线2=

x y.点A

1139

-，，，

2424

????

? ?

????

，抛物线上的点P（x,y）

-＜＜

过点B作直线AP的垂线，垂足为Q

（I）求直线AP斜率的取值范围；

（II）求PA PQ的最大值

本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）设直线AP的斜率为k,

21-

，

因为

-<<，所以直线AP斜率的取值范围是（-1，1）。

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(2,3),B(6,1),C(0,-2).

如图，已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过点A （2，3），B （6，1），C （0，－2）．（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P 是抛物线对称轴上的动点，当AP ⊥CP 时，求点P 的坐标；（3）设直线BC 与x 轴交于点D ，点H 是抛物线与x 轴的一个交点，点E （t ，n ）是抛物线上的动点，四边形OEDC 的面积为 S ．当S 取何值时，满足条件的点E 只有一个？当S 取何值时，满足条件的点E 有两个？【答案】解：（1）将A ，B ，C 三点坐标代入y=ax 2＋bx ＋c 中，得 42336612a b c a b c c ++=??++=??=-?，解得12722a b c ?=-???=??=-??? 。∴y=－12x 2＋72x －2=－12（x －72）2＋338 。（2）设点P （72 ，m ），分别过A 、C 两点作对称轴的垂线，垂足为A ′，C ′。 ∵AP ⊥CP ，∴△AA ′P ∽△PC ′C 。 ∴AA A P PC CC ''=''，即723m 2m 22 --=+，解得m 1=32，m 2=12 -。 ∴P （72，32）或（72，12 -）。

（3）由B（6，1），C（0，－2），得直线BC的解析式为y=1 2 x－ 2，∴D（4，0）。 ∵四边形OEDC只能在x上方，∴n＞0。又S=S△CDO＋S△EDO=11 244n=4+2n 22 ??+??，∴ S n=2 2 -。 ∵点E（t，n）在抛物线上，∴n =－1 2 t 2＋7 2 t－2，代入S n=2 2 -，得关于t的方程t 2－7 t＋S=0，方程根的判别式△=49－4S。当△=0时，S=49 4 ， 33 n= 8 ，此时方程只有一解，满足条件的点E只有一个，位于抛物线顶点处（图1）。当△＞0时，S＜49 4 ，由S＞4，所以4＜S＜ 49 4 。此时点E的情况如下：设B′是抛物线上点B关于对称轴的对称点，即n =1，S=6。由t 2－7 t ＋6=0得 t=1或t=6。此时点E的坐标为（1，1）或（6，1），即满足条件的点E与点B′或B重合（图2）。 ①当6＜S＜49 4 时，方程有两个不相等的根，此时，1＜t＜6，1＜n＜ 33 8 ，故满足条件的点E位于直线B′B上方的抛物线上。。故此时满足条件的点E有两个（图3）。 ②当4＜S＜6时，方程有两个不相等的根，此时，0＜n＜1，而满足条件的点E只能在点H与点B′之间的抛物线上。故此时满足条件的点E只有一个（图4）。

已知抛物线y

1、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8 的另一点坐标为 2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过（0，-6），（8，-6）两点，其顶点的纵坐标是2，求这个抛物线的解析式． 3、已知抛物线y=ax2+bx+c经过（0，0），（12，0）两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的函数解析式 4、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，-4），B（-1、0），C（-2，5）三点．（1）求抛物线的解析式并画出这条抛物线；（2）直角坐标系中点的横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．试结合图象，写出在第四象限内抛物线上的所有整点的坐标． 5、 6、 7、 8、已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线对应的关系式及顶点坐标． 9、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（-5，0）、（-1，0）、（1，12），求这个抛物线的表达式及其顶点坐标． 10、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在，说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；（3）根据（2）小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系？ 11、已知抛物线y=ax2+bx+2经过点（3，2），那么该抛物线的对称轴是直线 12、已知，抛物线y=ax2+bx-3a经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D与C关于抛物线的对称轴对称，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接DB，问在抛物线上是否存在一点M，使∠DBM=45°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 13、物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）、（1）填空：抛物线的对称轴为直线x=，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为（2）求该抛物线的解析式．

高考数学抛物线试题汇编

第三节抛物线高考试题考点一抛物线的定义和标准方程 1．(2010年陕西卷，理８)已知抛物线y 2 =2ｐx （p>０)的准线与圆ｘ2 +y 2 -6x-7＝0相切,则p 的值为( ) (Ａ) 1 2 (B ）1 (C)2(D)４解析:圆x 2 +y 2 －6x －7=0化为标准方程为（x-3）2 +y 2 =1６,∴圆心为(３,０)，半径是4, 抛物线y 2 =２px(p ＞０)的准线是x ＝－ 2 p , ∴３+ 2 p =4，又p ＞0，解得p ＝2．故选C. 答案:C ２.(2011年辽宁卷,理3)已知F 是抛物线y 2 ＝x 的焦点,A,Ｂ是该抛物线上的两点，｜AF|+|ＢF ｜=3,则线段ＡＢ的中点到y 轴的距离为（） (A) 3 4 (B)１ (C) 54 （D) 74 解析:∵|A Ｆ|+|BF|=ｘA ＋ｘB + 1 2 =３, ∴ｘＡ＋ｘＢ= 52 . ∴线段ＡB 的中点到y 轴的距离为 2A B x x =5 4 ．故选C ．故选C. 答案:C 3.（2012年四川卷，理８)已知抛物线关于ｘ轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(２,y 0）.若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则｜O Ｍ|等于( )

（A)2 2 (B)2 3(C)4 (D)２ 5 解析:由题意设抛物线方程为y 2 =2px(ｐ＞０）,则M 到焦点的距离为ｘＭ+ 2p ＝2＋2 p =3,∴p=2，∴y ２ =４x ．∴ 20y =4×２，∴｜ＯM|=20 4y += 48+=23.故选B. 答案:B 4.（2０10年上海卷,理3)动点P 到点Ｆ(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程是. 解析：由抛物线的定义知,点Ｐ的轨迹是以F 为焦点,定直线ｘ＋２＝0为准线的抛物线，故其标准方程为y 2 ＝8x. 答案：ｙ2 =８x 5.(201２年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在ｌ时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降１ m 后,水面宽m ．解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x ２ =-２py （p ＞0), 则A （２，－2),将其坐标代入 x 2 =-2ｐy,得ｐ=1．∴x 2 =-2y ．当水面下降1 m,得D(x ０,-３)(x 0＞0), 将其坐标代入x 2 =-2ｙ得2 0x =6, ∴x 06,∴水面宽6 m. 答案6

已知抛物线y=x2

已知抛物线y=x2解：（1）把x=-1，y=0代入y=x2-2x+c得：1+2+c=0 ∴c=-3 ∴y=x2-2x-3=y=（x-1）2-4 ∴顶点坐标为（1，-4）；（2）如图1，连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，由x2-2x-3=0得x=-1或x=3 ∴B（3，0）当x=0时，y=x2-2x-3=-3 ∴C（0，-3） ∴OB=OC=3 ∵∠BOC=90°， ∴∠OCB=45°， BC=3 又∵DF=CF=1，∠CFD=90°， ∴∠FCD=45°，CD= ， ∴∠BCD=180°-∠OCB-∠FCD=90°． ∴∠BCD=∠COA 又∵ ∴△DCB∽△AOC， ∴∠CBD=∠OCA 又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB ∴∠E=∠OCB=45°，

（3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点∵∠PMA=45°， ∴∠EMH=45°， ∴∠MHE=90°， ∴∠PHB=90°， ∴∠DBG+∠OPN=90° 又∴∠ONP+∠OPN=90°， ∴∠DBG=∠ONP 又∵∠DGB=∠PON=90°， ∴△DGB=∠PON=90°， ∴△DGB∽△PON ∴ 即： = ∴ON=2， ∴N（0，-2）设直线PQ的解析式为y=kx+b 则解得： ∴y=- x-2 设Q（m，n）且n＜0， ∴n=- m-2 又∵Q（m，n）在y=x2-2x-3上，

∴n=m2-2m-3 ∴- m-2=m2-2m-3 解得：m=2或m=- ∴n=-3或n=- ∴点Q的坐标为（2，-3）或（- ，- ）．分析：（1）将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值，然后配方后即可确定顶点D的坐标；（2）连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，首先求得点C的坐标，然后证得 △DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到 ∠E=∠OCB=45°；（3）设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点，增大 △DGB∽△PON后利用相似三角形的性质求得ON的长，从而求得点N的坐标，进而求得直线PQ的解析式，设Q（m，n），根据点Q在y=x2-2x-3上，得到- m-2=m2-2m-3，求得m、n的值后即可求得点Q的坐标．点评：本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的知识点，特别是二次函数与相似三角形的结合，更是一个难点，同时也是中考中的常考题型之一．添加到我的练习册与本题相关的练习册：长江作业本同步练习册七年级数学下册人教版全新改版思维新观察课时精练八年级数学下册人教版初中同步测控优化设计七年级数学下册人教版同步导学案课时练八年级数学下册人教版河北专版长江作业本同步练习册八年级数学下册人教版

如图,已知抛物线y=a(x-1)2+3根号3(a≠0)

如图，已知抛物线y=a（x-1）2+3根号3（a≠0）经过点A（-2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM平行AD。过顶点D作平行于x轴的直线交射线OM于点c，点B在x轴正半轴上，连结BC。（1）求a的值。（已做。）（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）。当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC=OB，动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BO运动，两点同时出发，当点Q到达点O 时，点P也随之停止运动。设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长度。 (1),∵点A在抛物线y=a(x-1)2-3√3上 ∴把点A（-2，0）代入，得 0=a(-2-1)2-3√3 解得，a=√3/3 （2）由（1）可得，a=√3/3 ∴y=√3/3（x-1）2-3√3 ∴D（1，3√3）根据勾股定理可求的，AD=6 ∵AD//OM ∴当AD=OM时，四边形DAOP是平行四边形 ∴OM=AD=6 ∵P的速度为1个单位/S ∴t=6

∴当t=6时，四边形DAOP是平行四边形由上可求得∠OAD=60° 过点O作OE⊥AD，过点D作DF⊥OC ∴AE=cos60°×OA=1 ∴CF=AE=1 由上可知，OC=6 ∴OF=5 ∴当t=5时，四边形DAOP是直角梯形当四边形DAOP是等腰梯形时，DP=OA=2 过点P作PG⊥AD 由上可得，AE=1 ∴DG=AE=1 ∴OD=EG=AD-AE-DG ∴OD=4 ∴当t=4时，四边形DAOP是等腰梯形（3）由（2）可得，AD//OM,AD=OC=6,∠OAD=60°∴∠BOC=∠OAD=60° ∵OC=BC ∴△OBC是等边三角形 ∴OC=OB=BC=6 ∴OP=t，OQ=6-2t ∴可求的S△OBC=9√3 ∴S四边形BCPQ=S△OBC-S△OPQ =9√3-1/2×OQ×h ∵∠BOC=60° 可求出h=sin60°×OP =sin60°×t =√3/2×t ∴∴S四边形BCPQ=S△OBC-S△OPQ

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点a(2,3),b(6,1),c(0,2).教程文件

如图,已知抛物线 y=a x2+b x+c经过点A(2,3),B(6,1),C(0 ,-2).

如图，已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过点A （2，3），B （6，1），C （0，－ 2）．（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P 是抛物线对称轴上的动点，当AP ⊥CP 时，求点 P 的坐标；（3）设直线BC 与x 轴交于点D ，点H 是抛物线与x 轴的一个交点，点E （t ，n ）是抛物线上的动点，四边形OEDC 的面积为S ．当S 取何值时，满足条件的点E 只有一个？当S 取何值时，满足条件的点E 有两个？【答案】解：（1）将A ，B ，C 三点坐标代入y=ax 2＋bx ＋c 中，得 42336612a b c a b c c ++=??++=??=-?，解得12722a b c ?=-???=??=-??? 。∴y=－12x 2＋72x －2=－12（x －72）2＋338 。（2）设点P （72 ，m ），分别过A 、C 两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′。 ∵AP ⊥CP ，∴△AA′P ∽△PC′C 。 ∴AA A P PC CC ''='' ，即723m 27m 22--=+，解得m 1=32，m 2=12 -。 ∴P （72，32）或（72，12-）。（3）由B （6，1），C （0，－2），得直线BC 的解析式为 y=1 2x －2，∴D （4，0）。

∵四边形OEDC只能在x上方，∴n＞0。又S=S△CDO＋S△EDO=11 244n=4+2n 22 ??+??，∴ S n=2 2 -。 ∵点E（t，n）在抛物线上，∴n =－1 2 t 2＋7 2 t－2，代入 S n=2 2 -，得关于t的方程t 2－7 t＋S=0，方程根的判别式△=49－4S。当△=0时，S=49 4 ， 33 n= 8 ，此时方程只有一解，满足条件的点 E只有一个，位于抛物线顶点处（图1）。当△＞0时，S＜49 4 ，由S＞4，所以4＜S＜ 49 4 。此时点E的情况如下：设B′是抛物线上点B关于对称轴的对称点，即n =1，S=6。由t 2 －7 t＋6=0得 t=1或t=6。此时点E的坐标为（1，1）或（6，1），即满足条件的点E与点B′或B重合（图2）。 ①当6＜S＜49 4 时，方程有两个不相等的根，此时，1＜t＜6，1＜ n＜33 8 ，故满足条件的点E位于直线B′B上方的抛物线上。。故此时满足条件的点E有两个（图3）。 ②当4＜S＜6时，方程有两个不相等的根，此时，0＜n＜1，而满足条件的点E只能在点H与点B′之间的抛物线上。故此时满足条件的点E只有一个（图4）。