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1.5全称量词与存在量词-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案

1.5全称量词与存在量词

【学习目标】

1.能够记住全称量词和存在量词的概念.

2.学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题,并判断真假.

3.理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系,能正确对含有一个量词的命题进行否定.【学习重点】

1、用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题

2、能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定

【学习过程】

一全称量词与存在量词

概念1:全称量词

下列语句是命题吗?比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系?

(1)x>3;

(2)2x+1是整数;

(3)对所有的x∈R,x>3;

(4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数.

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词并用符号“?”表示.

含有全称量词的命题,叫做全称量词命题

形式:“对M中任意一个x,有p(x)成立”,可简记为“?x∈M,p(x)”

练习1 下列命题中全称量词命题的个数是()

①任意一个自然数都是正整数;②所有的素数都是奇数;

③有的正方形不是菱形;④三角形的内角和是180°.

练习2 判断下列全称量词命题的真假:

(1)所有的素数都是奇数;(2)?x∈R,|x|+1≥1;

(3)对任意一个无理数x,x2也是无理数.

概念2存在量词

下列语句是命题吗?比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系?(1)2x+1=3;

(2)x能被2和3整除;

(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;

(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表示.

含有存在量词的命题,叫做存在量词命题

“存在M中的一个x,使p(x)成立”,可用符号记为“?x∈M,p(x)”

练习3下列命题中存在量词命题的个数是()

①至少有一个偶数是质数;②?x∈R,x2≤0;③有的奇数能被2整除.

探究一判断下列命题哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假.(1)对任意x∈R,x2>0;(2)有些无理数的平方也是无理数;(3)对顶角相等;

(4)存在x=1,使方程x2+x-2=0;(5)对任意x∈{x|x>-1},使3x+4>0;

(6)存在a=1且b=2,使a+b=3成立.(7)有一个实数狓,使x2+2x+3=0;(8)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;(9)有些平行四边形是菱形

变式1.用全称量词或存在量词表示下列语句

(1)不等式x 2+x +1>0恒成立;

(2)当x 为有理数时,13x2+12

x +1也是有理数; (3)方程3x -2y =10有整数解;

(4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直

概念3

思考:写出下列命题的否定:

(1)所有的矩形都是平行四边形;

(2)每一个素数都是奇数;

(3)?x ∈R ,x +|x |≥0.

它们与原命题在形式上有什么变化?

从命题形式看,这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.

一般来说,对含有一个量词的全称量词命题进行否定,我们只需把 “所有的”“任意 一个”等全称量词,变成 “并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说,假定 全称量词命题为 “?x∈M ,p(x)”,则它的否定为 “并非?x∈M ,p(x)”,也就是 “?x∈M ,使p(x )不成立”.通常用符号 “﹁p(x )”表示 “p(x )不成立”

全称量词命题:?x∈M ,p(x), 它的否定:?x∈M ,﹁p(x)

练习4写出下列全称量词命题的否定:

(1)所有能被3整除的整数都是奇数;

(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上;

(3)对任意x∈Z ,x 2

的个位数字不等于3.

概念4

思考:写出下列命题的否定:

(1)存在一个实数的绝对值是正数;

(2)有些平行四边形是菱形;

(3)?x∈R,x2-2x+3=0.

它们与原命题在形式上有什么变化?

从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题

一般来说,对含有一个量词的存在量词命题进行否定,我们只需把“存在一个”“至少有一个” “有些”等存在量词,变成“不存在一个” “没有一个”等短语即可.也就是说,假定存在量词命题为“?x∈M,p(x)”,则它的否定为“不存在x∈M,使p(x)成立”,也就是“?x∈M,p(x)不成立”.存在量词命题:?x∈M,p(x),它的否定:?x∈M,﹁p(x)

探究二写出下列命题的否定,并判断其真假.

(1)所有的方程都有实数解;

(2)?x∈R,4x2-4x+1≥0;

(3)?x∈R,x2+2x+2≤0;

(4)某些平行四边形是菱形.

(5)任意两个等边三角形都相似;

(6)?x∈R,x2-x+1=0.

(7)正方形都是菱形;

(8)?x∈R,使4x-3>x;

(9)?x∈R,有x+1=2x;

探究三已知命题“?1≤x≤2,x2-m≥0”为真命题,求实数m的取值范围.

变式3是否存在实数m,使不等式m+x2-2x+5>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由

【当堂检测】

1.下列命题中,不是全称量词命题的是()

A.任何一个实数乘0都等于0

B.自然数都是正整数

C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数

D.一定存在没有最大值的二次函数

2.下列命题中,存在量词命题的个数是()

①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;

④任意x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.

A.0B.1

C.2D.3

3.下列命题是“?x∈R,x2>3”的另一种表述方法的是()

A.有一个x∈R,使得x2>3

B.对有些x∈R,使得x2>3

C.任选一个x∈R,使得x2>3

D.至少有一个x∈R,使得x2>3

4.对任意x>8,x>a恒成立,则实数a的取值范围是________.

5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题?并判断其真假.

(1)?x∈R,|x|+2≤0;

(2)存在一个实数,使等式x2+x+8=0成立;

(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点.

答案解析

一全称量词与存在量词

概念1:全称量词

练习1 下列命题中全称量词命题的个数是(3)

①任意一个自然数都是正整数;②所有的素数都是奇数;

③有的正方形不是菱形;④三角形的内角和是180°.

练习2 判断下列全称量词命题的真假:

(1)所有的素数都是奇数;假(2)?x∈R,|x|+1≥1;真

(3)对任意一个无理数x,x2也是无理数.假

概念2存在量词

练习3下列命题中存在量词命题的个数是(3)

①至少有一个偶数是质数;②?x∈R,x2≤0;③有的奇数能被2整除.探究一(1) 全称量词命题,假;

(2);存在量词命题,真;

(3)全称量词命题,假;

(4)存在量词命题,真;

(5)全称量词命题,真;

(6)存在量词命题,真;

(7)存在量词命题,假;

(8)存在量词命题,假;

(9)有些平行四边形是菱形存在量词命题,真;

概念3 思考:写出下列命题的否定:

(1)有的矩形不是平行四边形

(2)有的素数不是奇数

(3)?x∈R,x+|x|<0

练习4写出下列全称量词命题的否定:

(1)有的能被3整除的数不是奇数

(2)有些四边形的四个顶点不在同一个圆上(3)存在x∈Z,x2的个位数字等于3

概念4 思考:写出下列命题的否定:

(1)所有实数的绝对值不是正数

(2)所有平行四边形不是菱形

(3)?x∈R,x2-2x+3≠0

探究二写出下列命题的否定,并判断其真假.

(1)有的方程没有实数解,真

(2)?x∈R,4x2-4x+10<0,假

(3)?x∈R,x2+2x+2>0;真

(4)所有平行四边形不是菱形,假

(5)有些等边三角形不相似,假

(6)?.x∈R,x2-x+1≠0,真

(7)有的正方形不是菱形,假

(8);?x∈R,4x-3

(9)?x∈R,使x+1≠2x,真

探究三m≤1

变式3 m>-4

【当堂检测】

1.D

2.B

3.C

4.a≤8

5.(1)存在量词命题,假

(2)存在量词命题,假

(3).全称量词命题,真