广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习数列试题精选04

数列04

40.已知等差数列{}n a 的前n 项和为22(,),n S pn a q p q R n N =-+∈∈

（Ⅰ）求q 的值；

（Ⅱ）若a 1与a 5的等差中项为18，b n 满足22log n n a b =，求数列的{b n }前n 项和.

解析：本小题考查数列的概念，等差数列，等比数列，对数与指数互相转化等基础知识。考查综合运用数学知识解决问题的能力。满分12分.

(Ⅰ)解法一：当1n =时，112a S p q ==-+,

当2n ≥时,2212(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pn p =--.

{}n a 是等差数列,

222p q p p ∴-+=--,

0q ∴=············4分

解法二：当1n =时,112a S p q ==-+,

当2n ≥时,2212(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pm p =--. 当3n ≥时,1122[2(1)2]2n a a pn p p n p p --=------=.

22232a p q p p q =-++=-+.

又222232a p p p =?--=-,

所以3232p q p -+=-,得0q =.············4分

41．设数列{}n a 的前n 项的和

1412

2333

n n n S a +=

-?+，1,2,3,n =

（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；

（Ⅱ）设2n

n n

T S =，1,2,3,

n =，证明：

1

32

n

i i T =<

∑ 解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+2

3, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23 所以a 1=2.

再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +2

3

, n=2,3，4,…

将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n

),n=2,3, …

整理得: a n +2n

=4(a n －1+2n －1

),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n

}是首项为a1+2=4,公比为4的

等比数列,即 : a n +2n =4×4

n －1

= 4n

, n=1,2,3, …, 因而a n =4n

－2n

, n=1,2,3, …,

(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1

－2)

= 23

×(2n+1－1)(2n

－1)

T n = 2n

S n = 32×2n

(2n+1－1)(2n

－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1) 所以, 1

n

i i T =∑

=

321

(

n

i =∑12i

－1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 3

2

42．已知{}n a 为等比数列，32420

2,3

a a a =+=

，求{}n a 的通项式。

43．设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2

－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…．

（Ⅰ）求a 1，a 2；

（Ⅱ）｛a n ｝的通项公式．

解：(Ⅰ)当n ＝1时，x 2

－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1， 于是(a 1－1)2

－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12．

当n ＝2时，x 2

－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，

于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 1＝1

6

．

(Ⅱ)由题设(S n －1)2

－a n (S n －1)－a n ＝0， S n 2

－2S n ＋1－a n S n ＝0． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0 ① 由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝2

3．

由①可得S 3＝3

4．

由此猜想S n ＝

n

n ＋1

，n ＝1，2，3，…． ……8分

下面用数学归纳法证明这个结论． (i )n ＝1时已知结论成立． (ii )假设n ＝k 时结论成立，即S k ＝

k

k ＋1

，

当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1

k ＋2，

故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(i )、(ii )可知S n ＝

n

n ＋1

对所有正整数n 都成立． ……10分

于是当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝

n

n ＋1－n －1n ＝1

n (n ＋1)

， 又n ＝1时，a 1＝12＝11×2，所以｛a n ｝的通项公式a n ＝n

n ＋1，n ＝1，2，3，…． 12分

44．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，481,17,?n S S a ===求通项公式

45．已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2

+2x 的图象上，其中=1，2，3，…

证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；

设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项； 记b n =

2

11++

n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +132-n T =1. 解：（Ⅰ）由已知2

12n n n a a a +=+， 211(1)n n a a +∴+=+

12a = 11n a ∴+>，两边取对数得

1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即

1lg(1)

2lg(1)

n n a a ++=+

{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=?+ 1

122lg3lg3n n --=?= 1

213n n a -∴+=（*） 12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a ) 012222333=????n-12…3 2

122

3+++=n-1

…+2=n 2-1

3

由（*）式得1

2

31n n a -=-

46．已知数列｛n a ｝中，111

22

n n a n a a +=

-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3…. (Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,31--=- (Ⅱ)求数列{}的通项；n a

(Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、

n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+??????

为等差数列？若存在，试求出λ.若不存在,则说明理由。

解：（I ）由已知得 111

,2,2

n n a a a n +=

=+ 2213313,11,4424

a a a =--=--=-

又11,n n n b a a +=--1211,n n n b a a +++=--

11112111(1)1

11222.1112

n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++-----∴====------

{}n b ∴是以34-

为首项，以1

2

为公比的等比数列

.

（III ）解法一：

存在2λ=，使数列{}n n

S T n

λ+是等差数列. 1212111

3()(12)2222

n n n S a a a n n =++???+=++???++++???+-

11(1)

(1)22321212

n n n n -+=?+--2213333(1) 3.2222n n n n n n --=-+

=-++ 12131(1)

313342(1).1222212

n n n n n T b b b +--=++???+==--=-+- 数列{}n

n S T n λ+是等差数列的充要条件是,(n n

S T An B A n

λ+=+、B 是常数) 即2,n n S T An Bn λ+=+

又2133333()2222n n n n n n S T λλ+-+=-+

++-+231

3(1)(1)222

n n n λ-=+--

∴当且仅当102

λ

-

=，即2λ=时，数列{

}n n

S T n

λ+为等差数列.