页码问题
奥数：页码问题（数论问题）
一、基本知识
页码问题与图书的页码有密切联系。事实上，页码问题就是根据书的页码而编制出来的一类应用题。编一本书的页码，一共需要多少个数码呢？反过来，知道编一本书的页码所需的数码数量，求这本书的页数．这是页码问题中的两个基本内容。
页码问题是现在的奥数竞赛以及公务员考试中常见的、经常考试的知识点。页码问题实际上是数论的问题。
页码问题涉及的应用题包含四个基本内容：
(1)已知页码数，要求考生求出书中一共含有多少个数码；
(2)已知页码数，要求考生求此书中某个数码出现的次数；
(3)已知书中包含的数码数，要求考生求出该书的页码数；
(4)已知书中某个数码出现的次数，要求考生求出该书的页码数。
为了顺利地解答页码问题，我们先看一下“数”与“组成它的数码个数”之间的关系:
（1）一位数共有9个，1～9，组成所有的一位数需要9个数码；
（2）两位数共有90个,10～99，组成所有的两位数需要2×90＝180(个)数码；
（3）三位数共有900个，100～999，组成所有的三位数需要3×900＝2700(个)数码。
（4）四位数共有9000个，1000～9999，组成所有的三位数需要4×9000＝36000(个)数码。
...................
为了清楚起见，我们将n位数的个数、组成所有n位数需要的数码个数、组成所有不大于n位的数需要的数码个数之间的关系列表如下：
由上表看出，如果一本书不足100页，那么排这本书的页码所需的数码个数不会超过189个；如果某本书排的页码用了10000个数码，因为2889＜10000＜38889，所以这本书肯定是上千页。
二、举例说明
例1 一本书共204页，需多少个数码编页码？
分析与解：1～9页每页上的页码是一位数，共需数码1×9＝9(个)；
10～99页每页上的页码是两位数，共需数码2×90＝180(个)；
100～204页每页上的页码是三位数，共需数码(204－100＋1)×3＝105×3＝315(个)。
综上所述，这本书共需数码9＋180＋315＝504(个)。
例2 一本小说的页码，在排版时必须用2211个数码。问：这本书共有多少页？
分析：从第1题，我们可以看到，如果一本书有上百页，它至少需要189个数码。因为189＜2211＜2889，所以这本书有几百页。那这题中的小说，肯定至少有几百页了。由前面的分析知道，这本书在排三位数的页码时用了数码(2211－189)个，所以三位数的页数有(2211－189)÷3＝674(页)。
因为不到三位的页数有99页，所以这本书共有：99＋674＝773(页)。
解：99＋(2211－189)÷3＝773(页)。
答：这本书共有773页。
例3 一本书的页码从1至62，即共有62页。在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次。结果，得到的和数为2000。问：这个被多加了一次的页码是几？
分析与解：因为这本书的页码从1至62，所以这本书的全书页码之和为
1＋2＋…＋61＋62＝62×(62＋1)÷2
＝31×63
＝1953。
由于多加了一个页码之后，所得到的和数为2000，所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码，是
2000－1953＝47。
例4 有一本48页的书，中间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到1131。老师说小明计算错了，你知道为什么吗？
分析与解：48页书的所有页码数之和为
1＋2＋…＋48 ＝48×(48＋1)÷2
＝1176。
按照小明的计算，中间缺的这一张上的两个页码之和为1176－1131＝45。这两个页码应该是22页和23页。但是按照印刷的规定，书的正文从第1页起，即单数页印在正面，偶数页印在反面，所以任何一张上的两个页码，都是奇数在前，偶数在后，也就是说奇数小偶数大。小明计算出来的是缺22页和23页，这
是不可能的。
例 5 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112…问：左起第2000位上的数字是多少？
分析与解：本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码？”因为(2000－189)÷3＝603……2，所以2000个数码排到第99＋603＋1＝703(页)的第2个数码“0”。
所以本题的第2000位数是0。
例6 排一本400页的书的页码，共需要多少个数码“0”？
分析与解：将1～400分为四组：
1～100，101～200，201～300，301～400。
在1～100中共出现11次0，其余各组每组都比1～100多出现9次0，即每组出现20次0。所以共需要数码“0”为
11+20+20+20=71次。
三、典型例题
例1、13/1995 化成小数后是一个无限小数，问在这个无限小数的小数点后面，从第一位到1995位，在这1995个数中，数字6共出现了多少次？
解答：这是一个关于循环小数的周期问题。基本解答方法是先算出循环节，然后再统计每个周期的数字总数和每个周期中6的个数。
13/1995＝0.0065162907268170426……，循环节是065162907268170426共18位，每个循环节数字6出现4次，（1995－1）÷18＝110……14，前14位6出现3次，所以一共有110×4＋3＝443个。
例2、有一本96页的书，中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加，那么可能得到偶数吗?
解：假设可能得到偶数，那么计算如下：如果这本书不缺页，则总96页的所有页码之和是：1+2+3+...+96=4656。
由于书中的每一页都包括连续的一个奇数和一个偶数，所以每一页上的页码之和必定是奇数。那么：
残书页码和=4656(偶数)-奇数(一页上的两面页码之和)=奇数
综上所述：不可能得到偶数。
例 3.将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112…问：左起第1000位上的数字是多少？
解：1～9页每页上的页码是一位数，共需数码1×9=9（个）；
10～99页每页上的页码是两位数，共需数码2×90＝180（个）；
因为(1000－189)÷3＝270……1，
所以1000个数码排到第：99＋270＋1＝370(个)数的第1个数码“3”。
所以本题的第1000位数是3。
例4.有一本字典页码共有1255页，则这本字典所有数字之和是多少？
分析：乍一看此题感觉无法下手，1255页的字典出现的数字太多，逐一去加，感觉不太现实，而且容易出错！但知道页码数算法的同学可能知道，其实并没有想象中的难！
此题解法有二：第一种比较麻烦，求出1～1255页中数字1-9出现的次数，然后再算。（烦，但不难，需仔细。）
第二种解法：先考虑1～99，可两两结合，所以把0加上！一共一百个数，分成50组：（0，99）、（1，98）、（2，97）……（48，51）、（49，50）。每组数个位上的页码数相加为9，十位上的页码数相加也是9，所以页码数之和为9+9=18.即：0～99的页码数之和为18×50=900.
同样考虑100～199，不考虑百位的1，则和0～99一样！百位的1一共出现了100次，所以100～199页码数的和为900+100=1000.200～299页码数和为900+200=1100.
则1～999的页码数之和为:
900×10+100+200+300+400+500+600+700+800+900=13500
1000～1255：
1000～1099页码数字和900+100=1000
1100～1199页码数字和900+100+100=1100
1200～1255页码数字和（5+5）*23+2*56+1*56=398
1000～1255共2498
所以1～1255页码数字和：13500+2498=15998
四、巩固练习
(一)、填空题
1.一本《小学数学》共48页，那么需要（）个数码编页码。
2.一本《新华字典》共563页，则需要（）个数码编页码。
3.有一个不道德的人去图书馆看书，他偷偷撕下页码为21，42，84，85，151，159，160，180的几页。此人一共撕下（）页。
4.一本书的页码由7641个数字组成，那么这本书共有（）页。
5.一本书共1999页，把第1页一直到最后的第1998页连续放在一起组成一
个的数，即12345678910111213…1998，那么这是一个（）位数。
6.甲、乙两册书的页码共有777个数码，并且甲册比乙册多7页。甲册有（）页。
7.一本书共500页，数字1在页码中共出现了（）次。
8.有一本196页的书，中间缺了一页，如果将残书的所有页码相加，（）得到偶数。（填可能或不可能）
9.13×14×22+11×21×26+14×22×26+11×13×14+6×367=
10.在□中填入适当的数字，使等式成立：8□□□÷58=□□6
(二)、解答题
1.一本书的页码为1至82，即共82页。把这本书的各页的页码累计加起来时，有一个页码漏加了。结果得到的和数是3396。问这个被漏加的页码是几？
2.有一本68有页的书，中间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到2305。老师说小明一定算错了，你知道为什么吗？
3.一本书的页码从1至82，共有82页。在把这本书的各页在页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次，结果得到的和为3440。则这个被多加一次的页码是（）。
4.将自然数按从小到大的顺序排成一个大数：123456789101112…，则左起第2000位上的数字是（）。
5.已知小数A＝0.123456789101112...979899，它的小数后面的数字是由1至99依次排列而成，问：小数点后第68位上的数字是多少？
(三)、计算分析题
1.一本书共有40页，那么共需要多少个数码编页码？
2.一本书共有200页，那么共需要多少个数码编页码？
3.排一本小说的页码，需要用2202个数码，这本书共有多少页？
4．排版工人给一本书编排页码，共用去942个数字（铅字），这本书有多少页？
5．一页书共380页，印刷厂的排版工人编排这本书，仅排页码一共要用多少个铅字？
6．一本故事书，仅排页码就用去1392个铅字（数字）。这本书有多少页？
7.一本书的页码为1至62，即共有62页。在把这本书的各页的页码累加起
来时，有一个页码漏加了。结果，得到的和数为1939。问：这个被漏加的页码是几？
8.有一本96页的书，中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加，那么可能得到偶数吗？
9.将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：1234567891011121314.....，问：左起第1000位数是几？
10．设小数 A = 0.1234567891011……998999，试问，小数点右边第1998位上的数字是几？
11．一本书共399页，编上页码：1、2、3、4……398、399，问数字“2“在页码中共有多少个？
12．从“1”一直写到“701”：123456789101112……699700701。共有多少个阿拉伯数字？
13．在2、4、6、……、396和398这些偶数的数列中，数字“2“一个有多少个？
14．自然数的平方按从小到大排成一行：14916253649……，那么第112个位置上的数字是多少？
15．设小数B = 0.24681012……19982000，那么小数点右边第2000位上的数字是几？
16．有一本书中间被撕掉一张，余下各页的页码数之和正好是1145。那么，被撕掉那一张的页码数是什么？
17.有一本科幻故事书，每四页中，有一页为文字，其余三页为图画。如果第一页为图画，那么第二、三页也是图画，第四页为文字，第五、六、七页又为图画，依此类推。如果第一页为文字，那么第二、三、四页为图画，第五页为文字，第六、七、八页又为图画，依此类推。试问：
（1）假如这本书有96页，且第一页是图画，那么这本书多少页有图画？
（2）假如这本书有99页，那么多少页有图画？
18.一只皮箱的密码是一个三位数，小光说：它是954；小明说：它是358；小亮说：它是214.小强最后说：你们每个人都只猜对了位置不同的一个数字。请问这个皮箱的密码是多少？