非线性发展方程的孤立子和非线性波相互作用研究
目录
摘要i
ABSTRACT iii 目录v 插图索引viii
第一章绪论1
1.1若干非线性发展方程及其应用 (1)
1.2非线性发展方程的孤立子解 (3)
1.3对称理论与对称约化法 (4)
1.4论文的选题依据和结构安排 (7)
第二章与Darboux变换相关的非局域对称约化9
2.1引言 (9)
2.2KP方程的孤立子和非线性波相互作用 (10)
2.2.1非局域对称的局域化 (10)
2.2.2第二类Darboux变换 (12)
2.2.3新对称约化 (14)
2.2.4孤立子和非线性波相互作用 (21)
2.2.5小结与讨论 (23)
2.3孤立子和非线性薛定谔波相互作用 (24)
2.3.1AKNS系统的对称 (24)
2.3.2非局域对称的局域化 (28)
2.3.3新对称约化 (30)
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上海交通大学博士学位论文非线性发展方程的孤立子和非线性波相互作用研究
2.3.4NLS方程的相互作用解 (39)
2.3.5小结与讨论 (46)
2.4本章小结 (48)
第三章非局域留数对称约化49
3.1非局域留数对称 (49)
3.2KdV方程的孤立子和非线性波相互作用 (51)
3.2.1非局域留数对称及局域化 (51)
3.2.2第二类B¨a cklund变换 (53)
3.2.3新对称约化 (55)
3.2.4孤立子和非线性波相互作用解 (60)
3.3本章小结 (70)
第四章截断Painlev′e分析法和相互作用解73
4.1Painlev′e分析法的基本描述 (73)
4.2NLS方程的相互作用解 (74)
4.3本章小结 (79)
第五章相容tanh函数展开法和相互作用解81
5.1传统tanh函数展开法的求解过程 (81)
5.2相容tanh函数展开法的基本描述 (82)
5.3KD方程的扭结-椭圆波相互作用 (83)
5.4KP方程的孤立子-椭圆波相互作用 (86)
5.5本章小结 (89)
第六章总结与展望91参考文献95攻读博士学位期间发表的学术论文目录111致谢113
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插图索引
1–1(a)钟形孤立子;(b)扭结和反扭结;(c)呼吸子和反呼吸子;(d)包络孤子4
2–1t=0时刻NLS方程第一类孤立子-椭圆波结构图:(a)I;(b)J;(c)K;
(d)密度图 (42)
2–2t=0时刻NLS方程第二类穿椭圆波暗孤子结构图:(a)I;(b)J;
(c)K；(d)三维图 (44)
2–3t=0时刻NLS方程第三类孤立子-椭圆波结构图:(a)I;(b)J;
(c)K≡I?J;(d)三维图 (45)
2–4t=0时刻NLS方程穿静态椭圆周期波灰孤子结构图:(a)I;(b)J;
(c)K;(d)密度图 (47)
3–1t=0时KdV方程孤立子-周期波(3–71)结构:(a)二维图;(b)三维图;
(c)密度图 (63)
3–2t=0时KdV方程孤立子-周期波(3–75)结构:(a)二维图;(b)三维图;
(c)密度图 (65)
3–3t=0时KdV方程孤立子-周期波结构(3–86):(a)二维图;(b)三维图;
(c)密度图 (69)
3–4t=0时KdV方程孤立子-周期波(3–90)结构:(a)二维图;(b)三维图;
(c)密度图 (71)
4–1t=0时刻NLS系统孤立子-椭圆波结构(常数见(4–17)式):(a)二维图;(b)密度图 (77)
4–2t=0时刻NLS系统孤立子-椭圆波结构(参数见(4–18)式):(a)二维图;(b)密度图 (78)
4–3NLS系统孤立子-椭圆波随x演化图,参数取(4–20)式:(a)t=?10;
(b)t=0;(c)t=10 (79)
4–4t=?5时刻NLS系统运动孤立子和静态晶格相互作用结构(参数见(4–20)):(a)二维图;(b)密度图 (80)
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上海交通大学博士学位论文非线性发展方程的孤立子和非线性波相互作用研究4–5NLS系统两孤子相互作用结构图 (80)
5–1t=0时刻KD方程扭结-周期波结构:(a)u;(b)v (86)
5–2t=0时刻KP方程孤立子-周期波结构 (89)
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上海交通大学博士学位论文第一章绪论
第一章绪论
随着线性理论日趋完善，非线性问题逐渐成为人们研究的热点。非线性问题的解决很大程度上依赖于非线性发展方程的求解。本章首先介绍几个重要非线性发展方程及其应用，再对方程的孤立子解做简单概述，然后着重介绍本论文重点运用的对称理论。最后是本论文的选题依据和结构安排。
1.1若干非线性发展方程及其应用
相较于线性系统，非线性系统能更准确地描述真实世界、更接近自然现象的本质。到目前为止，在物理、化学、生物、工程、海洋和应用数学等各学科领域涌现出了一大批非线性发展方程。以下介绍和本论文密切相关的几个重要非线性发展方程及其应用。
1.KdV方程
1895年，荷兰数学家Korteweg和de Vries在浅水长波和小振幅假定下建立了单向运动的非线性浅水波方程–KdV(Korteweg Vries)方程[1]
ξt=3
2
(
g
d
)(1/2)(
2
3
αξx+ξξx+
σ
3
ξxxx),(1–1)
其中，ξ为描述波峰的函数，α和g为常数，d表示水深，σ为与表面张力有关的常数。当|x|→∞时，ξ和ξx趋于零的情况下，KdV方程(1–1)有钟形孤立波解
ξ=C sech2(31/2
4d3
(x?vt)),(1–2)
其中v=√
gd(1+C
2d
)表征孤立波传播速度。KdV方程可以很好地用来解
释Russell于1834年观察到的孤立波现象[2]。
在非线性系统研究中，通常将KdV方程写成标准形式
u t+6uu x+u xxx=0.(1–3)
除了以上孤立波现象，KdV方程还可以用于描述许多其他领域出现的孤波现象：如在长波小振幅近似下，可描写冷等离子体的磁流体波的运动；非谐振晶
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