(人教版)高中数学必修二(全册)同步练习汇总
（人教版）高中数学必修二（全册）同步练
习汇总
课后提升作业一
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(45分钟70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.下列说法中正确的是( )
A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】选A.棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.
2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )
A.四条侧棱、四个顶点
B.八条侧棱、四个顶点
C.四条侧棱、八个顶点
D.六条侧棱、八个顶点
【解析】选C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点.
3.下列说法错误的是( )
A.多面体至少有四个面
B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱
D.三棱柱的侧面为三角形
【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形，故D错误.
4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则
倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A.棱柱
B.棱台
C.由一个棱柱与一个棱锥构成
D.不能确定
【解析】选 A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的四棱柱.
5.(2016·郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(3)(4)
D.(1)(4)
【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断.
【解析】选B.在图(2)(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)(3)完全一样，而(1)(4)则不同. 【补偿训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
【解析】选D.A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等.
6.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )
A.1∶2
B.1∶4
C.2∶1
D.4∶1
【解析】选 B.由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4.
7.(2016·温州高一检测)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有( )
A.20条
B.15条
C.12条
D.10条
【解析】选 D.因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧棱的截面为一个平行四边形，共可得5个截面，每个平行四边形可得到五棱柱的两条对角线，故共有10条对角线.
8.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )
A.大于5
B.等于5
C.至多等于4
D.至多等于3
【解析】选 C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n
个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值至多等于4.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
【解析】如图：①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤.
答案：①③④⑤
10.(2016·天津高一检测)一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.
【解析】因为n棱柱有2n个顶点，又此棱柱有10个顶点，所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为60cm，可知每条侧棱长为12cm.
答案：12
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.
(1)由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.
(2)由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形.
【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱.
(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.
12.已知三棱柱ABC-A′B′C′，底面是边长为1的正三角形，侧面为全等的矩形且高为8，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达A′点的最短路线长.
【解析】将三棱柱侧面沿侧棱AA′剪开，展成平面图形如图，则AA″即为所求的最短路线.
在Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A″=8，
所以AA″==.
【延伸探究】本题条件不变，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A′点的最短路线长.
【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿AA′剪开，然后展开并拼接成如图所示，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=6，A1A″=8，
所以AA″===10.
【能力挑战题】
如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，
沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，
S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE
=(2a)2-a2-a2-a2=a2.
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课后提升作业二
圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
(45分钟70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )
A.圆柱
B.圆锥
C.圆台
D.两个共底的圆锥
【解析】选D.连BD交AC于O，则AC⊥BD.BC，AB绕直线AC旋转各得一圆锥.
【补偿训练】将图①所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图②所示的几何体的是( )
【解析】选 B.由旋转体的结构特征知，几何体由上、下两个同底的圆锥组成，因此只有B符合题意.
2.如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形
成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是( )
A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B.该组合体仍然关于轴l对称
C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D.该组合体中的球和半球只有一个公共点
【解析】选A.该组合体中有一个球和一个半球，故A错误.
3.(2016·银川高一检测)圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.顶角为30°的等腰三角形
D.其他等腰三角形
【解析】选A.设圆锥底面圆的半径为r，依题意可知2πr=π·，则r=，故轴截面是边长为的等边三角形.
4.如图所示的简单组合体，其结构特征是( )
A.两个圆锥
B.两个圆柱
C.一个棱锥和一个棱柱
D.一个圆锥和一个圆柱
【解析】选D.上面是圆锥，下接一个同底的圆柱.
5.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
【解析】选 A.该几何体自上向下是由一个圆锥，两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的.
6.过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是( )
A.有且只有一个
B.一个或无穷多个
C.无数个
D.以上均不正确
【解析】选B.当过AB的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时可作无数个；当直线AB不过球心时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作一个大圆.
【补偿训练】正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是( )
【解析】选 C.正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心，所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对面的高线，故C正确.
7.如图所示的平面结构，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个棱柱
【解析】选 B.外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱.
8.如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是( )
A.①③
B.①②
C.②④
D.②③
【解析】选A.①正确，截面过三棱锥底面的一边；
②错误，截面圆内三角形的一条边不可能过圆心；
③正确，为截面平行于三棱锥底面；
④错误，截面圆不可能过三棱锥的底面.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2016·济宁高一检测)一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm，则截面圆面积为________cm2.
【解析】设截面圆半径为rcm.
则r2+42=52，所以r=3.
所以截面圆面积为9πcm2.
答案：9π
10.圆台的上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________.
【解析】如图，把圆台还原为圆锥，设截面☉O1的半径为r，
因为圆台的上底面面积为π，下底面面积为16π，所以上
底面的半径为1，下底面的半径为4，所以=，设SO=x，
SO2=4x，则OO2=3x，又OO1∶O1O2=2∶1，所以OO1=2x，在△
SBO1中，=，所以r=3.因此截面面积为9π.
答案：9π
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD 何体的结构特征. 【解析】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体. 12.已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长. 【解题指南】过正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，将有关量放在平面图形中，建立正方体的棱长与圆锥有关量的关系即可求解. 【解析】过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如 图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中， 正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x. 因为△VA1C1∽△VMN，所以=. 所以hx=2rh-2rx， 所以x==. 即圆锥内接正方体的棱长为. 【能力挑战题】 如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA 上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求： (1)绳子的最短长度的平方f(x). (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离. (3)f(x)的最大值. 【解析】将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧 AA′的长度L就是圆O的周长， 所以L=2πr=2π. 所以∠ASM=×360°=×360°=90°. (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM=(0≤x≤4). 所以f (x)=AM2=x2+16(0≤x≤4). (2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中， 因为S△SAM=SA·SM=AM·SR， 所以SR==(0≤x≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4). (3)因为f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数，所以f(x)的最大值为f(4)=32. 关闭Word文档返回原板块 温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 课后提升作业三 中心投影与平行投影空间几何体的三视图 (45分钟70分) 一、选择题(每小题5分，共40分) 1.下列哪个实例不是中心投影( ) A.工程图纸 B.小孔成像 C.相片 D.人的视觉 【解析】选 A.根据中心投影的定义知道其为光线由一点发出来形成的投影，在这几个选项中小孔成像、相片、人的视觉都是中心投影，只有工程图纸是平行投影. 2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( ) A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台 【解题指南】本题考查的是几何体的三视图，在判断时要结合三种视图进行判断. 【解析】选D.根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致且为梯形，并且俯视图是两个圆，可知只有选项D合适，故选D. 3.(2016·怀仁高二检测)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有( ) A.①②③⑤ B.②③④⑤ C.①②④⑤ D.①②③④ 【解析】选 D.因几何体的正视图和侧视图一样，所以易判断出其俯视图可能为①②③④，故选D. 4.(2016·邢台高二检测)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线 画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 【解析】选B.根据三视图分析可知，该几何体是三棱柱. 5.(2016·株洲高一检测)已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形： 其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【解析】选 B.由正视图和侧视图可知，几何体可以为圆柱挖去一个小圆柱，圆柱挖去长方体，长方体挖去圆柱，长方体挖去直三棱柱，所以图①②③⑤都可作俯视图，图④不能. 6.如图是一正方体被过棱的中点M，N和顶点A，D，C1的两个截面截 去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为( ) 【解析】选B.棱C1D看不到，故为虚线；棱AM可以看到，故为实线；显然正视图为B. 7.(2016·上饶高二检测)已知如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1，点P，Q分别在棱BB1，DD1上，且=，过 点A，P，Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图 形中不可能是截去后剩下几何体的正视图的是( ) 【解析】选A.当P，B1重合时，正视图为选项B；当P到B点的距离比B1近时，正视图为选项C；当P到B点的距离比B1远时，正视图为选项D，因此答案为A. 8.已知点E，F，G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上.以M，N，Q，P 为顶点的三棱锥P-MNQ的俯视图不可能是( ) 【解析】选C.如图(1)，俯视图即为A，当M，N，Q，P分别为DF，AG，BE，C1B1中点时，俯视图为B.如图(2)，俯视图即为D.不管P，Q，M，N在什么位置，俯视图都不可能是一个正三角形，故选C. 二、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2016·桂林高二检测)如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能是________.(要求：把可能的图的序号都填上)