用代数式表示变化规律
探究一：用代数式表示变化规律
用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，现在我们来研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法： 它们是：
Ⅰ、以归纳概括为指导的思考方法；Ⅱ、以函数思想为指导的方法；Ⅲ、以直接计算为指导的方法。 一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式
这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断”—— 一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所体现的规律，并用代数式将其表示出来，在实际运用中，又根据题目的实际情况，可分为三种形式：“一般归纳型”； “分类归纳型”；“递推归纳型 ”。 1、一般归纳型
思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。
例1 如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 。
①
② ③
【观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：
……
① ②
③
0014?+? 1424?+? 2434?+? ……第n 个: )1
(44-+n n
解:应选
48-n
.
例2 如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,
共需要摆 根火柴棒. ……
…
下面一层
…
上面一层
...
下面两层
…
上面一层
…
上面一层
…
下面三层
…
下面
n 层
…
上面一层
10根
【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以3).为了找到规律,可以将每边4根火柴棒的情况也画出:
(1) (2 (3) (4) (10)
涂色三角形 1 3
2
1=
+6
3
2
1=
+
+10
4
3
2
1=
+
+
+…归纳概括: 55
10
...
3
2
1=
+
+
+
的个数:
165
3
55=
?
解:应填165 .
【说明】例1和例2，都是统一系列变化的“图形”，首先是要分离出符合要求的部分，使问题简化与明晰化，然后依次观察、对比，找出共同的规律来。
例3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（）
A、
132
1
B、
360
1
C、
495
1
D、
660
1
【观察与思考】仔细分析与研究后可以发现：（1）每一行左数从第一个数为该行的倒数；
（2）每行中间及偏左的数，都等于它左上角的数减去它左边的数，如第3行中，
3
1
2
1
6
1
-
=，如第7
行中，
,......
42
1
30
1
105
1
-
=依（1）和（2）可知：第9行左数第2个数为
72
1
7
1
8
1
=
-；第10行左数第2
个数为
90
1
10
1
9
1
=
-，
第10行左数第3个数应为
360
1
90
1
72
1
=
-
解：应选B。【说明】在本题，研究“系统”和“研究”相互间的关系“体现得极为突出。
例4 探索n
n?的正方形钉子板上（n
种数：
2
=
n3
=
n4
=
n5
=
n
1
1
2
1
2
1
3
1
6
1
3
1
4
1
12
1
12
1
4
1
5
1
20
1
30
1
20
1
5
1
6
1
30
1
60
1
60
1
30
1
6
1
7
1
42
1
105
1
140
1
105
1
42
1
7
1
当2=n 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有2种，若用S 表示不同长度值的线段种数。则;2=S 当3=n 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有22,5,2,2,1五种，比2=n 时增加了3种，即532=+=S 。 （1）观察图形，填写下表：
钉子数)(n n ? S 值
22? 2
33? 2+3
44? 2+3+（ ）
55?
（ ）
（2）写出)1()1(-?-n n 和)(n n ?的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表述均可）。 （3）对)(n n ?的钉子板，写出用n 表示S 的代数式。
【观察与思考】当4=n 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有22,5,2,2,1。（这些是3=n 时已有的），
23,13,10,3（新增加的）——即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长——（第一层归纳）； 3=n 时比2=n 时多出3个种数；4=n 时比3=n 时多出4个种数;……)(n n ?时比)1()1(-?-n n 时多出n 个种
数;-----(第二层归纳).有了以上两个层次的归纳概括,三个问题的解都已是水到渠成. 解:(1)两个括号内应分别埴: 4; 2+3+4+5;
(2) )(n n ?的钉子板比)1()1(-?-n n 的钉子板中不同长度值的线段种数增加了n 种;
(3)n S ++++=......432. 2、分类归纳型
思考特点是：第一，先根据背景与问题的特点，选定标准并按其分类；第二，将问题按所属类别做出解答。
例5 观察下列等式：,221
=422
=，823=，1624=，3225=，6426=，, (12827)
=通过观察，用你所
发现的规律确定2008
2
的个位数字是 。
【观察与思考】将题目提供的一列数字按“个位数”的情况重新分类：
个位数字 2的乘方 2
512,2…归纳概括为142+n （n 为自然数，下同）
4 622,2…归纳概括为242+n 6 ...2,273归纳概括为342+n 8
...2,284归纳概括为442+n
而2008
250242?=，个位数字应为6。 解：20082个位数应为6。